2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第八章第1講含答案

2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第八章第1講含答案第1講基本立體圖形及其直觀圖[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖．1．多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義(1)由若干個(gè)eq\x(\s\up1(01))平面多邊形圍成的幾何體叫多面體．(2)一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的eq\x(\s\up1(02))一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做eq\x(\s\up1(03))旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體．2．棱柱的概念及其分類(1)棱柱的概念有兩個(gè)面eq\x(\s\up1(04))互相平行，其余各面都是eq\x(\s\up1(05))四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都eq\x(\s\up1(06))互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．(2)棱柱的分類①按底面多邊形邊數(shù)來分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按側(cè)棱是否與底面垂直側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做eq\x(\s\up1(07))直棱柱，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做eq\x(\s\up1(08))斜棱柱．底面是正多邊形的直棱柱叫做eq\x(\s\up1(09))正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做eq\x(\s\up1(10))平行六面體．3．棱錐的概念及其分類(1)棱錐的概念有一個(gè)面是eq\x(\s\up1(11))多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的eq\x(\s\up1(12))三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．(2)棱錐的分類①按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……②底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做eq\x(\s\up1(13))正棱錐．4．棱臺(tái)的概念及其分類(1)棱臺(tái)的概念用一個(gè)eq\x(\s\up1(14))平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái)．(2)棱臺(tái)的分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……5．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的概念及表示定義圖形及表示圓柱以eq\x(\s\up1(15))矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，如圖中圓柱表示為圓柱O′O圓錐以eq\x(\s\up1(16))直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體，如圖中圓錐表示為圓錐SO圓臺(tái)用eq\x(\s\up1(17))平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)，如圖中圓臺(tái)表示為圓臺(tái)O′O球eq\x(\s\up1(18))半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球，如圖中的球表示為球O6．簡單組合體(1)概念由eq\x(\s\up1(19))簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．(2)兩種構(gòu)成形式①由簡單幾何體eq\x(\s\up1(20))拼接而成；②由簡單幾何體eq\x(\s\up1(21))截去或挖去一部分而成．7．直觀圖(1)畫法：常用eq\x(\s\up1(22))斜二測畫法．(2)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟1．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?圖形改變))“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(平行性不改變,與x，z軸平行的線段的長度不改變,相對位置不改變)))2．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．1．下列結(jié)論正確的是()A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長均相等的四面體是正四面體C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)答案B解析底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯(cuò)誤；斜四棱柱也可能有兩個(gè)側(cè)面是矩形，C錯(cuò)誤；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間的部分才叫圓臺(tái)，D錯(cuò)誤．故選B.2.如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是()A．AB B．ADC．BC D．AC答案D解析△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，則AC>AB，AC>AD，AC>BC.故選D.3．(人教B必修第四冊11.1.1練習(xí)AT4改編)以下利用斜二測畫法得到的結(jié)論中，正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍相等B．相等的線段在直觀圖中仍相等C．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形D．菱形的直觀圖是菱形答案C解析根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，平行于坐標(biāo)軸的直線平行性不變，平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度減半，故A，B，D錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)平行性不變原則，平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形，C正確．故選C.4.(多選)(人教B必修第四冊11.1.1練習(xí)AT1(3)改編)如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，將其復(fù)原為正方體后，互相重合的點(diǎn)是()A．