考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共231題）

考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共231題）考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，f’(0)=1，則=()．A、e-1B、eC、e2D、e3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：=ef’(0)=e，選(B)2、設(shè)=-1，則在x=a處()．A、可導(dǎo)，f’(0)=0B、可導(dǎo)，且f’(0)=-1C、可導(dǎo)，且f’(0)=2D、不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由=-1，根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x-a｜＜δ時，有＜0，從而有f(x)3、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：取f(x)=，(A)不對；取f(x)=cosx，顯然=1≠0，(B)不對；取f(x)=x，顯然=1，(C)不對，應(yīng)選(D)事實上，取ε==A，所以存在X>0，當(dāng)x>X時，｜f’(x)-A｜<，從而f’(x)>當(dāng)x>X時，f(x)-f(X)=f’(ξ)(x-X)>(x-X)(X<ξf(X)+(x-X)，兩邊取極限得=+∞，應(yīng)選(D)二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：4／3知識點解析：5、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：10f(a)f’(a)知識點解析：因為f(x)在x=a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)，于是=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．6、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、=_______(其中a為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：π／4知識點解析：令I(lǐng)=則2I=8、設(shè)f(x，y)可微，且f’1(-1，3)=-2，f’2(-1，3)=1，令z=f(2x-y，)，則dz｜(1，3)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-7dx+3dy知識點解析：則dz｜(1，3)=-7dx+3dy．9、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、設(shè)y=y(x)過原點，在原點處的切線平行于直線y=2x+1，又y=y(x)滿足微分方程y"-6y’+9y=e3x，則y(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2xe3x+x2e3x知識點解析：由題意得y(0)=0，y’(0)=2，y"-6y’+9y=e3x的特征方程為λ2-6λ+9=0，特征值為λ1=λ2=3，令y"-6y’+9y=e3x的特解為y0(x)=ax2e3x，代入得a=故通解為y=(C1+C2x)e3x+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，則y(x)=2xe3x+x2e3x．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、確定正數(shù)a，b，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然b=1，且=2，故a=1．知識點解析：暫無解析14、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=x2，F(xiàn)’(x)=2x≠0(a，整理得，再由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得知識點解析：暫無解析16、當(dāng)0＜x＜時，證明：＜sinx＜x．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x-sinx，f(0)=0，f’(x)=1-cosx＞0(0＜x＜)，由得f(x)＞0(0＜x＜)，即當(dāng)0＜x＜時，sinx＜x；令g(x)=sinx-，g(0)=g()=0，g"(x)=-cosx＜0(0＜x＜)，即g(x)在(0，)內(nèi)上凸，由得g(x)＞0(0＜x＜)，故當(dāng)0＜x＜時，＜sinx．知識點解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、當(dāng)x≥0時，f(x)=x，設(shè)g(x)=當(dāng)x≥0時，求∫0xf(t)g(x-t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xf(t)g(x-t)dt∫x0f(x-u)g(u)(-du)=∫0xf(x-u)g(u)du，(1)當(dāng)0≤x≤時，∫0xf(t)g(x-t)dt=∫0x(x-u)sinudu=x-sinx(2)當(dāng)x>時，∫0xf(t)g(x-t)dt=(x-u)sinudu=x-1，于是∫0xf(t)g(x-t)dt=知識點解析：暫無解析20、求標(biāo)準(zhǔn)答案：｜lnx｜d(1nx)=∫-11｜x｜dx=2∫01xdx=1．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)連續(xù)，證明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，則F’(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)]dt=∫0xF(t)dt，∫0xf(t)(x-t)dt=x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt=xF(x)-∫0xtdF(t)dt=xF(x)-tF(t)｜0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt命顥得證．知識點解析：暫無解析22、求擺線(0≤t≤2π)的長度．標(biāo)準(zhǔn)答案：ds=知識點解析：暫無解析23、設(shè)z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=f’1exsiny+2xf’2．=f’1excosy+exsiny(f"11excosy+2yf"12)+2x(f"21excosy+2yf"22)=f’1excosy+f"11e2xsin2y+2ex(ysiny+xcosy)f"12+4xyf"22知識點解析：暫無解析24、計算二重積分(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤x+y+1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x+y=u，則，于是有，變量分離得，兩邊積分得u-arctanu=x+C，所以原方程的通解為y-arctan(x+y)=C知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)=sin2(x-t)dt，則當(dāng)z→0時，g(x)是f(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價的無窮小D、等價無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：故g(x)是f(x)的高階無窮小，應(yīng)選(A)2、設(shè)f’(x0)f"(x0)=0，f"’(x0)>0，則下列正確的是()．