2025高考總復習專項復習-一元函數(shù)的導數(shù)及其應用專題四（含解析）

21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）2024年高考導數(shù)復習專題四知識點一求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數(shù)研究函數(shù)的零點典例1、已知函數(shù)f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．（1）若k＝0，求曲線y＝f(x)在x＝0處切線的方程；（2）討論函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上零點的個數(shù)．隨堂練習：已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.典例2、已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上的零點個數(shù).隨堂練習：已知函數(shù).（1）若，求曲線的斜率等于3的切線方程；（2）若在區(qū)間上恰有兩個零點，求a的取值范圍.典例3、已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，求的取值范圍.隨堂練習：已知函數(shù)，其中.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在內只有一個零點，求的取值范圍.知識點二求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利用導數(shù)研究函數(shù)的零點典例4、已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求的值；（3）記函數(shù)，設（）是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)的最大值.隨堂練習：已知函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）若，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).典例5、已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點，求k的值；（3）記函數(shù)，設是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.隨堂練習：已知函數(shù)，設．（1）若，求的最小值（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若直線是曲線的一條切線，求證：，都有．典例6、已知函數(shù)，（）.（1）求函數(shù)在點（e，e）處的切線方程；（2）已知，求函數(shù)極值點的個數(shù)；（3）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.隨堂練習：已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求a的取值范圍；（3）當a=3時，設函數(shù)，證明：對于任意的k<1，函數(shù)有且只有一個零點．2024年高考導數(shù)復習專題四答案典例1、答案：（1）（2）當時，有且僅有1個零點；當時，有有2個零點.解：（1）當時，，，則曲線在處切線的斜率為，又，故切點為，因此切線方程為.（2）首先證明：當時，.證明：設，，則，單調遞增，于是，即原不等式得證.，，當時，，故在上單調遞增.若，則當時，，單調遞增，又，故此時有且僅有1個零點.若，則，又，所以在上存在唯一的零點，，當，，當，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，且，，因此在上有2個零點.綜上，當時，有且僅有1個零點；當時，有有2個零點.隨堂練習：答案：（1）（2）在區(qū)間上有且僅有一個零點，理由見解析解：（1），所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.（2）設，則，①當時，，所以單調遞減；且，，由零點存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使又當時，；當時，，所以在上單調遞增，且，，所以在上有唯一零點；當時，單調遞減，且，所以在上沒有零點.②當時，單調遞增，，，所以在區(qū)間有唯一零點，設為，當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增；在區(qū)間上，此時單調遞減，且，故有，此時單調遞減，且，由，得，所以.當時，，所以單調遞增，又，故，，，所以存在，使，即，故為的極小值點.此時.所以在上沒有零點.③當時，，所以，所以在區(qū)間上沒有零點.綜上在區(qū)間上有且僅有一個零點.典例2、答案：（1）（2）見解析解：（1）當時，，即切點的坐標為切線的斜率切線的方程為：即（2）令，解得，在上遞增同理可得，在上遞增上遞減討論函數(shù)零點情況如下：（Ⅰ）當，即時，函數(shù)無零點，在上無零點（Ⅱ）當，即時，函數(shù)在上有唯一零點，而，在上有一個零點（Ⅲ）當，即時，由于，當時，即時，，由函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上有唯一零點，在上有唯一零點，在有兩個零點當，即時，，而且，由函數(shù)單調性可知，函數(shù)在上有唯一零點，在上沒有零點，從而在有一個零點綜上所述，當時，函數(shù)在有無零點當或時，函數(shù)在有一個零點當時，函數(shù)在有兩個零點隨堂練習：答案：（1）；（2）．解:由已知函數(shù)定義域是，（1），，由解得（舍去），又，所以切線方程為，即；（2），易知只有一個極值點，要使得有兩個零點則，即，此時在上，遞減，在上，遞增，在時取得極小值，所以解得．綜上的范圍是．典例3、（1）；（2）.解:（1）當時，，對函數(shù)求導可得，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由（1）知，因為，所以，所以，所以，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.因為函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，結合零點存在定理可得，解得，即的取值范圍是.隨堂練習：答案：（1）；（2）.解：（1）,，則，故所求切線方程為；（2），當時，對恒成立，則在上單調遞增，從而，則，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，則，當時，對恒成立，則在上單調遞減，在（1，2）內沒有零點，綜上，a的取值范圍為（0，1）.典例4、答案：（1）（2）或（3）解：（1）因為曲線在處的切線方程為，所以切點為，所以，得（2）由（1）得，則，當時，，當時，，所以在上遞減，上遞增，所以當時，取得極小值，因為，所以在區(qū)間上存在一個零點，此時，因為，所以在區(qū)間上存在一個零點，此時，綜上或（3），則，由，得，因為（）是函數(shù)的兩個極值點，所以方程有兩個不相等的正實根，所以，，所以，因為，所以，解得或，因為，所以，所以令，則，所以在上單調遞減，所以當時，取得最小值，即，所以，所以實數(shù)的最大值為隨堂練習：答案：（1）；（2）；（3）當時，函數(shù)恰有1個零點．解：（1）若，則，所以，所以，所以切線方程為（2）依題意，在區(qū)間上因為，．令得，或．若，則由得，；由得，．所以，滿足條件；若，則由得，或；由得，，依題意，即，所以．若，則．所以在區(qū)間上單調遞增，，不滿足條件；綜上，．（3），．所以．設，．令得．當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以的最小值為．因為，所以．所以的最小值．從而，在區(qū)間上單調遞增．又，設．則．令得．由，得；由，得．所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以．所以恒成立．所以，．所以．又，所以當時，函數(shù)恰有1個零點．典例5、答案：（1）（2）或（3）解：（1）因為，所以，切線斜率為，又，切點為，所以切線方程為；（2），，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，所以的極小值為，，在區(qū)間上存在一個零點，此時；又，，在區(qū)間上存在一個零點，此時．綜上，的值為0或3；（3）函數(shù)，，所以，由得，依題意方程有兩不相等的正實根、，，，，又，，，解得，，構造函數(shù)，，所以，在上單調遞減；所以當時，，所以．隨堂練習：答案：（1）0（2）（3）證明見解析解：（1）當時，，令．列表如下：單調遞減極小值0單調遞增所以的最小值為0（2），當時，單調遞減；當時，單調遞增，，要使有兩個零點，首先必有當時，注意到，在和上各有一個零點，符合題意，綜上：取值范圍為．（3）由題得，，設與切于，，，要證：，需證：即證：，即證：．令，需要證明：，．構造，，在上單調遞增，，證畢．典例6、答案：（1）（2）答案見解析（3）解：（1）由已知，所以，所以，切線斜率，所以函數(shù)在，點處的切線方程為，即.（2），令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又，由得，所以當時，由，函數(shù)有兩個變號零點，函數(shù)有兩個極值點.當時，函數(shù)有一個變號零點，函數(shù)有一個極值點.當時，函數(shù)沒有變號零點，函數(shù)沒有極值點.（3）不等式等價于.令，則在上恒成立，所以必須有，所以.又，顯然當時，，則函數(shù)在上單調遞增，所以，所以.綜上可知，的取值范圍為.隨堂練習：答案：（1）；（2）；（3）證明見解析.解：（1）由求導得：，則，而，所以函數(shù)在處的切線方程為：，即.（2），，令，求導得：，當