2025高考總復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)-概率專(zhuān)題八（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--概率專(zhuān)題八知識(shí)點(diǎn)一寫(xiě)出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列,計(jì)算條件概率,求離散型隨機(jī)變量的均值典例1、在一次數(shù)學(xué)隨堂小測(cè)驗(yàn)中，有單項(xiàng)選擇題和多項(xiàng)選擇題兩種．單項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)正確，選擇正確得分，選擇錯(cuò)誤得分；多項(xiàng)選擇題，每道題四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得分，部分選對(duì)得分，有選擇錯(cuò)誤的得分．（1）小明同學(xué)在這次測(cè)驗(yàn)中，如果不知道單項(xiàng)選擇題的答案就隨機(jī)猜測(cè)．已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和隨機(jī)猜測(cè)的概率都是．問(wèn)小明在做某道單項(xiàng)選擇題時(shí)，在該道題做對(duì)的條件下，求他知道這道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率．（2）小明同學(xué)在做多選題時(shí)，選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知某個(gè)多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，小明在完全不知道四個(gè)選項(xiàng)正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇，記小明做這道多項(xiàng)選擇題所得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．隨堂練習(xí)：某單位有A，B兩家餐廳提供早餐與午餐服務(wù)，甲、乙兩人每個(gè)工作日早餐和午餐都在單位用餐，近100個(gè)工作日選擇餐廳用餐情況統(tǒng)計(jì)如下（單位：天）：選擇餐廳（早餐，午餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲30204010乙20251540假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙選擇餐廳用餐相互獨(dú)立．（1）估計(jì)一天中甲選擇2個(gè)餐廳用餐的概率；（2）記X為一天中甲用餐選擇的餐廳的個(gè)數(shù)與乙用餐選擇的餐廳的個(gè)數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）判斷甲、乙兩人在早餐選擇A餐廳用餐的條件下，哪位更有可能在午餐選擇B餐廳用餐？說(shuō)明理由．典例2、為落實(shí)教育部的雙減政策，義務(wù)教育階段充分開(kāi)展課后特色服務(wù).某校初中部的籃球特色課深受學(xué)生喜愛(ài)，該校期末將進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試，規(guī)則為：每人至多投3次，先在M處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)不得分，以后均在N處投兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)不得分.測(cè)試者累計(jì)得分高于3分即通過(guò)測(cè)試，并終止投籃.甲?乙兩位同學(xué)為了通過(guò)測(cè)試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每人每輪在M處和N處各投10次，根據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)情況分別得到如下圖表：若以每人五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測(cè)試時(shí)每次投籃命中的概率.（1）已知該校有300名學(xué)生的投籃水平與甲同學(xué)相當(dāng)，求這300名學(xué)生通過(guò)測(cè)試人數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）在甲?乙兩位同學(xué)均通過(guò)測(cè)試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.隨堂練習(xí)：某餐飲店餃子有水餃、蒸餃，面有帶湯面條、帶湯面塊、干拌面條、干拌面塊．其中蒸餃、干拌面條、干拌面塊是不把食物與湯混在一起盛的，稱為不帶湯食物，其余的都是把食物與湯混在一起的．（1）甲、乙、丙、丁四人各隨機(jī)在上述食品中選一種就餐．記事件A＝“恰有2人選擇面”，事件B＝“甲選擇不帶湯食物”，求；（2）若三名顧客在上述食物中各隨機(jī)選一種就餐，其中選擇餃子的人數(shù)是，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．典例3、浙江省實(shí)行新高考改革方案以來(lái)，英語(yǔ)每年安排兩次考試，第一次在1月與選考科目同期進(jìn)行，稱為“首考”，第二次在6月與語(yǔ)文、數(shù)學(xué)同期進(jìn)行，稱為“老高考”，考生可選用其中一次較好的成績(jī)計(jì)入高考總分．英語(yǔ)在“首考”中“一考兩用”，成績(jī)既用于評(píng)定學(xué)業(yè)水平等級(jí)又可用于高考，學(xué)考合格后的考生，英語(yǔ)第二次考試成績(jī)僅用于高考，不計(jì)算學(xué)考等第.2022年1月“首考”中，英語(yǔ)成績(jī)達(dá)到117分及以上的考生，學(xué)考等第為A．某校為了解英語(yǔ)考試情況，隨機(jī)抽取了該校男、女各名學(xué)生在“首考”中的英語(yǔ)考試成績(jī)，情況如下表，并經(jīng)過(guò)計(jì)算可得．男生女生A等非A等1、從名學(xué)生中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生英語(yǔ)學(xué)考等第為A，求這個(gè)學(xué)生是男生的概率；2、從名女生中任意選2人，記這2人中獲得A等的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差．附：，其中．附表：隨堂練習(xí)：吃粽子是我國(guó)端午節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗.現(xiàn)有一盤(pán)子粽子裝有10個(gè)，其中紅豆粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，蛋黃粽5個(gè)，假設(shè)這三種粽子除餡料外外觀完全相同，從中任意選取3個(gè).