2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題四（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題四知識(shí)點(diǎn)一求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)典例1、已知函數(shù)f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．（1）若k＝0，求曲線y＝f(x)在x＝0處切線的方程；（2）討論函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.典例2、已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）若，求曲線的斜率等于3的切線方程；（2）若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.典例3、已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，其中.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.知識(shí)點(diǎn)二求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）,利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)典例4、已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)（）是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).典例5、已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求k的值；（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，設(shè)．（1）若，求的最小值（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若直線是曲線的一條切線，求證：，都有．典例6、已知函數(shù)，（）.（1）求函數(shù)在點(diǎn)（e，e）處的切線方程；（2）已知，求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a=3時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：對(duì)于任意的k<1，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題四答案典例1、答案：（1）（2）當(dāng)時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有有2個(gè)零點(diǎn).解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則曲線在處切線的斜率為，又，故切點(diǎn)為，因此切線方程為.（2）首先證明：當(dāng)時(shí)，.證明：設(shè)，，則，單調(diào)遞增，于是，即原不等式得證.，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增.若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，故此時(shí)有且僅有1個(gè)零點(diǎn).若，則，又，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，，因此在上有2個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有有2個(gè)零點(diǎn).隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析解：（1），所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.（2）設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；且，，由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以在上沒(méi)有零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，所以在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；在區(qū)間上，此時(shí)單調(diào)遞減，且，故有，此時(shí)單調(diào)遞減，且，由，得，所以.當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，故，，，所以存在，使，即，故為的極小值點(diǎn).此時(shí).所以在上沒(méi)有零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，所以，所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).典例2、答案：（1）（2）見(jiàn)解析解：（1）當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)的坐標(biāo)為切線的斜率切線的方程為：即（2）令，解得，在上遞增同理可得，在上遞增上遞減討論函數(shù)零點(diǎn)情況如下：（Ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，而，在上有一個(gè)零點(diǎn)（Ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，由于，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，由函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，在有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)，即時(shí)，，而且，由函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，從而在有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有無(wú)零點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）．解:由已知函數(shù)定義域是，（1），，由解得（舍去），又，所以切線方程為，即；（2），易知只有一個(gè)極值點(diǎn)，要使得有兩個(gè)零點(diǎn)則，即，此時(shí)在上，遞減，在上，遞增，在時(shí)取得極小值，所以解得．綜上的范圍是．典例3、（1）；（2）.解:（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得，解得，即的取值范圍是.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）,，則，故所求切線方程為；（2），當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，從而，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，綜上，a的取值范圍為（0，1）.典例4、答案：（1）（2）或（3）解：（1）因?yàn)榍€在處的切線方程為，所以切點(diǎn)為，所以，得（2）由（1）得，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)椋栽趨^(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，因?yàn)?，所以在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，綜上或（3），則，由，得，因?yàn)椋ǎ┦呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，所以，，所以，因?yàn)椋?，解得或，因?yàn)?，所以，所以令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，所以，所以實(shí)數(shù)的最大值為隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)．解：（1）若，則，所以，所以，所以切線方程為（2）依題意，在區(qū)間上因?yàn)椋畹?，或．若，則由得，；由得，．所以，滿足條件；若，則由得，或；由得，，依題意，即，所以．若，則．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足條件；綜上，．（3），．所以．設(shè)，．令得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的最小值為．因?yàn)?，所以．所以的最小值．從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，設(shè)．則．令得．由，得；由，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．所以恒成立．所以，．所以．又，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)．典例5、答案：（1）（2）或（3）解：（1）因?yàn)?，所以，切線斜率為，又，切點(diǎn)為，所以切線方程為；（2），，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為，，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)；又，，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)．綜上，的值為0或3；（3）函數(shù)，，所以，由得，依題意方程有兩不相等的正實(shí)根、，，，，又，，，解得，，構(gòu)造函數(shù)，，所以，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1）0（2）（3）證明見(jiàn)解析解：（1）當(dāng)時(shí)，，令．列表如下：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值0單調(diào)遞增所以的最小值為0（2），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，首先必有當(dāng)時(shí)，注意到，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上：取值范圍為．（3）由題得，，設(shè)與切于，，，要證：，需證：即證：，即證：．令，需要證明：，．構(gòu)造，，在上單調(diào)遞增，，證畢．典例6、答案：（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）解：（1）由已知，所以，所以，切線斜率，所以函數(shù)在，點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，由得，所以當(dāng)時(shí)，由，函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有變號(hào)零點(diǎn)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).（3）不等式等價(jià)于.令，則在上恒成立，所以必須有，所以.又，顯然當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.綜上可知，的取值范圍為.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.解：（1）由求導(dǎo)得：，則，而，所以函數(shù)在處的切線方程為：，即.（2），，令，求導(dǎo)得：，當(dāng)