七年級數(shù)學下冊講義（北師大版）第五章第02講 簡單的軸對稱圖形-等腰（等邊）三角形(7類熱點題型講練)（解析版）

第02講簡單的軸對稱圖形—等腰（等邊）三角形(7類熱點題型講練)1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)；(重點)2．經(jīng)歷等腰三角形的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(難點)知識點01等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的軸對稱圖形，等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號：在中，AB＝AC，知識點02等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個內(nèi)角等于；（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.題型01等腰三角形兩腰相等求解【例題】（23-24八年級上·浙江寧波·期中）若a，b為等腰的兩邊，且滿足，則的周長為（

）A．16 B．18 C．20 D．16或20【答案】C【分析】題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，分情況討論求解時要注意利用三角形的三邊關(guān)系對三邊能否組成三角形做出判斷．【詳解】解：∵，∴，解得，若4是腰長，則三角形的三邊長為4，4，8，不能組成三角形；若4是底邊長，則三角形的三邊長為4，8，8，能組成三角形，周長為．故選C．【變式訓練】1．（22-23八年級上·湖南岳陽·期中）等腰三角形的兩邊長分別是和，則該三角形周長為．【答案】/17厘米【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當腰長為時，②當腰長時，解答出即可．【詳解】根據(jù)題意，①當腰長為時，∵，不能構(gòu)成三角形；②當腰長為時，∵，能構(gòu)成三角形，∴周長．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．注意還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．2．（22-23七年級下·陜西西安·階段練習）定義；等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為，，則它的“優(yōu)美比”k為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況：為腰或為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美比k.【詳解】解：當腰時，則底邊；此時，優(yōu)美比；當為底邊時，則腰為；此時，優(yōu)美比；故選：C．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)等邊對等角求角度【例題】（23-24八年級上·浙江紹興·期末）如圖，在中，，，則．【答案】/70度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可．【詳解】解：．故答案為：．【變式訓練】1．（2024·北京·一模）如圖，已知等腰三角形，，，若以點B為圓心，長為半徑畫弧，則°．【答案】30【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，先根據(jù)等邊對等角求出底角，再根據(jù)，求出，最后利用外角的性質(zhì)即可得解．掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴．∵以點B為圓心，長為半徑畫弧，∴，∴．∵，∴．故答案為：30．2．（23-24八年級下·云南文山·階段練習）如圖，已知，，，，求的度數(shù)為°．【答案】/度【分析】本題主要考查了等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再由等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)得到，同理可得．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，同理可得，故答案為：．題型03根據(jù)等邊對等角證明【例題】（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，是等腰三角形，點，分別在腰，上，且，連接，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)條件得出三角形全等，從而即可證明，證明線段轉(zhuǎn)化成三角形全等并找到相應(yīng)的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：是等腰三角形在與中．【變式訓練】1．（2024·江蘇南京·一模）如圖，在和中，，，，的延長線相交于點B、，的延長線相交于點C．求證．【答案】見解析【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，理解ASA證明三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)ASA證明與全等，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，在與中∴∴，∴，即．2．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，在中，是三角形的中線，點F在中線上，且，連接并延長交于點E，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊對等角，解題的關(guān)鍵作輔助線構(gòu)造．延長到，使，易證，則，又，則，再結(jié)合對頂角相等、等邊對等角，等量代換可得結(jié)果．【詳解】延長到，使，連結(jié)，是中線，，在和中，，，，，，，，，，，題型04根據(jù)三線合一求解【例題】（23-24八年級下·貴州畢節(jié)·階段練習）如圖，在三角形框架中，，是連接點與中點的支架．若，則的度數(shù)為．【答案】/40度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，得出是的平分線，即可作答．【詳解】解：∵，是連接點與中點的支架．∴是等腰三角形，∴是的平分線，∴故答案為：【變式訓練】1．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，平分，點E在邊上，且．若，則的大小為．【答案】20°/20度【分析】本題考查等邊對等角，三線合一．利用等邊對等角求出度數(shù)，三線合一，得到，利用，進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴．∵，∴．∵，平分，∴，∴，∴．故答案為：20°．2．（23-24八年級上·吉林長春·階段練習）如圖，在等腰中，，是的高，，分別是上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，連接，由等腰三角形的性質(zhì)得到垂直平分，，則，故當三點共線且時，有最小值，最小值為的長，利用勾股定理求出的長，再運用等面積法求的長度即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵在等腰中，，是的高，∴垂直平分，，∴，∴，∴當三點共線，且時，有最小值，即此時有最小值，最小值為的長，由勾股定理得，∵，∴，解得：，∴的最小值為故答案為：．題型05根據(jù)三線合一證明【例題】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，E為邊上的點，且，為線段的中點，過點作，過點作，且、相交于F．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由余角的性質(zhì)可得；（2）由“”可證，可得．【詳解】（1）證明：，為線段的中點，，，，，；（2）證明：∵，，，，，在和中，，，．【變式訓練】1．（23-24八年級上·云南紅河·階段練習）如圖，在中，，是邊上的中線，于點．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形三線合一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，然后用三角形內(nèi)角和定理得到，等量代換即可得到．【詳解】（1）∵，是邊上的中線，∴是邊上的高線，∴；（2）如圖所示，設(shè)與交于點F，∵，是邊上的中線，∴是的平分線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．2．（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）在中，，．(1)如圖，于點，于點，求證：；(2)如圖，于點，交于點，若，，則的長為_______．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）由垂直可得，，又由可得，利用即可求證；（）過點作與點，同理（）可證得，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得；本題考查了余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵于點，于點，∴，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴；（2）解：過點作與點，同理（）可證得，∴，∵，，∴，故答案為：．題型06根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解【例題】（23-24八年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，在等邊中，、分別為邊、上的點，與相交于點，若，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)；證明得出，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓練】1．（23-24八年級下·江西吉安·階段練習）如圖，在中，厘米，點從點開始以1厘米/秒的速度向點運動，點從點開始以2厘米秒的速度向點運動，兩點同時運動，當運動時間為秒時，是等邊三角形．【答案】2【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，設(shè)運動時間為t秒，則，則，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，則，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)運動時間為t秒，由題意得，，則∵是等邊三角形，∴，∴，解得，∴當運動時間為2秒時，是等邊三角形．故答案為：2．2．（23-24九年級下·河南商丘·階段練習）在等邊三角形中，，點P在邊上．若，則的長為．【答案】3或5【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用；由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，可求出，再分兩種情況討論，由勾股定理分別求值即可．【詳解】解：過A作于D，是等邊三角形，，，在中，，如圖1，當P在線段上時，

