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文檔簡介
陜西省西安市蓮湖區(qū)七十中2025屆高三模擬測試(一)數(shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.2.設(shè),,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖,在底面邊長為1,高為2的正四棱柱中,點是平面內(nèi)一點,則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A.2 B.3 C.4 D.54.對于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時,函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.5.已知正項等比數(shù)列的前項和為,則的最小值為()A. B. C. D.6.從集合中隨機選取一個數(shù)記為,從集合中隨機選取一個數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.7.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則()A.B.C.D.8.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①直線與直線的斜率乘積為;②軸;③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.其中,所有正確判斷的序號是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.10.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.11.在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.112.設(shè),滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)與函數(shù),在公共點處有共同的切線,則實數(shù)的值為______.14.在正方體中,已知點在直線上運動,則下列四個命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當(dāng)為中點時,二面角的余弦值為;④若正方體的棱長為2,則的最小值為;其中說法正確的是____________(寫出所有說法正確的編號)15.已知數(shù)列滿足:,,若對任意的正整數(shù)均有,則實數(shù)的最大值是_____.16.已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,,,,則的面積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點.(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若點P的極坐標(biāo)為,,求的值.18.(12分)某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造.如圖,將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通(道路不計寬度),l1和l2所在直線的距離為0.5(百米),對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5(百米)(其中A為拋物線的頂點,拋物線的對稱軸垂直于l3,且交l3于M
),在堤岸線l3上的E,F(xiàn)兩處建造建筑物,其中E,F(xiàn)到M的距離為1
(百米),且F恰在B的正對岸(即BF⊥l3).(1)在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求棧道AB的方程;(2)游客(視為點P)在棧道AB的何處時,觀測EF的視角(∠EPF)最大?請在(1)的坐標(biāo)系中,寫出觀測點P的坐標(biāo).19.(12分)第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項,329個小項.共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動,努力讓大家更多的了解軍運會的相關(guān)知識,并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況,在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計總體,設(shè),分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動,市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運市民制定如下獎勵方案:得分低于的可以獲得1次抽獎機會,得分不低于的可獲得2次抽獎機會,在一次抽獎中,抽中價值為15元的紀(jì)念品A的概率為,抽中價值為30元的紀(jì)念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運參與者,記Y為他參加活動獲得紀(jì)念品的總價值,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望,并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.(參考數(shù)據(jù):;;.)20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時,g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.21.(12分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于、兩點,且.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線上任意一點(異于頂點),過做傾斜角互補的兩條直線、,交拋物線于另兩點、,記拋物線在點的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補.22.(10分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查學(xué)生運算能力,是一道容易題.2.A【解析】
根據(jù)對數(shù)的運算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.3.A【解析】
根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀,結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知,三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形,其面積都是,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為,故選:A.本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和,解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀,考查空間想象能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
由已知可得的單調(diào)性,再由可得對稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意,函數(shù)滿足,因為函數(shù)關(guān)于點對稱,當(dāng)時,是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因為,所以,.故選:A.本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..5.D【解析】
由,可求出等比數(shù)列的通項公式,進而可知當(dāng)時,;當(dāng)時,,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當(dāng)時,;當(dāng)時,,則的最小值為.故選:D.本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.6.A【解析】
設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,分別計算出,再利用公式計算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.本題考查利用定義計算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.7.D【解析】
如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件,故,得到答案.【詳解】如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件.故,,.故,故,.故選:.本題考查了三視圖,元素和集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.8.B【解析】
