4.4.1 借助一次函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題 課件2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

4.4.1借助一次函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題1.經(jīng)歷分析實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間關(guān)系，并解決有關(guān)問題的過程.2.能用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)思考反過來，已知一個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩個(gè)具體的點(diǎn)，你能求出它的表達(dá)式嗎？前面，我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)，你能根據(jù)具體的一次函數(shù)表達(dá)式畫出它的圖象嗎？?jī)牲c(diǎn)法——兩點(diǎn)確定一條直線((0，b)和點(diǎn)(，0)連線即可).接下來我們通過一些例題探究一下新課引入如圖，直線是一次函數(shù)y=kx+b(k

≠0)的圖象.求：(1)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；AB分析：一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)中，確定k，b的值，就可以得到表達(dá)式，已知兩個(gè)已知點(diǎn)就可以利用待定系數(shù)法求出k和b的值，從而確定表達(dá)式.新知學(xué)習(xí)例1如圖，直線是一次函數(shù)y=kx+b(k

≠0)的圖象.求：(1)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；AB解：(1)由圖可知，直線經(jīng)過點(diǎn)(0,3)和點(diǎn)(-2,0)分別代入函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，得3=b

① -2k+b=0. ②將①代入②，解得k=則直線

l

對(duì)應(yīng)的函散表達(dá)式為y=x+3.如圖，直線是一次函數(shù)y=kx+b(k

≠0)的圖象.求：(2)當(dāng)y=2時(shí)，x

的值.AB(2)當(dāng)y=2時(shí)，有2=x+3.

解得x=-.例2某物體沿一個(gè)斜坡下滑，它的速度v(m/s)與其下滑時(shí)間t(s)的關(guān)系如右圖所示.v(m/s)t(s)(2,5)(1)寫出v

與t的關(guān)系式；(2)下滑3s時(shí)物體的速度是多少？解：(1)設(shè)v=kt，將(2,5)代入得5=2k所以k=2.5，故關(guān)系式為

v=2.5t.(2)當(dāng)t=3時(shí)，v=2.5×3=7.5(m/s)，所以下滑3s時(shí)物體的速度是7.5m/s.歸納總結(jié)求一次函數(shù)的關(guān)系式的步驟：1.設(shè)：設(shè)一般形式為y=kx+b，正比例函數(shù)設(shè)為y=kx；2.列：根據(jù)已知條件列出有關(guān)方程

(一次函數(shù)需要兩個(gè)條件，正比例函數(shù)需要一個(gè)除(0，0)外的條件即可求出k的值

)；3.解：解方程；4.代：將所求得的常數(shù)代回表達(dá)式，還原表達(dá)式.在彈性限度內(nèi)，彈簧的長(zhǎng)度y(cm)是所掛物體質(zhì)量x(kg)的一次函數(shù).某彈簧不掛物體時(shí)長(zhǎng)14.5cm；當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為3kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)16cm.請(qǐng)寫出y與x

之間的關(guān)系式，并求當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為4kg時(shí)彈簧的長(zhǎng)度.點(diǎn)撥：當(dāng)x=0時(shí)，y=14.5；當(dāng)x=3時(shí)，y=16.解：設(shè)y=kx+b(k≠0)，由題意，得 14.5=b①16=3k+b②將①代入②，得b=14.5，k=0.5.所以在彈性限度內(nèi)，y=0.5x+14.5.當(dāng)x=-4時(shí)，y=0.5×4+14.5=16.5(cm).即當(dāng)物體的質(zhì)量為4kg時(shí)，彈簀的長(zhǎng)度為16.5cm.氣溫x/℃05101520音速y/(m/s)331334337340343聲音在空氣中傳播的速度y(m/s)(簡(jiǎn)稱音速)是氣溫x(℃)的一次函數(shù)下表列出了一組不同氣溫時(shí)的音速：(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.解：設(shè)y=kx+b(k≠0)，由題意任選兩點(diǎn)；選取x=0，y=331與x=5，y=334分別帶入y=kx+b中；即331=0×k+b，334=5×k+b；所以k=，b=331；y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為

y=x+331.(2)當(dāng)x＝22時(shí)，某人看到煙花燃放5s后才聽到聲音，那么此人與燃放的煙花所在地相距約多少米？將x=22，帶入y=x+331中y=×22+331=344.2(m/s)344.2×5=1721m；此人與燃放的煙花所在地相距約1721m.求一次函數(shù)的步驟一次函數(shù)1.設(shè)：設(shè)一般形式為y=kx+b，正比例函數(shù)設(shè)為y=kx；2.列：根據(jù)已知條件列出有關(guān)方程(一次函數(shù)需要兩個(gè)條件，正比例函數(shù)需要一個(gè)除(0，0)外的條件即可求出k的值

)；3.解：解方程；4.代：將所求得的常數(shù)代回表達(dá)式，還原表達(dá)式.

課堂小結(jié)基礎(chǔ)1.已知點(diǎn)(2，－6)在正比例函數(shù)的圖象上，則該正比例函數(shù)的表達(dá)式為

(

B

)A.

y＝3xB.

y＝－3xC.

y＝xD.

y＝－xB

隨堂練習(xí)2.若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，4)，則該函數(shù)圖象必經(jīng)過點(diǎn)(

D

)A.

(2，4)B.

(－1，－2)C.

(4，－2)D.

(1，－2)D3.

