考研數(shù)學(xué)二（二重積分）模擬試卷1（共191題）

考研數(shù)學(xué)二（二重積分）模擬試卷1（共7套）（共191題）考研數(shù)學(xué)二（二重積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：積分域由兩部分組成(如圖1．5—1)．設(shè)將D=D1∪D2視為Y型區(qū)域，則故應(yīng)選(A)．2、二次積分f(x，y)dy寫成另一種次序的積分是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：改變積分次序的步驟是：①由原累次積分的上、下限寫出來表示為積分域D的聯(lián)立不等式，并作出D的草圖，原積分變成二重積分②按新的累次積分次序的要求寫出新的累次積分表達式．由已知積分的上、下限，可知積分域的不等式表示為：見圖1．5—2．則3、設(shè)平面區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若[ln(x+y)]3dxdy，[sin(x+y)]3dxdy，則I1，I2，I3的大小順序為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：在D內(nèi)，≤x+y≤1，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，4、累次積分f(x2+y2)dx(R＞0)化為極坐標(biāo)形式的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：積分域D為：見圖1．5—3．在極坐標(biāo)系下D可表示為：0≤r≤2Rsinθ，0≤θ≤故5、設(shè)平面區(qū)域D：(x-2)2+(y-1)2≤1，若比較I1=的大小，則有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、不能比較標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由二重積分的比較性質(zhì)，只需比較D上(x+y)2與(x+y)3的大小，即x+y與1的大小．從幾何的角度也就是考察圓域D與直線x+y=1的位置關(guān)系．因積分域D的圓心(2，1)到直線x+y=1的距離＞1(1為圓的半徑)，故閉域D在直線x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，從而在D上(x+y)2＜(x+y)3，則I1＜I2．6、設(shè)m和n為正整數(shù)，a＞0，且為常數(shù)，則下列說法不正確的是()A、當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時，xmyndxdy一定為0B、當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時，xmyndxdy一定為0C、當(dāng)m為奇數(shù)，n為奇數(shù)時，xmyndxdy一定為0D、當(dāng)m為偶數(shù)，n為偶數(shù)時，xmyndxdy一定為0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：(1)當(dāng)m和n中有且僅有一個為奇數(shù)時，(一1)m(一1)n=一1，從而積分為零；(2)當(dāng)m和n均為奇數(shù)時，(一1)m(一1)n=1，從而由于cosmψsinnψ為上的奇函數(shù)，故積分為零．總之，當(dāng)m和n中至少一個為奇數(shù)時，故答案選擇(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、二重積分ln(x2+y2)dxdy的符號為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：負(fù)號知識點解析：二重積分的積分值的符號由被積函數(shù)在積分域內(nèi)的正負(fù)號所確定．積分域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故ln(x2+y2)dxdy＜0．8、若f(x，y)為關(guān)于x的奇函數(shù)，且積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，則當(dāng)f(x，y)在D上連續(xù)時，必有f(x，y)dxdy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)關(guān)于x為奇函數(shù)(f(一x，y)=一f(x，y))或關(guān)于x為偶函數(shù)(f(一x，y)=f(x，y))，積分域D關(guān)于y軸對稱，D1表示D的位于y軸右方的部分，則有同理當(dāng)z=f(x，y)關(guān)于y為奇函數(shù)或偶函數(shù)，積分域D關(guān)于x軸對稱也有類似的結(jié)論．9、設(shè)D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2}，則二次積分=_____標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：被積函數(shù)的特點含有x2+y2的形式，且積分域是以原點為中心的圓環(huán)域，選用極坐標(biāo)計算較方便．10、由曲線y=lnx及直線x+y=e+1，y=0所圍成的平面圖形的面積可用二重積分表示為______，其值等于_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：得交點A(e，1)．所求平面圖形的面積為11、設(shè)f(x，y)ay，交換積分次序后則I=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：積分域D為：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲線y=e2x，y=ex與直線x=1的交點分別為(1，e2)與(1，e)．故12、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則f(x，y)dσ=________,其中D：x2+y2≤t2．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0，0)知識點解析：因被積函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D：x2+y2≤t2上是抽象函數(shù)，故無法用先求出重積分的方法去求極限，因此考慮：(1)用中值定理先去掉積分號再求極限；(2)用二次積分化分子為積分上限的函數(shù)．因f(x，y)在D：x2+y2≤t2上連續(xù)，由積分中值定理可知，在D上至少存在一點(ξ，η)=f(ξ，η)σ=πt2f(ξ，η)．因(ξ，η)在D：x2+y2≤t2上，所以當(dāng)t→0+時，(ξ，η)→(0，0)．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、計算其中D是由圓周x2+y2=4，x2+y2=1及直線y=0，y=x所圍的位于第一象限的閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖1．