年高三一輪總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)92排列與組合

[課時(shí)跟蹤檢測(cè)][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少一人，則甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18種 B．24種C．36種 D．72種解析：不同的分配方案可分為以下兩種情況：①甲、乙兩人在一個(gè)路口，其余三人分配在另外的兩個(gè)路口，其不同的分配方案有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)；②甲、乙所在路口分配三人，另外兩個(gè)路口各分配一個(gè)人，其不同的分配方案有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(種)．答案：C2．世界華商大會(huì)的某分會(huì)場(chǎng)有A，B，C三個(gè)展臺(tái)，將甲、乙、丙、丁共4名“雙語(yǔ)”志愿者分配到這三個(gè)展臺(tái)，每個(gè)展臺(tái)至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)有()A．12種 B．10種C．8種 D．6種解析：∵甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)，∴可以把甲與乙捆在一起，看成一個(gè)人，然后將3個(gè)人分到3個(gè)展臺(tái)上進(jìn)行全排列，即有Aeq\o\al(3,3)種，∴甲、乙兩人被分配到同一展臺(tái)的不同分法的種數(shù)有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)．答案：D3．(2018屆武漢調(diào)研)三對(duì)夫妻站成一排照相，則僅有一對(duì)夫妻相鄰的站法總數(shù)是()A．72 B．144C．240 D．288解析：第一步，先選一對(duì)夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素A，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(種)排法；第二步，再選一對(duì)夫妻，從剩下的那對(duì)夫妻中選擇一個(gè)插入到剛選的夫妻中，把這三個(gè)人捆綁在一起看作另一個(gè)復(fù)合元素B，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝8(種)排法；第三步，將復(fù)合元素A，B和剩下的那對(duì)夫妻中剩下的那一個(gè)進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)排法，由分步計(jì)數(shù)原理，知三對(duì)夫妻排成一排照相，僅有一對(duì)夫妻相鄰的排法有6×8×6＝288(種)，故選D.答案：D4．(2018屆昆明市兩區(qū)七校調(diào)研)某校從8名教師中選派4名同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1名教師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有()A．900種 B．600種C．300種 D．150種解析：依題意，就甲是否去支教進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，甲去支教，則乙不去支教，且丙也去支教，則滿足題意的選派方案有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)；第二類，甲不去支教，且丙也不去支教，則滿足題意的選派方案有Aeq\o\al(4,6)＝360(種)，因此，滿足題意的選派方案共有240＋360＝600(種)，故選B.答案：B5．(2017年全國(guó)卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種 B．18種C．24種 D．36種解析：將4項(xiàng)工作分成3部分，每部分至少有1項(xiàng)工作，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)方法，再分別分給3人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(3,3)＝36(種)不同方法．答案：D6．(2018屆武漢市調(diào)研測(cè)試)“2016中國(guó)杭州G20峰會(huì)”于2016年9月4日～9月5日在浙江省杭州市舉行，組委會(huì)要從小鄭、小趙、小李、小湯、小王五名工作人員中選派四人分別從事翻譯、保衛(wèi)、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同的工作，若其中小鄭和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有()A．48種 B．36種C．18種 D．12種解析：先安排后兩項(xiàng)工作，共有Aeq\o\al(2,3)種方案，再安排前兩項(xiàng)工作，共有Aeq\o\al(2,3)種方案，故不同的選派方案共有Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,3)＝36(種)方案，故選B.答案：B7．(2018屆黑龍江哈爾濱第六中學(xué)期末)某中學(xué)高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現(xiàn)從中任選3人，要求這三人不能全是同一個(gè)班的學(xué)生，且在三班至多選1人，則不同選法的種數(shù)為()A．484 B．472C．252 D．232解析：若三班有1人入選，則另兩人從三班以外的12人中選取，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)選法．若三班沒(méi)有人入選，則要從三班以外的12人中選3人，又這3人不能全來(lái)自同一個(gè)班，故有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝208(種)選法．故總共有264＋208＝472(種)不同的選法.答案：B8．有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有()A．1260種 B．2025種C．2520種 D．5040種解析：第一步，從10人中選派2人承擔(dān)任務(wù)甲，有Ceq\o\al(2,10)種選派方法；第二步，從余下的8人中選派1人承擔(dān)任務(wù)乙，有Ceq\o\al(1,8)種選派方法；第三步，再?gòu)挠嘞碌?人中選派1人承擔(dān)任務(wù)丙，有Ceq\o\al(1,7)種選派方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，選法有Ceq\o\al(2,10)·Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,7)＝2520(種)．答案：C9．若Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(2,2)＝42，則Ceq\o\al(3,n)＝()A．