四川省眉山市仁壽縣兩校2024屆高三年級下冊第三次模擬理科數(shù)學試題（含答案與解析）

2024屆高三（下）第三次模擬考試

理科數(shù)學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1已知集合A4*X<5},8=小琳=1%（-2）},則4八

A.{-1,2,3,4}B.{354}C.{3,4,5}D.{2,3}

2—3+i

2.若復數(shù)z滿足三前==T，則之的虛部為（)

11-1

A.-2B.-1C.1D.2

3.運行圖示程序框圖，則輸出A的值為（）.

A.170B.165C.150D.92

4.已知數(shù)列｛%｝滿足4=3〃一伙"eN'OeR）,則"b<3”是1｝是遞增數(shù)歹『'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.在中，AC=2j7，。是_ABC的外心，M為8C的中點，ABAO=8>N是直線上異

uuuiuum

于M、。的任意一點，則ANIC=（）

A.3B.6C.7D.9

6.敏感性問題多屬個人隱私.對敏感性問題的調(diào)查方案，關(guān)鍵是要使被調(diào)查者愿意作出真實回答又能保守

個人秘密.例如為了調(diào)查中學生中的早戀現(xiàn)象，現(xiàn)有如下調(diào)查方案：在某校某年級，被調(diào)查者在沒有旁人

的情況下，獨自一人回答問題.被調(diào)查者從一個罐子中隨機抽一只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，

則回答問題4若抽到紅球，則回答問題B.且^中只有白球和紅球.

問題4你的生日是否在7月1日之前？（本次調(diào)查中假設生日在7月1日之前的概率為十）

問題B：你是否有早戀現(xiàn)象？

已知一次實際調(diào)查中，罐中放有白球2個，紅球3個，調(diào)查結(jié)束后共收到1585張有效答卷，其中有393張

回答“是“，如果以頻率替代概率，則該校該年級學生有早戀現(xiàn)象的概率是（）（精確到0.01）

A.0.08B.0.07C.0.06D.0.05

7.若aw（匕無］,且cosa+岳ina=處，則sin（2a值為（

）

U）13I12；

A2390Ry/2「H9x/2n120V2

A.-------JD.---L.-------

338338338338

8.一個信息設備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個電子元件被點亮時可發(fā)出紅色光、藍色光、綠色光中的一

種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，根據(jù)這三個被點亮的電子

元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有

（）

A.60種B.68種C.82種D.108種

9.已知函數(shù)/'（x）=cos（37t-3_r）-cos（5+3xj（xeR）,關(guān)于/*）的命題：①/食）的最小正周期為

—27r；②〃x）圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2‘7r：③/（X）圖像的對稱軸方程為》=K一TC+TC一（左eZ）；

3334'，

④/（x）圖像的對稱中心的坐標為（g+：,0）ZeZ）；⑤/（X）取最大值時x=2^+：（%eZ）.則其中正

確命題是（）

A.①②③B.①③⑤C.②③⑤D.①④⑤

22

10.直線/過雙曲線C:[-4=l（a＞0力＞0）的右焦點尸，且與。的左、右兩支分別交于A,8兩點，點

ab1

B關(guān)于坐標原點對稱的點為P,若產(chǎn)歹_LAB，且|A目=3|P月，則C的離心率為（）

V34

R.平

A3D.-----C.2

2

11.如圖，在棱長為1的正方體A3CD—A耳G2中，已知p，M分別為線段BO-Bg上的動點，N

為gC的中點，則二PMN的周長的最小值為（）

D."+百

C1+

T2

12.已知函數(shù)_舊11r存在極小值點與,且/（Xo）＜—e3,則實數(shù)加的取值范圍為（）

A.(0,1)2

B.(。不

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

x2+1

13.已知/(x)=為偶函數(shù),貝!Ia=

(3x+2)(x-a)

x+y-3>0,

14.已知實數(shù)x,y滿足—2yN0,則—3x+y的最大值是

x<4,

15.已知三棱柱ABC-44G中，_A8C是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABAA為菱形,

ZA,AB=60°,平面平面ABC，M為AB的中點，N為B片的中點，則三棱錐6-4用、

的外接球的表面積為.