5—4所示，交換積分次序，得知識點解析：暫無解析22、記平面區(qū)域D={(x，y)|x|+|y|≤1)，計算如下二重積分：(1)其中f(t)為定義在(一∞，+∞)上的連續(xù)正值函數(shù)，常數(shù)a＞0，b＞0；(2)，常數(shù)λ＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)易見，積分區(qū)域D是邊長為的正方形，故其面積SD=2，因為積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，則由二重積分的性質(zhì)便有(2)因為積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，又分別關(guān)于Oy軸，Ox軸對稱；函數(shù)eλx一e-λx，eλy一e-λy分別關(guān)于x，y為奇函數(shù)，則由二重積分的性質(zhì)得知識點解析：暫無解析23、設(shè)p(x)在[a，b]上非負(fù)連續(xù)，f(x)與g(x)在[a，b]上連續(xù)且有相同的單調(diào)性，其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，判別I1=P(x)f(x)P(y)g(y)dxdy，I2=p(x)f(y)p(y)g(y)dxdy的大小，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于D關(guān)于x與y對稱，所以I1一I2又可以寫成因g(x)與f(x)的單調(diào)性相同，所以(f(x)-f(y))(g(x)一g(y))≥0，從而知I1一I2≤0，有I1≤I2．知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，且其中D由，x=1，y=2圍成，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、交換累次積分I的積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分I的積分限容易寫出其對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域σ=σ1∪σ2，它們可表示為顯然，平面區(qū)域σ的邊界曲線為拋物線與直線y=0，則σ1，σ2也可以寫為于是，累次積分I交換積分次序后為知識點解析：暫無解析26、交換累次積分J的積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分I的積分限容易寫出其對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域為σ=σ1∪σ2∪σ3，其中根據(jù)區(qū)域σ的圖形可知，σ的邊界曲線是由上半圓直線x=0與拋物線y=x一x2組成，故可用不等式表示為于是，累次積分I化為另一種先對y后對x的累次積分知識點解析：暫無解析27、(1)計算(2)當(dāng)x→1-時，求與等價的無窮大量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)要解決第二個問題，首先需要弄清楚以下幾個要點：①x→x0時，f(x)與g(x)為等價無窮大②無窮大量的表達形式眾多，有一種常用的形式：此題x→1-，故考慮用于是，根據(jù)第一問的提示，我們要湊出“[]”這種形式，故令即知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二重積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、其中D={(x，y)|x2+y2≤1)，則()A、c＜b＜aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1)，所以因此有c＞b＞a．2、設(shè)D：|x|+|y|≤1，則(|x|+y)dxdy=()A、0B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為D關(guān)于x，y軸都對稱，故ydxdy=0，且有3、累次積分∫01dx∫x1f(x,y)dy+∫12dy∫02-yf(x，y)dx可寫成()A、∫02dx∫x2-xf(x，y)dyB、∫01dy∫y2-yf(x,y)dxC、∫01dx∫x2-xf(x,y)dyD、∫01dy∫y2-yf(x，y)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：區(qū)域D1：0≤x≤1,x≤y≤1為直線x=0，y=x，y=1圍成的；區(qū)域D2：1≤y≤2，0≤x≤2一y為直線x=0，x+y=2，y=1圍成的．所以積分區(qū)域D=D1∪D2是由直線x=0，y=x，x+y=2圍成的，故原積分形式可寫成∫01dx∫x2-xf(x,y)dy．4、f(x，y)dy化為極坐標(biāo)系中的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由y=1+x2+(y一1)2=1(y≥1)，所以積分區(qū)域D是圓x2+(y—1)2≤1的右半圓在直線y=x上方的部分，于是，其極坐標(biāo)形式為5、設(shè)D由直線x=0，y=0，x+y=1圍成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，則f(x)dxdy=()A、2B、0C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx得∫01=(1一x)f(x)dx=0，于是=∫01dx∫01-xf(x)dy=∫01(1一x)f(x)dx=0．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，則原式=∫01dr∫02π(r2sin2θ+r2cos2θ).rdθ=∫01r3dr∫02πdθ=7、交換二次積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由已知有，所求積分區(qū)域為所圍成的區(qū)域，所以8、交換二次積分次序：f(x，y)dy+∫1edx∫lnx1f(x，y)dy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由已知有，所求積分區(qū)域為y=1，y=一x2+1，y=lnx所圍成的區(qū)域，所以9、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，a與m是常數(shù)且a＞0，將二次積分I=∫0ady∫0yem(a-x)f(x)dx化為定積分，則I=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0aem(a-x)f(x)(a-x)dx知識點解析：被積函數(shù)僅是z的函數(shù)，交換積分次序即可完成一次定積分．由二次積分的積分限可知D為：0≤x≤y，0≤y≤a，故I=∫0adx∫xaem(a-x)f(x)dy=∫0aem(a-x)f(x)(a一x)dx．10、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所圍成的平面閉區(qū)域，則標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：因積分域D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xf(y2)關(guān)于變量x是奇函數(shù)，故三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)11、證明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題看似是二重積分問題，事實上，用代換t=xy可將累次積分化為定積分．在∫01(xy)xydy中，視x為常數(shù)，令t=xy，dt=xdy,當(dāng)y從1變到1時，從0變到x，則于是也就是要證明一∫01ttlntdt=∫01ttdt，移項后就是要證明∫01tt(1+lnt)dt=0．事實上，tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故∫01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0．