2025高考總復習專項復習-概率專題十（含解析）

21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數學--概率專題十知識點一由頻率分布直方圖估計平均數,總體百分位數的估計,頻率分布直方圖的實際應用,求離散型隨機變量的均值典例1、自2020年初以來，由于新冠疫情的沖擊，人們日常購物的方式發(fā)生了較大的變化，各種便民的團購群異?；钴S，據某微信公眾號消息，參團進行團購已逐漸成為一大常規(guī)的購物形式，因此外賣員的收入明顯提高.為調查某市外賣員的收入，現隨機抽取500名外賣員，按照他們投送的距離分類統計得到如圖所示的頻率分布直方圖.將上述調查所得到的頻率視為概率.（1）估計該市外賣員的平均運送距離；（2）假設外賣平臺給外賣員的運送距離與外賣員的收入有關，其中甲平臺規(guī)定：1000米以內每份2元，1000米至3000米每份5元，3000米以上每份13元.乙平臺規(guī)定：2000米以內每份3元，2000米至3000米每份6元，3000米至4000米每份12元，4000米以上每份18元，若你暑期打工去送外賣，每天能送50份，并且只考慮每天的平均收入，你會選擇哪一家平臺？為什么？

隨堂練習：中醫(yī)藥文化歷史悠久，我國經歷了數千年的艱難探索和發(fā)展，逐漸積淀成博大精深的中醫(yī)藥文化.某醫(yī)藥采購商計劃購買500千克烏天麻，購買數據如頻率分布直方圖所示.（1）估計每千克烏天麻的平均支數（同一組中的數據用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）知生產商提供該產品的兩種銷售方案供采購商選擇，方案一：這500千克烏天麻一律售價為280元/千克.方案二：這500千克按規(guī)格不同售出，其售價如下：烏天麻規(guī)格在售300元/千克，規(guī)格在售價280元/千克，規(guī)格在售260元/千克，規(guī)格在售240元/千克.從采購商的角度考慮，應該選擇哪種方案？請說明理由.

典例2、某“雙一流A類”大學就業(yè)部從該校2020年已就業(yè)的大學本科畢業(yè)生中隨機抽取了100人進行問卷調查，其中一項是他們的月薪收入情況，調查發(fā)現，他們的月薪收入在1.65萬元到2.35萬元之間，根據統計數據分組，得到如下的頻率直方圖，同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表.（1）求這100人月薪收入的樣本平均數和樣本方差；（2）該校在某地區(qū)就業(yè)的2018屆本科畢業(yè)生共50人，決定于2019年國慶長假期間舉辦一次同學聯誼會，并收取一定的活動費用，有兩種收費方案：方案一：設，月薪落在區(qū)間Ω左側的每人收取400元，月薪落在區(qū)間Ω內的每人收取600元，月薪落在區(qū)間Ω右側的每人收取800元；方案二：按每人個月薪水的3%收取.用該校就業(yè)部統計的這100人月薪收入的樣本頻率進行估算，哪一種收費方案能收到更多的費用.參考數據：.

隨堂練習：某公司為了了解A，B兩個地區(qū)用戶對其產品的滿意程度，從A地區(qū)隨機抽取400名用戶，從B地區(qū)隨機抽取100名用戶，通過問卷的形式對公司產品評分．該公司將收集的數據按照，，，分組，繪制成評分分布表如下：分組A地區(qū)B地區(qū)403012020160408010合計400100（1）采取按組分層隨機抽樣的方法，從A地區(qū)抽取的400名用戶中抽取10名用戶參加座談活動．求參加座談的用戶中，對公司產品的評分不低于60分的用戶有多少名？（2）從（1）中參加座談的且評分不低于60分的用戶中隨機選取2名用戶，求這2名用戶的評分恰有1名低于80分的概率；（3）若A地區(qū)用戶對該公司產品的評分的平均值為，B地區(qū)用戶對該公司產品的評分的平均值為，兩個地區(qū)的所有用戶對該公司產品的評分的平均值為，試比較和的大小，并說明理由．典例3、為了保障學生們的合法權益，并保證高考的公平性，重慶市施行的新高考方案中再選科目的高考成績采用賦分制.賦分制在一定程度上縮小了試題難度不同帶來的分數差，也在一定程度上減少了學科難度不一造成的分數差.2022年高考成績公布后，重慶市某中學收集了部分學生的高考成績，其中地理成績均在（單位：分），將收集到的地理成績按分組，得到頻率分布直方圖如下.（1）求，并估計該校2022年高考地理科的平均成績；（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）（2）已知該校2022年所有參加高考的學生中歷史類考生占20%，物理類考生占80%，歷史類考生中選考地理的占90%，物理類考生中選考地理的占5%，歷史類考生中高考地理成績不低于90分的占8%，若從該校2022年高考地理成績不低于90分的學生中任選1名代表進行經驗交流，求選到歷史類考生的概率（以樣本中各區(qū)間的頻率作為相應事件的概率）.隨堂練習：某服裝加工廠為了提高市場競爭力，對其中一臺生產設備提出了甲?乙兩個改進方案：甲方案是引進一臺新的生產設備，需一次性投資1900萬元，年生產能力為30萬件；乙方案是將原來的設備進行升級改造，需一次性投入700萬元，年生產能力為20萬件.根據市場調查與預測，該產品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，無論是引進新生產設備還是改造原有的生產設備，設備的使用年限均為6年，該產品的銷售利潤為15元/件（不含一次性設備改進投資費用）.（1）根據年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點值作年銷量的估計值，并假設每年的銷售量相互獨立.①根據頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率；②若以該生產設備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據，試判斷該服裝廠應選擇哪個方案.（6年的凈利潤=6年銷售利潤-設備改進投資費用）