A與B B．D與EC．B與D D．C與F答案ABD解析將平面展開圖還原成正方體如圖所示，所以互相重合的點(diǎn)是A與B，D與E，C與F.故選ABD.5.(人教A必修第二冊習(xí)題8.1T8改編)如圖所示，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一小部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺(tái) B．四棱柱C．五棱柱 D．簡單組合體答案C解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．故選C.考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列說法正確的是()A．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后不一定交于一點(diǎn)答案B解析A錯(cuò)誤，如圖1；B正確，如圖2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；C錯(cuò)誤，如圖3；D錯(cuò)誤，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱延長后必相交于同一點(diǎn)．故選B.識(shí)別空間幾何體的兩種方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可1.下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．若正棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線答案D解析由圖1知，A錯(cuò)誤；如圖2，當(dāng)兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，B錯(cuò)誤；若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯(cuò)誤；由母線的概念知，D正確．故選D.2.(多選)如圖，將裝有半槽水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是()A．四棱柱 B．四棱臺(tái)C．三棱柱 D．三棱錐答案AC解析根據(jù)題圖，因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱．故選AC.考向二平面圖形與其直觀圖的關(guān)系例2(多選)(2023·朝陽建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，則以下說法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC的周長是4＋4eq\r(2)答案CD解析根據(jù)斜二測畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點(diǎn)，AC⊥OB，因?yàn)镺′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，則△ABC是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示，所以△ABC的周長是4＋4eq\r(2)，面積是4，故A錯(cuò)誤，C，D正確；由斜二測畫法可知，△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2eq\r(2)倍，故B錯(cuò)誤．故選CD.在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．注意：直觀圖面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)倍．用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為________cm2.答案8解析解法一：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上、下底的長分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.解法二：依題意可知，S直觀圖＝2eq\r(2)(cm2)，故S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝8(cm2)．多角度探究突破考向三空間幾何體的展開圖和截面圖角度空間幾何體的展開圖問題例3某圓柱的高為2，底面周長為16，M，N分別是圓柱上、下底面圓周上的兩點(diǎn)，O為下底面圓的圓心，ME是圓柱的母線，OE⊥ON，如圖所示，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2答案B解析圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為EP的四等分點(diǎn))如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．EN＝eq\f(1,4)×16＝4，EM＝2，∴MN＝eq\r(EM2＋EN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.角度空間幾何體的截面問題例4某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長為4eq\r(3)的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個(gè)截面圓的周長為4π，則該球的半徑是()A．2 B．4C．2eq\r(6) D．4eq\r(6)答案B解析設(shè)截面圓的半徑為r，球的半徑為R，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半，即2eq\r(3)，根據(jù)截面圓的周長可得4π＝2πr，得r＝2，故由題意知R2＝r2＋(2eq\r(3))2，即R2＝22＋(2eq\r(3))2＝16，所以R＝4.故選B.(1)通常利用空間幾何體的表面展開圖解決以下問題：①求幾何體的表面積或側(cè)面積；②求幾何體表面上任意兩個(gè)點(diǎn)的最短表面距離．(2)求解與截面有關(guān)的問題的關(guān)鍵是確定截面的形狀，并從幾何體中獲取相關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算．(3)作多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連接成截線，從而得到截面．1.如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為1cm，高為5cm，若一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)最短路線的長為()A．12cm B．13cmC.eq\r(61)cm D．15cm答案C解析如圖所示，把側(cè)面展開兩周可得對角線最短，AA′1＝eq\r(62＋52)＝eq\r(61)(cm)．故選C.2．(多選)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，AC1⊥平面α.平面α截此正方體所得的截面有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．截面形狀可能是正三角形B．截面的形狀可能是正方形C．截面形狀可能是正五邊形D．