知識點解析：暫無解析12、設(shè)F(x，y)=在D=[a，b]×[c，d]上連續(xù)，求并證明：I≤2(M-m)，其中M和m分別是f(x，y)在D上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯見，I≤2(M一m)．知識點解析：暫無解析13、(1)設(shè)D=((x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d)，若fxy"與fyx"在D上連續(xù)，證明：(2)設(shè)D為xOy平面上的區(qū)域，若fxy"與fyx"都在D上連續(xù)，證明：fxy"與fyx"在D上相等．標(biāo)準(zhǔn)答案：=∫abdx∫cdfxy"(x，y)dy=∫abfx’(x,y)|cddx=∫ab[fx’(x，d)一fx’(x，c)]dx=f(x，d)|ab—f(x，c)|ab=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．同理，=∫cddy∫abfyx"(x,y)dx=f(b，d)一f(b，d)+f(a，c)一f(b，c)?結(jié)論成立．(2)用反證法．設(shè)P0(x0，y0)∈D，有fxy"(x0，y0)≠fyx"(x0，y0)．不妨設(shè)fxy"(x0，y0)一fyx"(x0，y0)＞0，由于當(dāng)P(x，y)∈U(P0，δ)時有fxy"(x，y)一fyx"(x，y)＞ε0．知識點解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：一方面，有知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：∫01ef(x)dx∫01e-f(y)≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、求V(t)=((t一1)y+1)dxdy的最大值，其中Dt={(x，y)|x2+y2≤1，≤y≤1)，2≤t≤3．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、變換二次積分的積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5—5，則知識點解析：暫無解析18、變換二次積分的積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5—6則知識點解析：暫無解析19、變換二次積分的積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5—7，D=D1+D2，其中知識點解析：暫無解析20、變換二次積分的積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5—8，D故知識點解析：暫無解析21、計算二重積分其中D是第一象限中由直線y=x和曲線y=x3所圍成的封閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、計算二重積分其中D={(x，y)|0≤y≤x，x2+y2≤2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、求二重積分其中D是由曲線直線y=2，y=x所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、求其中D={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域：min{x，y}=其中D1={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤3}，D2={(x，y)|0≤y≤1，0≤x≤y)．所以知識點解析：暫無解析25、計算．其中a，b＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、計算ln(1+x2+y2)dxdy，其中D：x2+y2≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、計算(x2+y2)dxdy，其中D由y=一x，x2+y2=4，y=所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x一1)2+y2=1，y≥0．y=一x與x2+y2=4的交點為y=一x與y=的交點為(0，0)．x2+y2=4與y=的交點為(2，0)．如圖1．5—9所示．知識點解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(x，y)=，其中D為正方形域0≤x≤1，0≤y≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增，證明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)I=(b一a)∫abf(x)g(x)dx—∫abf(x)dx∫abg(x)dx=∫abdy∫abf(x)g(x)dx一∫abf(x)dx∫abg(y)dy其中D：a≤x≤b，a≤y≤b．因為D關(guān)于y=x對稱，所以由f(x)，g(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，得2I≥0，即I≥0，故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b-a)∫abf(x)g(x)dx．知識點解析：暫無解析31、標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)a＞0，Da={(x，y)|一a≤x≤a，一a≤y≤a)，則當(dāng)a→+∞時，Da→D，從而知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二重積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=(xy3一1)dσ等于()A、2B、一2C、7cD、一7c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：如圖1．5—1所示，用曲線y=一sinx(一≤x≤0)將區(qū)域D劃分為D1和D2兩部分，則D1關(guān)于x軸對稱，D2關(guān)于y軸對稱，所圍成矩形的面積相等，故SD=π，故應(yīng)選(D)．2、已知I=，則I=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：積分域由兩部分組成(如圖1．5—2)．設(shè)故應(yīng)選(A)．3、二次積分∫02dxf(x，y)dy寫成另一種次序的積分是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：改變積分次序的步驟是：①由原累次積分的上、下限寫出來表示為積分域D的聯(lián)立不等式，并作出D的草圖，原積分變成二重積f(x，y)dxdy．②按新的累次積分次序的要求寫出新的累次積分表達式．由已知積分的上、下限，可知積分域的不等式表示為：4、設(shè)平面區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=[sin(x+y)]3dxdy，則I1，I2，I3的大小順序為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：在D內(nèi)，≤x+y≤1，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是5、累次積分f(x2+y2)dx(R＞0)化為極坐標(biāo)形式的累次積分為()A、∫0πdθ∫02Rsinθf(r2)rdrB、dθ∫02Rcosθf(r2)rdrC、dθ∫02Rsinθf(r2)rdrD、∫0πdθ∫02Rcosθf(r2)rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：6、設(shè)平面區(qū)域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比較I1=(x+y)3dσ的大小，則有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、不能比較標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由二重積分的比較性質(zhì)，只需比較D上(x+y)2與(x+y)2的大小，即x+y與1的大?。