在中，，，如圖2，當P在線段上時，

在中，，，綜上所述，的長為3或5，故答案為：3或5.題型07根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明【例題】（23-24八年級下·廣東佛山·階段練習）如圖，為等邊三角形，點E、F分別在邊上，，，與相交于點D，．(1)求證：．(2)求的長度．【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）由是等邊三角形可得出，又，可得，再根據(jù)證明得出結(jié)論；（2）由（1）知得,又，可得的長度【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，又，∴，即，在和中，，∴（2）解：由（1）知，，且,∴，又∴【變式訓練】1．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖1，等邊三角形和等邊三角形，連接，，其中．(1)求證：；(2)如圖2，當點在一條直線上時，交于點，交于點，求證：；(3)利用備用圖補全圖形，直線，交于點，連接，若，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由“”可證，可得；（2）由“”可證，可得；（3）如圖3，過點作于，于，由面積法可求，可證，由直角三角形的性質(zhì)可求，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，在和中，，，；（2）證明：，，點在線段上，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，過點作于，于，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，．2．（2024八年級下·全國·專題練習）已知是等邊三角形，為射線上一動點，連接，以為邊在直線右側(cè)作等邊三角形．(1)如圖1，當點在邊上時，連接，此時，，之間的數(shù)量關(guān)系為______，______；(2)如圖2，當點在的延長線上時，連接，（1）中，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出新的結(jié)論及證明過程；(3)如圖3，當點在射線上運動時，取的中點，連接，當?shù)闹底钚r，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)；(2)不成立，，證明見解析(3)的度數(shù)為．【分析】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明，可得，，即可得到，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）同（1）中原理證明，可得，，之間新的數(shù)量關(guān)系；（3）連接，取的中點，連接，根據(jù)，證明，則可得，當時，取最小值，則此時也去最小值，即可求得此時的值，見手拉手模型則考慮證全等，將轉(zhuǎn)換到中等量的中線看最小值，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，，，即，故答案為：；；（2）解：不成立，，證明如下：證明：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，，即；（3）解：如圖，連接，取的中點，連接，根據(jù)（1）中原理，可得，，，點是的中點，點是的中點，，在與中，，，，當時，取最小值，此時也取得最小值，此時，故當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為．一、單選題1．（23-24八年級下·廣東佛山·期中）等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個三角形的周長是（

）A．15 B．12 C．12或15 D．9【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和6，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：若3為腰長，6為底邊長，由于，則三角形不存在；若6為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為．故選：A2．（2024·甘肅天水·一模）若等腰三角形中有一個角等于，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分已知角是頂角和底角兩種情況分別即可．【詳解】解：∵已知三角形是等腰三角形，∴當是底角時，頂角；當是頂角時，符合題意；綜上所述，等腰三角形的頂角度數(shù)為或．故選D．3．（2024年安徽省名校之約中考第一次聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，，點E為直線上方一點，連接，，．若，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握等邊對等角、利用平行線的性質(zhì)計算幾何圖中角度．由兩直線平行同旁內(nèi)角互補得出，由等邊對等角求出，再由，計算即可得出答案．【詳解】解：∵，，，，，，，，．故選：D．4．（22-23八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，，與的平分線交于點，過點作的平行線分別交、于點、，的周長是13，則的周長是（）