由題意,可設(shè)直線的方程為,利用韋達定理判斷第一個結(jié)論;將代入拋物線的方程可得,,從而,,進而判斷第二個結(jié)論;設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點不共線,進而判斷第三個結(jié)論.【詳解】解:由題意,可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點,的坐標(biāo)分別為,,則,.所.則直線與直線的斜率乘積為.所以①正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,,根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點關(guān)于軸對稱,所以直線軸.所以②正確.如圖,設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以③不正確.故選:B.本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.9.A【解析】
首先求出樣本空間樣本點為個,再利用分類計數(shù)原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數(shù),再求出重復(fù)數(shù)量,可得事件的樣本點數(shù),根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個,具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個正面向上為連續(xù)的3個“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計算時會有重復(fù),重復(fù)數(shù)量為,事件的樣本點數(shù)為:個.故不同的樣本點數(shù)為8個,.故選:A本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,古典概型的概率計算公式,屬于基礎(chǔ)題10.B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.11.A【解析】
由題意得到關(guān)于的等式,結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.12.C【解析】
首先繪制出可行域,再繪制出目標(biāo)函數(shù),根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知,滿足,可行域如下圖所示,可知目標(biāo)函數(shù)在點處取得最小值,故目標(biāo)函數(shù)的最小值為,故的取值范圍是.故選:D.本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
函數(shù)的定義域為,求出導(dǎo)函數(shù),利用曲線與曲線公共點為由于在公共點處有共同的切線,解得,,聯(lián)立解得的值.【詳解】解:函數(shù)的定義域為,,,設(shè)曲線與曲線公共點為,由于在公共點處有共同的切線,∴,解得,.由,可得.聯(lián)立,解得.故答案為:.本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,是中檔題.14.①②④【解析】
①∵,∴平面
,得出上任意一點到平面的距離相等,所以判斷命題①;②由已知得出點P在面上的射影在上,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理,可判斷命題②;③當(dāng)為中點時,以點D為坐標(biāo)原點,建立空間直角系,如下圖所示,運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判斷命題③;④過作平面交于點,做點關(guān)于面對稱的點,使得點在平面內(nèi),根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短,可求得當(dāng)點在點時,在一條直線上,取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵,∴平面
,所以上任意一點到平面的距離相等,所以三棱錐的體積不變,所以①正確;
②在直線上運動時,點P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正確;③當(dāng)為中點時,以點D為坐標(biāo)原點,建立空間直角系,如下圖所示,設(shè)正方體的棱長為2.則:,,所以,設(shè)面的法向量為,則,即,令,則,設(shè)面的法向量為,,即,,由圖示可知,二面角是銳二面角,所以二面角的余弦值為,所以③不正確;④過作平面交于點,做點關(guān)于面對稱的點,使得點在平面內(nèi),則,所以,當(dāng)點在點時,在一條直線上,取得最小值.因為正方體的棱長為2,所以設(shè)點的坐標(biāo)為,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正確.
故答案為:①②④.本題考查空間里的線線,線面,面面關(guān)系,幾何體的體積,在求解空間里的兩線段的和的最小值,仍可以運用對稱的思想,兩點之間線段最短進行求解,屬于難度題.15.2【解析】
根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當(dāng)時,,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時,證明:對任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時,成立.假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實數(shù)的最大值是2.故答案為:2本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進行分析.屬于難題.16.【解析】
根據(jù)題意,利用余弦定理求得,再運用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面積.故答案為:.本題考查余弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式,考查計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,韋達定理得,點在直線上,則,即可求出的值.【詳解】(1)由可得,即,即,曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線的普通方程為.(Ⅱ)點的直角坐標(biāo)為,則點在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,整理得,直線與曲線交于兩點,,即.設(shè)點所對應(yīng)的參數(shù)分別為,由韋達定理可得,.點在直線上,,.本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用,屬于中檔題.18.(1)見解析,,x[0,1];(2)P(,)時,視角∠EPF最大.【解析】
(1)以A為原點,l1為x軸,拋物線的對稱軸為y軸建系,設(shè)出方程,通過點的坐標(biāo)可求方程;(2)設(shè)出的坐標(biāo),表示出,利用基本不等式求解的最大值,從而可得觀測點P的坐標(biāo).【詳解】(1)以A為原點,l1為x軸,拋物線的對稱軸為y軸建系由題意知:B(1,0.5),設(shè)拋物線方程為代入點B得:p=1,故方程為,x[0,1];(2)設(shè)P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,記∠EPQ=,∠FPQ=,,令,,則:,當(dāng)且僅當(dāng)即,即,即時取等號;故P(,)時視角∠EPF最大,答:P(,)時,視角∠EPF最大.本題主要考查圓錐曲線的實際應(yīng)用,理解題意,構(gòu)建合適的模型是求解的關(guān)鍵,涉及最值問題一般利用基本不等式或者導(dǎo)數(shù)來進行求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).19.(1),,;(2)詳見解析.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布表計算出平均數(shù),進而計算方差,從而X~N(65,142),計算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每個取值對應(yīng)的概率,列出分布列,計算期望,進而可得需要的總金額.【詳解】解:(1)由已知頻數(shù)表得:,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所以;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為:Y15304560P所以,需要的總金額為:.本題考查了利用頻率分布表計算平均數(shù),方差,考查了正態(tài)分布,考查了離散型隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計算能力,屬于中檔題.20.(Ⅰ)當(dāng)時,<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時,>0,單調(diào)遞增;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).【解析】試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的計算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第(Ⅰ)問,對求導(dǎo),再對a進行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明結(jié)論,第(Ⅲ)問,構(gòu)造函數(shù)=(),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求解a的值.試題解析:(Ⅰ)<0,在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當(dāng)時,<0
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