畯膸缀蔚慕嵌纫簿褪强疾靾A域D與直線x+y=1的位置關(guān)系．因積分域D的圓心(2，1)到直線x+y=1的距離d=＞1(1為圓的半徑)，故閉域D在直線x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，從而在D上(x+y)2＜(x+y)2，則I1＜I2．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、二重積分ln(x2+y2)dxdy的符號為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：負(fù)號知識點解析：二重積分的積分值的符號由被積函數(shù)在積分域內(nèi)的正負(fù)號所確定．積分域D：｜x｜+｜y｜≤1．因0≤x2+y2≤(｜x｜+｜y｜)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故ln(x2+y2)dxdy＜0．8、若f(x，y)為關(guān)于x的奇函數(shù)，且積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，則當(dāng)f(x，y)在D上連續(xù)時，必有(x，y)dxdy=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)關(guān)于x為奇函數(shù)(f(一x，y)=一f(x，y))或關(guān)于x為偶函數(shù)(f(一x，y)=f(x，y))，積分域D關(guān)于y軸對稱，D1表示D的位于y軸右方的部分，則有同理當(dāng)z=f(x，y)關(guān)于y為奇函數(shù)或偶函數(shù)，積分域D關(guān)于x軸對稱也有類似的結(jié)論．9、設(shè)D={(x，y)｜1≤x2+y2≤e2}，則二次積分=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(e2+1)知識點解析：被積函數(shù)的特點含有x2+y2的形式，且積分域是以原點為中心的圓環(huán)域，選用極坐標(biāo)計算較方便．．10、由曲線y=lnx及直線x+y=e+1，y=0所圍成的平面圖形的面積可用二重積分表示為____________，其值等于____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、設(shè)I=f(x，y)dy，交換積分次序后則I=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：積分域D為：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲線y=e2x，y=ex與直線x=1的交點分別為(1，e2)與(1，e)．故三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、計算∫01dy∫3y3dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、計算∫01dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、計算∫01dxx3siny3dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、計算∫01dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、計算∫02dx(x2+y2)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、計算∫01dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、計算∫12dx∫0x．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、計算，其中D是由圓周x2+y2=4，x2+y2=1及直線y=0，y=x所圍的位于第一象限的閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、計算．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域如圖1．5—5所示，交換積分次序，得知識點解析：暫無解析21、記平面區(qū)域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，計算如下二重積分：(1)I1=，其中f(t)為定義在(一∞，+∞)上的連續(xù)正值函數(shù)，常數(shù)a＞0，b＞0；(2)I2=(eλx一e一λy)dσ，常數(shù)λ＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)易見，積分區(qū)域D是邊長為的正方形，故其面積SD=2，因為積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，則由二重積分的性質(zhì)便有(2)因為積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，又分別關(guān)于Oy軸，Ox軸對稱；函數(shù)eλx一e一λx，eλy一e一λy分別關(guān)于x，y為奇函數(shù)，則由二重積分的性質(zhì)得知識點解析：暫無解析22、設(shè)p(x)在[a，b]上非負(fù)連續(xù)，f(x)與g(x)在[a，b]上連續(xù)且有相同的單調(diào)性，其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，判別I1=(x)f(y)p(y)g(y)dxdy的大小，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：因g(x)與f(x)的單調(diào)性相同，所以[f(x)一f(y)][g(x)一g(y)]≥0，從而知I1一I2≤0，有I1≤I2．知識點解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=x+yf(u，v)dudv，其中D由y=，x=1，y=2圍成，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：這是一道綜合題目，表面看來很復(fù)雜，只要分析清楚了并不難．首先可以知道積分f(u，v)dudv，兩邊再求二重積分就可能解決了．24、交換累次積分I的積分次序：I=．標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分I的積分限容易寫出其對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域σ=σ1∪σ2，它們可表示為知識點解析：暫無解析25、交換累次積分I的積分次序：I=．標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分I的積分限容易寫出其對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域為σ=σ1∪σ2∪σ3，其中知識點解析：暫無解析26、(1)計算∫0+∞dx，(2)當(dāng)x→1一時，求與∫0+∞dt等價的無窮大量．