（1）求選取的三個(gè)粽子中恰有1個(gè)肉粽的概率；（2）求所選3個(gè)粽子有肉粽的條件下紅豆粽不少于1個(gè)的概率．（3）設(shè)ξ表示取到的紅豆粽個(gè)數(shù)，求ξ的分布列與期望.知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān),相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,非線性回歸典例4、應(yīng)對(duì)嚴(yán)重威脅人類(lèi)生存與發(fā)展的氣候變化，其關(guān)鍵在于“控碳”，其必由之路是先實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，而后實(shí)現(xiàn)“碳中和”，2020年第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)一般性辯論上，習(xí)近平總書(shū)記向世界鄭重承諾：力爭(zhēng)在2030年前實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，努力爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”.近年來(lái)，國(guó)家積極發(fā)展新能源汽車(chē)，某品牌的新能源汽車(chē)寶雞地區(qū)銷(xiāo)售在2022年5月至2022年9月這5個(gè)月的銷(xiāo)售量（單位：輛）的數(shù)據(jù)如下表：月份2022年5月2022年6月2022年7月2022年8月2022年9月月份代碼：12345銷(xiāo)售量：4556646872（1）依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)判斷月份代碼與該品牌的新能源汽車(chē)寶雞地區(qū)銷(xiāo)售量（單位：輛）是否具有較高的線性相關(guān)程度?（參考：若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，計(jì)算時(shí)精確度為0.01.）（2）求銷(xiāo)售量與月份代碼之間的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年11月份寶雞地區(qū)的銷(xiāo)售量（單位：輛）.（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.隨堂練習(xí)：我國(guó)北方廣大農(nóng)村地區(qū)、一些城鎮(zhèn)以及部分大中城市的周邊區(qū)域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善，也加重了北方地區(qū)冬季的霧霾天氣．推進(jìn)北方地區(qū)冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關(guān)系北方地區(qū)廣大群眾溫暖過(guò)冬，關(guān)系霧霾天能不能減少，是能源生產(chǎn)和消費(fèi)革命、農(nóng)村生活方式革命的重要內(nèi)容．2017年9月國(guó)家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價(jià)格扶植新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加．圖1所示的條形圖反映了某省2018年1~7月份煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量．（1）在圖2給定坐標(biāo)系中作出煤改氣、煤改電用戶數(shù)量y隨月份t變化的散點(diǎn)圖，并用散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與t之間具有線性相關(guān)性；（2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量．參考數(shù)據(jù)：，，．典例5、一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本（萬(wàn)元）與該月產(chǎn)量（萬(wàn)件）之間有如下一組數(shù)據(jù)：x1.081.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（2）①建立月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸方程；②通過(guò)建立的關(guān)于的回歸方程，估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬(wàn)件時(shí)，產(chǎn)品的總成本為多少萬(wàn)元?（均精確到0.001）.附注：①參考數(shù)據(jù)：，，，，.②參考公式：相關(guān)系數(shù)，.隨堂練習(xí)：近年來(lái)，隨著社會(huì)對(duì)教育的重視，家庭的平均教育支出增長(zhǎng)較快，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了某市2015-2021年的家庭教育支出（單位：萬(wàn)元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)2015-2021年）.經(jīng)計(jì)算得，.（1）用一元線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求出相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并說(shuō)明y與t相關(guān)性的強(qiáng)弱；（2）建立y關(guān)于t的回歸直線方程；（3）若2023年該市某家庭總支出為10萬(wàn)元，預(yù)測(cè)2023年該家庭的教育支出.附：①相關(guān)系數(shù)；②在回歸直線方程中，.典例6、根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示．（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；（2）求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)液體肥料每畝使用量為10千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式．參考數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．隨堂練習(xí)：我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金．現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對(duì)年盈利額（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù)．