考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷10（共202題）

考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷10（共9套）（共202題）考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且f’(0)存在，則函數(shù)g(x)=f(x)/xA、在x=0處左極限不存在．B、有跳躍間斷點x=0.C、在x=0處右極限不存在．D、有可去間斷點x=0．標準答案：D知識點解析：暫無解析2、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：3、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：5、A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：6、A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：7、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：8、沒A，B，C均為n階矩陣．若AB=C，且B可逆，則A、矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價B、矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價C、矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價D、矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價標準答案：B知識點解析：由于AB=C，那么對矩陣A，C按列分塊，有這說明矩陣C的列向量組γ1，γ2，…，γn可由矩陣A的列向量組α1，α2，…，αn線性表出．又矩陣B可逆，從而A=CB-1，那么矩陣A的列向量組也可南矩陣C的列向量組線性表出．由向量組等價的定義可知，應選(B)．或者，可逆矩陣可表示成若十個初等矩陣的乘積，于是A經(jīng)過有限次初等列變換化為C，而初等列變換保持矩陣列向量組的等價關系．故選(B)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、標準答案：知識點解析：10、標準答案：63知識點解析：11、設總體X～N(0，1)，X1，X2，X3，X4為來自總體的簡單隨機樣本，則服從的分布為_______．標準答案：t(1)知識點解析：12、已知t元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩為2，則其規(guī)范形為____________．標準答案：y12y32知識點解析：二次型矩陣因為｜A｜=(a+2)(a一1)2，由秩r(A)=2，易見a=一2．由可知矩陣A的特征值為3，一3，0．從而正交變換下二次型標準形為3y12一3y32，故其規(guī)范形為y12一y32．13、(2009年試題，二)設X1，X2，…，Xn為來自二項分布總體B(n，p)的簡單隨機樣本，和S2分別為樣本均值和樣本方差．若為np2的無偏估計量，則k=________________．標準答案：因為為np2的無偏估計量，所以由此得知識點解析：本題考查了無偏估量的概念和二項分布的數(shù)字特征，重點還是要求考生能熟記二項分布等常見分布的數(shù)字特征．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)設有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標面，其底部所占區(qū)域為D={(x，y)丨x2+y2-xy≤75}，小山的高度函數(shù)為h(x，y)=75-x2-y2+xy．14、設M(x0，y0)為區(qū)域D上的一個點，問h(x，y)在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0，y0)，試寫出g(x0，y0)的表達式；標準答案：由梯度向量的重要性質(zhì)：函數(shù)h(x，y)在點M處沿該點的梯度方向={-2x0+y0，-2y0+x0}方向?qū)?shù)取最大值即gradh(x，y)丨(x0,y0)的模g(x0,y0)=知識點解析：暫無解析15、現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登的起點，也就是說，要在D的邊界曲線x2+y2-xy=75上找出使(1)中的g(x，y)達到最大值的點．試確定攀登起點的位置．標準答案：按題意，即求g(z，y)在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點g2(x，y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8xy在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點．這是求解條件最值問題，用拉格朗日乘子法．令拉格朗口函數(shù)L(x，y，λ)=5x2+5yundefinedundefinedundefined知識點解析：暫無解析16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、求空間第二型曲線積分其中L為球面x2+y2+z2=1在第1象限部分的邊界線，從球心看L，L為逆時針．標準答案：法一參數(shù)式法．將L分成3段，在xOy平面上的一段記為L1，參數(shù)式為x=cost，y=sint，z=0，從到t=0．于是其他兩段計算類似，于是法二用斯托克斯公式．取曲面S：x2+y2+z2=1，x≥0，y≥0，z≥0，法向量指向原點．于是取計算之．S在xOy平面上的投影為Dxy={(x,y)｜x2+y2≤1．x≥0，y≥0)．于是其他兩個類似，從而知識點解析：暫無解析已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T線性表出．19、求α1,α2,α3,α4應滿足的條件；標準答案：β可由α1,α2,α3,α4線性表出，即方程組x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．對增廣矩陣作初等行變換，有①所以向量β可以由α1,α2,α3,α4線性表出的充分必要條件是：α1—α2+α3一α4=0．知識點解析：暫無解析20、求向量組α1,α2,α3,α4的一個極大線性無關組，并把其他向量用該極大線性無關組線性表出；標準答案：向量組α1,α2,α3,α4的極大線性無關組是：α1,α2,α3，而α4=一6α1+6α2—3α3．②知識點解析：暫無解析21、把向量β分別用α1,α2,α3,α4和它的極大線性無關組線性表出．標準答案：方程組①的通解是：x1=a1—a2+2a3—6t，x2=a2—2a3+6t，x3=(a3—3t，x4=t，其中t為任意常數(shù)，所以β=(a1一a2+2a3—6t)α1+(a2—2a3+6t)α2+(a3—3t)α3+tα4，其中t為任意常數(shù)．由②把α4代入，得β=(a1一a2+2a3)α1+(a2—2a3)α2+a3α3．知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、求極限x.標準答案：原式==e-2.知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f’(1)=a，則數(shù)列極限=_______．A、0B、aC、2aD、標準答案：B知識點解析：這是已知導數(shù)求某數(shù)列的極限．若已知f’(b)=0，可求得數(shù)列極限為了用條件f’(1)=a，將所求極限I改寫成求導數(shù)的形式．因此I=f’(1)．1－f’(1)．0=a因此選(B)2、以y1=excos2x，y2=exsin2x與y3=e－x為線性無關特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是A、+3y’+5y=0B、+3y’+5y=0C、－3y’+5y=0D、－3y’+5y=0標準答案：B知識點解析：線性無關特解y1=excos2x，y2=exsin2x與y3=e－x對應于特征根λ1=1+2i，λ2=1－2i與λ3=－l，由此可得特征方程是(λ－1－2i)(λ－1+2i)(λ+1)=0λ3－λ2+3λ+5=0．由此即知以y1=excos2x，y2=exsin2x與y3=e－x為線性無關特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是y"’－y"+3y’+5y=0．應選(B)．