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、證明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題看似是二重積分問題，事實上，用代換t=xy可將累次積分化為定積分．在∫01(xy)xydy中，視x為常數(shù)，令t=xy，dt=xdy，當(dāng)y從0變到1時，t從0變到x，則于是也就是要證明一∫01ttlntdt=∫01ttdt，移項后就是要證明∫01tt(1+lnt)dt=0．事實上，tt(1+lnt)dt=etlntt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故∫01tt(1+lny)dt=一etlint｜01=0．知識點解析：暫無解析28、設(shè)F(x，y)=在D=[a，b]×[c，d]上連續(xù)，求I=F(x，y)dxdy，并證明：I≤2(M一m)，其中M和m分別是f(x，y)在D上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然I≤2(M—m)．知識點解析：暫無解析29、(1)設(shè)D=((x，y)｜a≤x≤b，c≤y≤d}，若f"xy與f"yx在D上連續(xù)，證明：(2)設(shè)D為xOy平面上的區(qū)域，若f"xy與f"yx都在D上連續(xù)，證明：f"xy與f"yx在D上相等．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)f"xy(x，y)dxdy=∫abdx∫cdf’xy(x，y)=∫abf’x(x，y)∫cddx=∫ab[f’x(x，d)一f’x(x，c)]dx=f(x，d)｜ab—f(x，c)｜ab=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．同理，f"yx(x，y)dxdy=∫cddy∫abf"yx(x，y)dx=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一f(b，c)．結(jié)論成立．(2)用反證法．設(shè)存在P0(x0，y0)∈D，有f"xy(x0，y0)≠f"yx(x0，y0)．不妨設(shè)f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0，由于[f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]=f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0．由極限的保號性，ε0＞0，δ＞0，當(dāng)P(x，y)∈U(P0，δ)時有f"xy(x，y)一f"yx(x，y)＞ε0．由(1)有，[f"xy(x，y)一f"yx(x，y)]dxdy=0，這與上述結(jié)論矛盾，故f"xy(x，y)與f"yx(x，y)在D上相等．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二重積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)D是有界閉區(qū)域，下列命題中錯誤的是A、若f(χ，y)在D連續(xù)，對D的任何子區(qū)域D0均有(χ，y)dσ＝0，則f(χ，y)≡0((χ，y)∈D)．B、若f(χ，y)在D可積，f(χ，y)≥0但不恒等于0((χ，y)∈D)，則f(χ，y)dσ＞0．C、若f(χ，y)在D連續(xù)，f(χ，y)dσ＝0，則f(χ，y)≡0((χ，y)∈D)D、若f(χ，y)在D連續(xù)，f(χ，y)＞0((χ，y)∈D)，則f(χ，y)dσ＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：設(shè)(χ，y)是D中某點，令f(χ，y)＝則在區(qū)域D上f(χ，y)≥0且不恒等于0，但f(χ，y)dσ＝0，因此選B．2、比較下列積分值的大?。浩渲蠨由χ＝0，y＝0，χ＋y＝，χ＋y＝1圍成，則I1，I2，I3之間的大小順序為A、I＜1I2＜I3．B、I＜3I2＜I1．C、I＜1I3＜I2．D、I＜3I1＜I2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：在區(qū)域D上，≤χ＋y≤1．當(dāng)≤t≤1時，lnt≤sint≤t，從而有(χ，y)∈D時，因此選C．3、J＝dχdy，i＝1，2，3，其中D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤R2}，D2＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2R2}，D3＝{(χ，y)｜｜χ｜≤R，｜y｜≤R}．則J1，J2，J3之間的大小順序為A、J1＜J2＜J3．B、J2＜J3＜J1．C、J1＜J3＜J2．D、J3＜J2＜J1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：D1，D2是以原點為圓心，半徑分別為R，的圓，D3是正方形，顯然有D1D2．因此C成立．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、設(shè)D為兩個圓：χ2＋y2≤1及(χ－2)2＋y2≤4的公共部分，則I＝y(tǒng)dχdy＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．知識點解析：暫無解析5、設(shè)D為y＝χ2及χ＝－1，y＝1所圍成的區(qū)域，則I＝dχdy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)6、計算dχdy，其中D為曲線y＝lnχ與兩直線y＝0，y＝(e＋1)－χ所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝lnχ與y＝(e＋1)－χ的交點是(e，1)，D如圖8．4所示，在Oχy坐標(biāo)系中選擇先χ后Y的積分順序(D不必分塊)得知識點解析：暫無解析7、計算I＝dχdy，其中D是以0(0，0)，A(1，1)，B(－1，1)為頂點的三角形區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：D如圖8．5所示，D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)對χ為偶函數(shù)．I＝2dχdy，其中D1＝D∩{χ≥0}．選擇先χ后y的積分順序知識點解析：暫無解析8、計算dχdy，其中D：1≤χ2＋y2≤9，．標(biāo)準(zhǔn)答案：令χ＝rcosθ，y＝rsinθ，則D：1≤r≤3，．于是知識點解析：暫無解析9、計算｜sin(χ－y)｜dχdy，其中D：0≤χ≤y≤2π．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用對稱法，如圖8．6－(d)，D與D*關(guān)于y＝χ對稱．知識點解析：暫無解析10、計算(χ＋y)2dχdy，其中D：｜χ｜＋｜y｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D關(guān)于χ，y軸均對稱，它在第一象限部分記為D1，如圖8．7．知識點解析：暫無解析11、計算dχdy，其中D：χ≥0，y≥0，χ＋y≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：極坐標(biāo)變換χ＝rcosθ，y＝rsinθ．知識點解析：暫無解析12、設(shè)a＞0為常數(shù)，求積分I＝χy2dσ，其中D：χ2＋y2≤aχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：D是圓域(如圖8．9)：作極坐標(biāo)變換χ＝rcosθ，y＝rsinθ，并由D關(guān)于χ軸對稱，χ軸上方部分為D1：0≤θ≤，0≤r≤acosθ．