七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第五章第02講 簡單的軸對(duì)稱圖形-等腰（等邊）三角形(7類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第02講簡單的軸對(duì)稱圖形—等腰（等邊）三角形(7類熱點(diǎn)題型講練)1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)；(重點(diǎn))2．經(jīng)歷等腰三角形的探究過程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的軸對(duì)稱圖形，等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號(hào)：在中，AB＝AC，知識(shí)點(diǎn)02等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于；（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.題型01等腰三角形兩腰相等求解【例題】（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期中）若a，b為等腰的兩邊，且滿足，則的周長為（

）A．16 B．18 C．20 D．16或20【答案】C【分析】題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，分情況討論求解時(shí)要注意利用三角形的三邊關(guān)系對(duì)三邊能否組成三角形做出判斷．【詳解】解：∵，∴，解得，若4是腰長，則三角形的三邊長為4，4，8，不能組成三角形；若4是底邊長，則三角形的三邊長為4，8，8，能組成三角形，周長為．故選C．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)上·湖南岳陽·期中）等腰三角形的兩邊長分別是和，則該三角形周長為．【答案】/17厘米【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當(dāng)腰長為時(shí)，②當(dāng)腰長時(shí)，解答出即可．【詳解】根據(jù)題意，①當(dāng)腰長為時(shí)，∵，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)腰長為時(shí)，∵，能構(gòu)成三角形，∴周長．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．注意還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．2．（22-23七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）定義；等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為，，則它的“優(yōu)美比”k為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況：為腰或?yàn)榈走叄俑鶕?jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美比k.【詳解】解：當(dāng)腰時(shí)，則底邊；此時(shí)，優(yōu)美比；當(dāng)為底邊時(shí)，則腰為；此時(shí)，優(yōu)美比；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求角度【例題】（23-24八年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在中，，，則．【答案】/70度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可．【詳解】解：．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2024·北京·一模）如圖，已知等腰三角形，，，若以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，則°．【答案】30【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，先根據(jù)等邊對(duì)等角求出底角，再根據(jù)，求出，最后利用外角的性質(zhì)即可得解．掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴．∵以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，∴，∴．∵，∴．故答案為：30．2．（23-24八年級(jí)下·云南文山·階段練習(xí)）如圖，已知，，，，求的度數(shù)為°．【答案】/度【分析】本題主要考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再由等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)得到，同理可得．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，同理可得，故答案為：．題型03根據(jù)等邊對(duì)等角證明【例題】（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，是等腰三角形，點(diǎn)，分別在腰，上，且，連接，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件得出三角形全等，從而即可證明，證明線段轉(zhuǎn)化成三角形全等并找到相應(yīng)的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：是等腰三角形在與中．【變式訓(xùn)練】1．（2024·江蘇南京·一模）如圖，在和中，，，，的延長線相交于點(diǎn)B、，的延長線相交于點(diǎn)C．求證．【答案】見解析【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，理解ASA證明三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)ASA證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，在與中∴∴，∴，即．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在中，是三角形的中線，點(diǎn)F在中線上，且，連接并延長交于點(diǎn)E，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊對(duì)等角，解題的關(guān)鍵作輔助線構(gòu)造．延長到，使，易證，則，又，則，再結(jié)合對(duì)頂角相等、等邊對(duì)等角，等量代換可得結(jié)果．【詳解】延長到，使，連結(jié)，是中線，，在和中，，，，，，，，，，，題型04根據(jù)三線合一求解【例題】（23-24八年級(jí)下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）如圖，在三角形框架中，，是連接點(diǎn)與中點(diǎn)的支架．若，則的度數(shù)為．【答案】/40度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，得出是的平分線，即可作答．【詳解】解：∵，是連接點(diǎn)與中點(diǎn)的支架．∴是等腰三角形，∴是的平分線，∴故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，平分，點(diǎn)E在邊上，且．若，則的大小為．【答案】20°/20度【分析】本題考查等邊對(duì)等角，三線合一．利用等邊對(duì)等角求出度數(shù)，三線合一，得到，利用，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴．∵，∴．∵，平分，∴，∴，∴．故答案為：20°．2．（23-24八年級(jí)上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在等腰中，，是的高，，分別是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，連接，由等腰三角形的性質(zhì)得到垂直平分，，則，故當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值，最小值為的長，利用勾股定理求出的長，再運(yùn)用等面積法求的長度即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵在等腰中，，是的高，∴垂直平分，，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長，由勾股定理得，∵，∴，解得：，∴的最小值為故答案為：．題型05根據(jù)三線合一證明【例題】（23-24八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，E為邊上的點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，且、相交于F．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由余角的性質(zhì)可得；（2）由“”可證，可得．【詳解】（1）證明：，為線段的中點(diǎn)，，，，，；（2）證明：∵，，，，，在和中，，，．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·階段練習(xí)）如圖，在中，，是邊上的中線，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形三線合一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，然后用三角形內(nèi)角和定理得到，等量代換即可得到．【詳解】（1）∵，是邊上的中線，∴是邊上的高線，∴；（2）如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)F，∵，是邊上的中線，∴是的平分線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）在中，，．(1)如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：；(2)如圖，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長為_______．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）由垂直可得，，又由可得，利用即可求證；（）過點(diǎn)作與點(diǎn)，同理（）可證得，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得；本題考查了余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴；（2）解：過點(diǎn)作與點(diǎn)，同理（）可證得，∴，∵，，∴，故答案為：．題型06根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解【例題】（23-24八年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，在等邊中，、分別為邊、上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)；證明得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，在中，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)開始以1厘米/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始以2厘米秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，是等邊三角形．【答案】2【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，則，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，則，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，由題意得，，則∵是等邊三角形，∴，∴，解得，∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，是等邊三角形．故答案為：2．2．（23-24九年級(jí)下·河南商丘·階段練習(xí)）在等邊三角形中，，點(diǎn)P在邊上．若，則的長為．【答案】3或5【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用；由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，可求出，再分兩種情況討論，由勾股定理分別求值即可．【詳解】解：過A作于D，是等邊三角形，，，在中，，如圖1，當(dāng)P在線段上時(shí)，