A、f’(x0)是f(x)的極大值B、f(x0)是f(x)的極大值C、f(x0)是f(x)的極小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為f"’(x0)>0，所以存在δ>0，當(dāng)0<｜x-x0｜<δ時，>0，從而當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時，f"(x)<0；當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時，f"(x)>0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點，選(D)3、在曲線y=(x-1)2上的點(2，1)處作曲線的法線，由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域為D(y>0)，則區(qū)域D繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：過曲線y=(x-1)2上點(2，1)的法線方程為y=x+2，該法線與x軸的交點為(4，0)，則由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為V=π∫12(x-1)4dx+π∫24，選(D)二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)4、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：當(dāng)x→0時，5、設(shè)f(x)一階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=1，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：6、曲線y=x+的斜漸近線為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x知識點解析：由，得曲線y=z+的斜漸近線為y=x．7、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)=+∫01xf(x)dx，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令∫01xf(x)dx=k，則f(x)=+k，xf(x)=+kx，兩邊積分得∫01xf(x)dx=∫01dx+∫01kxdx即k=，所以k=，從而f(x)=．9、設(shè)z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：z=f(x+y，y+z，z+x)兩邊求x求偏導(dǎo)得解得10、(x2+xy-x)dxdy=_______，其中D由直線y=x，y=2x及x=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：7／24知識點解析：(x2+xy-x)dxdy=∫01dx∫x2x(x2+xy-x)dy=∫0111、微分方程y2dx+(x2-xy)dy=0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令，代入原方程得，兩邊積分得u-lnu-lnx-lnC=0，解得y=三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：因為x→0+時，所以知識點解析：注解該題考查等價無窮小求極限的方法，當(dāng)x→0常用的等價無窮小有：(1)x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ex-1～ln(1+x)；(2)1-cosx～，1-cosax～(3)(1+x)a-1～ax(4)ax-1～xlna．14、設(shè)(x-3sin3x+ax-2+b)=0，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：由馬克勞林公式得知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)連續(xù)，且對任意的x，y∈(-∞，+∞)有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x=y=0時，f(0)=2f(0)，于是f(0)]=0．對任意的x∈(-∞，+∞)，知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0．知識點解析：由-f’(x)lnx+f’(x)lna=0，或[f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna]’=0，輔助函數(shù)為φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna．17、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)=f(ξ)=f(2)-2f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由xf’(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得=0．從而=0，輔助函數(shù)為φ(x)=令φ(x)=則φ(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(1)=φ(2)=f(2)-f(1)，由羅爾定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)y’=arctan(x-1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01y(x)dx=xy(x)｜01-∫01xarctan(x-1)2dx=y(1)-∫01(x-1)arctan(x-1)2d(x-1)-∫01arctan(x-1)2dx知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx=∫ab(a+b-x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫abf(x)dx∫abf(a+b-t)(-dt)=∫abf(a+b-t)dt=∫abf(a+b-x)dx．知識點解析：暫無解析22、曲線y=x2(x≥0)上某點處作切線，使該曲線、切線與x軸所圍成的面積為1／12，求切點坐標(biāo)、切線方程，并求此圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點坐標(biāo)為(a，a2)(a>0)，則切線方程為y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，由題意得S=，解得a=1，則切線方程為y=2x-1，旋轉(zhuǎn)體的體積為V=π∫01x4dx-(2x-1)2dx=知識點解析：暫無解析23、設(shè)z=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=rcosθ,y=rsinθ，則F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫01rf(r2)dr，因為f(x)連續(xù)，所以F’(t)=2πtf(t2)且F’(0)=0，于是F"(0)==2πf(0)=2π．知識點解析：暫無解析25、求微分方程y2dx+(2xy+y2)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y2dx+(2xy+y2)dy=0得所以原方程的通解為y2(y+3x)=C知識點解析：暫無解析26、在上半平面上求一條上凹曲線，其上任一點P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ的長度的倒數(shù)(Q為法線與x軸的交點)，且曲線在點(1，1)處的切線與z軸平行．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲線為y=y(x)，該曲線在點P(x，y)的法線方程為令y=0，得X=x+yy’，該點到x軸法線段PQ的長度為由題意得，即yy"=1+y’2．令y’=p，則，兩邊積分得，由y(1)=1，y’(1)=0得C1=0，所以，變量分離得，兩邊積分得=±x+C2，由y(1)=1得C2=兩式相加得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)可導(dǎo)，則當(dāng)△x→0時，△y-dy是△x的()．A、高階無窮小B、等價無窮小C、同階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為f(x)可導(dǎo)，所以f(x)可微分，即△y=dy+o(△x)，所以△y-dy是△x的高階無窮小，選(A)2、設(shè)f(x)dx=x2+C，則∫xf(1-x2)dx等于()．A、(1-x2)2+CB、(1-x2)2+CC、2(1-x2)2+CD、-2(1-x2)2+C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：∫xf(1-x2)dx=∫f(1-x2)d(1-x2)=(1-x2)2+C，選(B)3、設(shè)區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=sin3(x+y)dxdy，則()A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜I3＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由≤x+y≤1得[ln(x+y)]3≤0，于是I1=[ln(x+y)]3dxdy≤0；當(dāng)≤x+y≤1時，由(x+y)3≥sin3(x+y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，應(yīng)選(B)4、設(shè)y=y(x)為微分方程2xydx+(x2-1)dy=0滿足初始條件y(0)=1的解，則y(x)dx為()．