于是知識點解析：暫無解析13、設(shè)D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2χ＋2y}，求I＝(χ＋y2)dχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用直角坐標(biāo)系中的公式I＝4v2dudv，其中D1＝｜(u，v)｜0≤u≤，0≤v≤是D的第一象限部分．因此I＝4π＋π＝5π．知識點解析：暫無解析14、設(shè)D＝{(χ，y)｜χ＋y≥1，χ2＋y2≤1}，求I＝(χ2＋y2)dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：直接用極坐標(biāo)變換(χ＝rcosθ，y＝rsinθ)．D的極坐標(biāo)表示是知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖8．11所示．原式＝知識點解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖8．12所示．原式＝知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖8．13所示．當(dāng)χ∈[0，t2]時，≤t(t＞0)，于是知識點解析：暫無解析18、極坐標(biāo)系下的累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：在直角坐標(biāo)系Oθr中畫出D′的草圖(如圖8．14)．原積分＝f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ．由r＝得r2＝sin2θ．當(dāng)0≤0≤時0＝arcsinr2；當(dāng)時0≤π－2θ≤，r2＝sin2θ＝sin(π－2θ)．于是，π－2θ＝arcsinr2，θ＝arcsinr2．因此原積分＝f(rcosθ，rsinθ)rdθ．知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖8．15所示．知識點解析：暫無解析20、ln(1＋χ2＋y2)dy(R＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖8．16所示．知識點解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：用分部積分法．知識點解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：D是圓域的一部分，如圖8．18所示，則I＝作極坐標(biāo)變換，圓周方程為(y＋1)2＋χ2＝1，即χ2＋y2＝－2y，即r＝－2sinθ，積分區(qū)域D：－≤θ≤0，0≤r≤－2sinθ，于是知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(u)可導(dǎo)，f(0)＝0，f′(0)＝，I(t)＝，求I(t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：t＞0．化二重積分為定積分．作極坐標(biāo)變換知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(χ)在[a，b]連續(xù)，且f(χ)＞0，∫abf(χ)dχ＝A．D為正方形區(qū)域：a≤χ≤b，a≤y≤b，求證：(Ⅰ)I＝(Ⅱ)I≥(b－a)(b－a＋A)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)D關(guān)于直線y＝χ對稱，利用二重積分的有關(guān)性質(zhì)：相加得由初等不等式：(Ⅱ)由不等式et＞1＋t(t＞0)及題(Ⅰ)＝(b－a)2＋(b－a)∫abf(χ)dχ＝(b－a)(b－a＋A)．知識點解析：暫無解析25、將f(χ，y)dχdy化為累次積分，其中D為χ2＋y2≤2aχ與χ2＋y2≤2ay，的公共部分(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖8．5，χ2＋y2＝2aχ與χ2＋y2＝2ay是兩個圓，其交點為O(0，0)，P(a，a)．因此，若先對y積分，就有若先對χ求積分，則知識點解析：暫無解析26、設(shè)D是由曲線＝1(a＞0，b＞0)與χ軸，y軸圍成的區(qū)域，求I＝y(tǒng)dχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：先對χ積分．區(qū)域D如圖8．6所示．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二重積分）模擬試卷第5套一、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、I＝｜χy｜dχdy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析2、設(shè)D：0≤χ≤1，0≤y≤1，則I＝＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析3、設(shè)I1＝(χ4＋y4)dσ，I2＝(χ4＋y4)dσ，I3＝2χ2y2dσ則這三個積分的大小順序是________＜________＜________．標(biāo)準(zhǔn)答案：I3＜I1＜I2．知識點解析：暫無解析4、設(shè)D為圓域χ2＋y2≤χ，則I＝＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析5、設(shè)D是Oχy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)為頂點的三角形區(qū)域，則I＝dχdy＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：8．知識點解析：暫無解析二、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)6、在極坐標(biāo)變換下將f(χ，y)dσ化為累次積分，其中D為：χ2＋y2≤2ax與χ2＋y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于兩個圓在極坐標(biāo)下的表達式分別為：r＝2acosθ與r＝2asinθ，交點P處的極坐標(biāo)是，于是連接OP將區(qū)域D分成兩部分(見圖8．13)，則或者先對θ積分，則知識點解析：暫無解析7、計算二重積分I＝，其中D由y＝χ與y＝χ4圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：D的圖形如圖8．14所示，雖然D的邊界不是圓弧，但被積函數(shù)是r＝，選用極坐標(biāo)變換方便．在極坐標(biāo)變換下，D的邊界方程是從而知識點解析：暫無解析8、求I＝，其中D為y＝，y＝χ及χ＝0所同成區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖8．15．被積函數(shù)只含y，先對χ積分，雖然積分區(qū)域要分塊，但計算較簡單．若先對y積分，則求積分要費點功夫．選擇先對χ積分，將D分塊：知識點解析：暫無解析9、求I＝dχdY，其中D是由拋物線y2＝χ，直線χ＝0，y＝1所同成．標(biāo)準(zhǔn)答案：dy的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故dy積不出來，因此選先χ后y的順序．積分區(qū)域D如圖8．16，于是知識點解析：暫無解析10、求I＝χ[1＋yf(χ2＋y2)]dχdy，D由y＝χ3，y＝1，χ＝－1圍成，f是連續(xù)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D的圖形如圖8．17．