【專項(xiàng)精練】第21課 三角函數(shù)的兩角和與差-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項(xiàng)精練（解析版）

第21課三角函數(shù)的兩角和與差（分層專項(xiàng)精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023秋·湖南長沙·高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換公式求解.【詳解】所以，所以故選:B.2．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，為鈍角，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】首先求出，從而求出，再根據(jù)利用兩角差的正切公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殁g角，所以，則，所以.故選：B3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.4．（2023春·江蘇徐州·高三新沂市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中已知且，則（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】B【分析】根據(jù)進(jìn)行化簡整理即可求得的值.【詳解】由題意得，則有整理得：，故選：B二、多選題5．（2021·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，且的圖像關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減D．方程在區(qū)間上有201個(gè)根【答案】AD【分析】根據(jù)平移得出，結(jié)合對稱軸即可求出，判斷A；再計(jì)算出可判斷B；化簡求出即可判斷C；根據(jù)求解即可判斷D.【詳解】由題得，由題意知，，解得，，因?yàn)?，所以，A項(xiàng)正確；，則，B項(xiàng)錯(cuò)誤；，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，整理得，則，，又，則，故方程在區(qū)間上有201個(gè)根，D項(xiàng)正確．故選：AD．6．（2022·高一單元測試）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是圖象的一條對稱軸C．的最小正周期為D．將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】AC【分析】變形得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，A正確；，由于在對稱軸處函數(shù)值要取到最值，故B錯(cuò)誤；，C正確；將的圖象向左平移個(gè)單位后得，其為偶函數(shù)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，D錯(cuò)誤.故選：AC.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，是方程的兩不等實(shí)根，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)題意可得，，再利用兩角和的正切公式可判斷B，利用基本不等式可判斷C、D【詳解】由，是方程的兩不等實(shí)根，所以，，，由，，均為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，等號不成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理、兩角和的正切公式、基本不等式的應(yīng)用，注意驗(yàn)證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題8．（2023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？级＃┤?，，則.【答案】【分析】先通過以及確定的范圍，進(jìn)而可得，再利用兩角差的余弦公式展開計(jì)算即可.【詳解】,，又，若，則，與矛盾，，，.故答案為：.9．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最大值為.【答案】/【分析】設(shè)，用換元法化為二次函數(shù)求解．【詳解】設(shè)，則，，，∴時(shí)，，即．故答案為：．四、解答題10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，(1)若，求角B.(2)設(shè)，，試求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】(1)

由余弦定理可得角，由兩角差的正切公式可得，進(jìn)而；(2)

化簡后，將看成變量，則為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，根據(jù)可得有最大值.(1)，∴，，∵,∴，又∵∴.(2)，∵，∴，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值.【二層練綜合】一、單選題1．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示可知，再根據(jù)余弦二倍角公式化簡、解方程可得,進(jìn)而可得，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.二、多選題2．（2022春·廣東揭陽·高一普寧市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．函數(shù)在單調(diào)遞增C．函數(shù)在上的值域?yàn)镈．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象【答案】BC【分析】先化簡整理函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)，從而得到答案.【詳解】函數(shù)對于A，當(dāng)時(shí)，，故圖像不關(guān)于點(diǎn)對稱，故A錯(cuò)誤；對于B，由得，當(dāng)時(shí)，知函數(shù)在單調(diào)遞增，故B正確；對于C，由，知，由正弦函數(shù)性質(zhì)知，，故C正確；對于D，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.三、填空題3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是方程的兩根，則.【答案】【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，再運(yùn)用余弦、正弦和和差公式，以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系，代入可得答案.【詳解】解：由已知得，，.故答案為：.四、解答題4．（2022秋·全國·高一期末）已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦公式可求得的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的余弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，又，所以，所?（2）解：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，由?）知，，所以．因?yàn)?，，則，所以．【三層練能力】一、多選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列條件一定能夠使為等腰三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用余弦定理和題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)A；利用余弦定理兩角差的正弦公式和題給條件即可得到為等腰三角形或直角三角形，進(jìn)而否定選項(xiàng)B；利用兩角和與差的余弦公式及題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)C；利用正弦定理均值定理和題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：由，可得整理得，則，則為等腰三角形.判斷正確；選項(xiàng)B：由可得則整理得，即或則為等腰三角形或直角三角形.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由，可得則，則又，則，則為等腰三角形.判斷正確；選項(xiàng)D：由，可得，由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），可得則，又，則，則.判斷正確.故選：ACD二、填空題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為奇函數(shù)，若對任意，存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