A、-ln3B、ln3C、ln3D、1／2ln3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由2xydx+(x2-1)dy=0得=0，積分得ln(x2-1)+lny=lnC，從而y=由y(0)=1得C=-1，于是y=故，選(D)二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：4／π知識點解析：6、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0且f’(0)=b，若F(x)=在x=0處連續(xù)，則A=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a+b知識點解析：因為F(x)在x=0處連續(xù)，所以A=a+b．7、曲線在點(0，1)處的法線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-2x+1知識點解析：在點(0，1)處t=0，，則對應(yīng)點處法線的斜率為-2，所以法線方程為y-1=-2(x-0)，即y=-2x+18、設(shè)f(x，y)滿足=2，f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，則f(x，y)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2+xy+1知識點解析：=2y+φ1(x)，因為f’y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即=2y+x，再由=2y+x得f(x，y)=y2+xy+φ2(x)，因為f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)9、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)=，求f(x)的間斷點，并分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然x=0、x=1為f(x)的間斷點．因為f(0-0)≠f(0+0)，所以x=0為f(x)的跳躍間斷點．因為f(1-0)≠f(1+0)，所以x=1為f(x)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100)，求f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)=(x-1)(x+2)…(x+100)+x(x+2)…(x+100)+…x(x-1)…(x-99)得f’(0)=(-1)．2．(-3)．…．100=100！知識點解析：暫無解析14、設(shè)=∫0xcos(x-t)2dt確定y為x的函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xcos(x-t)2dt∫x0cosu2(-du)=∫0xcost2dt等式=∫0xcost2dt兩邊對x求導(dǎo)，得=cosx2于是知識點解析：暫無解析15、設(shè)b>a>0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(a+b)(lnb-lha)-2(b-a)>0．令φ(x)=(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)，φ(a)=0，φ’(x)=lnx-lna+-1，φ’(a)=0，φ"(x)=>0(x>a)．由φ’(x)>0(x>a)，再由φ(x)>0(x>a)φ(b)>0，原不等式得證．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)≠0(1存在，證明：16、存在ξ∈(1，2)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令h(x)=lnx，F(xiàn)(x)=∫1xf(x)dt，且F’(x)=f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得知識點解析：暫無解析17、存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f’(η)ln2．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(1)=0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)-f(1)=f’(η)(ξ-1)，其中1<η<ξ，故∫12f(t)dt=ξ(ξ=1)f’ln2．知識點解析：暫無解析18、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、∫0nπx｜cosx｜dx標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0nπ｜cosx｜dx=∫0πx｜cosx｜dx+∫π2πx｜cosx｜dx+…+∫(n-1)πnπx｜cosx｜dx，∫0πx｜cosx｜dx=∫0π｜cosx｜dx=cosxdx=π，∫02πx｜cosx｜dx∫0π(t+π)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt+π∫0π｜cost｜dt=π+2π=3π∫2π3πx｜cosx｜dx∫0π(t+2π)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt+2π∫0π｜cost｜dt=5π，則∫0nπx｜cosx｜dx=π+3π+…+(2n-1)π=n2π．知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、求由圓x2+y2=2y與拋物線y=x2所圍成的平面圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：由所圍成的面積為知識點解析：暫無解析23、設(shè)z=，其中f，g二階可導(dǎo)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)且F可微，證明：=z-xy．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊對x求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析25、計算sinx2cosy2dxdy，其中D：x2+y2≤a2(x≥0，y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得I=sinx2cosy2dxdysiny2cosx2dxdy知識點解析：暫無解析26、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x-3e2x為特解，求該微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為y1=e2x，y2=2e-x-3e2x為特解，所以e2x，e-x也是該微分方程的特解，故其特征方程的特征值為λ1=-1，λ2=2，特征方程為(λ+1)(λ-2)=0即λ2-λ-2=0，所求的微分方程為y"-y’-2y=0．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f’(0)>0，則存在δ>0使得()．A、對任意的x∈(0，δ)有f(x)>f(0)B、對任意的x∈(0，δ)有f(x)C、當(dāng)x∈(0，δ)時，f(x)為單調(diào)增函數(shù)D、當(dāng)x∈(0，δ)時，f(x)是單調(diào)減函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為f’(0)>0，所以，根據(jù)極限的保號性，存在δ>0，當(dāng)x∈(0，δ)時，有，即，(x)>f(0)，選(A)．2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，則下列正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：令f(x)=x，顯然，(a)不對，同理，(b)也不對；令f(x)=x2，，則對任意的M>0，存在X0>0，當(dāng)x≥X0時，有f’(x)>M，于是當(dāng)x≥X0時，f(x)-f(X0)=f’(ξ)(x-X0)，其中ξ∈(X0，x)，即f(x)≥f(X0)+M(x-X0)，根據(jù)極限的保號性，有，選(C)．