3、設f’(x0)=0，(x0)<0，則必定存在一個正數(shù)δ，使得A、曲線y=f(x)在(x0－δ，x0+δ)是凹的B、曲線y=f(x)在(x0－δ，x0+δ)是凸的C、曲線y=f(x)在(x0－δ，x0]單調(diào)減少，而在[x0，x0+δ)單調(diào)增加D、曲線y=f(x)在(x0－δ，x0]單調(diào)增加，而在[x0，x0+δ)單調(diào)減少標準答案：B知識點解析：由極限的不等式性質(zhì)δ>0，當x∈(x0－δ，x0+δ)且x≠x0時，當x∈(x0－δ，x0)時，f’(x)>0；當x∈(x0，x0+δ)時，f’(x)<0．3又f(x)在x=x0連續(xù)f(x)在(x0－δ，x0]單調(diào)增加，在[x0，x0+δ)單調(diào)減少．故應選(D)．4、下列命題中不正確的是A、在區(qū)域D={(x，y)｜(x，y)≠(1，0)}內(nèi)與路徑無關B、在區(qū)域D={(x，y)｜(x，y)≠(0，0)}內(nèi)不是與路徑無關C、設P(x，y)，Q(x，y)在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導數(shù)，又((x，y)∈D)，則∫LPdx+Qdy在區(qū)域D內(nèi)與路徑無關D、在區(qū)域D={(x，y)｜(x，y)≠(0，0)}上不存在原函數(shù)標準答案：C知識點解析：若熟悉積分與路徑無關的判別法則，則可知(C)不正確．在(C)中的條件下，若又有區(qū)域D是單連通的，∫LPdx+Qdy在區(qū)域D與路徑無關；若D不是單連通的，則積分∫LPdx+Qdy不一定與路徑無關．故應選C5、下列矩陣中屬于正定矩陣的是A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：正定的充分必要條件是順序主子式全大于0，正定的必要條件是aii>0．(C)中a33=－1<0，必不正定；(A)中二階順序主子式=－1<0，必不正定；(D)中三階順序主子式｜A｜=－1<0，必不正定．由排除法可知，應選(B)6、設n維向量α1，α2，…，αs的秩為r，則下列命題正確的是A、α1，α2，…，αs中任何r－1個向量必線性無關B、α1，α2，…，αs中任何r個向量必線性無關C、如果s>n，則αs必可由α1，α2，…，αs－1線性表示D、如果r=n，則任何n維向量必可由α1，α2，…，αs線性表示標準答案：D知識點解析：r(α1，α2，…，αs)=rα1，α2，…，αs中一定存在r個向量線性無關，而任意r+1個向量必線性相關．當向量組的秩為r時，向量組中既可以有r－1個向量線性相關，也可以有r個向量線性相關，故(A)、(B)均錯誤．例如向量α1，α2，α3，α4分別為(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，10，0，0)，其秩為3，其中α1，α4線性相關，α1，α2，α4也線性相關．該例說明，4維向量可以有2個向量線性相關，也可以有3個向量線性相關．但肯定有3個向量線性無關．當s>n時，表明α1，α2，…，αs必線性相關，此時有αi可以由α1，…，αi－1，αi+1…，…，αs線性表示，但αs不一定能由α1，…αs－1線性表示．故(C)不正確．若r(α1，α2，…，αs)=n，則對任何n維向量β必有r(α1，α2，…，αs，β)=n．故(D)正確．因此應選(D)．7、隨機變量X，Y均在(0，2)上服從均勻分布．事件A={X>a}與B={Y>2a}獨立，且P(A∪B)=，則a的值為A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：從所給的選項中可知a的值都小于1，故下列各式均有意義．故選(B)8、設隨機變量X的概率密度為f(x)，則隨機變量｜X｜的概率密度f1(x)為A、f1(x)=B、f1(x)=C、f1(x)=f(x)+f(－x)D、f1(x)=標準答案：D知識點解析：設｜X｜的分布函數(shù)為F1(x)，則當x≤0時，F(xiàn)1(x)=P{｜X｜≤x}=0，從而f1(x)=F’1(x)=0；當x>0時，F(xiàn)1(x)=P{｜X｜≤x}=P{－x≤X≤x}｜F(x)－F(－x)故f1(x)=F’1(x)=F’(x)－F’(－x)=f(x)+f(－x)，所以因此，應選(D)二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知當x→0時是xn的同階無窮小量，則n=_______．標準答案：6知識點解析：確定n>0使得下面的極限存在且不為0，即其中l(wèi)n[1+(x－sinx)]～x－sinx(x→0)，1－cosx—x2(x→0)．因此，n=6．10、設x>0時，∫x2f(x)dx=arcsinx+C，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，滿足F(1)=0，則f(x)=_______．標準答案：知識點解析：按題意，F(xiàn)(x)=f(t)dt．為先求f(x)，將∫x2f(x)dx求導得x2f(x)=[∫x2f(x)dx]’=(arcsinx+C)’=11、微分方程(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0的通解是_______．標準答案：x2siny+x3y+y3=C，其中C為常數(shù)知識點解析：這不是一階線性方程與變量可分離方程，也不是齊次方程與伯努利方程，因此，考察其是否是全微分方程．將方程表為Pdx+Qdy=0，因在全平面上所以是全微分方程，求通解歸結(jié)為求Pdx+Qdy的原函數(shù)u(x，y)．湊微分法．由于(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=(sinydx2+x2dsiny)+(ydx3+x3dy)+dy3=d(x2siny+x3y+y3)，因此，通解為x2siny+x3y+y3=C，其中C為常數(shù)．12、若anxn的收斂域是(－8，8]，則的收斂半徑是_______．標準答案：2知識點解析：由anxn的收斂域是(－8，8]可知，anx3n有收斂域－83≤8即－2anx3n的收斂半徑是2，從而冪級數(shù)anx3n－2的收斂半徑也是2．又因冪級數(shù)anx3n－2是冪級數(shù)兩次逐項求導所得，由冪級數(shù)的分析性質(zhì)知，冪級數(shù)的收斂半徑是2．13、已知，又矩陣A和B相似，A*是A的伴隨矩陣，則｜A*+3E｜=_______．標準答案：27知識點解析：由可知矩陣B的特征值為2，3，－2．又由矩陣A～B知矩陣A的特征值亦為2，3，－2．故｜A｜=2．3．(－2)=－12．那么，A*的特征值為6，－6，－4，從而A*+3E的特征值為9，－3，－1．于是｜A*+3E｜=9．(－3)．(－1)=27．14、設隨機變量X的概率密度為記事件A={X≤1}，對X進行4次獨立觀測，到第四次事件A剛好出現(xiàn)兩次的概率就為q，則q_______．標準答案：147／4096知識點解析：由密度函數(shù)定義求出K的值：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、設f(x)在(0，+∞)內(nèi)二階可導，在[0，+∞)有連續(xù)的導數(shù)，且>0(x>0)，求證：F(x)=在(0，+∞)是凹函數(shù)．標準答案：由題設條件可求得下證F"(x)>0(x>0)．由g(x)=x2f’(x)一2xf(x)+，有g’(x)=x2f"(x)+2xf’(x)－2f’(x)－2f(x)+2f(x)=x2f"(x)，由于f"(x)>0(x>0)g’(x)>0(x>0)．又g(x)在[0，+∞)連續(xù)g(x)在[0，+∞)單調(diào)增加g(x)>g(0)=0(x>0)F"(x)>0(x>0)．因此F(x)在(0，+∞)是凹函數(shù)．知識點解析：暫無解析16、設u=u(x，y)由方程組u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0所確定，其中f，g，h對各變量有連續(xù)的偏導數(shù)，且，求標準答案：這里有5個變量，3個方程，因而確定3個因變量，其余兩個為自變量．按題意x，y為自變量，于是u，z，t均為因變量．由第二、第三個方程知，z與t只是y的函數(shù)，因此對y求偏導數(shù)，由復合函數(shù)求導法得方程②，③是以為未知數(shù)的二元線性方程組，因系數(shù)行列式不為零有唯一解，即知識點解析：暫無解析17、設xOy平面第一象限中有曲線，Γ：y=y(x)，過點A(0，－1)，y’(x)>0．又M(x，y)為Γ上任意一點，滿足：弧段的長度與點M處Γ的切線在x軸上的截距之差為－1．(Ⅰ)導出y=y(x)滿足的積分、微分方程；(Ⅱ)導出y(x)滿足的微分方程和初始條件；(Ⅲ)求曲線Γ的表達式．標準答案：(Ⅰ)先求出Γ在點M(x，y)處的切線方程Y－y(x)=y’(x)(X－x)，其中(X，Y)是切線上點的坐標．在切線方程中令Y=0，得x軸上的截距這是y(x)滿足的積分、微分方程．