在中，，，如圖2，當(dāng)P在線段上時(shí)，

在中，，，綜上所述，的長為3或5，故答案為：3或5.題型07根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明【例題】（23-24八年級(jí)下·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在邊上，，，與相交于點(diǎn)D，．(1)求證：．(2)求的長度．【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）由是等邊三角形可得出，又，可得，再根據(jù)證明得出結(jié)論；（2）由（1）知得,又，可得的長度【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，又，∴，即，在和中，，∴（2）解：由（1）知，，且,∴，又∴【變式訓(xùn)練】1．（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖1，等邊三角形和等邊三角形，連接，，其中．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；(3)利用備用圖補(bǔ)全圖形，直線，交于點(diǎn)，連接，若，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由“”可證，可得；（2）由“”可證，可得；（3）如圖3，過點(diǎn)作于，于，由面積法可求，可證，由直角三角形的性質(zhì)可求，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，在和中，，，；（2）證明：，，點(diǎn)在線段上，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，過點(diǎn)作于，于，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，．2．（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）已知是等邊三角形，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在直線右側(cè)作等邊三角形．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，連接，此時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系為______，______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，連接，（1）中，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論及證明過程；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)；(2)不成立，，證明見解析(3)的度數(shù)為．【分析】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明，可得，，即可得到，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）同（1）中原理證明，可得，，之間新的數(shù)量關(guān)系；（3）連接，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，證明，則可得，當(dāng)時(shí)，取最小值，則此時(shí)也去最小值，即可求得此時(shí)的值，見手拉手模型則考慮證全等，將轉(zhuǎn)換到中等量的中線看最小值，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，，，即，故答案為：；；（2）解：不成立，，證明如下：證明：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，，即；（3）解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)（1）中原理，可得，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在與中，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)也取得最小值，此時(shí)，故當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·廣東佛山·期中）等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個(gè)三角形的周長是（

）A．15 B．12 C．12或15 D．9【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和6，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：若3為腰長，6為底邊長，由于，則三角形不存在；若6為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個(gè)三角形的周長為．故選：A2．（2024·甘肅天水·一模）若等腰三角形中有一個(gè)角等于，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分已知角是頂角和底角兩種情況分別即可．【詳解】解：∵已知三角形是等腰三角形，∴當(dāng)是底角時(shí)，頂角；當(dāng)是頂角時(shí)，符合題意；綜上所述，等腰三角形的頂角度數(shù)為或．故選D．3．（2024年安徽省名校之約中考第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，，點(diǎn)E為直線上方一點(diǎn)，連接，，．若，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握等邊對(duì)等角、利用平行線的性質(zhì)計(jì)算幾何圖中角度．由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，由等邊對(duì)等角求出，再由，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵，，，，，，，，．故選：D．4．（22-23八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，，與的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線分別交、于點(diǎn)、，的周長是13，則的周長是（）