截面面積的最大值為3eq\r(3)答案AD解析對于A，當(dāng)α截此正方體所得截面為B1CD1時(shí)滿足，故A正確；對于B，由對稱性得截面形狀不可能為正方形，故B錯(cuò)誤；對于C，由對稱性得截面形狀不可能是正五邊形，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)截面為正六邊形時(shí)面積最大，為6×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝3eq\r(3)，故D正確．故選AD.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．將一個(gè)等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái) D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐答案D解析從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖所示．故選D.2．(2024·衡水模擬)將12根長度相同的小木棍通過黏合端點(diǎn)的方式(不可折斷)，不可能拼成()A．正三棱柱 B．正四棱錐C．正四棱柱 D．正六棱錐答案D解析A，B，C中的圖形均可由12根長度相同的小木棍通過黏合端點(diǎn)的方式得到；對于D，因?yàn)檎呅蔚闹行牡搅鶄€(gè)頂點(diǎn)的距離都等于邊長，所以正六棱錐的側(cè)棱長總比底邊長，故D不成立．故選D.3．(2023·濟(jì)南一模)已知正三角形的邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(6),4)C．2eq\r(2) D．2eq\r(6)答案B解析S原圖＝eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝eq\r(3)，由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系eq\f(S直觀圖,S原圖)＝eq\f(\r(2),4)，得S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),4).故選B.4．在我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個(gè)問題中，葛藤長的最小值為()A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺答案C解析由題意，圓柱的側(cè)面展開兩次后是一條直角邊(即圓木的高)長24尺，另一條直角邊長5×2＝10尺的矩形，因此葛藤長的最小值為eq\r(242＋102)＝26(尺)，即為2丈6尺．故選C.5.通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺(tái)形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個(gè)半圓環(huán)(其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm)制作該容器的側(cè)面，則該圓臺(tái)形容器的高為()A.eq\f(\r(3),2)cm B．1cmC.eq\r(3)cm D.eq\f(3\r(3),2)cm答案D解析由已知圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，不妨設(shè)上、下底面圓的半徑分別為rcm，Rcm(r<R)，則2πr＝π×1，2πR＝π×4，解得r＝eq\f(1,2)，R＝2.所以圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，其上、下底邊的長分別為1cm和4cm，腰長為3cm，即AD＝1cm，BC＝4cm，AB＝3cm，過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，所以BH＝eq\f(3,2)cm，AH＝eq\f(3\r(3),2)cm，該圓臺(tái)形容器的高為eq\f(3\r(3),2)cm.故選D.6．過棱長為1的正方體的一條體對角線作截面，則截得正方體的截面面積的最小值是()A．1 B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(6),2)答案D解析取AA1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)F，連接BE，ED1，D1F，F(xiàn)B，如圖所示．四邊形BED1F為過棱長為1的正方體的一條體對角線BD1所作截面的面積最小的截面，且四邊形BED1F是菱形，其截面面積為eq\f(1,2)BD1·EF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).故選D.7.如圖所示，在單位正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點(diǎn)P，使得AP＋D1P取得最小值，則此最小值為()A．2 B.eq\f(\r(2)＋\r(6),2)C．2＋eq\r(2) D.eq\r(2＋\r(2))答案D解析如圖所示，把對角面A1C繞A1B旋轉(zhuǎn)至A1BC′D1′，使其與△AA1B在同一平面上，連接AD1′，則AD1′＝eq\r(1＋1－2×1×1×cos135°)＝eq\r(2＋\r(2))為所求的最小值．故選D.8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)答案C解析如圖，O為正方形ABCD的中心，E為CD的中點(diǎn)．設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由題意，得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(負(fù)值舍去)．故選C.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·池州期中)如圖，我們常見的足球是由若干個(gè)正五邊形和正六邊形皮革縫合而成．如果我們把足球抽象成一個(gè)多面體，它有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F與棱數(shù)E滿足V＋F－E＝2，據(jù)此判斷，關(guān)于這個(gè)多面體的說法正確的是()A．共有20個(gè)六邊形 B．共有10個(gè)五邊形C．共有90條棱 D．共有32個(gè)面答案ACD解析由題意，設(shè)共有m個(gè)正五邊形，n個(gè)正六邊形，即eq\f(5m＋6n,3)＋(m＋n)－eq\f(5m＋6n,2)＝2，解得m＝12，故B錯(cuò)誤；∵頂點(diǎn)數(shù)V＝eq\f(5m＋6n,3)＝60，解得n＝20，故A正確；棱數(shù)E＝eq\f(5m＋6n,2)＝90，故C正確；面數(shù)F＝m＋n＝32，故D正確．故選ACD.10．(2024·成都模擬)如圖是由斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，則由圖形可知下列結(jié)論中正確的是()A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BCC．AB⊥BC D．AC>AD>AB>BC答案CD解析由直觀圖知△ABC為直角三角形，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D為BC的中點(diǎn)，如圖所示，又A1B1＝B1C1，故A，B錯(cuò)誤，C，D正確．