BDBE1

16.如圖，己知8c=3,D,E為一ABC邊BC上兩點，且滿足乙%￡>=NC4E,------=一，

CDCE4

則當/ACB取最大值時，..ABC的面積等于.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.已知S,為各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前n項和,％e（0,2）,。+3%+2=65,,.

（1）求｛為｝的通項公式；

（2）設么,數(shù)列｛d｝的前〃項和為北,若對V〃eN*/W47；恒成立，求實數(shù)t的最大值.

anan+\

18.2023年，全國政協(xié)十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月11日下午閉幕，會期

7天半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會期8天半.為調(diào)查居民對兩會相

關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分

100分）進行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.

（1）若此次知識問答的得分X服從N（〃,82）,其中〃近似為參與本次活動的240位居民的平均得分（同

一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），求P（66<X<90）的值；

（2）中國移動為支持本次活動提供了大力支持，制定了如下獎勵方案：參與本次活動得分低于4的居民

獲得一次抽獎機會，參與本次活動得分不低于〃的居民獲得兩次抽獎機會，每位居民每次有:的機會抽中

一張10元的話費充值卡，有g(shù)的機會抽中一張20元的話費充值卡，假設每次抽獎相互獨立，假設該小區(qū)

居民王先生參與本次活動，求王先生獲得的話費充值卡的總金額丫（單位：元）的概率分布列，并估計本

次活動中國移動需要準備的話費充值卡的總金額（單位：元）

參考數(shù)據(jù)：X44+<7）40.6827,P[/.i-2（J<X<JLI+2a）?0.9545,

P-3b<XW4+3o■卜0.9973

19.已知正方形的邊長為4,E，尸分別為AO，BC的中點，以EE為棱將正方形ABC。折成如圖所示

（1）若，為A3的中點，M在線段上，且直線DE與平面EMC所成的角為60°,求此時平面

MEC與平面ECF的夾角的余弦值.

（2）在（1）的條件下，設￡?=/1￡4（；1€（0,1））,DN=NC，CP=PF，且四面體GNWP的體積為

顯,求義的值.

2

20.已知長為2近的線段PQ的中點為原點。，圓T經(jīng)過P,Q兩點且與直線y+2=0相切，圓心T的軌

跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點。（1,。）且互相垂直的直線乙,4分別與曲線。交于點瓦“和點”，N,且|￡。=|￡歸|,四邊形

的面積為15#，求實數(shù)。的值.

21.已知函數(shù)/（%）=（%+。111蒼心口在點4（1,〃1））處的切線斜率為1.

（1）求實數(shù)。的值并求函數(shù)/*）的極值;

（2）若/（為）=/（%7）,證明：%1-X,<-r.

~e~

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

x=2cos2。，

22.在直角坐標系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為《.（。為參數(shù)）,以坐標原點為極點，1軸正

y-2COS6Z

半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為psin=-2.

（1）求曲線C的普通方程與直線/的直角坐標方程；

（2）點A,8分別為曲線C與直線/上的動點，求|A8|的最小值.

［選修4-5：不等式選講］（10分）

23.已知函數(shù)/（x）=|2x-3|,^（x）=3-|x-2|

（1）求不等式/（x）Wg（x）的解集N；

（2）設N的最小數(shù)為〃，正數(shù)a,。滿足。+匕=叫，求絲2+三的最小值.

2ah

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜卜1〈］<5},5={xwN|y=bg3（x—2）},則“?。ǎ?/p>

A.{-1,2,3,4}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】將集合B化簡，再由交集的運算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為4={x［—l<x<5},8={xeN|x—2>0}={xeN|x>2},

所以AB={3,4}.

故選：B.

7—3+i_

2.若復數(shù)z滿足前=丁一，則［的虛部為()

11—1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用復數(shù)除法運算及i的周期性運算即可.

-3+i(-3+i)(l+i)-4—2i

【詳解】因為i20%=l，所以z=-jr=七一點Y=一2-1,

1-1+2

則z=—2+i，故z的虛部為1.

故選:C.

3.運行圖示程序框圖，則輸出4的值為().

A.170B.165C.150D.92

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)程序框圖逐步計算即可.