A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．根據(jù)角平分線的定義，得出，，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，，再根據(jù)等量代換，得出，，再根據(jù)等角對(duì)等邊，得出，，再根據(jù)的周長是13，得出，再根據(jù)三角形的周長，即可得出的周長．【詳解】解：與的平分線交于點(diǎn)，，，又，，，，，，，的周長是13，，，即，又，的周長為：．故選：B5．（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若是等腰三角形時(shí)，則t的值為（

）A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或【答案】D【分析】本題主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是注意分類討論．根據(jù)為等腰三角形進(jìn)行分類討論，分別求出的長，即可求出t．【詳解】解：中，，，，由勾股定理得：，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∴，①時(shí)，如圖所示：∵，∴，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴，解得：；③當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴，∴，∴，綜上所述，當(dāng)t分別為、10、16時(shí)，為等腰三角形．故選：D．二、填空題6．（22-23八年級(jí)下·河南鄭州·期中）已知等腰三角形的兩邊長為，且滿足，則三角形的周長為．【答案】【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的應(yīng)用，等腰三角形的定義，三角形的三邊性質(zhì)，由得到，，即可得，，分兩種情況：是腰長和是底邊長，進(jìn)行解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得，，當(dāng)是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為，∵，∴不能組成三角形；當(dāng)是底邊長時(shí)，三角形的三邊分別為，能組成三角形，周長，∴三角形的周長為，故答案為：．7．（23-24七年級(jí)下·吉林長春·階段練習(xí)）一個(gè)等腰三角形的周長是17，已知它的一邊長是5，則另外兩邊的長分別是．【答案】6，6或5，7【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．由于已知長度的邊沒有指明是等腰三角形的底邊還是腰，因此要分類討論，最后要根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題意．【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚牡组L為5時(shí)，腰長；則等腰三角形的三邊長為5、6、6，能構(gòu)成三角形．②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5時(shí)，底長；則等腰三角形的三邊長為5、5、7，能構(gòu)成三角形．故等腰三角形另外兩邊的長為6，6或5，7．故答案為：6，6或5，7．8．（23-24九年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，已知直線，點(diǎn)在直線上，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫孤，分別交直線于兩點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查求角度問題，涉及到尺規(guī)作圖、等腰三角形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，理解尺規(guī)作圖是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)尺規(guī)作圖可知，利用等腰三角形性質(zhì)得到，再結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，最后列式求解即可．【詳解】解：∵，∴，根據(jù)作圖可知，，，直線，，，故答案為：．9．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期中）如圖，和都是頂角為的等腰三角形，，、分別是兩個(gè)等腰三角形的底邊，點(diǎn)B、D、E三點(diǎn)恰好落在一條直線上，若度．【答案】18【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握等腰三角形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：∵和都是頂角為45°的等腰三角形，∴,,∵，∴,∴．故答案為：18．10．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)P在邊上，，點(diǎn)M、N在邊上，，若，則．【答案】/1.5【分析】本題考查等腰三角形形三線合一及直角三角形30度角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，解題關(guān)鍵是作出輔助線．過P作，，根據(jù)等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可得到答案．【詳解】解：過P作，，，，，，，故答案為：．三、解答題11．（23-24七年級(jí)上·山東青島·期末）（1）如圖，已知與交于點(diǎn)，，，則與的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖，已知的延長線與交于點(diǎn)，，，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），證明見解析【分析】（）利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)即可求證；（2）在上截取，證明，可得出，，則可得出；本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的的判定應(yīng)性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）∵，，∴，故答案為：；（），理由如下：在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．12．（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽·期末）如圖，在中，，平分．以點(diǎn)圓心，長為半徑畫弧，與，分別交于點(diǎn)，，連接，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理：（1）先由等腰三角形的性質(zhì)得到，再證明，即可證明；（2）由角平分線的定義得到，再根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理得到，由三線合一定理得到，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）證明：∵在中，，平分，∴，由作圖方法可知，∴，∴；（2）解∵，，∴，由作圖得：．∴，∴，∵，平分，∴，∴．13．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，點(diǎn)D在斜邊上，且，過點(diǎn)B作交直線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理：（1）先由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出，則；（2）先由三線合一定理得到，再證明，得到，即可證明．【詳解】（1）解：∵中，，，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，