3、設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，則該方程的通解為()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)為方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個線性無關(guān)解，于是方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，選(D)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)4、設(shè)f(x)連續(xù)，且=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：5、設(shè)f(x)在x=1處一階連續(xù)可導(dǎo)，且f’(1)=-2，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：6、曲線的斜漸近線為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=2x-4知識點解析：7、設(shè)(ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，則a=_______，b=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：4，-2知識點解析：令P(x，y)=ay-2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，因為(ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，所以，于是a=4，b=-2．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)8、設(shè)a＞0，x1＞0，且定義存在并求其值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)，所以有知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx)，其中a1，a2，…，an為常數(shù)，且對一切x有｜f(x)｜≤｜ex-1｜．證明：｜a1+2a2+…+nan｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析10、設(shè)f(x)連續(xù)，φ(x)=∫01f(xt)dt，且．求φ’(x)，并討論φ’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x=0時，φ(0)=∫01f(0)dt=0因為，所以φ’(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以有因為f"(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，從而f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在故知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f’+(a)f’-(b)<0．證明：存在∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)f’+(a)>0，f’-(b)<0，根據(jù)極限的保號性，由f’+(a)=>0，則存在δ>0(δ>0，即f(x)>f(a)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)>f(a)．同理由f’-(b)<0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)>f(b)．因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x1)>f(a)，f(x2)>f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)內(nèi)取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)為f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[0，2]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f’(1)=0，．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作一個函數(shù)P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0，P(2)=，P(1)=f(1)．令g(x)=f(x)-P(x)，則g(x)在[0，2]上三階可導(dǎo)，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=0(d2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"’(ξ)=0，而g"’(x)=f"’(x)-2，所以"’(ξ)=2．知識點解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，，又F(0)=1，F(xiàn)(x)>0，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊積分得F2(x)=，解得F2(x)=，由F(0)=1，F(xiàn)(x)>0，得，于是知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t，則，當(dāng)t≤0時，f(t)=t+C1；當(dāng)t>0時，f(t)=et+C2．顯然f’(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1=1+C2，知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、求曲線y=3-｜x2-1｜與x軸圍成的封閉區(qū)域繞直線y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然所給的函數(shù)為偶函數(shù)，只研究曲線的右半部分繞y=3旋轉(zhuǎn)所成的體積．知識點解析：暫無解析20、求橢圓所圍成的公共部分的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對稱性，所求面積為第一象限圍成面積的4倍，先求第一象限的面積．則第一象限圍成的面積為知識點解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt確定u為x，y的函數(shù)，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)連續(xù)，且φ’(u)≠1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(z，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(z，y)積分得知識點解析：暫無解析24、一條均勻鏈條掛在一個無摩擦的釘子上，鏈條長18m，運動開始時鏈條一邊下垂8m，另一邊下垂10m，問整個鏈條滑過釘子需要多長時間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)鏈條的線密度為ρ，取x軸正向為垂直向下，設(shè)t時刻鏈條下垂x(t)m，則下垂那段的長度為(10+x)m，另一段長度為(8-x)m，此時鏈條受到的重力為(10+x)ρg-(8-x)ρg=2(x+1)ρg．鏈條的總重量為18ρ，由牛頓第二定理F=ma得，且x(0)=0，x’(0)=0，解得，當(dāng)鏈條滑過整個釘子時，x=8，知識點解析：暫無解析25、質(zhì)量為1g的質(zhì)點受外力作用作直線運動，外力和時間成正比，和質(zhì)點的運動速度成反比，在t=10s時，速度等于50cm／s．外力為39．2cm／s2，問運動開始1min后的速度是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得，因為當(dāng)t=10時，v=50，F(xiàn)=39．2，所以k=196，從而，分離變量得vdv=196tdt，所以=98t2+C，由v｜t=10=50，得C=-8550，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè){an}與{bn}為兩個數(shù)列，下列說法正確的是()．A、若{an}與{bn}都發(fā)散，則{anbn}一定發(fā)散B、若{an}與{bn}都無界，則{anbn}一定無界C、若{an}無界且D、若an為無窮大，且，則bn一定是無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：(A)不對，如an=2+(-1)n，bn=2-(-1)n，顯然{an}與{bn}都發(fā)散，但anbn=3，顯然{anbn}收斂；(B)、(C)都不對，如an=n[1+(-1)n]，bn=n[1-(-1)n]，顯然{an}與{bn}都無界，但anbn=0，顯然{anbn}有界且；正確答案為(D)．