【詳解】因為〃=1<%=2,

所以執(zhí)行循環(huán)體得A=l+2+3=6,A=6+2+3=ll,5=ll,C=ll,〃=2,

由〃=2>%不成立,

所以執(zhí)行循環(huán)體得A=ll+114-ll=33,4=33+11+11=55,B—55,C-55,〃=3,

由〃=3>%成立，所以4=55+55+55=165,然后輸出A=165.

故選：B

4.已知數(shù)列｛〃”｝滿足a“=3〃-b（〃eN*,Z?eR）,貝廣〃<3”是”｛141｝是遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合遞增數(shù)列的意義判斷即得.

【詳解】當父<3時,an=3n-b>0,則|勺|=|3〃一勿=3"一。，｛|%|｝是遞增數(shù)歹（J；

反之，當。=3時，-3,數(shù)列｛|?！皘｝遞增，因此數(shù)列｛|4|｝是遞增數(shù)列時，人可以不小于3,

所以"匕<3”是"｛I1｝是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A

5.在一ABC中，AC=2幣,。是一45c的外心，M為BC的中點，A3.AO=8，N是直線上異

UUU1UUUI

于M、。的任意一點，則AN-BC=（）

A.3B.6C.7D.9

【答案】B

【解析】

UUUIuuil

【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到OMJ_BC,設ON=WM，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到

uuiuuumuuuiuuuuuuiuuu

AN-BC=-AO-AB+AO-AC再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出AOAC.從而得解.

【詳解】因為。是的外心，M為BC的中點，設AC的中點為。，連接0。,

一一UUUILILIU

所以0D1AC,設ON=/IOM，

則ANBC=（AO+ON）.8C=AO-8C+/IOMBC

=AOBC=AO\BA+AC^

UUUUUUUUUUUIU

=AOBA+AOAC=—AOA3+AOAC，

又O是“ABC的外心，所以AO-AC=IA。］-|AC|COSZCAO=（|AO|cosZCAO）-|AC|

=iM2=1x（2M=141

UUU1UUUUUUUL1UUUUUUU

所以AN-8C=-AOAB+AO-AC=—8+14=6?

故選：B

UUUUUUUllBlULUUUIUUUU

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將AN-8C轉(zhuǎn)化為-AO-A8+AO-AC，再

一個就是利用數(shù)量積的幾何意義求出AO-AC.

6.敏感性問題多屬個人隱私.對敏感性問題的調(diào)查方案，關(guān)鍵是要使被調(diào)查者愿意作出真實回答又能保守

個人秘密.例如為了調(diào)查中學生中的早戀現(xiàn)象，現(xiàn)有如下調(diào)查方案：在某校某年級，被調(diào)查者在沒有旁人

的情況下，獨自一人回答問題.被調(diào)查者從一個罐子中隨機抽一只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，

則回答問題A；若抽到紅球，則回答問題氏且罐中只有白球和紅球.

問題4你的生日是否在7月1日之前？（本次調(diào)查中假設生日在7月1日之前的概率為/）

問題B：你是否有早戀現(xiàn)象？

己知一次實際調(diào)查中，罐中放有白球2個，紅球3個，調(diào)查結(jié)束后共收到1585張有效答卷，其中有393張

回答“是“，如果以頻率替代概率，則該校該年級學生有早戀現(xiàn)象的概率是（）（精確到0.01）

A.0.08B.0.07C.0.06D.0.05

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型分別求出抽到紅球的概率和抽到白球的概率，并且計算出回答問題A、B的人數(shù)，從

而可分別計算出回答問題A、B的人中答“是”的人數(shù)以及比例.

33

【詳解】從罐子中隨機抽一個球，抽到紅球的概率為——=-,

2+35

22

抽到白球的概率為——=一，

2+35

所以回答問題A的人數(shù)是|xl585=634人

3

回答問題B的人數(shù)是yxl585=951人，

回答問題A的人中答“是”的人數(shù)是634x^=317,

2

所以回答問題8的人中答“是”的人數(shù)是393—317=76,

則估計該校該年級學生有早戀現(xiàn)象的概率為—=0.08,

故選：A

71\r-1().I-DTE1

7.若且cosa+,3smez=石，貝"sin[2a-石)的值為()

A239夜RV2rH9V2n120后

338338338338

【答案】B

【解析】

【分析】利用輔助角公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式、正弦的差角公式計算即可.