A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對等邊，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．根據(jù)角平分線的定義，得出，，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出，，再根據(jù)等量代換，得出，，再根據(jù)等角對等邊，得出，，再根據(jù)的周長是13，得出，再根據(jù)三角形的周長，即可得出的周長．【詳解】解：與的平分線交于點，，，又，，，，，，，的周長是13，，，即，又，的周長為：．故選：B5．（23-24八年級上·江蘇徐州·期中）如圖，在中，，，，動點P從點B出發(fā)，沿射線以的速度運動，設(shè)運動的時間為t秒，若是等腰三角形時，則t的值為（

）A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或【答案】D【分析】本題主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是注意分類討論．根據(jù)為等腰三角形進行分類討論，分別求出的長，即可求出t．【詳解】解：中，，，，由勾股定理得：，∵動點P從點B出發(fā)，沿射線以的速度運動，運動的時間為t秒，∴，①時，如圖所示：∵，∴，∴，解得：；②當時，如圖所示：∵，∴，解得：；③當時，如圖所示：∵，∴，∴，∴，綜上所述，當t分別為、10、16時，為等腰三角形．故選：D．二、填空題6．（22-23八年級下·河南鄭州·期中）已知等腰三角形的兩邊長為，且滿足，則三角形的周長為．【答案】【分析】本題考查了非負數(shù)的應(yīng)用，等腰三角形的定義，三角形的三邊性質(zhì)，由得到，，即可得，，分兩種情況：是腰長和是底邊長，進行解答即可求解，運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得，，當是腰長時，三角形的三邊分別為，∵，∴不能組成三角形；當是底邊長時，三角形的三邊分別為，能組成三角形，周長，∴三角形的周長為，故答案為：．7．（23-24七年級下·吉林長春·階段練習）一個等腰三角形的周長是17，已知它的一邊長是5，則另外兩邊的長分別是．【答案】6，6或5，7【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．由于已知長度的邊沒有指明是等腰三角形的底邊還是腰，因此要分類討論，最后要根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題意．【詳解】解：①當?shù)妊切蔚牡组L為5時，腰長；則等腰三角形的三邊長為5、6、6，能構(gòu)成三角形．②當?shù)妊切蔚难L為5時，底長；則等腰三角形的三邊長為5、5、7，能構(gòu)成三角形．故等腰三角形另外兩邊的長為6，6或5，7．故答案為：6，6或5，7．8．（23-24九年級下·福建福州·期中）如圖，已知直線，點在直線上，以點為圓心，適當長為半徑畫孤，分別交直線于兩點，連接．若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查求角度問題，涉及到尺規(guī)作圖、等腰三角形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，理解尺規(guī)作圖是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)尺規(guī)作圖可知，利用等腰三角形性質(zhì)得到，再結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，最后列式求解即可．【詳解】解：∵，∴，根據(jù)作圖可知，，，直線，，，故答案為：．9．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）如圖，和都是頂角為的等腰三角形，，、分別是兩個等腰三角形的底邊，點B、D、E三點恰好落在一條直線上，若度．【答案】18【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點，掌握等腰三角形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：∵和都是頂角為45°的等腰三角形，∴,,∵，∴,∴．故答案為：18．10．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，已知，點P在邊上，，點M、N在邊上，，若，則．【答案】/1.5【分析】本題考查等腰三角形形三線合一及直角三角形30度角所對直角邊等于斜邊一半，解題關(guān)鍵是作出輔助線．過P作，，根據(jù)等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半即可得到答案．【詳解】解：過P作，，，，，，，故答案為：．三、解答題11．（23-24七年級上·山東青島·期末）（1）如圖，已知與交于點，，，則與的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖，已知的延長線與交于點，，，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），證明見解析【分析】（）利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)即可求證；（2）在上截取，證明，可得出，，則可得出；本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的的判定應(yīng)性質(zhì)，熟練掌握以上知識的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）∵，，∴，故答案為：；（），理由如下：在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．12．（23-24八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在中，，平分．以點圓心，長為半徑畫弧，與，分別交于點，，連接，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理：（1）先由等腰三角形的性質(zhì)得到，再證明，即可證明；（2）由角平分線的定義得到，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到，由三線合一定理得到，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）證明：∵在中，，平分，∴，由作圖方法可知，∴，∴；（2）解∵，，∴，由作圖得：．∴，∴，∵，平分，∴，∴．13．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，點D在斜邊上，且，過點B作交直線于點E，過點A作于點F．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理：（1）先由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進而根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，則；（2）先由三線合一定理得到，再證明，得到，即可證明．【詳解】（1）解：∵中，，，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，