2、下列命題成立的是()．A、若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ>0，使得f(x)在｜x-x0｜<δ內(nèi)連續(xù)B、若f(x)在x0處可導(dǎo)，則存在δ>0，使得f(x)在｜x-x0｜<δ內(nèi)可導(dǎo)C、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且f(x0)=D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且不存在，則f(x)在x0處不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)顯然f(x)在x=0處連續(xù)，對任意的x0≠0，因為不存在，所以f(x)在x0處不連續(xù)，(A)不對；同理f(x)在x=0處可導(dǎo)，對任意的x0≠0，因為f(x)在x0處不連續(xù)，所以f(x)在x0處也不可導(dǎo)，(B)不對；在，選(C)3、設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)x→0時，f(x)與g(x)是等價無窮小，令F(x)=∫0xf(x-t)dtG(x)=∫01xg(xt)dt，則當(dāng)x→0時，F(xiàn)(x)是G(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價無窮小D、等價無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：F(x)=∫0xf(x-t)dt=-∫0xf(x-t)d(x-t)=∫0xf(u)du，選(D)．4、設(shè)F(x)=∫xx+2πesintsintdt，則F(x)()A、為正常數(shù)B、為負(fù)常數(shù)C、為零D、取值與x有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由周期函數(shù)的平移性質(zhì)，F(xiàn)(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫-ππesintsintdt，再由對稱區(qū)間積分性質(zhì)得F(x)=∫0π(esintsint-e-sintsint)dt=∫0π(esint-e-sint)sintdt，又(esint-e-sint)sint連續(xù)、非負(fù)、不恒為零，所以F(x)>0，選(A)．5、設(shè)，則當(dāng)x→0時，兩個無窮小的關(guān)系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價無窮小D、等價無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為，所以兩無窮小同階但非等價，選(C)．6、設(shè)則g(x)在(0，2)內(nèi)()．A、單調(diào)減少B、無界C、連續(xù)D、有第一類間斷點標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為f(x)在(0，2)內(nèi)只有第一類間斷點，所以g(x)在(0，2)內(nèi)連續(xù)，選(C)．7、設(shè)f(x)在R上是以T為周期的連續(xù)奇函數(shù)，則下列函數(shù)中不是周期函數(shù)的是()．A、∫axf(t)dtB、∫-xaf(t)dtC、∫-x0f(t)dt-∫x0f(t)dtD、∫-xxtf(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)φ(x)=∫-xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt=2∫0xtf(t)dt+2∫0x+Ttf(t)dt≠φ(x)，選(D)8、累次積分等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分所對應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域為D：0≤x≤1，0≤y≤，選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：當(dāng)x→0時，，∫0xlncos(x-t)dt=-∫0xlncos(x-t)d(x-t)-∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，10、設(shè)兩曲線y=x2+ax+b與-2y=-1+xy3在點(-1，1)處相切，則a=_______，b=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：3，3知識點解析：因為兩曲線過點(-1，1)，所以b-a=0，又由y=x2+ax+b得=a-2，再由-2y=-1+xy3得，且兩曲線在點(-1，1)處相切，則a-2=1，解得a=b=3．11、設(shè)F(x)=｜(x2-t2)f’(t)dt，其中f(x)在x=0處連續(xù)，且當(dāng)x→0時，F(xiàn)’(x)～x2，則f’(0)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識點解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt-∫0xt2(t)dt，F(xiàn)’(x)=2x∫0xf’(t)dt12、設(shè)f(u，v)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’x(1，2)=1，f’y(1，2)=4，則f(1，2)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得xf’x(tx，ty)+yf’y(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’x(1，2)+2f’y(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．13、設(shè)y(z)為微分方程y"-4y’+4y=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=2的特解，則∫01y(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：y"-4y’+4y=0的通解為y=(C1+C2x)e2x，由初始條件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，則y=e2x，于是三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)x=x(t)由標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、一質(zhì)點從時間t=0開始直線運動，移動了單位距離使用了單位時間，且初速度和末速度都為零．證明：在運動過程中存在某個時刻點，其加速度絕對值不小于4．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)運動規(guī)律為S=S(t)，顯然S(0)=O，S’(0)=0，S(1)=1，S’(1)=0．由泰勒公式兩式相減，得S"(ξ2)-S"(ξ1)=-8｜(ξ1)｜+｜S"(ξ2)｜≥8．當(dāng)｜S"(ξ1)｜≥｜S"(ξ2)｜時，｜S"(ξ1)｜≥4；當(dāng)｜S"(ξ1)｜<｜S"(ξ2)｜時，｜S"(ξ2)｜≥4．知識點解析：暫無解析18、就k的不同取值情況，確定方程x3-3x+k=0根的個數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x3-3x+k，由f’(x)=3x2-3=0，得駐點為x1=-1，x2=1．f"(x)=6x，由f"(-1)=-6，f"(1)=6，得x1=-1，x2=1分別為f(x)的極大值點和極小值點，極大值和極小值分別為f(-1)=2+k，f(1)=k-2．(1)當(dāng)k<-2時，方程只有一個根；(2)當(dāng)k=-2時，方程有兩個根，其中一個為x=-1，另一個位于(1，+∞)內(nèi)；(3)當(dāng)-22時，方程只有一個根．知識點解析：暫無解析19、設(shè)k為常數(shù)，方程在(0，+∞)內(nèi)恰有一根，求k的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：令，x∈(0，+∞)．