知識點一寫出簡單離散型隨機變量分布列,由隨機變量的分布列求概率,獨立事件的乘法公式典例4、2022年11月21日.第22屆世界杯在卡塔爾開幕.小組賽階段，已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊，這四支球隊之間進行單循環(huán)比賽（每支球隊均與另外三支球隊進行一場比賽）；每場比賽勝者積3分，負者積0分；若出現平局，則比賽雙方各積1分.若每場比賽中，一支球隊勝對手或負對手的概率均為，出現平局的概率為.（1）求甲隊在參加兩場比賽后積分的分布列與數學期望；（2）小組賽結束后，求四支球隊積分均相同的概率.

隨堂練習：8月5日晚，2022首屆湖南·岳陽“洞庭漁火季”開幕式在洞庭南路歷史文化街區(qū)工業(yè)遺址公園（岳陽港工業(yè)遺址公園）舉行，舉辦2022首屆湖南·岳陽“洞庭漁火季”，是我市深入貫徹落實中央和省委“穩(wěn)經濟、促消費、激活力”要求，推出的大型文旅活動，旨在進一步深挖岳陽“名樓”底蘊、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳陽”文旅IP，為加快推進文旅融合發(fā)展拓展新維度、增添新動力.活動期間，某小吃店的生意異?；鸨?，對該店的一個服務窗口的顧客從排隊到取到食品的時間進行統計，結果如下：取到食品所需的時間（分）12345頻率0.050.450.350.10.05假設每個顧客取到食品所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘.從排隊的第一個顧客等待取食品開始計時.（1）試估計“恰好4分鐘后，第三個顧客開始等待取食品”的概率；（2）若隨機變量X表示“至第2分鐘末，已取到食品的顧客人數”，求X的分布列及數學期望.典例5、某智能共享單車備有、兩種車型，采用分段計費的方式營用，型單車每30分鐘收費0.5元（不足30分鐘的部分按30分鐘計算），型單車每30分鐘收費1元（不足30分鐘的部分按30分鐘計算），現有甲、乙、丙三人，分別相互獨立地到租車點租車騎行（各租一車一次），設甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為，，，并且三個人每人租車都不會超過60分鐘，甲、乙均租用型單車，丙租用型單車.（1）求甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率；（2）設甲、乙、丙三人所付費用之和為隨機變量，求的分布列和數學期望.

隨堂練習：2022年10月1日，某超市舉行“迎國慶促銷抽獎活動”，所有購物的顧客，以收銀臺機打發(fā)票為準，尾數為偶數（尾數中的奇偶數隨機出現）的顧客，可以獲得三次抽獎，三次抽獎獲得獎品的概率分別為，，，每次中獎都可以獲得一份獎品，且每次抽獎是否中獎互不影響.（1）求顧客獲得兩個獎品的概率；（2）若3位購物的顧客，沒有獲獎的人數記為，求的分布列與數學期望.典例6、甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍末出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立.（1）求乙只贏1局且甲贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負時的總局數，求的分布列和期望.

