七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊講義（北師大版）第四章第07講 難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題(3類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第07講難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題(3類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一利用分類討論思想求解動(dòng)點(diǎn)中三角形全等問題】 1【題型二利用三角形全等求證線段之間的關(guān)系問題】 12【題型三利用三角形全等求證角之間的關(guān)系問題】 22【題型一利用分類討論思想求解動(dòng)點(diǎn)中三角形全等問題】例題：（23-24八年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在長方形中，，延長到點(diǎn)E，使，連接，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為秒時(shí)，與全等．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）如圖，，垂足為點(diǎn)，米，米，射線，垂足為點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2米/秒沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過秒時(shí)（不包括0秒），由點(diǎn)組成的三角形與全等．2．（23-24八年級(jí)上·北京西城·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)，分別按照和的路線同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，到各自的終點(diǎn)時(shí)停止．直線經(jīng)過原點(diǎn)，且，過，分別作的垂線段，垂足分別為，．若點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)的速度為每秒4個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)與全等時(shí)，的值為．

3．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在長方形中，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿長方形的邊運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止；點(diǎn)Q在邊上，，連接．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)s時(shí)，以長方形的兩個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形與全等．（不考慮兩個(gè)三角形重合的情況）4．（23-24八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，，垂足為點(diǎn)A，射線，垂足為點(diǎn)B，，．動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D在射線上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，始終保持．若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)t=秒時(shí)，與全等．5．（23-24八年級(jí)上·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖1，在中，，，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，；(2)如圖2，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好與全等，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．6．（2023·廣西南寧·二模）如圖，在中，為高，．點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，連接，交于，若．(1)猜想線段與的位置關(guān)系，并證明；(2)有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒6個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，是否存在的值，使得的面積為27？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；(3)在（2）條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，當(dāng)與全等時(shí)，求的值．【題型二利用三角形全等求證線段之間的關(guān)系問題】例題：（23-24八年級(jí)上·北京海淀·階段練習(xí)）在中，，，點(diǎn)D在的延長線上，M是的中點(diǎn)，E是射線CA上一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，作，交延長線于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，填空：________（填“”、“”或“”）．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)全，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）如圖1，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直角邊，為直角頂點(diǎn)，在右側(cè)作等腰直角三角形，連接．

(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)(不與點(diǎn)重合)，求證：．(2)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)(如圖2)，試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請給予證明．2．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期末）問題情境：如圖，等腰，D是斜邊上一點(diǎn)，連接，在AD右側(cè)作，且，平分交邊于點(diǎn)E，連接和，請直接寫出線段的關(guān)系：

；

猜想驗(yàn)證：若D是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，且平分交邊于點(diǎn)E，其他條件不變，此時(shí)上面的結(jié)論是否還成立，請說明理由．拓展延伸：若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到斜邊的延長線上，平分交邊于點(diǎn)E，其他條件不變，請直接寫出線段的關(guān)系：．3．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），且．

(1)連接交于點(diǎn)，設(shè)．①當(dāng)時(shí)，如圖1，則______．②當(dāng)時(shí)，如圖2，若，求的長．(2)如圖3，作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．4．（23-24八年級(jí)上·廣東陽江·期末）如圖1，已知：，點(diǎn)A、B在的邊上，，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)A作，且，作，垂足為F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，證明：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段延長線上時(shí)，（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，作點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，與直線交于點(diǎn)H，求證：．【題型三利用三角形全等求證角之間的關(guān)系問題】例題：（23-24八年級(jí)上·湖南永州·期中）在中，，，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F均是射線BD上的點(diǎn)并且滿足，．求證：；(2)在（1）的條件下，求證：；(3)由（1）我們知道，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D的位置發(fā)生變化時(shí)，過點(diǎn)C作于F，連接AF．那么的度數(shù)是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）點(diǎn)P、Q分別是邊長為的等邊的邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s．

(1)連接、交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)，直線、交點(diǎn)為M，則變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．2．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）在中，，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作于D，連接．

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)【嘗試探究】點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，的大小是否改變，若改變，請說明理由，若不變，求的度數(shù)；(3)【深入思考】如圖②，若E為中點(diǎn)，探索與的數(shù)量關(guān)系．3．（23-24八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1