(1)若k>0，由，所以原方程在(0，+∞)內(nèi)恰有一個實根；(2)若k=0，，所以原方程也恰有一個實根；知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f"(x)<0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)且f"(x)≥0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x，y，z)一階連續(xù)可偏導(dǎo)且滿足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，兩邊對t求導(dǎo)得當(dāng)t=1時，有知識點解析：暫無解析23、計算二重積分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲線(x2+y2)2=a2(x2-y2)圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對稱性，其中D1是D位于第一卦限的區(qū)域．知識點解析：暫無解析飛機以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機行至O時被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機飛去(x0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機，且速度大小為2v．24、求導(dǎo)彈運行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻導(dǎo)彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得知識點解析：暫無解析25、導(dǎo)彈運行方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、當(dāng)x→0時，下列無窮小中，哪個是比其他三個更高階的無窮小()．A、x2B、1-cosxC、D、x-tanx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：當(dāng)x→0時，1-cosx～所以x-tanx是比其他三個無窮小階數(shù)更高的無窮小，選(D)2、若f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=1，則下列正確的是()．A、x=0是f(x)的零點B、(0，f(0))是y=f(x)的拐點C、x=0是f(x)的極大點D、x=0是f(x)的極小點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由=1得f’(0)=0，由1=得x=0為極小點，應(yīng)選(D)3、曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為()．A、-∫02x(x-1)(2-x)dxB、∫01x(x-1)(2-x)dx=∫12x(x-1)(2-x)dxC、-∫01x(x-1)(2-x)dx+∫12x(x-1)(2-x)dxD、∫02x(x-1)(2-x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸的三個交點為x=0，x=1，x=2，當(dāng)00，所以圍成的面積可表示為(C)的形式，選(C)二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：5、y=，則y’=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：cotx．sec2x-知識點解析：y=lntanx-ln(x2+1)，y’=cotx．sec2x-6、設(shè)f(x)=ln(2x2-x-1)，則f(n)(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：f(x)=ln[2x+1)(x-1]=ln(2x+1)+ln(x-1)，f’(x)=7、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為ln(x+)為奇函數(shù)，所以x2ln(x+)為奇函數(shù)，9、設(shè)y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2確定的隱函數(shù)，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：ex+y+z=x2+y2+z2兩邊對z求偏導(dǎo)得ex+y+z+2z，從而10、連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=3∫0x(x-t)dt+2，f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e3x知識點解析：由∫2xf(x-t)dt∫x0f(u)(-du)=∫0xf(u)du得f(x)=3∫0xf(u)du+2，兩邊對x求導(dǎo)得f’(x)-3f(x)=0，解得f(x)=C-∫-3dx=Ce3x，取x=0得f(0)=2，則C=2，故f(x)=2e3x．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、若標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=arctanx，由微分中值定理得知識點解析：暫無解析14、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、求常數(shù)a，b使得f(x)==在x=0處可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以f(x)在x=0處連續(xù)，從而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，由f(x)在x=0處可導(dǎo)，則3+2a=10+6b，解得知識點解析：暫無解析16、設(shè)k>0，討論常數(shù)k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定義域內(nèi)沒有零點、有一個零點及兩個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)的定義域為(0，+∞)，由f’(x)=lnx+1=0，得駐點為x=，由f"(x)=>0，得x=為f(x)的極小值點，也為最小值點，最小值為(1)當(dāng)k>時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)沒有零點；(2)當(dāng)k=時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有唯一零點x=(3)當(dāng)0時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有兩個零點，分別位于與內(nèi)．知識點解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t．dx=6t5dt，則知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、曲線y=(x-1)(x-2)和x軸圍成平面圖形，求此平面圖形繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x，x+dx][1，2]，dv=2πx｜(x-1)(x-2)｜dx=-2πx(x-1)(x-2)dx，V=∫12dv=-2π∫12(x3-3x2+2x)dx=知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x，y)=討論函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為，所以不存在，故函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．因為，所以函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處對x，y都可偏導(dǎo)．