這里被積函數(shù)χy(χ2＋y2)關(guān)于(χ，Y)為偶函數(shù)，而D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ*3}與D′1＝{(χ，y)｜－1≤χ≤0，χ3≤y≤0}關(guān)于原點對稱因此I＝－．知識點解析：暫無解析11、求I＝dχdy，其中D：｜χ｜≤1，0≤y≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分塊表示為｜y－χ2，因此要將D分塊，用分塊積分法．又D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于χ為偶函數(shù)，記D1＝{(χ，y)｜(χ，y)∈D，χ≥0，y≥χ2}，D2＝{(χ，y)｜(χ，y)∈D，χ≥0，y≤χ2}，知識點解析：暫無解析12、設(shè)D由拋物線y＝χ2，y＝4χ2及直線y＝1所圍成．用先χ后y的順序，將I＝f(χ，y)dχdy，化成累次積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖8．18所示，將D分成χ≥0與χ≤0兩部分才是先積χ后積y的類型，于是用分塊積分法即得知識點解析：暫無解析13、求I＝χydχdy，D由曲線χ2＋y2＝2χ＋2y－1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：D是圓域：(χ－1)2＋(y－1)2≤1，見圖8．19．作平移變換u＝χ－1，v＝y(tǒng)－1，則其中D′＝{(u，v)｜u2＋v2≤1}．知識點解析：暫無解析14、交換累次積分的積分順序：I＝．標(biāo)準(zhǔn)答案：先對χ積分，就是從區(qū)域D的左側(cè)邊界χ＝y(tǒng)*到右側(cè)邊界χ＝y(tǒng)＋2．兩邊界線的交點為(1，一1)與(4，2)，得I＝知識點解析：暫無解析15、將極坐標(biāo)變換后的二重積分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次積分交換積分順序：I＝(r，θ)dr，其中F(r，θ)＝fFcosθ，rsinθ)r．標(biāo)準(zhǔn)答案：r＝2acosθ是圓周χ2＋y2＝2aχ，即(χ－a)2＋y2＝a2，因此D的圖形如圖8．21所示．為了先θ后r的積分順序，將D分成兩塊，如圖8．21虛線所示，D＝D1∪D2，知識點解析：暫無解析16、計算累次積分：I＝∫01dχ∫1χ+1ydy＋∫12dχ∫χχ+1ydy＋∫23dχ∫χ3ydy．標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分限知：0≤χ≤1時1≤y≤χ＋；1≤χ≤2時χ≤y≤χ＋1；2≤χ≤3時χ≤y≤3，于是積分區(qū)域D如圖8．23所示，因此D可表示為D＝{(χ，y)｜1≤y≤3，y－1≤χ≤y}，則原式＝＝4．知識點解析：暫無解析17、將f(rcosθ，rsinθ)rdr寫成直角坐標(biāo)系下先對y后對χ積分的累次積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：D的極坐標(biāo)表示：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即≤θ≤π，r2≤rsinθ，即χ2＋y2≤y，χ≤0，則D為左半圓域：χ2＋y2≤y，χ≤0，即χ2＋，χ≤0．先對y后對χ積分，D：，于是原式＝知識點解析：暫無解析18、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D為扇形所以原式＝知識點解析：暫無解析19、計算(a＞0)，其中D是由圓心在點(a，a)、半徑為a且與坐標(biāo)軸相切的圓標(biāo)準(zhǔn)答案：由于圓的方程為：(χ－a)2＋(y－a)2＝a2，區(qū)域D的邊界所涉及的圓弧為y＝a－，所以知識點解析：暫無解析20、計算二重積分：｜｜χ＋y｜－2｜dχdy，其中D：0≤χ≤2，－2≤y≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖8．24，用直線y＝－χ＋2，y＝－χ將D分成D1，D2與D3．于是知識點解析：暫無解析21、計算下列二重積分：(Ⅰ)χydσ，其中D是由曲線r＝sin2θ(0≤θ≤)圍成的區(qū)域；(Ⅱ)χydσ，其中D是由曲線y＝，χ＋(y－1)2＝1與y軸圍成的在右上方的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)積分域D見圖8．25．D的極坐標(biāo)表示是：0≤0≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)選用極坐標(biāo)系，所涉及兩個圓的極坐標(biāo)方程為r＝1與r＝2sinθ，交點的極坐標(biāo)為(1，)(見圖8．26)，于是積分域D的極坐標(biāo)表示為D＝{(r，θ)｜，1≤r≤2sinθ)，則知識點解析：暫無解析22、求下列二重積分：(Ⅰ)I＝，其中D為正方形域：0≤χ≤1，0≤y≤1；(Ⅱ)I＝｜3χ＋4y｜dχdy，其中D：χ2＋y2≤1；(Ⅲ)I＝y(tǒng)dχdy，其中D由直線χ＝－2，y＝0，y＝2及曲線χ＝－所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)盡管D的邊界不是圓弧，但由被積函數(shù)的特點知選用極坐標(biāo)比較方便．D的邊界線χ＝1及y＝1的極坐標(biāo)方程分別為(Ⅱ)在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分塊表示，若用分塊積分法較復(fù)雜．因D是圓域，可用極坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)化為考慮定積分的被積函數(shù)是分段表示的情形．這時可利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)．作極坐標(biāo)變換χ＝rcosθ，y＝rsinθ，則D：0≤θ≤2π，0≤r≤1．從而其中sinθ0＝，cosθ0＝．由周期函數(shù)的積分性質(zhì)，令t＝θ＋θ0就有(Ⅲ)D的圖形如圖8．27所示．若把D看成正方形區(qū)域挖去半圓D1，則計算D1上的積分自然選用極坐標(biāo)變換．若只考慮區(qū)域D，則自然考慮先χ后y的積分順序化為累次積分．若注意D關(guān)于直線y＝1對稱，選擇平移變換則最為方便．作平移變換u＝χ，v＝y(tǒng)－1，注意曲線χ＝－，即χ2(y－1)2＝1，χ≤0，則D變成D′．D′由u＝－2，v＝－1，v＝1，u2＋v2＝1(u≤0)圍成，則知識點解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(χ)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且恒大于零，證明：∫f(χ)dχ∫≥(b－a)2標(biāo)準(zhǔn)答案：利用積分變量的改變，可得其中D＝{(χ，y)｜a≤χ≤b，a≤y≤b}．并且利用對稱性(D關(guān)于y＝χ對稱)，可得知識點解析：暫無解析24、(Ⅰ)記Ω(R)＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤R2}，I(R)＝(Ⅱ)證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)首先用極坐標(biāo)變換求出I(R)，然后求極限I(R)．作極坐標(biāo)變換χ＝rcosθ，y＝rsinθ得(Ⅱ)因為在(－∞，＋∞)可積，則通過求∫-RRdχ再求極限的方法行不通，因為∫dχ積不出來(不是初等函數(shù))．但可以估計這個積分值．為了利用dχdy，我們?nèi)园岩辉瘮?shù)的積分問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的重積分問題．其中D(R)＝{(χ，y)｜｜χ｜≤R，｜y｜≤R}．