11.在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱ABC－A1B1C1展開，得到的平面圖如圖所示，其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的點(diǎn)，則()A．AM與A1C1是異面直線B．AC⊥A1MC．平面AB1C將三棱柱截成兩個(gè)四面體D．A1M＋MC的最小值是eq\r(106)答案ABD解析由題設(shè)，得如圖1所示直三棱柱，由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，AM與A1C1是異面直線，A正確；因?yàn)锳A1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，則AC⊥平面AA1B1B，又A1M?平面AA1B1B，故AC⊥A1M，B正確；由圖1知，平面AB1C將三棱柱截成四棱錐B1－ACC1A1和三棱錐B1－ABC，一個(gè)五面體和一個(gè)四面體，C錯(cuò)誤；將平面AA1B1B和平面CC1B1B展開到一個(gè)平面內(nèi)，如圖2，當(dāng)A1，M，C共線時(shí)，A1M＋MC最小，為eq\r(106)，D正確．故選ABD.三、填空題12．若已知△ABC的直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，則△ABC的面積為_________．答案eq\f(\r(6),2)a2解析如圖所示是△ABC的直觀圖△A′B′C′.作C′D′∥y′軸交x′軸于點(diǎn)D′，則C′D′對應(yīng)△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2×eq\r(2)×C′O′＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(6)a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.13．過年了，小張準(zhǔn)備去探望奶奶，到商店買了一盒點(diǎn)心．為了美觀，售貨員用彩繩對點(diǎn)心盒做了一個(gè)捆扎(如圖1所示)，并在角上配了一個(gè)花結(jié)．彩繩與長方體點(diǎn)心盒均相交于棱的四等分點(diǎn)處．設(shè)這種捆扎方法所用繩長為l1，一般的十字捆扎(如圖2所示)所用繩長為l2.若點(diǎn)心盒的長、寬、高之比為2∶2∶1，則eq\f(l1,l2)的值為________．答案eq\f(\r(2),2)解析設(shè)點(diǎn)心盒的長為2a(a>0)，因?yàn)辄c(diǎn)心盒的長、寬、高之比為2∶2∶1，所以點(diǎn)心盒的寬、高分別為2a，a.如題圖1，繩長l1＝4×eq\f(\r(2),2)a＋4×eq\r(2)a＝6eq\r(2)a，如題圖2，繩長l2＝4×2a＋4a＝12a，所以eq\f(l1,l2)＝eq\f(6\r(2)a,12a)＝eq\f(\r(2),2).14．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為________．答案26eq\r(2)－1解析先求面數(shù)，有如下兩種解法．解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9＋8＝26個(gè)面．解法二：一般地，對于凸多面體，頂點(diǎn)數(shù)(V)＋面數(shù)(F)－棱數(shù)(E)＝2.(歐拉公式)由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24.故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱長．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長為x，則正八邊形的邊長即為棱長．連接AF，過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，∴eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，∴x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.四、解答題15．一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2，25πcm2，求：(1)圓臺(tái)的高；(2)將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線長．解(1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.又由題意知腰長AB＝12cm，所以圓臺(tái)的高AM＝eq\r(122－（5－2）2)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如圖所示，延長BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為lcm，則由△SAO1∽△SBO，可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20，即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20cm.16.如圖，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm，10cm，母線長AB＝20cm，從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.求：(1)繩子的最短長度；(2)在繩子最短時(shí)，求上底面圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離．解(1)如圖，繩子的最短長度為側(cè)面展開圖中AM的長度．由eq\f(OB,OB＋AB)＝eq\f(5,10)，得OB＝20cm，所以O(shè)A＝40cm，OM＝30cm.設(shè)∠BOB′＝θ，由2π×5＝OB·θ，解得θ＝eq\f(π,2).所以AM＝eq\r(OA2＋OM2)＝50(cm)，即繩子的最短長度為50cm.(2)過點(diǎn)O作OQ⊥AM于點(diǎn)Q，交eq\o(BB′,\s\up8(︵))于點(diǎn)P，則PQ的長度為所求最短距離．因?yàn)镺A·OM＝AM·OQ，所以O(shè)Q＝24cm.故PQ＝24－20＝4(cm)，即上底面圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離為4cm.17．北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是eq\f(π,3)，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π－3×eq\f(π,3)＝π，故其總曲率為4π.(1)求四棱錐的總曲率；(2)若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．解(1)由題意可知，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和．可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有與頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合．由圖可知，四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)面為三角形，1個(gè)面為四邊形．