知識點解析：暫無解析23、求u=x2+y2+z2在=1上的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F=x2+y2+z2+λ(-1)，u=x2+y2+z2在=1上的最小值為知識點解析：暫無解析24、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(z，y)｜1≤x≤2，≤y≤x)}，D2={(x，y)｜2≤x≤4，≤y≤2}，D1+D2=D={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤y2}，知識點解析：暫無解析25、求微分方程xy"+2y’=ex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：xy"+2y’=ex兩邊乘以x得xxy"+2xy’=xex，即(xxy’)’=xex，積分得x2y’=(x-1)ex+C1，即y’=再積分得原方程通解為y=知識點解析：暫無解析26、求微分方程x2y"-2xy’+2y=2x-1的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=et，則x2y"=，原方程化為+2y=2et-1，十2y=0的通解為y=C1et+C2e2t，令+2y=2et的特解為y0(t)=atet，代入+2y=2et，得a=-2，顯然+2y=-1的特解為y=，所以方程+2y=2et-1的通解為y=C1et+C2e2t-2tet-原方程的通解為y=C1x+C2x2-2xlnx-知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、f(x)=2x+3x-2，當(dāng)x→0時()．A、f(x)～xB、f(x)是x的同階但非等價的無窮小C、f(x)是x的高階無窮小D、f(x)是x的低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為=ln2+ln3=ln6，所以f(x)是x的同階而非等價的無窮小，選(B)2、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上有定義，x0≠0為函數(shù)f(x)的極大值點，則()．A、x0為f(x)的駐點B、-x0為-f(-x)的極小值點C、-x0為-f(x)的極小值點D、對一切的x有f(x)≤f(x0)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為y=f(-x)的圖像與y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以-x0為f(-x)的極大值點，從而-x0為-f(-x)的極小值點，選(B)3、矩形閘門寬口米，高h(yuǎn)米，垂直放在水中，上邊與水面相齊，閘門壓力為()．A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：取[x，x+dx][0，h]，dF=ρg×x×a×dx=ρgaxdx，則F=ρg∫0hsxdx=ρg∫0hahdh，選(A)二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：5、xy=yx，則y’=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由xy=yx，得ylnx-xlny，兩邊求導(dǎo)數(shù)得y’lnx+解得y’=6、曲線y=的斜漸近線為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x+3知識點解析：則斜漸近線為y=x+3．7、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：π／2知識點解析：8、設(shè)z=z(x，y)由z+ez=xy2確定，則dz=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：z+ez=xy2兩邊求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得dz=9、微分方程xy’-y[ln(xy)-1]=0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：Cx知識點解析：令xy=u，y+xy’=，代入原方程得=0，分離變量得，積分得lnlnu=lnx+lnC，即lnu=Cx，原方程的通解為ln(xy)=Cx．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)10、設(shè)0＜a＜b＜c，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由cn≤an+bn+cn≤3cn得c≤因為，所以知識點解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、確定常數(shù)a，c，使得，其中c為非零常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由洛必達(dá)法則，故a=1，c=1／2．知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)=∫01｜x-y｜sin，求f"(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=g(b)=0，g’(x)<0，試證明存在ξ∈(a，b)使標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)∫xbg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，φ(x)在區(qū)間[a，b]連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt-f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，因為φ(a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)<0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(x)>0，從而就有∫xbg(t)dt>0，于是有知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：15、存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=[f’(x)=-2xf(x)]且≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析16、存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=xf(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故nf’(η)+f(η)=0．知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：令sinx-cosx=a(sinx+2cosx)+b(sinx+2cosx)’，則知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，b上連續(xù)，且f(x)>0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=∫axf(t)dt-∫xbf(t)dt，因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)>0，所以g(a)=-∫abf(t)dt<0，g(b)=∫abf(t)dt>0由零點定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．知識點解析：暫無解析21、求由曲線y=4-x2與X軸圍成的部分繞直線x=3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x，x+dx][-2，2]，則dV=2π(3-x)(4-x2)dx，V=∫-22dV=2π∫-22(3-x)(4-x2)dx=6π∫-22(4-x2)dx=12π∫02(4-x2)dx=12π×=64π知識點解析：暫無解析22、設(shè)z=f(etsint，tant)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=et(sint+cost)]f’1+f’2sec2t知識點解析：暫無解析23、設(shè)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x件和y件，利潤函數(shù)為L(x，y)=6x-x2+16y-4y2-2(萬元)．已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時，每件產(chǎn)品都要消耗原料2000kg，現(xiàn)有該原料12000kg，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時總利潤最大?最大利潤是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意，即求函數(shù)L(x，y)=6x-x2+16y-4y2—2在02+16y-4y2-2+λ(x+y-6)，由，根據(jù)題意，x，y只能取正整數(shù)，故(x，y)的可能取值為L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故當(dāng)x=3，y=2時利潤最大，最大利潤為23萬元．