(Ⅱ)兩邊對x求導，就可轉(zhuǎn)化為二階微分方程：又由條件及①式中令x=0得y(0)=－1，y’(0)=1．因此得y(x)滿足的二階微分方程的初值問題問題①與②是等價的．(Ⅲ)下面求解②．這是不顯含x的二階方程，作變換p=y’，并以y為自變量得知識點解析：暫無解析18、求的和．標準答案：記．引入冪級數(shù)，把求數(shù)值級數(shù)的和S轉(zhuǎn)化為求冪級數(shù)的和．令知識點解析：暫無解析19、設密度為1的立體Ω由不等式表示，試求Ω繞直線x=y=z的轉(zhuǎn)動慣量．標準答案：質(zhì)量為m的質(zhì)點對直線t的轉(zhuǎn)動慣量為md2，d是質(zhì)點到L的距離．因此，要先求Ω上點(x，y，z)到直線L：x=y=z的距離，然后用三重積分來表示這個轉(zhuǎn)動慣量．Ω上任意點(x，y，z)到直線L的距離的平方再求Ω對L的轉(zhuǎn)動慣量用先二后一的積分順序，記D(z)：x2+y2≤z2，于是知識點解析：暫無解析20、已知，求A的特征值與特征向量，并指出A可以相似對角化的條件．標準答案：由矩陣A的特征多項式得到A的特征值是λ1=1－a，λ2=a，λ3=a+1．得到屬于λ1=1－a的特征向量是α1=k1(1，0，1)T，k1≠0．得到屬于λ2=a的特征向量是α2=k2(1，1－2a，1)T，k2≠0．得到屬于λ3=a+1的特征向量α3=k3(2－a，－4a，a+2)Tk3≠0．如果λ1，λ2，λ3互不相同，即1－a≠a，1－a≠a+1，a≠a+1，即a≠1／2且a≠0，則矩陣A有3個不同的特征值，A可以相似對角化．若a=1／2即λ1=λ2=1／2，此時A只有一個線性無關的特征向量，故A不能相似對角化．若a=0，即λ1=λ3=1，此時A只有一個線性無關的特征向量，故A不能相似對角化．知識點解析：暫無解析21、設隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為(Ⅰ)求隨機變量Y關于X=x的條件密度；(Ⅱ)討論隨機變量X與Y的相關性和獨立性．標準答案：(Ⅰ)先求X的邊緣密度．對任意x>0，有=(x2e－x+2xe－x+2e－x－x2e－x)=(1+x)e－x對于任意x≤0，有－x于是，X的邊緣密度fx(x)=(1+｜x｜)e－｜x｜，－∞(Ⅱ)為判斷獨立性，需再求Y的邊緣密度由于fX(x)．fY(y)≠f(x，y)，故X，Y不獨立．所以cov(X，Y)=EXY－EX．EY=0．從而可知X與Y既不獨立，也不相關．知識點解析：暫無解析22、設總體X服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率密度為其中μ為未知參數(shù)，且X1，X2，…，Xn是來自總體X的一個簡單隨機樣本．(Ⅰ)求參數(shù)μ的最大似然估計量(Ⅱ)驗證是μ的無偏估計量．標準答案：(Ⅰ)記樣本的似然函數(shù)為L(μ)，對于總體X的樣本值x1，x2，…，xn，其似然函數(shù)當xi>0時(i=1，2，…，n)，對L(μ)取對數(shù)并對μ求導數(shù)，得令(lnL)’=0，得駐點μ=lnxi，不難驗證μ就是L(μ)的最大值點，因此μ的最大似然估計量為(Ⅱ)首先求lnX的分布由于被積函數(shù)f(s)恰是正態(tài)分布N(μ，1)的密度，因此隨機變量lnX服從正態(tài)分布N(μ，1)，即ElnX=μ，故是μ的無偏估計量知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：2、A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：3、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：5、如下圖，連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[﹣3，﹣2]、[2，3]上圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[﹣2，0]，[0，2]上的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設F(x)＝A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：暫無解析6、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，1)，對給定的α∈(0，1)，數(shù)uo滿足P｛X＞uo｝＝α，若P｛｜X｜＜x｝＝α，則x等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：暫無解析7、設隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ1，δ12)，隨機變量Y服從正態(tài)分布N(μ2，δ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，則必有()．A、μ1＞μ2.B、δ1＜δ2.C、μ1＜μ2.D、δ1＞δ2.標準答案：B知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、標準答案：知識點解析：9、標準答案：10π知識點解析：10、標準答案：知識點解析：11、設dy/dx=xln(1+x2)，且y(0)=1/2，則y(x)=_________．標準答案：1/2(1+x2)[ln(1+x2)-1]+1知識點解析：12、標準答案：知識點解析：13、標準答案：3知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設n階矩陣A=(Ⅰ)求A的特征值和特征向量；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣．標準答案：(Ⅰ)由題設，先由特征值多項式｜A-λE｜=0求A的特征值，即=[1-λ+(n-1)b](1-λ-b)n-1，因此A的特征值為λ1=1(n-1)b，λ2=λ3=…=λn=1-b．當b≠0時，對應于λ1=1+(n-1)不難求出ξ1=是(A-λ1E)x=0的基礎解系，從而屬于λ1的特征向量為Cξ1=，其中C為任意非0常數(shù)，對應于λ2=λ3=…=λn=1-b，A-(1-b)E=易得出基礎解系為ξ1=從而特征向量為C2ξ2+C3ξ3+…+Cnξn，其中C2，C3，…，Cn是不全為0的常數(shù)．當b=0時，A==E，從而A-E=0，任意非零向量皆為其特征向量．(Ⅱ)由前述已知，當b≠0，A有n個線性無關的特征向量，令P=(ξ1，ξ2，ξ3，…，ξn)，則P-1AP=而當b=0時，A=E，任取P為可逆矩陣，都有P-1AP=E．知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、(2002年試題，七)(1)驗證函數(shù)∞)滿足微分方程y’’+y’+y=ex；(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：(1)由題設，結(jié)合冪級數(shù)可以逐項求導的性質(zhì)，先求y’(x)和y’’(x)，即由于是因此y(x)是微分方程y’’+y’+y=ex的解．(2)通過求(1)中微分方程來得到y(tǒng)(x)，該微分方程相應的齊次方程的特征方程為λ2+λ+1=0，從而特征根為因此原方程相應的齊次線性方程的通解為設原方程特解為y*=Aex。則代入原方程有，3Aex=ex，即綜上，原方程通解為由題設(1)可知y(0)=1，y’(0)=0，可解出．C2=0，所以冪級數(shù)的和函數(shù)為知識點解析：暫無解析21、證明方程lnx=x-e在(1，e2)內(nèi)必有實根．標準答案：令F(x)＝lnx-x+e，則F(x)在[1，e2]上連續(xù)，且F(1)=ln1-1-e＝-1+e＝-(1-e)＞0，F(xiàn)(e2)=lne2-e2+e＝2-e2+e＜0因此由零值點定理可知F(x)在(1，e2)內(nèi)一定有零值點，即方程lnx＝x-e在(1，e2)內(nèi)必有實根知識點解析：暫無解析22、考慮下列各種情形用泊松分布近似二項分布b(n，p)的精度：(1)n=10，p=0．1；(2)n=10，p=0．01；(3)n=50，p=0．1；(4)n=50，p=0．01．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設曲線y=f(x)在原點處與y=sinx相切，假設a，b為非零常數(shù)，則()A、a+bB、a一bC、D、標準答案：A知識點解析：y=f(x)在原點處與y=sinx相切，則y=f(0)=sin0=0，y’(0)=f’(0)=(sinx)’|x=0=1．故選(A)．