【詳解】由題意可知cosa+V3sincr=—=2sin|tz+—|=>sin|tz+—|=—<—,

1316)(6J132

\71)~,71(D7t

因為兀J,所以a+7￡[K'71

12

T3

所以sin2卜+看=2Sinfa+4osf?+^=_^=sinf2a+^

I6jI6；169I3)

一八兀e型,2兀

而2a+—

I3

,5兀).(.兀3吟夜.(.吟V2(.吟夜

mJsin2a---=sin|2aH------=——~sin2a+-....cos2a+—=---.

I12)I34J2I3j2I3)338

故選：B

8.一個信息設備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個電子元件被點亮時可發(fā)出紅色光、藍色光、綠色光中的一

種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，根據(jù)這三個被點亮的電子

元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有

()

A.60種B.68種C.82種D.108種

【答案】D

【解析】

【分析】利用插空法結(jié)合組合數(shù)求解.

【詳解】每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，

所以需把3個亮的發(fā)光原件插入未點亮的元件中，有C：=4種方法，

且不同顏色數(shù)有3x3x3=27種，

所以這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有4x27=108種.

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查組合計數(shù)問題，關(guān)鍵是插空法的應用.

9.已知函數(shù)/(x)=cos(37i-3x)-cos(5+3xj(xeR),關(guān)于/(x)的命題：①/(*)的最小正周期為

"；②/(X)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為4；③/(幻圖像的對稱軸方程為X=”+也力；

3334'，

④圖像的對稱中心的坐標為+⑤/(x)取最大值時％=+則其中正

確命題是()

A.①②③B.①③⑤C.②③⑤D.①④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】借助三角恒等變換可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得.

【詳解】/(x)=cos(37r-3x)-cos[5+3x]=-cos3x+sin3x=\/^sin(3x-；),

2兀

則/(X)的最小正周期為丁=——，故①正確；

T兀

/(X)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為一二一，故②錯誤；

23

7T汽k

令=萬+加(％￡Z),則+故③正確；

jrjriz

令3x—[=E(keZ),則x=五+—M&wZ),故④錯誤：

jrITjr2k

令3%—]=耳+2也(ZwZ),則x=1+1-M&eZ),故⑤正確.

故選：B.

22

10.直線/過雙曲線C:鼻-2=1(a>0/>0)的右焦點尸，且與C的左、右兩支分別交于A,B兩點，點

a2b

8關(guān)于坐標原點對稱的點為尸，若PFJ_AB，且|"|=3|PE|,則C的離心率為()

A.3B.C.2D.

22

【答案】B

【解析】

【分析】借助雙曲線定義與雙曲線的對稱性，結(jié)合題意可得忸制=歸可=5"，忸目=3a,利用勾股定理

計算即可得解.

【詳解】如圖所示，取雙曲線左焦點6，設|P月=加，則|AF|=3|P曰=3機，

由雙曲線定義可得|A目一恒用=忸用一忸耳=2a,又B、P關(guān)于原點對稱，

故|A周=3加一2a,忸耳|=|尸石=m，忸R|=/n-2a,

貝=3加一(m-2a)=2/〃+2a,

由PF_LAB，故68_LAB,故有(3，〃-2a)-=(2/?+2a)-,

化簡可得m=5a,即有忸耳|=|P目=5a,忸典=3”,

由P/UAB，則有(2c)2=(5a『+(3a)2,BP4c2=34a2,

即e=￡=^I.

a2

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于找出左焦點，設|尸耳=加，從而借助雙曲線定義將其它邊表示出

來，結(jié)合勾股定理計算出各邊長，從而可列出與“、c有關(guān)的齊次式，得到離心率.

11.如圖，在棱長為1正方體ABC。-44GA中，己知P,M分別為線段8。，上的動點，N

為耳。的中點，則二PMN的周長的最小值為（）

cl+

T2

【答案】B

【解析】

【分析】設班）的中點為。，即可證明BO咯BNP,從而得至U|PN|=|P。，再將平面BOD4與平

面80片展開并攤平，在平面圖形中連接QV,交于點交RB于點、P,此時4PMN的周長取得

最小值|0N|,利用余弦定理計算可得.