6 B．7C．35 D．20解析：∵Ceq\o\al(2,n)×2＝42，∴Ceq\o\al(2,n)＝21即eq\f(nn－1,2)＝21，∴n＝7，則Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35，故選C.答案：C10．停車(chē)場(chǎng)劃出一排10個(gè)停車(chē)位置，會(huì)有6輛不同的車(chē)需要停放，若要求剩余的4個(gè)空車(chē)位連在一起，則不同的停車(chē)方法有()A．Aeq\o\al(4,10)種 B．2Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(4,4)種C．6Aeq\o\al(6,6)種 D．7Aeq\o\al(6,6)種解析：分步完成，先找出4個(gè)連續(xù)空位有7種方法，6輛不同車(chē)全排列有Aeq\o\al(6,6)種，共7Aeq\o\al(6,6)種，故選D.答案：D11．(2017年浙江卷)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答)解析：(間接法)Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝660(種)．答案：66012．(2017年天津卷)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)(用數(shù)字作答)．解析：由題意可得，第1類取出4個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有Aeq\o\al(4,5)個(gè)；第2類取出4個(gè)數(shù)中有1個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有Aeq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝120＋960＝1080(個(gè))．答案：108013．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有________對(duì)．解析：利用正方體中兩個(gè)獨(dú)立的正四面體解題，如圖．它們的棱是原正方體的12條面對(duì)角線．一個(gè)正四面體中兩條棱成60°角的有Ceq\o\al(2,6)－3對(duì)，兩個(gè)正四面體有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2對(duì)．又正方體的面對(duì)角線中平行成對(duì)，所以共有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2×2＝48(對(duì))．答案：4814．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，若選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員．解：(1)任選3名男運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為Ceq\o\al(3,6)，再選2名女運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為Ceq\o\al(2,4)，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)方法．(2)解法一：(直接法)至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．解法二：(間接法)“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面是“全是男運(yùn)動(dòng)員”，因此用間接法求解，不同選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．[能力提升]1．甲、乙等5人在天安門(mén)廣場(chǎng)排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有()A．12種 B．24種C．48種 D．120種解析：甲、乙相鄰，將甲、乙捆綁在一起看作一個(gè)元素，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)種排法，甲、乙相鄰且在兩端有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)種排法，故甲、乙相鄰且都不站在兩端的排法有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝24(種)．答案：B2．(2018屆福建漳州八校第二次聯(lián)考)若無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)滿足條件：①個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．540 B．480C．360 D．200解析：由個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)種排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是奇數(shù)，有Ceq\o\al(1,4)種選法，故滿足題意的三位數(shù)共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝200(個(gè))．答案：D3．四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有________種．解析：如圖，從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,10)＝210，其中四點(diǎn)共面的可分為三類：①4點(diǎn)在同一個(gè)側(cè)面或底面的共4組，即4×Ceq\o\al(4,6)＝60(種)；②每條棱的中點(diǎn)與它對(duì)棱的三點(diǎn)共面的有6種；③在6個(gè)中點(diǎn)中，四點(diǎn)共面的有3種．則4點(diǎn)不共面的取法共有210－(60＋6＋3)＝141(種)．答案：1414．從1到9的9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)4個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：(1)能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？(3)在(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？解：(1)分三步完成：第一步，在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有Ceq\o\al(3,4)種情況；第二步，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有Ceq\o\al(4,5)種情況；第三步，3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(7,7)種情況．所以符合題意的七位數(shù)