(教材P89第2題改編)已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，0)，

(0，3)，則該一次函數(shù)的表達(dá)式為

?.

4.如圖，直線l是一次函數(shù)y＝

的圖象.第4題圖

5.如圖，直線l1向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的直線l2的表達(dá)式為

?.第5題圖y＝2x＋26.“一山有四季，十里不同天”反映了海拔高度對(duì)氣溫的影響，海拔越高，氣溫越低.根據(jù)氣象研究，在最接近地球表面的對(duì)流層內(nèi)，海拔x(千米)與氣溫y(℃)的關(guān)系如圖所示，則氣溫為0

℃時(shí)的海拔為

千米.第6題圖

7.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，聲音在空氣中的傳播速度v(m/s)與空氣的溫度T(℃)之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如下表所示：T(℃)－20－100102030v(m/s)318324330336342348(1)寫出當(dāng)－20≤T≤30時(shí)，v與T之間的函數(shù)關(guān)系式；解：設(shè)v與T之間的函數(shù)關(guān)系式為v＝kT＋b(k≠0)，將點(diǎn)(0，330)，(10，336)代入v＝kT＋b，得b＝330，336＝10k＋b，解得k＝0.6，所以v與T之間的函數(shù)關(guān)系式為v＝0.6T＋330；(2)氣溫在22℃時(shí)，有人在看到閃電5

s后聽到雷聲，請(qǐng)通過計(jì)算估算此人

距打雷處的距離.(人看到閃電的時(shí)間忽略不計(jì))解：

當(dāng)T＝22時(shí)，v＝0.6×22＋330＝343.2，由題意得，343.2×5＝1

716(m).所以此人距打雷處的距離約為1

716

m.解：

(關(guān)鍵點(diǎn)：先根據(jù)v與T的函數(shù)關(guān)系式和溫度求出傳播速度，再結(jié)合

“距離＝傳播速度×?xí)r間”進(jìn)行求解)

當(dāng)T＝22時(shí)，v＝0.6×22＋330＝343.2，由題意得，343.2×5＝1

716(m).所以此人距打雷處的距離約為1

716

m.8.一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，10)，且x每增加1個(gè)單位時(shí)，y增加2個(gè)單位，則該一次函數(shù)的表達(dá)式為(

C

)A.

y＝x＋2B.

y＝x－2C.

y＝2x＋4D.

y＝2x－4C9.小穎發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，尺碼對(duì)照表中鞋碼與腳長(zhǎng)(mm)之間存在如下表所示的函數(shù)關(guān)系.若小穎的腳長(zhǎng)為235

mm，那么她應(yīng)穿的鞋的鞋碼為(

C

)腳長(zhǎng)/mm…245250255260265270…鞋碼…394041424344…A.

35B.

36C.

37D.

38C10.如圖，大拇指與小拇指盡量張開時(shí)，兩指尖的距離稱為“指距”，研

究表明身高h(yuǎn)(cm)與指距d(cm)之間滿足一次函數(shù)h＝kd－20，現(xiàn)測(cè)得甲的指距為20

cm，身高為160

cm，若乙的指距為22

cm，則他的身高為

cm.第10題圖17811.根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生課桌椅的高度應(yīng)按照學(xué)生身高進(jìn)行設(shè)置，下表是

部分課桌椅對(duì)應(yīng)的桌面高和座面高.座面高x/mm460440420400…桌面高y/mm790760730700…

(2)李華測(cè)量了自己課桌的桌面高為640

mm，座面高為360

mm，請(qǐng)判斷他

的桌椅是否符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，并說明理由.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，與x軸交于點(diǎn)B，若直線l1經(jīng)過點(diǎn)(3，－2).第12題圖(1)直線l1的函數(shù)表達(dá)式為

?；y＝－2x＋4【解法提示】因?yàn)橹本€l1與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，且經(jīng)過點(diǎn)(3，－2)，設(shè)直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，所以將點(diǎn)(0，4)，(3，－2)代入，可得b＝4，3k＋b＝－2，解得k＝－2，所以直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y＝－2x＋4.(2)△AOB的面積為

?；4第12題圖

(3)若直線l2經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)且平行于直線y＝3x，求直線l2的函數(shù)表

達(dá)式；解：因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，設(shè)直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y＝k1x＋b1(k1≠0)，因?yàn)橹本€l2平行于直線y＝3x，所以k1＝3，將(1，2)代入y＝3x＋b1，可得b1＝－1，即直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x－1；第12題圖(4)若直線l3經(jīng)過△AOB的頂點(diǎn)B，且將△AOB的面積分為1∶3的兩部分，

求直線l3的函數(shù)表達(dá)式.第12題圖解：因?yàn)橹本€l3經(jīng)過△AOB的頂點(diǎn)B，且將△AOB的面積分為1∶3兩部分，

(關(guān)鍵點(diǎn)：由題意可知，直線l3過點(diǎn)B，與y軸交于一點(diǎn)，所得到的兩個(gè)三

角形等高，所以面積之比即為底之比，所以直線l3與y軸的交點(diǎn)將OA分為

1∶3兩部分)設(shè)直線l3與y軸交點(diǎn)為C，

(關(guān)鍵點(diǎn)：因?yàn)槲粗该鰽C∶OC＝1∶3，還是OC∶AC＝1∶3，所以要對(duì)

點(diǎn)C的位置分情況進(jìn)行討論)