隨堂練習：某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，打算在周一到周五連續(xù)為該社區(qū)居民舉行“社區(qū)音樂會”，每晚舉行一場，但若遇到風雨天氣，則暫停舉行.根據氣象部門的天氣預報得知，在周一到周五這五天的晚上，前三天每天出現風雨天氣的概率均為，后兩天每天出現風雨天氣的概率均為，每天晚上是否出現風雨天氣相互獨立.已知前兩天的晚上均出現風雨天氣的概率為，且這五天至少有一天晚上出現風雨天氣的概率為.（1）求該社區(qū)能舉行4場音樂會的概率；（2）求該社區(qū)舉行音樂會場數的分布列和數學期望.人教A版數學--概率專題十答案典例1、答案：（1）2.8千米（2）會選擇乙平臺，因為每天平均收入會高一些解：（1）由頻率分布直方圖可知：平均運送距離為(千米)，所以估計該市外賣員的平均運送距離為2.8千米.（2）設外賣員在甲平臺每份外賣的收入為X元，在乙平臺每份外賣的收入為Y元，則可得到X，Y的分布列分別為：X2513P0.050.550.4則(元)，(元)，即選擇甲平臺每天的平均收入為402.5元.Y361218P0.250.350.250.15則(元)，(元)，即選擇乙平臺每天的平均收入為427.5元.因為故會選擇乙平臺，因為每天平均收入會高一些.隨堂練習：答案：（1）16支；（2）選擇方案二，理由見解析.解：（1），所以該采購商購買的烏天麻每千克的平均支數為16支.（2）方案一：采購總額為：元方案二：烏天麻規(guī)格在的數量為：（千克），規(guī)格在的數量為：（千克），規(guī)格在的數量為：（千克），規(guī)格在的數量為：（千克）.采購總額：元因為139000元<140000元，所以從采購商的角度考慮，選擇方案二.典例2、答案：（1）平均數2；方差（2）方案一解：（1）樣本平均數（萬元），樣本方差（萬元2）.（2）方案一：（萬元），.月薪落在區(qū)間Ω左側收取費用約為（萬元）；月薪落在區(qū)間Ω內收取費用約為（萬元）；月薪落在區(qū)間Ω右側收取費用約為（萬元）.因此這50人共收取費用約為（萬元）.方案二：這50人共收取費用約為（萬元）.故方案一能收到更多的費用.隨堂練習：答案：（1）6（2）（3），理由見解析解：（1）由題知地區(qū)共抽取400名用戶，其中有240名用戶對該公司產品的評分不低于60分，故抽取的人數為,（2）由（1）知：不低于60分的人抽取了6人，這6人中，評分在的人數為，記這4個人分別為，評分在的人數為，記這2人分別為,故從6個人中選取2人的全部基本事件有：,共有15種，恰有1名低于80分包含的基本事件有：共有8種，因此2名用戶的評分恰有1名低于80分的概率為,，理由如下：，，所以，因為，兩地區(qū)人數比為，故地區(qū)抽取人數占總數的，地區(qū)抽取人數占總數的，則，所以．典例3、答案：（1），估計該校2022年高考地理科的平均成績?yōu)椋?）解：（1）由題意可得：，解得，估計該校2022年高考地理科的平均成績?yōu)椋海?）該校2022年所有參加高考的學生中任選1名，記“選到歷史類考生”為事件A，“選到物理類考生”為事件B，“選到選考地理的考生”為事件C，則有∴，記“選到高考地理成績不低于90分”為事件D，則，∴故，若從該校2022年高考地理成績不低于90分的學生中任選1名代表進行經驗交流，選到歷史類考生的概率.隨堂練習：答案：（1）（萬件）（2）①0.6；②乙方案.解：（1）年銷量的平均數（萬件）.（2）①該產品的銷售利潤為15元/件，由題意得只有當年銷售量不低于18萬件時年銷售利潤才不低于270萬，所以年銷售利潤不低于270萬的概率.②設甲方案的年銷售量為X萬件，由（1）可知甲方案的年銷售量的期望，所以甲方案6年的凈利潤的期望值為（萬元）.設乙方案的年銷售量為Y萬件，則乙方案的年銷售量的分布列為Y121620P0.050.350.6所以乙方案的年銷售量期望（萬件），所以乙方案6年的凈利潤的期望值為（萬元），因為乙方案的凈利潤的期望值大于甲方案的凈利潤的期望值，所以企業(yè)應該選擇乙方案.典例4、答案：（1）分布列見解析，（2）解：（1）甲隊參加兩場比賽后積分的取值為0，1，2，3，4，6，則，，，，，，所以隨機變量X的分布列為：012346隨機變量的數學期望：.（2）由于小組賽共打6場比賽，每場比賽兩個球隊共積2分或者3分；6場比賽總積分的所有情況為12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7種情況，要使四支球隊積分相同，則總積分被4整除，所以每只球隊總積分為3分或者4分.若每支球隊得3分：則6場比賽都出現平局，其概率為：；若每支球隊得4分：則每支球隊3場比賽結果均為1勝1平1負，其概率為：﹒所以四支球隊積分相同的概率為.隨堂練習：答案：（1）；（2）分布列見解析，解：（1）設Y表示每個顧客取到食品所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下:123450.050.450.350.10.05A表示事件“恰好4分鐘后，第三個顧客開始等待取食品”，則事件A對應三種情形：①第一個人取到食品所需的時間為1分鐘，且第二個人取到食品所需的時間為3分鐘；②第一人取到食品所需的時間為3分鐘，且第二人取到食品所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個人取到食品所需的時間均為2分鐘.所以.（2）X所有可能的取值為0，1，2.對應第一個人取到食品所需的時間超過2分鐘，所以;