通過(guò)對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①；②，其中、、、均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．令，，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：262156526805.36112501302.612（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額為250億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元．（結(jié)果精確到0.01）人教A版數(shù)學(xué)--概率專(zhuān)題八答案典例1、答案：（1）（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望解：（1）記事件為“該單項(xiàng)選擇題回答正確”，事件為“小明直到該題的正確答案”，，即小明在做某道單項(xiàng)選擇題時(shí)，在該道題做對(duì)的條件下，他知道這道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率為.（2）由題意知：所有可能的取值為，設(shè)事件表示小明選擇了個(gè)選項(xiàng)，事件表示選擇的選項(xiàng)是正確的，；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望.隨堂練習(xí)：答案：（1）0.6（2）分布列見(jiàn)解析，期望為3（3）乙更有可能在午餐選擇B餐廳用餐解：（1）由統(tǒng)計(jì)圖表，一天中甲選擇2個(gè)餐廳用餐的天數(shù)為60，概率為；（2）易知的可能值是，，，，（2）的分布列為：2340.240.520.24．（3）甲在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為，乙在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為，所以乙更有可能在午餐選擇B餐廳用餐．典例2、答案：（1）（2）解：（1）甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為，甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，則，所以甲同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為.設(shè)這300名學(xué)生通過(guò)測(cè)試的人數(shù)為，由題設(shè)，所以.（2）乙同學(xué)兩分球投籃命中率為，乙同學(xué)三分球投籃命中率為.設(shè)乙同學(xué)累計(jì)得分為，則，.設(shè)“甲得分比乙得分高”為事件，“甲?乙兩位同學(xué)均通過(guò)了測(cè)試”為事件，則由條件概率公式可得.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）答案見(jiàn)解析解：（1）甲選擇不帶湯食物，這四人的選擇方法總數(shù)為，∴．若甲選擇蒸餃，則四人中恰有二人選擇面的方法總數(shù)為．若甲選擇干拌面條或干拌面塊，則四人中恰有二人選擇面的方法總數(shù)為．∴．所以．（2）由題意得所有可能取值為0，1，2，3．，，，．∴的分布列為0123P∴．典例3、答案：（1）（2）；解：（1）用表示事件“選到的學(xué)生學(xué)考等第為A等”，用表示事件“選到男生”，則．（2）由，而，可得．因?yàn)榈目赡苋≈禐?，1，2．，，所以這2人種獲得A等人數(shù)的概率分布列為012數(shù)學(xué)期望方差隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）（3）分布列見(jiàn)解析，解：（1）令A(yù)表示事件“三個(gè)粽子中有1個(gè)肉粽”，從中任意選取3個(gè)有種可能,其中恰有1個(gè)肉粽的可能選法有種,∴由古典概型的概率計(jì)算公式有.（2）所選3個(gè)粽子有肉粽的可能選法有種，所選3個(gè)粽子有肉粽的條件下紅豆粽不少于1個(gè)的選法有種，故所選3個(gè)粽子有肉粽的條件下紅豆粽不少于1個(gè)的概率為.（3）由題意知，ξ可能取的值為，則∴，，，故ξ的分布列為：012則的期望為.典例4、答案：（1）具有較高的線性相關(guān)程度（2），87輛解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，所以,又，，所以.所以月份代碼與銷(xiāo)售量（單位:輛）具有較高的線性相關(guān)程度，可用線性回歸模型擬合銷(xiāo)售量與月份代碼之間的關(guān)系；（2）由表中數(shù)據(jù)可得，則，所以，令，可得(輛)，故可預(yù)測(cè)2022年10月該品牌的新能源汽車(chē)該區(qū)域的銷(xiāo)售量為輛.隨堂練習(xí)：答案：（1）答案見(jiàn)解析（2），2.02萬(wàn)戶解：（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示．由條形圖數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，，，，，所以．（2）y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)性相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．由，又由（1）得，，所以y關(guān)于t的回歸方程為．將代入回歸方程得．所以預(yù)測(cè)11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量達(dá)到2.02萬(wàn)戶．典例5、答案：（1）與正相關(guān)，且相關(guān)性很強(qiáng)（2）①；②解：（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示：由已知條件和參考數(shù)據(jù)得：，這說(shuō)明與正相關(guān)，且相關(guān)性很強(qiáng)；（2）①由已知求得，，∴所求回歸直線方程為.②當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元，此時(shí)產(chǎn)品的總成本約為萬(wàn)元.隨堂練習(xí)：答案：（1），相關(guān)性很強(qiáng)；（2）；（3）萬(wàn)元.解：（1）由題意得，，則，故，故，∵，∴y與t高度相關(guān)，即y與t的相關(guān)性很強(qiáng)．（2）根據(jù)題意，得，，∴y關(guān)于t的回歸直線方程為．（3）2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼，當(dāng)時(shí)，，故預(yù)測(cè)2023年該家庭的教育支出為（萬(wàn)元）．典例6、答案：（1），說(shuō)明見(jiàn)解析（2）；550千克解：（1）由已知