高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.1 弧度制及任意角的三角函數(shù)題組訓(xùn)練 理 蘇教版

第四篇三角函數(shù)、解三角形第1講弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1．若sinα＜0且tanα＞0，則α是第________象限角．解析∵sinα＜0，則α的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．答案三2．若1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)等于2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于________．解析設(shè)圓的半徑為r，由題意知r·sineq\f(1,2)＝1，∴r＝eq\f(1,sin\f(1,2))，∴弧長(zhǎng)l＝α·r＝eq\f(1,sin\f(1,2)).答案eq\f(1,sin\f(1,2))3．(·蘇中聯(lián)考)若α角與eq\f(8π,5)角終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與eq\f(α,4)角終邊相同的角是________．解析由題意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．又eq\f(α,4)∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).答案eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)4．已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為______．解析由sineq\f(3π,4)＞0，coseq\f(3π,4)＜0知角θ是第四象限的角，∵tanθ＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝eq\f(7π,4).答案eq\f(7π,4)5．有下列命題：①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；③若sinα＞0，則α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋y2)).其中正確的命題是________．解析①正確，②不正確，∵sineq\f(π,3)＝sineq\f(2π,3)，而eq\f(π,3)與eq\f(2π,3)角的終邊不相同．③不正確．sinα＞0，α的終邊也可能在y軸的正半軸上．④不正確．在三角函數(shù)的定義中，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋y2))，不論角α在平面直角坐標(biāo)系的任何位置，結(jié)論都成立．答案①6．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝______.解析因?yàn)閟inθ＝eq\f(y,\r(42＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案－87.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，則cosα＝____.解析因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝eq\f(4,5)，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5).答案－eq\f(3,5)8．函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域?yàn)開_______．解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥eq\f(1,2).由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)．∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)二、解答題9．(1)寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤α<720°的元素α寫出來：①60°；②－21°.(2)試寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合S，并把S中適合不等式－180°≤α<180°的元素α寫出來．解(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中適合不等式－360°≤α<720°的元素α為－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中適合不等式－360°≤α<720°的元素α為－21°，339°，699°.(2)終邊在y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中適合不等式－180°≤α<180°的元素α為－60°，120°.10．(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)一個(gè)扇形OAB的面積是1cm2，它的周長(zhǎng)是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)AB.解(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4，,θ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,θ＝8))(舍去)．∴扇形的圓心角為eq\f(1,2).(2)設(shè)圓的半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))∴圓心角α＝eq\f(l,r)＝2.如圖，過O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1弧度．∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、填空題1．(·杭州模擬)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.答案(－2,3]2．給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所在半徑的大小無關(guān)；④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；⑤若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角．其中正確命題是________．解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯(cuò)；③正確；由于sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)，但eq\f(π,6)與eq\f(5π,6)的終邊不相同，故④錯(cuò)；當(dāng)θ＝π，cosθ＝－1<0時(shí)既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤錯(cuò)．綜上可知只有③正確．答案③3．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則eq\f(sinα,\r(1－sin2α))＋eq\f(\r(1－cos2α),cosα)＝________.解析原式＝eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)，由題意知角α的終邊在第二、四象限，sinα與cosα的符號(hào)相反，所以原式＝0.答案0二、解答題4．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限；(3)試判斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號(hào)．解(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tanα＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2k＋1π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)).(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)終邊在第二、四象限．(3)當(dāng)eq\f(α,2)在第二象限時(shí)，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\