知識點解析：暫無解析24、把f(x，y)dxdy寫成極坐標(biāo)的累次積分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：D={(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤secθ}，則知識點解析：暫無解析25、求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(y-x3)dx-2xdy=0，得即原方程的通解為y=(其中C為任意常數(shù))．知識點解析：暫無解析26、設(shè)曲線L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點M處的切線與y軸總相交，交點為A，已知｜MA｜=｜OA｜，且L經(jīng)過點，求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，則切線MA：Y-y=y’(X-x)．令X=0，則Y=y-xy’，故A點的坐標(biāo)為(0，y-xy’)．由｜MA｜=｜OA｜，得｜y-xy’｜=因為曲線經(jīng)過點，所以C=3，再由曲線經(jīng)過第一象限得曲線方程為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、當(dāng)x→0+時，下列無窮小中，階數(shù)最高的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：當(dāng)x→0+時，ln(1+x2)-x2～+cosx-2=1++o(x4)+1-+o(x4)-2～由，得當(dāng)x→0時，ln(1+t2)dt～-1-x2=1+x2++o(x4)-1-x2～，則ln(1+t2)dt為最高階無窮小，選(C)2、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，且f(0)=0，則f(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)f(x)=，而f(x)在x=0處不可導(dǎo)，(A)不對；即存在只能保證f(x)在x=0處右可導(dǎo)，故(B)不對；因為，所以h→0時h-tanh～-h3，于是存在不能保證f(x)在x=0處可導(dǎo)，故(D)不對；選(C)3、雙紐線(x2+y2)2=x2-y2所圍成的區(qū)域面積可表示為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：雙紐線(x2+y2)2=x2-y2的極坐標(biāo)形式為r2=cos2θ，再根據(jù)對稱性，有A=，選(A)二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設(shè)=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：5、f(sinx)=cos2x+3x+2，則f’(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-4x+知識點解析：由f(sinx)=cos2x+3x+2，得f(sinx)=1-2sin2x+3x+2，f(x)=1-2x2+3arcsinx+2，f’(x)=-4x+6、設(shè)φ(x)=(x2-t)f(t)dt，其中f連續(xù)，則φ"(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2f(t)dt+4x2f(x2)知識點解析：φ(x)=x2f(t)dt-tf(t)dt，φ’(x)=2xf(t)dt+2x3f(x2)-2x3f(x2)=2xf(t)dt，φ"(x)=2f(t)dt+4x2f(x2)．7、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為對[-a，a]上連續(xù)的函數(shù)f(x)有∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx，所以9、設(shè)z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=確定的函數(shù)，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：將x=y=代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，e2yz+x+y2+z=兩邊求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，將x=y=，z=0代入得10、設(shè)y=y(x)可導(dǎo)，y(0)=2，令△y=y(x+△x)-y(x)，且△y=△x+a，其中a是當(dāng)△x→0時的無窮小量，則y(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：由△y==0，解得y=，再由y(0)=2，得C=2，所以y=2三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：因為x→0時，所以A=知識點解析：暫無解析13、設(shè)曲線y=xn在點(1，1)處的切線交x軸于點(ξn，0)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：y=xn在點(1，1)處的切線方程為y-1=n(x-1)，令y=0得ξn=知識點解析：暫無解析14、設(shè)y=x2lnx，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x．(lnx)(n-1)D+Cn22．(lnx)n-2知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=求f’(x)并討論f’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時，f’(x)=當(dāng)x=0時，所以f’(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=，討論f(x)的單調(diào)性，凹凸性，拐點，水平漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f’(x)=>0，所以f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)增加．因為f"(x)=，當(dāng)x<0時，f"(x)>0；當(dāng)x>0時，f"(x)<0，則y=f(x)在(-∞，0)的圖形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)內(nèi)是凸的，(0，0)為y=f(x)的拐點．因為f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．由為曲線y=f(x)的兩條水平漸近線．知識點解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x2-1)=，且f[φ(x)]=lnx，求∫φ(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x2-1)=再由f[φ(x)]=所以∫φ(x)dx==x+2ln｜x-1｜+C．知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)平面圖形D由x2+y2≤2x與y≥x圍成，求圖形D繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x．x+dx][0，1]，則dv=2π(2-x)(-x)dx，知識點解析：暫無解析22、討論f(x，y)=在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為0≤，所以=0=f(0，0)，即函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為，所以f’x(0，0)=0，根據(jù)對稱性得f’y(0，0)=0，即函數(shù)f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．△x-f’x(0，0)x-f’y(0，0)y=f(x，y)-f’x(0，0)x-f’y(0，0)y=因為不存在，所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)不可微．知識點解析：暫無解析23、求函數(shù)u=的梯度方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：的梯度為l={x，z，y}，梯度的方向余弦為故所求的方向?qū)?shù)為知識點解析：暫無解析24、計算∫01dy∫y1x2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：改變積分次序得知識點解析：暫無解析25、設(shè)x>0時，f(x)可導(dǎo)，且滿足：f(x)=1+∫1xf(t)dt，求f(