2、[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則x=0是f(x)=的()A、可去間斷點B、跳躍間斷點C、無窮間斷點D、連續(xù)點標準答案：B知識點解析：由于，所以x=0是f(x)的跳躍間斷點．3、設在x=2處條件收斂，則處()A、絕對收斂B、條件收斂C、必發(fā)散D、斂散性由{an}確定標準答案：A知識點解析：由在x=2處條件收斂可知x=2是其收斂區(qū)間的端點，則收斂半徑R=2，而冪級數(shù)收斂半徑相同，則(x一1)n的收斂區(qū)間內(nèi)，故冪級數(shù)處絕對收斂。故選(A)．4、已知f(x，y)在(0，0)點連續(xù)，且，則()A、f’x(0，0)=f’x(0，0)=0B、f’x(0，0)=f’x(0，0)=1C、f’x(0，0)和f’x(0，0)都不存在D、f’x(x，y)在(0，0)點不可微標準答案：B知識點解析：根據(jù)可微的定義，得f(x，y)在(0，0)可微，且f(0，0)=1，f’x(0，0)=f’y(0，0)=1．5、設A為m×n矩陣，r(A)=n，則下列結(jié)論不正確的是()A、若AB=0，則B=0B、對任意矩陣B，總有r(AB)=r(B)C、存在B，使BA=ED、對任意矩陣B，總有r(BA)=r(B)標準答案：D知識點解析：對于選項(A)，因為AB=0r(A)+r(B)≤n，又r(A)=n，所以r(B)=0，所以B=0．排除．對于(B)，因為A為m×n矩陣，r(A)=n，所以A為列滿秩矩陣，于是存在m階可逆矩陣P，n階矩陣Q，使故排除(C)，故選(D)．事實上，若取A=(1，一2，1)T，B=(1，1，1)，則r(A)=1，r(BA)=0=／=r(B)=1．6、設n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩r(A)=n一3，且α1，α2，α3為此方程組的三個線性無關的解，則下列向量組中可以作為Ax=0的基礎解系的是()A、一α1，2α2，3α3+α1一α2B、α1+α2，α2一α3，α3+α1C、α1—2α2，3α3一α1，一3α3+2α2D、2α1+4α2，一2α2+α3，α3+α1標準答案：A知識點解析：因為r(A)=n—3，所以基礎解系所含向量的個數(shù)為n一(n一3)=3；又由解的性質(zhì)可知，四組備選答案中任何一組的三個向量均為解向量，現(xiàn)在要驗證的是哪組解向量線性無關．又因為選項(A)中(一α1，2α2，3α3+α1一α2)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)C．=一6≠0，故r(一α1，2α2，3α3+α1一α2)一r(α1，α2，α3)=3．故選項(A)中的三個解向量線性無關．故選(A)．7、設二維隨機變量，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：利用二維正態(tài)分布的性質(zhì)得到aX+bY服從一維正態(tài)分布．又因為P{aX+bY≤1}=，所以E(aX+bY)=1，即α+2b=1．選項中只有D滿足此條件．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、標準答案：知識點解析：9、由方程所確定的函數(shù)z=z(x，y)在點(1，0，一1)處的全微分dz=________．標準答案：知識點解析：10、設u=u(x，y，z)具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，且滿足=x2+y2+z2，又設S為曲面：x2+y2+z2=2az(a＞0)，取外側(cè)，則標準答案：知識點解析：由高斯公式，以Ω表示S所圍的球域，有11、標準答案：知識點解析：12、設隨機變量X～N(0，σ2)，Y～N(0，4σ2)，且P{X≤1，Y≤一2)=則P{X＞1，y＞一2}=________．標準答案：知識點解析：令{X≤1}=A，{Y≤一2)=B，三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導，且f(1)=0，求證：至少存在一點ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．標準答案：將欲證結(jié)論中的ξ換成x得(2x+1)f(x)+xf’(x)=0，即上式兩端求不定積分得ln|f(x)|=一2x一ln|x|+ln|c|，即c=xe2xf(x)，故可構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=ze2xf(x)，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且F(0)=0，F(xiàn)(1)=e2f(1)=0，所以F(x)在閉區(qū)間[0，1]上滿足羅爾定理的條件，從而至少存在一點ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，故(2ξ+1)f(ξ)+ξ知識點解析：暫無解析14、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)二階可導，且f"(0)＞0，求證：∫01f(x3)dx≥標準答案：令x0=，將f(t)在x0點泰勒展開f(t)=f(x0)+f’(x0)(t一x0)+(t一x0)2，令t=x3得f(x3)+f(x0)+f’(x0)(x3一x0)+(x3一x知識點解析：暫無解析15、設z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2y2—z2+18W=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點和極值．標準答案：因為x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0，所以2xdx—6xdy—6ydx上20ydy—2ydz—2zdy—2zdz=0從而解得知識點解析：暫無解析16、利用變換化為變量y與t的微分方程．(Ⅰ)求新方程的表達式；(Ⅱ)求原方程的通解．標準答案：(Ⅱ)方程(*)對應的齊次方程的特征方程為λ2一λ一6=0，所以特征根為λ1=一2，λ2=3．方程(*)對應的齊次方程的通解為Y=c1e一2t+c1e3t．設y*=tae3t是方程(*)的一個特解，代入方程(*)可得所以是方程(*)的一個特解，因此方程(*)的通解為知識點解析：暫無解析17、已知實二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩陣A滿足且ξ1=(1，2，1)T，ξ2=(1，一1，1)T是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系．(Ⅰ)用正交變換將二次型f化為標準形，寫出所用的正交變換和所得的標準形；(Ⅱ)求出該二次型．標準答案：(Ⅰ)由題意知A的特征值為λ1=λ2=0，λ3=2．設ξ3為A的屬于特征值λ3=2的特征向量，則ξ3分別ξ1，ξ2正交，記ξ3=(t1，t2，t3)T，有故可取t1=1，t2知識點解析：暫無解析18、設A，B均為n階非零矩陣，且A2+A=0，B2+B=0，證明：(Ⅰ)A，B有公共特征值λ=一1；(Ⅱ)若AB=BA=0，ξ1，ξ2分別是A，B屬于特征值λ=一1的特征向量，則ξ1，ξ2線性無關．標準答案：本題主要考查特征值與特征向量的定義、性質(zhì)與求法，是一道有難度的綜合題．(I)由A2+A=0，得(A+E)A=0．又A非零，從而方程組(A+E)x=0有非零解，于是|A+E|=0，即|一E一A|=0，所以λ=一1是矩陣A的特征值．同理可證λ=一1也是矩陣B的特征值．(Ⅱ)由ξ1是矩陣A屬于λ=一1的特征向量，即λξ1=一ξ1．等式兩邊左乘B，得BAξ1=一Bξ1．知識點解析：暫無解析19、設Y1，Y2，Y3相互獨立且都服從參數(shù)為p的0一1分布，令求(Ⅰ)(X1，X2)的聯(lián)合概率分布；(Ⅱ)當p為何值時，E(X1，X2)最?。畼藴蚀鸢福?Ⅰ)X1，X2的可能取值為一1，1，令Y=Y1+Y2+Y3，則Y～B(3，p)，于是P(X1=一1，X2=一1)=P(Y≠1，Y≠2)=P(Y=0)+P(Y=3)=(1一p)3+p3，P(X1=一1，X2=1)=P(Y≠1，y=2)=P(Y一2)=3pundefinedundefined知識點解析：暫無解析20、(Ⅰ)設X1，X2，…，Xn是來自概率密度為的總體的樣本，θ未知，求的最大似然估計值；(Ⅱ)設X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，1)的樣本，μ未知，求θ=P{X＞2)的最大似然估計值．標準答案：(Ⅰ)先求θ的最大似然估計，似然函數(shù)為得θ的最大似然估計值為由于為單調(diào)增函數(shù)，故由最大似然估計的不變性知U的最大似然估計值為(Ⅱ)已知μ的最大似然估計為，而θ=P{X＞2)=1一P(X≤2)=1—Ф(2一μ)為單調(diào)增函數(shù)，由最大似然估計的不變性得θ=P{X＞2)的最大似然估計值為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當χ→0時，下列無窮小量中階數(shù)最高的是A、－1．