人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第一章 第五章 三角函數(shù) 小結(jié)與復(fù)習(xí)【課件】

第五章小結(jié)與復(fù)習(xí)知識網(wǎng)絡(luò)?體系構(gòu)建【主題1】任意角的概念和表示方法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用主題歸納?綜合提升思路點撥：先畫出直角坐標(biāo)系，再根據(jù)角的正負(fù)明確逆時針或順時針的方向，根據(jù)角的大小確定旋轉(zhuǎn)量的大小，旋轉(zhuǎn)一周是360°.【例1】

已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角：(1)420°；(2)855°；(3)－510°.【解】【變式訓(xùn)練1】寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．

【點評總結(jié)】確定一個任意角α所在象限的方法：先利用終邊相同的角的表示方法將α表示成2kπ＋α0(k∈Z)的形式，其中0≤α0<2π，再根據(jù)α0在坐標(biāo)平面中的位置確定出角α所在的象限．利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角．

【例2】

把一塊頂角為120°、腰長為2的等腰三角形厚鋼板廢料OAB用電焊切割成扇形,現(xiàn)有以下兩種方案,如圖.要求既要充分利用廢料,又要切割時間最短,哪一種方案最優(yōu)?思路點撥：對兩種方案切割得到的扇形,分別運用扇形面積公式和弧長公式,計算出其面積與弧長,方案最優(yōu),即面積要最大,弧長要最小,通過比較,容易得出結(jié)果.【解】

變式訓(xùn)練2答圖

【主題2】任意角的三角函數(shù)的定義及分類與整合思想的應(yīng)用

【解】【答案】

【點評總結(jié)】當(dāng)角α的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時,一定要注意對字母正、負(fù)的辨別,若正、負(fù)未定,則需分類討論.正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號,如圖,口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.

【解】【變式訓(xùn)練4】【解】【點評總結(jié)】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可實現(xiàn)同一個角的不同三角函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換，從而求解有關(guān)三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等問題．例4方法1利用方程思想,計算量較大;方法2創(chuàng)造性地利用了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,并根據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行齊次化操作,簡化了求解的過程.變式訓(xùn)練4中,已知tanα=m,求關(guān)于sinα,cosα的齊次式的值,解決這類問題需注意以下兩點:①所求式子一定是關(guān)于sinα,cosα的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式;②因為cosα≠0,所以可除以cosα,這樣可將被求式化為關(guān)于tanα的表示式,然后代入tanα=m的值,從而完成被求式的求值.【主題3】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

思路點撥：(1)要求解析式，只要根據(jù)題目的求出A，ω，φ的值就可以了.(2)f(x)在[0，π]上的圖象，可運用描點法作出，注意列表、描點和連線三個步驟．(3)由函數(shù)y＝sinx的圖象得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，需要經(jīng)過三次變換：一是相位變換，二是周期變換，三是振幅變換．【解】

【點評總結(jié)】(1)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，關(guān)鍵是確定A，ω，φ的值，其中φ是一個難點，通常有兩種方法：一是代點法；二是公式法．(2)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象可用“五點法”作簡圖得到，可通過變量代換z＝ωx＋φ計算五點坐標(biāo)．(3)由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩條途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．思路點撥：(1)為求函數(shù)f(x)的最小正周期，需要運用三角恒等變形的方法，將三角函數(shù)式變形為y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式，再利用公式T＝求之；而定義域可根據(jù)正確函數(shù)有意義來確定．(2)要求f(x)在[－π，0]上的最值，可借助y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象和單調(diào)性，運用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

【解】

【解】【點評總結(jié)】y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是一種重要的三角函數(shù)模型，研究一些較為復(fù)雜的三角函數(shù)的性質(zhì)，常?？梢酝ㄟ^對所給三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變換，將其轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式，再借助其圖象使問題獲解，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．【主題4】三角恒等變換及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用思路點撥：注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角，在這里，所求的目標(biāo)β＝α－(α－β)，然后利用兩角差的正弦公式求解即可．

【解】

【解】

【解】

【解】

【主題5】三角函數(shù)的簡單應(yīng)用

(1)當(dāng)l=25時,求該沙漏的最大偏角;(精確到0.0001rad,π取3.14)(2)已知g=9.8m/s2,要使沙漏擺動的周期是1s,線的長度應(yīng)當(dāng)是多少?(精確到0.1cm,π取3.14)

【解】【變式訓(xùn)練9】[2022·北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)高一期中改編題]通常情況下,同一地區(qū)一天的溫度隨時間變化的曲線接近函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的圖象.2019年2月下旬某地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時,最高溫度為14℃;最低溫度出現(xiàn)在凌晨2時,最低溫度為零下2℃.求出該地區(qū)該時段的溫度函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24)的表達(dá)式;(2)29日上午9時某高中將舉行期末考試,如果溫度低于10℃,教室就要開空調(diào),請問:屆時學(xué)校后勤應(yīng)該開空調(diào)嗎?

【解】【點評總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟:通過例9及變式訓(xùn)練9,滲透函數(shù)模型的思想,提升運算求解的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).