設80的中點為0,連接P。(P不與點B重合)，|陽=|PB|,NDBQ=NCiBR,

所以_BOg二BNP,所以歸叫=p0,把平面與平面BG片展開并攤平，如圖，

在平面圖形中連接QV,交于點M,交。出于點P,此時一PMN的周長取得最小值|0兇，

在△BON中利用余弦定理可得|ON|=J4+*—2x[x435(90。+45。)="、夜，

故選：B.

12.已知函數(shù)/(幻=見2—xlar存在極小值點%,且/(%)<—e3,則實數(shù)加的取值范圍為()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)結(jié)合零點存在性定理探討極小值點，并求出極小值，利用導數(shù)求出

3

/(x0)<-e的解集，再利用導數(shù)求出m的范圍.

【詳解】函數(shù)/。)=如2一仙1r的定義域為(0,+co),求導得/(幻=2如一1—let,

當加40時，函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，/(1)=2加—1<0,

/,(e2m-l)=2me2m-'-l-(2AM-1)=2w(e2m-1-1)>0,則存在玉e(0,1),使得尸(王)=0,

當xe(0?)時，f'(x)>0,〃x)遞增，當xe(X1,+oo)時，，/(x)<(),/*)遞減，

函數(shù)Ax)在x=%取得極大值，無極小值，不符合題意；

當機>0時，令g(x)=/'(x)=2〃ix—l—ln_r,求導得g'(x)=2根—』，顯然g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞

X

增,

當xe(O,—L)時，g'(x)<0,函數(shù)f(x)遞減，當一,+8)時，g'(x)>0,函數(shù)f(x)遞增，

2m2m

于是=/'(，-)=In2加，

2m

當2機21,即，“2；時，/'(幻之0,函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)Ax)無極值，

w八12,，/1、八工『,/n、2m2,im2m2八

當。</%<不時，f(—)<0,而/(一)=------1—In—=------Itnm>0,

22meeee

存在馬€(0，［一)，使得廣(K)=0,當X€(O，Z)時，/'(x)>()，函數(shù)7(x)遞增，

2m

當xe(x,,」-)時，/'(x)<(),函數(shù)f(x)遞減，函數(shù)/(x)在尤=%取得極大值，

2m

1?2122

又f\——)—---1+2In/篦，令/i(x)——l+21nx,0<xv—,求導得/z'(x)———H—<0,

mmx2xx

函數(shù)〃(X)在(0,L)上單調(diào)遞減，/?(%)>/?(-)=3-21n2>0,則/(乙)>0,

22m"

存在&e(」-,+8),使得/'(%)=。，當一,七)時，/'(x)<0，函數(shù)f(x)遞減，

2m2m

當xe(%3，+8)時，f\x)>0,函數(shù)/(X)遞增，函數(shù)/(X)在x=%3取得極小值，因此七=不，

nA(l3

由/'(/)=0，得加%)=1,y(x0)=rnx^-x0Inx0=—~^<-e,

即有Xo-Xoinxo+Ze'<0,4-^(x)=x-xlnx+2e3,x>l,求導得。'(x)=Tnx<0,

函數(shù)0(x)在(1,叱)上單調(diào)遞減，而夕@)=0,即有于是而>e3,

顯然加=F~令〃(x)=------,x>e3,求導得/(x)=一廣<0,即函數(shù)”(無)在?,+8)上單調(diào)

2/2x2x

遞減

22212

因此〃(x)<〃(e')=f,Hpm<—9又一^<一,則0<M<y,

eee、2e

所以實數(shù)加的取值范圍為(0,2).

故選：D

【點睛】結(jié)論點睛：可導函數(shù)y=/(x)在點內(nèi)處取得極值的充要條件是/'Oo)=0,且在與左側(cè)與右側(cè)

/'(X)的符號不同.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

x2+l

13.已知/（x）為偶函數(shù)，則。=

（3元+2）（工-。）

【答案】|2

【解析】

【分析】法一：先利用/(-1)=/(1)求得。=然后代入驗證；法二：利用偶函數(shù)的定義建立方程求解

即可.