B、tanχ－sinχ．C、4χ2＋5χ3－χ5．D、－cos2χ．標準答案：D知識點解析：分別考察每個無窮小量的階數(shù)．由4χ2＋5χ3－χ5～4χ2(χ→O)，可知，選項A、C均是二階的．又由可知，B項是三階的．用泰勒公式考察D項．當t→0時有故D項是四階的．因此應選D．2、設f′(1)＝a，則數(shù)列極限I＝＝________．A、0．B、a．C、2a．D、a．標準答案：B知識點解析：這是已知導數(shù)求某數(shù)列的極限．若已知f′(b)＝a，可求得數(shù)列極限只要其中數(shù)列χn滿足χn＝O．為了用條件f′(1)＝a，將所求極限I改寫成求導數(shù)的形式．因此I＝f′(1).1－f(1).0＝a，因此選B．3、設f(χ)是周期為2的周期函數(shù)，且f(χ)＝f(χ)的傅里葉級數(shù)為(ancosnπχ＋bnsinnπχ)，則n≥1時，an＝_______．A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：這是求傅里葉系數(shù)的問題．若f(χ)以2l為周期，按公式取l＝1，得故選C．4、設f(χ)＝在χ＝0處二階導數(shù)存在，則常數(shù)a，b分別是A、a＝1，b＝1．B、a＝1，b＝．C、a＝1，b＝2．D、a＝2，b＝1．標準答案：B知識點解析：顯然有即f(χ)在χ＝0連續(xù)，先求出f′－(0)＝(χ2＋aχ＋1)′｜χ＝0＝af′＋(0)＝(eχ＋bsinχ2)′｜χ＝0＝(eχ＋2bχcosχ2)｜χ＝0＝1要求f′(0)f′＋(0)＝f′－(0)即a＝1．此時要求f〞(0)，f〞－＝(0)＝f〞＋(0)即2＝1＋2b，b＝．因此選B．5、設A是3階矩陣，特征值為1，－1，－2，則下列矩陣中可逆的是A、A＋E．B、A－E．C、A＋2E．D、2A＋E．標準答案：D知識點解析：根據(jù)性質(zhì)：λ是A的特征值A－λE不可逆．由1，－1，－2都是特征值，得到A－E，A＋E，A＋2E都不可逆．而－1／2不是特征值，A＋(1／2)E可逆，因此2A＋E＝2[A＋(1／2)E]可逆．6、已知向量組α1，α2，α3和β1，β2，β3，β4都是4維實向量，其中α1，α2，α3線性無關，每個βi都是與α1，α2，α3都正交的非零向量．則r(β1，β2，β3，β4)＝A、1．B、2．C、3．D、4．標準答案：A知識點解析：構(gòu)造矩陣A＝(α1，α2，α3)，則βi都是與α1，α2，α3正交說明βi都是4元方程組ATχ＝0的解．再由α1，α2，α3線性無關，得r(AT)＝r(A)＝3，于是ATχ＝0的解集合的秩為1，從而r(β1，β2，β3，β4)＝1．7、已知隨機變量X1～，X2～，且X1與X2獨立．記A＝{X1＝1}，B＝{X2＝1}，C1＝{X1X2＝1}，C2＝{X1X2＝－1}，則A、A，B，C1相互獨立，A，B，C2相互獨立．B、A，B，C1相互獨立，A，B，C2兩兩獨立．C、A，B，C1兩兩獨立，A，B，C2相互獨立．D、A，B，C1兩兩獨立，A，B，C2兩兩獨立．標準答案：D知識點解析：由題設條件計算得P(A)＝P(B)＝P(C1)＝P(C2)＝0．5，P(A)P(B)P(C1)＝0．125＝P(A)P(B)P(C2)，P(AB)＝P(AC1)＝P(BC1)＝P(AC2)＝P(BC2)＝0．25，P(ABC1)＝0．25，P(ABC2)＝0，由此驗證知D項正確．應選D．8、設總體X的方差存在，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，其樣本均值和樣本方差分別為，S2，則EX2的矩估計量是A、S2＋B、C、D、標準答案：B知識點解析：根據(jù)矩估計量的定義來選擇正確的選項．由于EX2＝DX＋(EX)2，而DX與EX的矩估計量分別是所以EX2的矩估計量為故選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知函數(shù)y(χ)可微(χ＞0)且滿足方程y(χ)－1＝∫1χdt(χ＞0)則y(χ)＝_______．標準答案：y＝．知識點解析：這是含變限積分的方程．先將原方程兩邊求導，轉(zhuǎn)化為常微分方程得在原方程中令χ＝1得y(1)＝1．于是原方程與初值問題等價．這是齊次方程，令u＝得由y(1)＝1得c＝－1，代入u＝得y＝(χ＞0)．10、設有擺線L：(－π≤θ≤π)，則L繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積A＝_______．標準答案：知識點解析：這是由參數(shù)方程給出的曲線．由于χ′(θ)＝1－cosθ，y′(θ)＝sinθ，則按旋轉(zhuǎn)面面積計算公式，可得該旋轉(zhuǎn)面的面積11、設z＝，其中f(u，v)是連續(xù)函數(shù)，則dz＝________．標準答案：[f(χy2，v)dv](y2dχ＋2χydy)．知識點解析：這是一元函數(shù)z＝∫0t[∫0uf(u，v)dv]dv與二元函數(shù)t＝χy2的復合函數(shù)，由一階全微分形式不變性12、設L為曲線｜χ｜＋｜y｜＝1，則∫L｜χ｜ds＝________．標準答案：知識點解析：L是正方形的邊界線，如圖，因L關于χ，y軸對稱，被積函數(shù)關于y與χ均為偶函數(shù)，記L1為L的第一象限部分，則13、已知A是3階矩陣，A的特征值為1，2，3．則(A*)*的最大特征值為________．標準答案：18．知識點解析：｜A｜＝1×2×3＝6，于是A*的特征值為6，3，2，｜A*｜＝36．則(A*)*的特征值為6，12，18，最大的是18．14、設隨機變量X的概率密度為f(χ)＝記事件A＝{X≤1}，對X進行4次獨立觀測，到第四次事件A剛好出現(xiàn)兩次的概率就為q，則q＝_______．標準答案：知識點解析：由密度函數(shù)定義求出K的值：K＝，三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設函數(shù)f(χ)在χ＝1的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有＝－4．(Ⅰ)求f(1)，及f′(1)；(Ⅱ)若又設f〞(1)存在，求f〞(1)．標準答案：(Ⅰ)由條件知ln[f(χ＋1)＋1＋3sin2χ]＝0f(χ＋1)＋3sin2χ]＝f(1)＋0＝0(1)＝0．又在χ＝0的某空心鄰域內(nèi)f(χ＋1)＋3sin2χ≠0，現(xiàn)利用等價無窮小因子替換：當χ→0時。(Ⅱ)由f〞(1)f(χ)在χ＝1的某鄰域內(nèi)可導知識點解析：暫無解析16、設z＝z(χ，y)是由9χ2－54χy＋90y2－6yz－z2＋18＝0確定的函數(shù)，(Ⅰ)求z＝z(χ，y)一階偏導數(shù)與駐點；(Ⅱ)求z＝z(χ，y)的極值點和極值．標準答案：(Ⅰ)利用一階全微分形式不變性，將方程求全微分即得18χdχ－54(ydχ＋χdy)＋180ydy－6zdy－6ydz－2zdz＝0，即(18χ－54y)dχ＋(180y－54χ－6z)dy－(6y＋2z)dz＝0．從而為求隱函數(shù)z＝z(χ，y)的駐點，應解方程組②可化簡為χ＝3y，由③可得z＝30y－9χ＝3y，代入①可解得兩個駐點χ＝3，y＝1，z＝3與χ＝－3，y＝－1，z＝－3．(Ⅱ)z＝z(χ，y)的極值點必是它的駐點．為判定z＝z(χ，y)在兩個駐點處是否取得極值，還需求z＝z(χ，y)在這兩點的二階偏導數(shù)．注意，在駐點P＝(3，1，3)，Q＝(－3，－1，－3)處，＝0由(3y＋z)＝9χ－27y在駐點P，Q處再由(3y＋z)＝90y－27χ－3z在駐點P，Q處(3y＋z)＝90，于是可得出在P點處因AC＝B＝＞0，且A＝＞0，故在點(3，1)處z＝z(χ，y)取得極小值χ(3，1)＝3．在Q點處因AC－B2＝＞0,且A＝－＜0，故在點(－3，－1)處z＝z(χ，y)取得極大值z(－3，－1)＝－3．知識點解析：暫無解析17、(Ⅰ)求級數(shù)的收斂域；(Ⅱ)求證：和函數(shù)S(χ)＝定義于[0，＋∞)且有界．標準答案：(Ⅰ)令t＝，問題轉(zhuǎn)化為求冪級數(shù)的收斂域．先求收斂令t＝，我們考察冪級數(shù)antn，其中an＝．由(Ⅱ)為證當χ∈[0，＋∞)時級數(shù)收斂，且和函數(shù)S(χ)在[0，＋∞)有界，自然的想法是給出級數(shù)一般項的估計0≤≤Mn(χ∈[0，＋∞))，只要Mn收斂就可得出結(jié)論．為了在[0，＋∞)上估計e-nχ，我們求f(χ)＝χ2e-nχ在[0，＋∞)上的最大值：由f′(χ)＝e-nχ(2χ－nχ2)＝χe-nχ因為收斂，所以在[0，＋∞)收斂，且S(χ)在[0，＋∞)上有界．知識點解析：暫無解析18、設有一容器由平面z＝0，z＝1及介于它們之間的曲面S所圍成．