所以四棱錐的表面內(nèi)角和為4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形的所有內(nèi)角和，則其總曲率為2π×5－(4π＋2π)＝4π.(2)證明：設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為n，l，m，所以有n－l＋m＝2.設(shè)第i個(gè)面的棱數(shù)為xi，所以x1＋x2＋…＋xm＝2l，所以總曲率為2πn－π[(x1－2)＋(x2－2)＋…＋(xm－2)]＝2πn－π(2l－2m)＝2π(n－l＋m)＝4π，所以這類多面體的總曲率是常數(shù)．第2講簡單幾何體的表面積與體積[課程標(biāo)準(zhǔn)]知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題．1．多面體的表面積多面體的表面積就是圍成多面體eq\x(\s\up1(01))各個(gè)面的面積的和．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝eq\x(\s\up1(02))2πrlS圓錐側(cè)＝eq\x(\s\up1(03))πrlS圓臺(tái)側(cè)＝eq\x(\s\up1(04))π(r1＋r2)l3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝eq\x(\s\up1(05))Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝eq\x(\s\up1(07))4πR2V＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(4,3)πR3與體積有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等．1．(人教B必修第四冊習(xí)題11－1AT6改編)棱長為2的正四面體的表面積是()A.eq\r(3) B．4C．4eq\r(3) D．16答案C解析每個(gè)面的面積為eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，所以正四面體的表面積為4eq\r(3).故選C.2．(人教B必修第四冊11.1.4例1改編)設(shè)正六棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(5)，那么它的體積為()A．6eq\r(3) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．2答案B解析由正六棱錐底面邊長為1和側(cè)棱長為eq\r(5)，可知高h(yuǎn)＝2，又因?yàn)榈酌娣eS＝eq\f(3\r(3),2)，所以體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×2＝eq\r(3).故選B.3．設(shè)一個(gè)球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的表面積為()A．100π B.eq\f(256π,3)C．400π D.eq\f(500π,3)答案A解析由題意知切面圓的半徑r＝4，球心到切面圓心的距離d＝3，所以球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(42＋32)＝5，故球的表面積為4πR2＝4π×52＝100π.故選A.4．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺(tái)的體積為________．答案eq\f(7\r(6),6)解析如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高．因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)A1B1＝eq\f(\r(2),2)，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)AB＝eq\r(2)，故AM＝AO－A1O1＝eq\f(\r(2),2)，則A1M＝eq\r(A1A2－AM2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以所求棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×(4＋1＋eq\r(4×1))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).5.如圖所示，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺(tái)中，過上底面一邊A1B1作一個(gè)平行于棱C1C的平面A1B1EF，記平面分三棱臺(tái)兩部分的體積為V1(三棱柱A1B1C1－FEC)，V2，那么V1∶V2＝________．答案3∶4解析設(shè)三棱臺(tái)的高為h，上底面的面積是S，則下底面的面積是4S，∴V三棱臺(tái)＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，又V1＝Sh，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(Sh,\f(7,3)Sh－Sh)＝eq\f(3,4).考向一幾何體的表面積例1(1)(2023·襄陽四中模擬)如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是2，過PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為()A．(1＋eq\r(5))π B．(2＋eq\r(5))πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)＋\r(5)))π D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋\r(5)))π答案B解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2)，h＝eq\f(1,2)×2＝1，圓錐的母線長為eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，過PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為π×1×eq\r(5)＋2π×eq\f(1,2)×1＋π×12＝(2＋eq\r(5))π.故選B.(2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積為________cm2(結(jié)果中保留π)．答案1100π解析如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底周長為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，所以C＝π·SA.又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20cm.同理SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20(cm)．S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.求空間幾何體表面積的類型及方法多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積注意：(1)組合體的表面積注意銜接部分的處理．