顯然I(R)≤，又)＝π，于是知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(χ)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，證明：∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝[∫01f(χ)dχ]2．標(biāo)準(zhǔn)答案：先將累次積分表成二重積分，則有I＝∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝f(χ)f(y)dχdy，其中D＝{χ，y)｜0≤χ≤1，χ≤y≤1}，如圖8．28，它與D′＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ}關(guān)于y＝χ對稱．于是知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（二重積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)m和n為正整數(shù)，a＞0，且為常數(shù)，則下列說法不正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：①當(dāng)m和n中有且僅有一個為奇數(shù)時，(一1)m(一1)n=一1，從而積分為零；②當(dāng)m和n均為奇數(shù)時，(一1)m(一1)n=1，從而2、a=(x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由于D={(x，y)｜x+y≤1}，所以因此有c＞b＞a．3、設(shè)D：｜x｜+｜y｜≤1，則(｜x｜+y)dxdy=()A、0B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：4、化為極坐標(biāo)系中的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由y=1+得x2+(y一1)2=1(y≥1)，所以積分區(qū)域D是圓x2+(y一1)2≤1的右半圓在直線y=x上方的部分，于是，其極坐標(biāo)形式為5、設(shè)D由直線x=0，y=0，x+y=1圍成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，則f(x)dxdy=()A、2B、0C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx得∫01(1一x)f(x)dx=0，于是f(x)dxdy=∫01)dx∫01一xf(x)dy=∫01(1一x)f(x)dx=0．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則I==____________，其中D：x2+y2≤t2。標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0，0)知識點解析：因被積函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D：x2+y2≤t2上是抽象函數(shù)，故無法用先求出重積分的方法去求極限，因此考慮：①用中值定理先去掉積分號再求極限；②用二次積分化分子為積分上限的函數(shù)．因f(x，y)在D：x2+y2≤t2上連續(xù)，由積分中值定理可知，在D上至少存在一點(ξ，η)使f(x，y)dσ=f(ξ，η)σ=πt2f(ξ，η)．因(ξ，η)在D：x2+y2≤t2上，所以當(dāng)t→0+時，(ξ，η)→(0，0)．于是f(ξ，η)=f(0，0)。7、(x2+y2)dxdy=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，則原式=∫01dr∫02π(r2sin2θ+r2cos2θ)．rdθ=∫01r3dr∫02πdθ=．8、交換二次積分次序：∫01dyf(x，y)dx=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫04dxf(x，y)dy知識點解析：由已知有，所求積分區(qū)域為y=，x=y2所圍成的區(qū)域，所以．9、交換二次積分次序：∫01dxf(x，y)dy+∫1edx∫lnx1f(x，y)dy=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01dyf(x，y)dx知識點解析：由已知有，所求積分區(qū)域為y=1，y=一x2+1，y=lnx所圍成的區(qū)域，所以10、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，a與m是常數(shù)且a＞0，將二次積分I=∫0ady∫0yem(a一x)f(x)dx化為定積分，則I=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0aem(a一x)f(x)(a一c)dx知識點解析：被積函數(shù)僅是x的函數(shù)，交換積分次序即可完成一次定積分．由二次積分的積分限可知D為：0≤x≤y，0≤y≤a，故I=∫0adx∫xaem(a一x)f(x)dy=∫0aem(a一x)f(x)(a一x)dx．11、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所圍成的平面閉區(qū)域，則I=xf(y2)dσ=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：因積分域D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xf(y2)關(guān)于變量x是奇函數(shù)，故xf(y2)dσ=0。三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)12、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：∫01ef(x)dx∫01e一f(y)dy≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、求V(t)=[(t一1)y+1]dxdy的最大值，其中Dt={(x，y)｜x2+y2≤1，一≤y≤1}，2≤t≤3。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、變換二次積分的積分次序：。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、變換二次積分的積分次序：。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、變換二次積分的積分次序：。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5—8所示，D=D1+D2，其中知識點解析：暫無解析17、變換二次積分的積分次序：。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、計算二重積分，其中D是第一象限中由直線y=x和曲線y=x3所圍成的封閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、計算二重積分，其中D={(x，y)｜0≤y≤x，x2+y2≤2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=知識點解析：暫無解析20、求二重積分，直線y=2，y=x所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、求min{x，y}dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤3，0≤y≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域：min{x，y