過χ軸上點(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z軸的平面與該立體相截得水平截面D(z)，它是半徑r(z)＝的圓面，若以每秒u0體積單位的均勻速度往該容器注水，并假設開始時容器是空的．(Ⅰ)寫出注水過程中t時刻水面高度z＝z(t)與相應的水體積V＝V(t)之間的關系式，并求出水面高度z與時間t的函數(shù)關系；(Ⅱ)求水表面上升速度最大時的水面高度；(Ⅲ)求灌滿容器所需時間．標準答案：(Ⅰ)由截面已知的立體體積公式可得t時刻容器中水面高度z(t)與體積V(t)之間的關系是V(t)＝∫0z(t)S(z)dz，其中S(z)是水面D(z)的面積，即S(z)＝π[z2＋(1－z)2]．現(xiàn)由＝v0及z(0)＝0，求z(t)．將上式兩邊對t求導，由復合函數(shù)求導法得這是可分離變量的一階微分方程，分離變量得S(z)dz＝v0dt，即[z2＋(1－z)2]dz＝dt．(*)兩邊積分并注意z(0)＝0，得(Ⅱ)求z取何值時取最大值．已求得(*)式即因此，求取最大值時z的取值歸結(jié)為求f(z)＝z2＋(1－z)2在[0，1]上的最小值點．由f′＝2z－2(1－z)＝2(2z－1)f(z)在z＝在[0，1]上取最小值．故z＝時水表面上升速度最大．(Ⅲ)歸結(jié)求容器的體積，即因此灌滿容器所需時間為(秒)．或由于灌滿容器所需時間也就是z＝1時所對應的時間t，于是在(**)中令z＝1得知識點解析：暫無解析19、設A(2，2)，B(1，1)，г是從點A到點B的線段下方的一條光滑定向曲線y＝y(tǒng)(χ)，且它與圍成的面積為2，又φ(y)有連續(xù)導數(shù)，求曲線積分I＝∫г[πφ(y)cosπχ－2πy]dχ＋[φ′(y)sinπχ－2π]dy．標準答案：把該曲線積分分成兩部分，其中一個積分的被積表達式易求原函數(shù)，另一積分可添加輔助線后用格林公式．為用格林公式求I2，添加輔助線．г與圍成區(qū)域D，并構(gòu)成D的負向邊界，于是又的方程：y＝χ，χ∈[1，2]，則(－2πy)dχ＝∫12－2πχdχ＝－πχ2｜12＝－3π．因此I2＝∫г(－2πy)dχ＝－4π－(－2πy)dχ＝－4π＋3π＝－π．故I＝I1＋I2＝π．知識點解析：暫無解析20、設α1＝(1，3，5，－1)T，α2＝(2，7，a，4)T，α3＝(5，17，－1，7)T．①若α1，α2，α3線性相關，求a．②當a＝3時，求與α1，α2，α3都正交的非零向量α4．③設a＝3，α4是與α1，α2，α3都正交的非零向量，證明α1，α2，α3，α4可表示任何一個4維向量．標準答案：①α1，α2，α3線性相關，則r(α1，α2，α3)＜3．得a＝－3．②與α1，α2，α3都正交的非零向量即齊次方程組的非零解，解此方程組：解得α4＝c(19，－6，0，1)T，c≠0．③只用證明α1，α2，α3，α4線性無關，此時對任何4維向量α，有α1，α2，α3，α4，α線性相關，從而α可以用α1，α2，α3，α4線性表示．由①知，α＝3時，α1，α2，α3線性無關，只用證明α4不能用α1，α2，α3線性表示．用反證法，如果α4能用α1，α2，α3線性表示，設α4＝c1α1＋c2α2＋c3α3，則(α4，α4)：(α4，c1α1＋c2α2＋c3α3)＝c1(α4，α1)＋c2(α4，α2)＋c3(α4，α3)＝0，得α4＝0，與α4是非零向量矛盾．知識點解析：暫無解析21、已知三元二次型χTAχ的平方項系數(shù)都為0，α＝(1，2，－1)T滿足Aα＝2α．①求χTAχ的表達式．②求作正交變換χ＝Qy，把χTAχ化為標準二次型．標準答案：①設A＝，則條件Aα＝2α即得2a－b＝2，a－c＝4，b＋2c＝－2，解出a＝b＝2，c＝－2．此二次型為4χ1χ2＋4χ1χ3－4χ2χ3．②先求A特征值｜λE－A｜＝＝(λ－2)2(λ＋4)．于是A的特征值就是2，2，－4．再求單位正交特征向量組．屬于2的特征向量是(A－2E)χ＝0的非零解．A－2E＝得(A－2E)χ＝0的同解方程組：χ1－χ2－χ3＝0．顯然β1＝(1，1，0)T是一個解，設第二個解為β2＝(1，－1，c)T(這樣的設定保證了兩個解是正交的!)，代入方程得c＝2，得到屬于特征值2的兩個正交的特征向量β1，β2．再把它們單位化：記η1＝β1／‖β1‖＝β1，η2＝β2／‖β2‖β2．屬于－4的特征向量是(A＋4E)χ＝0的非零解．求出β3＝(1，－1，－1)T是一個解，單位化：記η3＝β3／‖β3‖＝β3．則η1，η2，η3是A的單位正交特征向量組，特征值依次為2，2，－4．作正交矩陣Q＝(η1，η2，η3)，則Q-1AQ是對角矩陣，對角線上的元素為2，2，－4．作正交變換χ＝Qy，它把f(χ1，χ2，χ3)化為2y12＋2y22－4y32．知識點解析：暫無解析22、設離散型二維隨機變量(X，Y)的取值為(χi，yj)(i，j＝1，2)，且P{X＝χ2}＝，P{Y＝y(tǒng)1｜X＝χ2}＝，P{X＝χ1｜Y＝y(tǒng)1}＝，試求：(Ⅰ)二維隨機變量(χ，Y)的聯(lián)合概率分布；(Ⅱ)X與Y的相關系數(shù)ρXY；(Ⅲ)條件概率P{Y＝y(tǒng)j｜X＝χ1}，j＝1，2．標準答案：(Ⅰ)因X與Y獨立，所以有P{Y＝y(tǒng)1}＝P{Y＝y(tǒng)1｜X＝χ2}＝，P{Y＝y(tǒng)2}＝1－P{Y＝y(tǒng)1}＝；P{X＝χ1，Y＝y(tǒng)1}＝P{X＝χ1}P{Y＝y(tǒng)1}＝，P{X＝χ1，Y＝y(tǒng)2}＝P{X＝χ1}P{Y＝y(tǒng)2}＝，P{X＝χ2，Y＝y(tǒng)1}＝P{X＝χ2}P{Y＝y(tǒng)1}＝，P{X＝χ2，Y＝y(tǒng)2}＝P{X＝χ2}P{Y＝y(tǒng)2}＝，或P{X＝χ2，Y＝y(tǒng)2}＝1－．于二是(X，Y)的聯(lián)合概率分布為(Ⅱ)由(Ⅰ)知X與Y獨立，因此它們的相關系數(shù)ρXY＝0．(Ⅲ)因X與Y獨立，所以P{Y＝y(tǒng)j｜X＝χ1}＝P{Y＝y(tǒng)j}，j＝1，2，于是有P{Y＝y(tǒng)1｜X＝χ1}＝P{y＝y(tǒng)1}＝，P{Y＝y(tǒng)2｜X＝χ1}＝P{y＝y(tǒng)2}＝．知識點解析：暫無解析23、設χ1，χ2，…，χn是來自總體X的簡單隨機樣本，X的概率密度為f(χ)＝，其中λ＞0，a＞0為已知參數(shù)．記Y＝．(Ⅰ)求λ的矩估計量和最大似然估計量；(Ⅱ)求Y的數(shù)學期望EY的最大似然估計量標準答案：令EX＝，得A的矩估計量樣本的似然函數(shù)L(χ1，χ2，…，χn；λ)＝取對數(shù)lnL＝nlnλ－λ(χi－a)，令解得λ＝，從而λ的最大似然估計量．由于EY是λ的單調(diào)函數(shù)，根據(jù)最大似然估計的不變性，故EY的最大似然估計量為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設x≠0，若f(x)在x=0處可導且導數(shù)不為零，則k為()．A、3B、4C、5D、6標準答案：C知識點解析：因為f(x)在x=0處可導，所以k-2=3，即k=5，選(C)．2、曲線的漸近線條數(shù)為()．A、3B、2C、1D、0標準答案：A知識點解析：3、設y=y(x)為微分方程2xydx+(x2一1)dy=0滿足初始條件y(0)=1的解，則為()．A、一ln3B、ln3C、D、標準答案：D知識點解析：令P(x，y)=2xy，Q(x，y)=x2一1，因為所以2xydx+(x2一1)dy=0為全微分方程．由2xydx+(x2一1)dy=0，得2xydx+x2dy—dy=0，整理得d(x2y—y)=0，通解為x2y一y=C．由初始條件y(0)=1得C=一1，從而特解為y(x)=，于是應選D4、設f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，且，則()．A、f(x，y)在(0，0)處不可偏導B、f(x，y)在(0，0)處可偏導但不可微C、fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)處可微分D、fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)處可微分標準答案：D知識點解析：由得f(0，0)=1，因為一1～x2+y2，所以其中α為當(x，y)→(0，0)時的無窮小，于是△f=f(x，y)一f(0，0)=0×x+0×y+，故f(x，y)在(0，0)處可微，且fx’(0，0)=fy’(0，0)=0，選D5、設A為三階矩陣，其特征值為λ1=λ2=1，λ3=2，其對應的線性無關的特征向量為α1，α2，α3，令P=(α1一α2，2α1+α2，4α3)，則P-1AP=()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為α1，α2為λ1=λ2=1對應的線性無關的特征向量，所以α1一α2，2α1+α2仍為λ1=λ2=1對應的線性無關的特征向量，又4α3顯然是λ3=2對應的線性無關的特征向量，故P-1AP=應選B6、設α，β為四維非零的正交向量，且A=αβT，則A的線性無關的特征向量個數(shù)為()．