新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三 數(shù)列第3講 數(shù)列解答題（數(shù)列求和） 原卷版

第3講數(shù)列解答題（數(shù)列求和）目錄第一部分：知識強(qiáng)化第二部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：倒序相加法突破二：分組求和法突破三：裂項相消法突破四：錯位相減法求和突破五：奇偶項討論求和突破六：特定通項數(shù)列求和突破七：插入新數(shù)列混合求和

第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)第一部分：知識強(qiáng)化1、倒序相加法如果一個數(shù)列的前SKIPIF1<0項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前SKIPIF1<0項和.2、分組求和法如果一個數(shù)列可寫成SKIPIF1<0的形式，而數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.3、裂項相消法3.1等差型=1\*GB3①SKIPIF1<0特別注意SKIPIF1<0②SKIPIF1<0如：SKIPIF1<0（尤其要注意不能丟前邊的SKIPIF1<0）3.2無理型=1\*GB3①SKIPIF1<0如：SKIPIF1<03.3指數(shù)型①SKIPIF1<0如：SKIPIF1<03.4通項裂項為“SKIPIF1<0”型如：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0本類模型典型標(biāo)志在通項中含有SKIPIF1<0乘以一個分式.4、錯位相減法求和如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前SKIPIF1<0項和即可用此法來求.SKIPIF1<0倍錯位相減法：若數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫SKIPIF1<0倍錯位相減法．5、奇偶項討論求和5.1通項公式分奇、偶項有不同表達(dá)式；例如：SKIPIF1<05.2通項含有SKIPIF1<0的類型；例如：SKIPIF1<06、特定通項數(shù)列求和6.1通項含絕對值：如：求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<06.2通項含取整函數(shù)：如：求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<06.3通項含自定義符號如：記SKIPIF1<0表示x的個位數(shù)字，如SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<07、插入新數(shù)列混合求和7.1插入新數(shù)列構(gòu)成等差7.2插入新數(shù)列構(gòu)成等比7.3插入新數(shù)混合第二部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：倒序相加法1．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前20項的和為（

）A．230 B．115 C．110 D．1002．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0若等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1010 C．2019 D．20205．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.6．（2022·黑龍江·尚志市尚志中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．突破二：分組求和法1．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）已知遞增的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項.數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.2．（2022·甘肅·蘭州一中高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和.3．（2022·廣東·中山大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項公式；(2)數(shù)列SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0的最大正整數(shù)n．4．（2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．5．（2022·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）在各項均不相等的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0對任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.突破三：裂項相消法1．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學(xué)一模（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項的和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.2．（2022·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．3．（2022·四川·南江中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式及前n項和SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．4．（2022·陜西·長安一中高三期中（文））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，求SKIPIF1<0.5．（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習(xí)）在單調(diào)遞增數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．若對SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0均成立．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．6．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．7．（2022·湖北·襄陽五中高三開學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項為3，且SKIPIF1<0．(1)證明數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．突破四：錯位相減法求和1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n項和.2．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.3．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．4．（2022·四川資陽·一模（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．5．（2022·云南云南·模擬預(yù)測）給定三個條件：①SKIPIF1<0成等比數(shù)列，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，從上述三個條件中，任選一個補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.問題：設(shè)公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，___________.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.突破五：奇偶項討論求和1．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.2．（2022·陜西·銅川市耀州中學(xué)模擬預(yù)測（理））在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．3．（2022·江西贛州·二模（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)已知SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．4．（2022·山東濰坊·二模）已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，并證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．5．（2022·天津和平·一模）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0各項均不為零，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖像上.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(3)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和的最大值、最小值.突破六：特定通項數(shù)列求和1．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）在下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，滿足SKIPIF1<0，_____.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，求數(shù)列SKIPIF1<0的前100項和SKIPIF1<0.2．（2022·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）從條件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，_____________.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.3．（2022·廣東珠?！じ呷A段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0和等比數(shù)列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0表示不大于m的正整數(shù)的個數(shù)，求SKIPIF1<0．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，如SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前2022項和.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)令SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，正項等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.突破七：插入新數(shù)列混合求和1．（2022·河南·一模（理））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)組成一個公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在SKIPIF1<0項SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是公差不為SKIPIF1<0的等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這SKIPIF1<0項；若不存在，請說明理由．2．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0的前7項和為77，③SKIPIF1<0這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，_____________．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0中每相鄰兩項之間插入4個數(shù)，使它們與原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成新的等差數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是不是數(shù)列SKIPIF1<0的項？若是，它是SKIPIF1<0的第幾項？若不是，SKIPIF1<0，求k的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．3．（2022·福建福州·高三期中）已知公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中項.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式：(2)保持?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0中各項先后順序不變，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.4．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式，并證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；(2)將SKIPIF1<0插入SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0插入SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0插入SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，依此規(guī)律得到新數(shù)列SKIPIF1<0，求該數(shù)列前20項的和.第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)＝SKIPIF1<0(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數(shù)y＝f(x)的圖像上的兩點(diǎn)，且線段P1P2的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是SKIPIF1<0.（1）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值；（2）若數(shù)列{an}的通項公式是an＝SKIPIF1<0，求數(shù)列{an}的前m項和Sm.2．（2022·廣東江門·高二期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.3．（2022·四川省蓬溪縣蓬南中學(xué)高三階段練習(xí)）給定數(shù)列SKIPIF1<0，若滿足SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為“指數(shù)型數(shù)列”.若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0；(1)判斷SKIPIF1<0是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.4．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞增的等比數(shù)列且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和SKIPIF1<0.5．（2022·福建泉州·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項均為正數(shù)，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式(2)設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．6．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項為0，且SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且對任意正整數(shù)SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)對任意的正整數(shù)n，設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項和S2n.7．（2022·陜西·長安一中高二期中（文））SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<