(2)靈活運(yùn)用直角三角形與直角梯形，如圓錐(臺(tái))中的高、母線、底面半徑；棱錐(臺(tái))中的高、棱長、底面邊長．1.若正四棱錐的底面邊長和高都為2，則其表面積為________．答案4＋4eq\r(5)解析如圖，由題意知底面正方形的邊長為2，正四棱錐的高為2，則正四棱錐的斜高PE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以該四棱錐的側(cè)面積S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，所以S表＝2×2＋4eq\r(5)＝4＋4eq\r(5).2.(2024·南充診斷)如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，eq\o(AC,\s\up8(︵))是四分之一圓，則圖中陰影部分以O(shè)C所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為________．答案5π解析該旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1，高是1，球的半徑是1，所以該旋轉(zhuǎn)體的表面積為π×12＋2π×1×1＋eq\f(1,2)×4π×12＝5π.多角度探究突破考向二幾何體的體積角度直接法求體積例2(2023·全國甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．3答案A解析取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，如圖，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，∴PE＝CE＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，又AB∩CE＝E，AB，CE?平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故選A.角度補(bǔ)形法求體積例3如圖，一個(gè)底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為4和10，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π答案B解析由幾何體的直觀圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上、下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.角度分割法求體積例4我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，薨，屋蓋也”．今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體(如圖所示)，下底面是邊長為2的正方形，上棱EF＝eq\f(3,2)，EF∥平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻薨的體積為()A．6 B.eq\f(11,3)C.eq\f(31,4) D．12答案B解析如圖，作FN∥AE，F(xiàn)M∥ED，分別交AB，CD于點(diǎn)N，M，連接MN，則多面體被分割為棱柱與棱錐兩個(gè)部分，則該芻薨的體積為VF－MNBC＋VADE－NMF＝eq\f(1,3)S四邊形MNBC·2＋S直截面·eq\f(3,2)＝eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))×2＋eq\f(2×2,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(11,3).故選B.角度轉(zhuǎn)化法求體積例5如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，則三棱錐A－A1EF的體積是________．答案8eq\r(3)解析由正三棱柱的底面邊長為4，得點(diǎn)F到平面A1AE的距離(等于點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離)為eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，則VA－A1EF＝VF－A1AE＝eq\f(1,3)S△A1AE×2eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).1．處理體積問題的思路2．求體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算割補(bǔ)法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體、不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算等體積法選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任何一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換1.(2023·佛山二模)極目一號(hào)(如圖1)是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長55m，高19m，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示(單位：m)，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的體積約為(參考數(shù)據(jù)：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)()A．9064m3 B．9004m3C．8944m3 D．8884m3答案A解析由圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為R＝eq\f(19,2)＝9.5(m)，而圓臺(tái)另一個(gè)底面的半徑為r＝1(m)，則V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×9.53≈eq\f(1714π,3)(m3)，V圓柱＝π×9.52×14≈1260π(m3)，V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)×(9.52π＋eq\r(9.52π×π)＋π)×31.5≈eq\f(3166π,3)(m3)，所以V＝V半球＋V圓柱＋V圓臺(tái)≈eq\f(1714π,3)＋1260π＋eq\f(3166π,3)≈9064(m3)．故選A.2．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為()A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．4 D．6答案B解析如圖，三棱錐A－B1CD1是由正方體ABCD－A1B1C1D1截去四個(gè)小三棱錐A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，又VABCD－A1B1C1D1＝23＝8，VA－A1B1D1＝VC－B1C1D1＝VB1－ABC＝VD1－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×23＝eq\f(4,3)，所以VA－B1CD1＝8－4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).3.