A、1個B、2個C、3個D、4個標準答案：C知識點解析：令AX=λX，則A2X=λ2X，因為α，β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT.αβT=O，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0，因為α，β為非零向量，所以A為非零矩陣，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．因為4一r(OE—A)=4一r(A)=3，所以A的線性無關的特征向量是3個，選(C)．7、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F1(y)是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機變量的分布函數(shù)，則D(X)為()．A、0．36B、0.44C、0.64D、1標準答案：B知識點解析：設X1～E(1)，其密度函數(shù)為f1(x)=其分布函數(shù)為F1(x)=且E(X1)=D(X)=1，則E(X12)=D(X1)+[E(X1)]2=2.由E(x)=∫-∞+∞xf(x)dx=一0．2∫-∞+∞xf1(x)dx+1．6∫-∞+∞xf1(2x)dx=0．2E(X1)+0．4∫-∞+∞2xf1(2x)d(2x)=0．2E(X1)+0．4E(X1)=0．6，E(X2)=∫-∞+∞x2f(x)dx=0．2∫-∞+∞x2f1(x)dx+1．6∫-∞+∞x2f1(2x)dx=0．2E(X12)+0．2∫-∞+∞(2x)2f1(2x)d(2x)=0．2E(X12)+0．2E(X12)=0．8，得D(X)=E(X2)一[E(X)]2=0．8—0．36=0．44，選B8、學生考試成績服從正態(tài)分布N(μ，32)，任取36個學生的成績，平均成績?yōu)?0，則μ的置信度為0．95的置信區(qū)間為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、標準答案：2知識點解析：10、設函數(shù)y=y(x)由xy=∫0x｜ydt確定，則標準答案：一2知識點解析：x=0代入，得y=0．11、標準答案：知識點解析：因為為奇函數(shù)，所以12、y"一2y’一3y=e-x的通解為______．標準答案：知識點解析：特征方程為λ2一2λ—3=0，特征值為λ1=一1，λ2=3，則方程y”一2y’一3y=0的通解為y=C1ex+C2e3x．令原方程的特解為y0(x)=Axe-x，代入原方程得A=，于是原方程的通解為13、設總體X～N(0,σ2)，且X1，X2，…，X16為來自總體X的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量標準答案：t(5)知識點解析：因為Xi～N(0，σ2)(i=1，2，…，10)，所以(一1)iXi～N(0，10σ2)，三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)三階可導，且f(1)=1，f(2)=6．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’"(ξ)=9．標準答案：由得f(0)=0，f’(0)=2．作多項式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，則φ(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0，因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都滿足羅爾定理的條件，則存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0．又φ’(0)=0，由羅爾定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1,ξ2)，使得φ"(η1)=φ"(η2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得φ"(ξ)=0．而φ"’(x)=f"’(x)一9，所以f"’(ξ)=9．知識點解析：暫無解析15、設u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導，求：標準答案：由ex+ey=ez得知識點解析：暫無解析16、橢球面∑1是橢圓L：繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面∑2是由過點(4，0)且與橢圓L:相切的直線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成．(Ⅰ)求∑1及∑2的方程；(Ⅱ)求位于∑1及∑2之間的立體體積．標準答案：(Ⅰ)∑1：設切點坐標為(x0，y0)，則切線方程為，因為切線經(jīng)過點(4，0)，所以x0=1，切線方程為則∑2：(x一4)2=4(y2+z2)．(Ⅱ)∑1及∑2圍成的幾何體在yOz平面上的投影為Dyz：則知識點解析：暫無解析17、設(Ⅰ)用變換x=t2將原方程化為y關于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析18、計算曲面積分，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外側(cè)．標準答案：令∑0：x2+y2+z2=1，取外側(cè)，由∑及∑0構(gòu)成的幾何體為Ω，知識點解析：暫無解析19、設矩陣A滿足A(E-C-1B)TCT=E+A，其中,求矩陣A．標準答案：由A(E-C1B)TCT=E+A得A[C(E—C-1B)]T=E+A，即E+A=A(C—B)T，E=A[(C—B)一E]T，知識點解析：暫無解析20、設可對角化．(Ⅰ)求常數(shù)a；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣．標準答案：(Ⅰ)由|λE一A|==λ(λ一1)2=0得λ1=λ2=1，λ3=0．因為A可對角化，所以r(E—A)=1，(Ⅱ)將λ=1代入(λE-A)X=0中得(E-A)X=0，由E→A→得λ=1對應的線性無關的特征向量為α1=,α2=將λ=0代入(λE-A)X=0得AX=0，由得λ=0對應的線性無關的特征向量為取則P-1AP=知識點解析：暫無解析21、設隨機變量X的分布律為P{X=k}=p(1一p)k-1(k=1，2，…)，Y在1～k之間等可能取值，求P{Y=3}．標準答案：令Ak={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3)，P(B|A1)=P(B|A2)=0，由全概率公式得知識點解析：暫無解析22、設X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨立且都服從N(0，1)，Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求(Ⅰ)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0}．標準答案：因為X1，X2，…，Xn，獨立且都服從正態(tài)分布，所以Y1+Yn服從正態(tài)分布，E(Y1+Yn)=0知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、當x→0時，下列無窮小量中階數(shù)最高的是A、B、tanx－sinxC、4x2+5x3－x5D、－cos2x標準答案：D知識點解析：分別考察每個無窮小量的階數(shù)．由4x2+5x3－x5～4x2(x→0)，可知，(A)，(C)均是二階的．又由tanx－sinx=tanx(1－cosx)～x．x2=x3(x→0)，可知，(B)是三階的．用泰勒公式考察(D)．當t→0時有et=1+t+t2+o(t2)，cost=1－t2+t4+o(t4)，從而由=1－2x2+(－2x2)2+o(x4)，cos2x=1－(2x)2+(2x)4+o(x4)－cos2x=x4+o(x4)=x4+o(x4)(x→0)(D)是四階的．因此應選(D)2、考慮一元函數(shù)f(x)有下列四條性質(zhì)：①f(x)在[a，b]連續(xù)；②f(x)在[a，b]可積；③f(x)在[a，b]可導；④f(x)在[a，b]存在原函數(shù)．若用“PQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則A、①②④B、①④②C、③①②D、③④①標準答案：C知識點解析：由基本定理，我們應知道：f(x)在[a，b]可導f(x)在[a，b]連續(xù)因此，應選(C)．