新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強化練習(xí)專題11 平面向量綜合問題（講）（原卷版）

第一篇熱點、難點突破篇專題11平面向量綜合問題（講）真題體驗感悟高考1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．【多選題】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線SKIPIF1<0焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是AC中點，SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為___________，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為____________總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測1.平面向量是高考的熱點，命題突出向量的基本運算與工具性，在解答題中常與三角函數(shù)、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題相結(jié)合，主要以條件的形式出現(xiàn)，涉及向量共線、數(shù)量積等.2.常以選擇題、填空題形式考查平面向量的基本運算，中低等難度；平面向量在解答題中一般為中等難度．（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一平面向量的線性運算【核心知識】單位向量：長度等于1個單位的向量．平行四邊形法則三角形法則向量的數(shù)乘運算及其幾何意義（1）定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.（2）運算律：設(shè)λ，μ是兩個實數(shù)，則：①；②；③.【典例分析】典例1.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，點D在邊AB上，SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022春·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為直徑的半圓圓周上的兩個三等分點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的一個四等分點，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.（2022春·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在三角形ABC中，已知D，E分別為CA，CB上的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AE與BD交于O點，若SKIPIF1<0，則mn的值為___________.【規(guī)律方法】1．平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”．對平面向量減法應(yīng)抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．2．在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個字母看待即可，其運算方法類似于代數(shù)中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比．3.利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個點的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．(3)比較、觀察可知所求．考向二平面向量數(shù)量積【核心知識】一、平面向量的數(shù)量積1．已知兩個非零向量a與b，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．規(guī)定0·a＝0.當(dāng)a⊥b時，θ＝90°，這時a·b＝0.2．a(chǎn)·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．二、數(shù)量積的運算律1．交換律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．對λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．三、向量數(shù)量積的性質(zhì)1．如果e是單位向量，則a·e＝e·a.2．a(chǎn)⊥ba·b＝0.3．a(chǎn)·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ為a與b的夾角)5．|a·b|≤|a||b|.四、坐標(biāo)運算1．若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則SKIPIF1<0.3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【典例分析】典例4.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2典例5.（2022春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上靠近點SKIPIF1<0的三等分點，兩條直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例6.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【規(guī)律方法】1.計算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應(yīng)用相應(yīng)運算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進而求解．(3)坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運算形式進行求解．2.特別提醒：兩個向量的夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量的夾角可能是0或π的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不僅要求其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線．考向三向量共線定理的應(yīng)用【核心知識】1.平面向量共線定理的三個應(yīng)用2.結(jié)論：(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.(2)直線的向量式參數(shù)方程：A，P，B三點共線?SKIPIF1<0(O為平面內(nèi)任一點，t∈R)．【典例分析】典例7.（2022春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例8.（2022春·北京西城·高三北京師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知向量SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0___________.典例9.（2022·上海浦東新·統(tǒng)考一模）如圖，在SKIPIF1<0中，點D、E是線段BC上兩個動點，且SKIPIF1<0，，則SKIPIF1<0的最小值為______.【規(guī)律方法】共線向量定理應(yīng)用時的注意點(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．(3)使用條件“兩條線段的交點”時，可轉(zhuǎn)化成兩次向量共線，進而確定交點位置．考向四平面向量的最值、范圍問題【核心知識】1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域2.均值不等式【典例分析】典例10.（2022春·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上一點，且SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．2 B．1C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例11.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例12.（2022春·山東·高三利津縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知矩形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為______.典例13.（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，SKIPIF1<0且交AB于點E．SKIPIF1<0且交AC于點F,則SKIPIF1<0的值為____________；SKIPIF1<0的最小值為____________．典例14.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是_______．【總結(jié)提升】1.平面向量部分，數(shù)量積是最重要的概念，求解平面向量數(shù)量積的最值、范圍問題要深刻理解數(shù)量積的意義，從不同角度對數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化．2.數(shù)量積有關(guān)的最值和范圍問題是高考的熱點之一，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、夾角、系數(shù)的范圍等．解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(二次函數(shù)、三角函數(shù))等的最值或應(yīng)用基本不等式．同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以還有一種思路是數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)．3.求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解．考向五平面向量與三角交匯問題【核心知識】正弦定理、余弦定理三角恒等變換三角函數(shù)圖象和性質(zhì)【典例分析】典例15.（2022春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例16.（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，SKIPIF1<0D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若SKIPIF1<0（m為常數(shù)），則CD的長度是________．典例17.（2022春·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若SKIPIF1<0．(1)求角A；(2)若點D是邊SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積的最大值．考向六平面向量與解析幾何的交匯問題【核心知識】圓的方程圓錐曲線方程及其幾何性質(zhì)【典例分析】典例18.（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，橢圓C過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩點，點P在線段SKIPIF1<0