如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．答案4解析解法一(分割法)：因?yàn)閹缀误w有兩對相對面互相平行，如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥DG于H，連接EH，即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH－ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF－CHG.由題意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH·AD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2，V三棱柱BEF－CHG＝S△BEF·DE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝2＋2＝4.解法二(補(bǔ)形法)：因?yàn)閹缀误w有兩對相對面互相平行，如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長為2的正方體，顯然所求多面體的體積為該正方體體積的一半．又正方體的體積V正方體ABHI－DEKG＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝eq\f(1,2)×8＝4.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·錦州二模)已知某圓錐的高為2eq\r(2)cm，體積為eq\f(2\r(2)π,3)cm3，則該圓錐的側(cè)面積為()A.eq\f(3π,2)cm2 B．3πcm2C．6πcm2 D．12πcm2答案B解析設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為r，l，由V＝eq\f(1,3)πr2×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3)，得r＝1cm，所以l＝eq\r(12＋（2\r(2)）2)＝3(cm)，所以該圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝3π(cm2)．故選B.2．張衡是中國東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱錐A－BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝eq\r(3)，BC＝2，利用張衡的結(jié)論可得球O的表面積為()A．30 B．10eq\r(10)C．33 D．12eq\r(10)答案B解析因?yàn)锽C⊥CD，所以BD＝eq\r(7)，又AB⊥底面BCD，所以球O的球心為側(cè)棱AD的中點(diǎn)，從而球O的直徑為AD＝eq\r(10).利用張衡的結(jié)論可得eq\f(π2,16)＝eq\f(5,8)，則π＝eq\r(10)，所以球O的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))eq\s\up12(2)＝10π＝10eq\r(10).故選B.3．(2024·合肥模擬)長方體的體對角線長為1，表面積為1，有一面為正方形，則其體積為()A.eq\f(\r(2),108) B.eq\f(\r(2),27)C.eq\f(\r(2),9) D.eq\f(\r(2),6)答案B解析不妨設(shè)長方體的底面為正方形，邊長為a，高為b，則底面的對角線為eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，∵長方體的體對角線長為1，表面積為1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4ab＋2a2＝1，,（\r(2)a）2＋b2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),6)，,b＝\f(2\r(2),3)，))∴長方體的體積為a2b＝eq\f(\r(2),27).故選B.4.(2023·河源模擬)最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》(1247年)．該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測雨”“圓罌測雨”“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”．“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量(平地降雪厚度＝器皿中積雪體積除以器皿口面積)，已知數(shù)據(jù)如圖(單位：cm)，則平地降雪厚度的近似值為()A.eq\f(91,12)cm B.eq\f(31,4)cmC.eq\f(95,12)cm D.eq\f(97,12)cm答案C解析器皿中雪表面的半徑為eq\f(20＋40,4)＝15(cm)，所以平地降雪厚度的近似值為eq\f(\f(1,3)π×20×（102＋152＋10×15）,π×202)＝eq\f(95,12)(cm)．故選C.5．(2024·武漢模擬)已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積等于表面積的eq\f(2,3)，且其軸截面的周長是16，則該圓柱的體積是()A．54π B．36πC．27π D．16π答案D解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，由題意可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2πrh＝\f(2,3)（2πrh＋2πr2），,4r＋2h＝16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,h＝4，))∴該圓柱的體積是πr2h＝16π.故選D.6.(2023·常州模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為60°的扇形．把該圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺(tái)的上底面半徑為eq\f(1,3)，則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A.eq\f(8π,3) B.eq\f(\r(35)π,2)C.eq\f(16π,3) D．8π答案C解析假設(shè)圓錐的半徑為R，母線長為l，則R＝1.設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，母線長為l1，則r＝eq\f(1,3).由已知可得，eq\f(π,3)＝eq\f(2πR,l)＝eq\f(2π,l)，所以l＝6.如圖，作出圓錐、圓臺(tái)的軸截面，則eq\f(l－l1,l)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,3)，所以l1＝4.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(R＋r)l1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))π＝eq\f(16π,3).故選C.7．