【詳解】法一：特殊值法：因為/(X)為偶函數(shù)，所以"—1)=〃1)，

1+1_1+12

所以(3x(—l)+2)(—1—a)=(3+2)(l—a)'解得"=

23r2+3

經(jīng)檢驗，當。=一時.，/(憧=，為偶函數(shù),符合題意.

2

3」9X-4

法二：定義法：因為"X)為偶函數(shù)，所以〃T)="X)，

所以7~(HL—7=7—W—7,化簡得(3a-2)x=0,

(—3x+2)(—x-a)(3x+2)(x—a)

2

所以3a—2=0,解得。=一.

3

2

故答案為：—

x+>1-3>0,

14.已知實數(shù)X,>滿足〈龍一2y20,則一3x+y的最大值是

x<4,

【答案】-5

【解析】

【分析】先依據(jù)題意作出可行域，將目標式轉(zhuǎn)化為截距問題求解即可.

【詳解】令z=-3x+y,即求y=3x+z中截距z的最大值即可，如圖作出可行域,

易知當y=3x+z過點A時，該直線截距最大，z取得最大值，

聯(lián)立方程組x+y-3=0,x-2y=Q,解得x=2,y=l,故A(2,l),

將A(2,l)代入y=3x+z中，得l=6+z,解得z=—5，

即一3x+y的最大值是—5.

故答案為：一5

15.已知三棱柱ABC-中，ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABgA為菱形，

"45=60。，平面AB4A，平面ABC，M為A3的中點，N為的中點，則三棱錐

的外接球的表面積為.

【答案】7兀

【解析】

【分析】解法一連接AB—48,記ABA用=?,確定Q為..AMN外接圓的圓心，然后利用面面垂

直的性質(zhì)定理證明平面AB用4,利用球的性質(zhì)建立方程求解外接球的半徑，代入球的表面積公式求

解即可；

解法二連接CM,利用面面垂直的性質(zhì)定理證明4M，平面ABC,建立空間直角坐標系，先求出

的外接圓圓心尸,然后計算出球心的坐標，即可求出球的半徑，代入球的表面積公式求

解即可.

【詳解】解法一連接AB,記AQAB]=0],則。0=1.

連接。加，0、N,則QM=aN=，4B=l,故。?為‘AMN外接圓的圓心.

取AB】的中點。，連接。。，則QQ=/4A=1,所以點。在AMN的外接圓上.

連接G。，因△A￡G為等邊三角形，所以GO_LA4，C[D=C.

由平面ABBA_L平面ABC,知平面AB耳A，平面AB|G，

又平面ABBA〕平面A4G=45，。]。＜=平面4與。|,所以G。，平面AB4A.

設三棱錐G-AMN的外接球半徑為R,則R2=I2+(#J=Z,

故三棱錐c,-AMN的外接球的表面積為4兀a=7兀.

解法二連接45,CM,則4AAB為正三角形，CMLAB,故

因為平面，平面ABC,平面ABgA平面A6C=AB,4知＜=平面4?片4，

所以AM，平面ABC,

以MB為x軸，用C為y軸，知4為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

得M（0,0,0）,B（1,O,O）,4（0,0,6）,C（0,V3,0）,0,（1,73,73）,

(1

由,/MN為等邊三角形，則.dMN的外接圓圓心為「-,0,

2J

設三棱錐￡—的外接球的球心為。，連接OP,OM,OG，

則OP，平面A"N,又CMJ_平面AMN,所以OPCM.

2

設。,由OC|=OM,可得（；一1]V3）'+=（；）+〃/+

解得加=。叵，因此球心。，故外接球半徑R=0M=YZ,

2122212

故三棱錐C,-AMN的外接球的表面積S=4兀

故答案為：7兀

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求幾何體外接球的半徑，可以根據(jù)題意先畫出圖形，確定球心的位置，進而得到關(guān)

于球的半徑的式子，解題時要注意球心在過底面外接圓圓心且垂直于底面的直線上，且球心到幾何體各頂

點的距離相等.在確定球心的位置后可在直角三角形中表示出球的半徑，此類問題對空間想象能力和運算

求解能力要求較高，難度比較大.