3、設u(x，Y)在點M0(x0，y0)處取極小值，并且均存在，則A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：偏導數(shù)實質(zhì)上是一元函數(shù)的導數(shù)，把二元函數(shù)的極值轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值．由一元函數(shù)取極值的必要條件可得相應結(jié)論．令f(x)=u(x，y0)x=x0是f(x)的極小值點(若f"(x0)=<0，則x=x0是f(x)的極大值點，于是得矛盾)同理，令g(y)=u(x0，y)y=y0是g(y)的極小值點因此，應選(A)4、設S為球面：x2+y2+z2=R2，則下列同一組的兩個積分均為零的是A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：注意第一類曲面積分有與三重積分類似的對稱性質(zhì)．因S關于yz平面對稱，被積函數(shù)x與xy關于x為奇函數(shù)被積函數(shù)x2關于x為偶函數(shù)特別要注意，第二類曲面積分有與三重積分不同的對稱性質(zhì)：因S關于yz平面對稱，被積函數(shù)x2對x為偶函數(shù)被積函數(shù)x對y為奇函數(shù)(這里設S取外側(cè))類似可得(這里仍設S取外側(cè))由上分析可知，，因此應選?5、已知，則代數(shù)余子式A21+A22=A、3B、6C、9D、12標準答案：B知識點解析：對行列式｜A｜按第2行展開，有2A21+2A22+A23+A24=9．構(gòu)造行列式則｜A｜和｜B｜第2行元素代數(shù)余子式相同．對｜B｜按第2行展開，又有21+A22+2A23+2A24=｜B｜=0．聯(lián)立①，②可得A21+A22=6．故選(B)．6、已知α1，α2，α3，α4是3維非零向量，則下列命題中錯誤的是A、如果α4不能由α1，α2，α3線性表出，則α1，α2，α3線性相關B、如果α1，α2，α3線性相關，α2，α3，α4線性相關，那么α1，α2，α4也線性相關C、如果α3不能由α1，α2線性表出，α4不能由α2，α3線性表出，則α1可以由α2，α3，α4線性表出D、如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，則α4可以由α1，α2，α3線性表出標準答案：B知識點解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正確．應選(B)．關于(A)：如果α1，α2，α3線性無關，又因α1，α2，α3，α4是4個3維向量，它們必線性相關，而知α4必可由α1，α2，α3線性表出．關于(C)：由已知條件，有(Ⅰ)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．若r(α2，α3)=1，則必有r(1，α2)=r(α1，α2，α3)，與條件(Ⅰ)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，從而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4線性表出．關于(D)：經(jīng)初等變換有(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2+α3)→(α1，α2，α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，從而r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)．因而α4可以由α1，α2，α3線性表出．7、已知隨機變量X的概率分布為P{X=k}=，其中λ>0，k=1，2，…，則EX為A、λB、λeλC、D、標準答案：D知識點解析：注意到該分布除a外與泊松分布僅差k=0這一項，故利用與泊松分布的關系求出常數(shù)a的值，然后再求EX．由故選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、曲線y=x2(－1)的全部漸近線方程是_______．標準答案：x=0，y=x+知識點解析：只有間斷點x=0，，于是有垂直漸近線x=0．再求于是有斜漸近線y=x+9、微分方程+4y=eos2x的通解為y=_______．標準答案：sin2x+C1cos2x+C2sin2x知識點解析：y"+4y=cos2x對應的齊次方程的特征方程是r2+4=0．它的兩個特征根為r1，2=±2i．因此對應的齊次方程的通解為y=C1cos2x+C2sin2x．λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，設非齊次方程的特解為y*=x(Acos2x+Bsin2x)，則(y*)’=x(－2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，(y*)"=－x(4Acos2x+4Bsin2x)－4Asin2x+4Bcos2x．將上兩式代入方程y"+4y=cos2x中，得－4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．比較上式系數(shù)得A=0，B=故原方程的通解為y=sin2x+C1cos2x+C2sin2x10、設L為曲線：則I=∫L(x2+3y+3z)ds=_______．標準答案：πa3知識點解析：由在L上y+z=0易寫出L的參數(shù)方程：11、若將柱坐標系中的三重累次積分I=zr2dz化為直角坐標系Oxyz中的三重累次積分(先對z，再對y最后對x積分)，則I=_______．標準答案：知識點解析：這是三重積分在柱坐標變換(x=rcosβ，y=rsinθ，z=z)后的累次積分．如下圖將Ω的柱坐標表示：變換為Oxyz中的直角坐標表示：于是12、已知二次曲面x2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a－2)yz=1是橢球面，則a的取值為_______．標準答案：知識點解析：二次曲面f=1是橢球面二次型f的特征值全大于0f是正定二次型順序主子式全大于0．由二次型矩陣有其順序主子式△1=1，△2==4－a2>0，△3=｜A｜=4－2a2>0，故當a∈時，順序主子式全大于0，即f正定13、在一次晚會上，有n(n≥3)對夫妻做一游戲，將男士與女士隨機配對，則夫妻配成對的期望值為_______．標準答案：1知識點解析：設有X對夫妻配成對，不妨固定男士，女士隨機選擇男士．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設f(x)連續(xù)，且滿足f(x)=(x－π)2－tf(x－t)dt，求f(x)．標準答案：這是含變限積分的方程，且被積函數(shù)又含參變量，所以先作變量替換，轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)不含參變量的情形．令s=x－t得①現(xiàn)把它轉(zhuǎn)化成微分方程問題．①式兩邊求導得②又①式中令x=π得f(π)=0．再對②求導得f"(x)+f(x)=2．在②中令x=π得f’(π)=0．于是問題轉(zhuǎn)化為求解初值問題其中y=f(x)．這是二階線性常系數(shù)方程，顯然有常數(shù)特解y*=2，于是通解為y=C1COSx+C2sinx+2．由解得C1=2，C1=0．因此y=f(x)=2cosx+2．知識點解析：暫無解析15、(Ⅰ)已知由參數(shù)方程確定了可導函數(shù)y=f(x)，求證：x=0是y=f(x)的極大值點．(Ⅱ)設F(x，y)在(x0，y0)某鄰域有連續(xù)的二階偏導數(shù)，且F(x0，y0)=(x0，y0=0，(x0，y0>0，(x0，y0)<0．由方程F(x，y)=0在x0的某鄰域確定的隱函數(shù)y=y(x)，它有連續(xù)的二階導，且y(x0)=y0，求證y(x)以x=x0．為極小值點．標準答案：(Ⅰ)先求y(0)：由x=arctant知，x=0t=0，x>0(<0)t>0(<0)．由y=ln(1－t2)－siny知，x=0y=－sinyy=0(y+siny)．因此y(0)=0，下面求并判斷它，在x=0鄰域的正負號．其中δ>0是充分小的數(shù)．因此x=0是y=f(x)的極大值點．(Ⅱ)由隱函數(shù)求導法知y’(x)滿足令x=x0，相應地y=y0，由F’x(x0，y0)=0，F(xiàn)’y(x0，y0)≠0得y’(x0)=0．將上式再對x求導，并注意y=y(x)即得再令x=x0，相應地y=y0，y’(x0)=0，得因此x=x0是y=y(x)的極小值點知識點解析：暫無解析16、設有一容器由平面z=0，z=1及介于它們之間的曲面S所圍成，過z軸上點(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z軸的平面與該立體相截得水平截面D(z)，它是半徑r(z)=的圓面