(2023·天津高考)在三棱錐P－ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝eq\f(1,3)PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN＝eq\f(2,3)PB，則三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(4,9)答案B解析如圖，因?yàn)镻M＝eq\f(1,3)PC，PN＝eq\f(2,3)PB，所以eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(\f(1,2)PM·PNsin∠BPC,\f(1,2)PC·PBsin∠BPC)＝eq\f(PM·PN,PC·PB)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，所以eq\f(VP－AMN,VP－ABC)＝eq\f(VA－PMN,VA－PBC)＝eq\f(\f(1,3)S△PMN·d,\f(1,3)S△PBC·d)＝eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(2,9)(其中d為點(diǎn)A到平面PBC的距離，因?yàn)槠矫鍼MN和平面PBC重合，所以點(diǎn)A到平面PMN的距離也為d)．故選B.8．中國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理．一個(gè)上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為2eq\r(3)的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A．16 B．16eq\r(3)C．18eq\r(3) D．21答案D解析由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺(tái)的體積相等，∵正六棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為1和2，則S1＝6×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，S2＝6×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，故V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)＋3\r(3)＋6\r(3)))×2eq\r(3)＝21.故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．(2023·黃岡模擬)如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為2πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶2答案CD解析∵圓柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，∴圓柱的側(cè)面積為2πR·2R＝4πR2，A錯(cuò)誤；圓錐的母線長l＝eq\r(R2＋（2R）2)＝eq\r(5)R，側(cè)面積為πRl＝eq\r(5)πR2，B錯(cuò)誤；球的表面積為4πR2，∴圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，C正確；∵V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴V圓柱∶V圓錐∶V球＝2πR3∶eq\f(2,3)πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2，D正確．故選CD.10．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則()A．該圓錐的體積為π B．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2) D．△PAC的面積為eq\r(3)答案AC解析依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝eq\r(3)，對于A，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，A正確；對于B，圓錐的側(cè)面積為π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，PD，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，C正確；對于D，PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，D錯(cuò)誤．故選AC.11．(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E－ACD，F(xiàn)－ABC，F(xiàn)－ACE的體積分別為V1，V2，V3，則()A．V3＝2V2 B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1答案CD解析設(shè)AB＝ED＝2FB＝2a，因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，則V1＝eq\f(1,3)ED·S△ACD＝eq\f(1,3)·2a·eq\f(1,2)·(2a)2＝eq\f(4,3)a3，V2＝eq\f(1,3)FB·S△ABC＝eq\f(1,3)·a·eq\f(1,2)·(2a)2＝eq\f(2,3)a3，連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，易得BD⊥AC，又ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則ED⊥AC，又ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，則AC⊥平面BDEF，又BM＝DM＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)a，過F作FG⊥DE于點(diǎn)G，易得四邊形BDGF為矩形，則FG＝BD＝2eq\r(2)a，EG＝a，則EM＝eq\r(（2a）2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(6)a，F(xiàn)M＝eq\r(a2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，EF＝eq\r(a2＋（2\r(2)a）2)＝3a，EM2＋FM2＝EF2，則EM⊥FM，S△EFM＝eq\f(1,2)EM·FM＝eq\f(3\r(2),2)a2，AC＝2eq\r(2)a，則V3＝VA－EFM＋VC－EFM＝eq\f(1,3)AC·S△EFM＝2a3，則2V3＝3V1，V3＝3V2，V3＝V1＋V2.故選CD.三、填空題12．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為________．答案28解析解法一：由于eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(4×4)×6＝32，截去的正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(2×2)×3＝4，所以棱臺(tái)的體積為32－4＝28.解法二：棱臺(tái)的體積為eq\f(1,3)×3×(16＋4＋eq\r(16×4))＝28.13.如圖，六角