BDBE

16.如圖，已知8C=3，D,后為_48。邊8c上的兩點，且滿足乙R4D=NC4E,

CDCE4

則當NACB取最大值時，的面積等于.

【解析】

RF).RF1

【分析】由題設足NB4Z>=NC4E,---------=一考慮三角形的面積之比，將其化簡得AC=2AB,借助

CDCE4

于余弦定理和基本不等式求得NAC3的最大值和此時的三角形邊長，由面積公式即可求得.

如圖，不妨設/84￡>=/。4￡=。,/。隹=。,分別記,/3。,ACE,'ABE”ACD的面積為

0ABD^0.ACE^^ABE^°ACD，

cn八-ABADsmOsR口—AB-AEsin(^+a)

川sABD_BD2_ABADABAE

吊?ABE__2=---------②

CEcd

SACE-AEAC3me'AEACSACD；A?ACsin(e+a)ADAC

2

BDBEAB-AD-AB-AEAB21也目

由①，②兩式左右分別相乘，可得:.—,nx1'J?AC^2AB.

CDCEAE-AC-AD-ACAC24

9+4r2-x213

設AB=x,在一ABC中，由余弦定理，cosZACB=^-^~~-=-(%+-),因x>0,則

2x3x2x4x

當且僅當x=G時，等號成立，

X

此時cosNACBN走，因0<NAC6<7t,故0<NACB42,/ACB取得最大值4，此時_ABC的

266

面積等于」x3x2j5xsina=空.

262

故答案為：正.

2

【點睛】思路點睛：對條件等式的轉(zhuǎn)化，本題中，注意到有角的相等和邊長乘積的比，結(jié)合圖形容易看出

幾個等高的三角形，故考慮從面積的比入手探究，即得關(guān)鍵性結(jié)論AC=2A3,之后易于想到余弦定理和

基本不等式求出邊長和角即得.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知Sn為各項均為正數(shù)的數(shù)列｛??｝的前n項和,%e(0,2),4+3%+2=65?.

(1)求｛〃“｝的通項公式；

(2)設a=」一，數(shù)列論,｝的前〃項和為北,若對W〃eN",『<47；恒成立，求實數(shù)/的最大值.

anan+\

【答案】⑴?！?3〃-2；

(2)I.

【解析】

【分析】Q）先求得為的值，然后利用?！芭cS”的關(guān)系推出數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，由此求得｛4｝的通項公

式；

（2）首先結(jié)合（1）求2的表達式，然后用裂項法求得7.，再根據(jù)數(shù)列｛4｝的單調(diào)性求得，的最大值.

【小問1詳解】

當〃=1時，由題設得^+34+2=6%,即a；-34+2=0,又qe（0,2）,解得q=l.

a

由n+3凡+2=65?知:屋1+3a“+|+2=6Sn+I.

兩式相減得：嫌Y+3（*_勺）=6%,即用+%）（4+1-4一3）=0.

由于a,,>0,可得一a"一3=0,即怎+1-《,=3,

所以｛%｝是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，

所以?！?1+3（〃—1）=3〃-2.

【小問2詳解】

,11if11A

由a“=3〃_2得：bn=------=-__,i\=,3~，

44+1+3\3n—23n+lJ

rr,,,iFf,1W1（11Yln

"12"3|_l14（3“—23n+lJJ3n+l

T_Tn+\_______n_______1_______（）

因為"+|"3（?+l）+l3〃+l（3〃+l）（3〃+4），

所以Tn+x>T?,則數(shù)列｛（,｝是遞增數(shù)列,

所以故實數(shù)t的最大值是1.

18.2023年，全國政協(xié)十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月11日下午閉幕，會期

7天半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會期8天半.為調(diào)查居民對兩會相

關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分

100分）進行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.

頻率

［組距

05060708090100得分

（1）若此次知識問答的得分X服從N（4,82）,其中〃近似為參與本次活動的240位居民的平均得分（同

一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），求尸（66<%<90）的值；

（2）中國移動為支持本次活動提供了大力支持，制定了如下獎勵方案：參與本次活動得分低于4的居民

獲得一次抽獎機會，參與本次活動得分不低于〃的居民獲得兩次抽獎機會，每位居民每次有:的機會抽中

一張10元的話費充值卡，有;的機會抽中一張2