山東省濟(jì)南市市中區(qū)育英中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)育英中學(xué)九年級(jí)（下）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共8小題，每題3分，共24分）1.魯班鎖，民間也稱作孔明鎖、八卦鎖，它起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu).下圖是魯班鎖的其中一個(gè)部件，它的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【詳解】它的主視圖是：．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．2.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)，得到，代入進(jìn)行求解即可．熟練掌握外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．3.已知反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，則與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定【答案】A【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是明確在反比例函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而減?。鶕?jù)在反比例函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而減小，由反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，可以判斷出、的大小關(guān)系，從而本題得以解決．【詳解】解：反比例函數(shù)中的，在反比例函數(shù)中，在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而減小，反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，，．故選：A4.拋物線的對(duì)稱軸是直線（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線解析式，可直接求出對(duì)稱軸．【詳解】解：拋物線解析式為，對(duì)稱軸為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線．5.已知不透明的袋中只裝有黑、白兩種球，這些球除顏色外都相同，其中白球有2個(gè)，黑球有個(gè)，若隨機(jī)地從袋子中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則的值為（）A3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，然后進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法及概率，熟練掌握分式方程的解法及概率是解題的關(guān)鍵．6.如圖，AB是O的直徑，，則等于（）A. B. C.60° D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵與是同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)圓心角的度數(shù)的一半是解答此題的關(guān)鍵．7.一次函數(shù)與反比例函數(shù)（a，b為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定a、b的符號(hào)，進(jìn)而求出的符號(hào)，由此可以確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，看是否一致即可．【詳解】解：A、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第一、三象限，這與圖形不符合，故A不符合題意；B、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形不符合，故B不符合題意；C、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形不符合，故C不符合題意；D、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形符合，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與函數(shù)圖象的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8.已知，是拋物線上兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，總有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠理解題意，得出關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵；由拋物線解析式可知拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，由題意可知，解得．【詳解】拋物線，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，Ax1,y1，Bx2,y2，．故選：B二.填空題（共6小題，每題3分，共18分）9.已知tan=1，則銳角α的度數(shù)是_____．【答案】30°．【解析】【分析】先求出sinA的值，然后根據(jù)sinA的值可得出A的度數(shù)．【詳解】由題意得，tanα＝＝，∴α＝30°．故答案為30°．【點(diǎn)睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一些特殊角的三角函數(shù)值，是需要我們熟練記憶的內(nèi)容．10.如圖，以O(shè)為位似中心，把五邊形的面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，得五邊形，則_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的定義．根據(jù)五邊形的面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，利用相似圖形面積的比等于相似比的平方，即可得出答案．【詳解】解：∵以O(shè)為位似中心，把五邊形面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，得五邊形，則，故答案為．11.如圖，點(diǎn)A，B是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸垂足為點(diǎn)C，并交于點(diǎn)D．若的面積為2，D為的中點(diǎn)，則k的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用三角形的面積建立方程求出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，，軸，，的面積為2，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．12.如圖是拋物線的一部分，其對(duì)稱軸為直線，若其與x軸一交點(diǎn)為，則由圖象可知，不等式的解集是______．【答案】或【解析】【分析】由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（3，0）和對(duì)稱軸x=1可以確定另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），又＞0時(shí)，圖象在x軸上方，由此可以求出x的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（3，0）而對(duì)稱軸x＝1∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)（﹣1，0）當(dāng)＞0時(shí)，圖象在x軸上方此時(shí)x＜﹣1或x＞3故答案為x＜﹣1或x＞3．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是求出圖象與x軸的交點(diǎn)，然后由圖象找出當(dāng)y＞0時(shí)，自變量x的范圍，本題鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法．13.如圖．將扇形翻折，使點(diǎn)與圓心重合，展開(kāi)后折痕所在直線與交于點(diǎn)，連接．若，則圖中陰影部分的面積是______．【答案】##【解析】【分析】連接，由翻折的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得是等邊三角形，則扇形面積減去等邊三角形的面積即為所求的陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)l交于點(diǎn)D，由翻折的性質(zhì)得：，，，，，即是等邊三角形，，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積等知識(shí)，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到△，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，再添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形和全等三角形解決問(wèn)題．過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，由平角的定義，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)得，，由平行線的性質(zhì)得，，由折疊可知，，于是可通過(guò)證明，得到，再利用勾股定理求得，則．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，，在和中，，，，在中，，．故答案為：三.解答題（共8小題，共58分）15.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，，分別是邊、上的點(diǎn)，連接，且．若，，，求的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】本題考查相似三角形，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．根據(jù)，即可解答．設(shè)，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，從而列出方程解出的值．【詳解】證明：，，；，設(shè)，則，，，，，解得：（負(fù)值舍去），的長(zhǎng)是．17.為了更好的感受中考考法，精準(zhǔn)備考，學(xué)生和學(xué)生兩位同學(xué)，分別從2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真題中選擇一套完成，四套題分別記為A、B、C、D，若他們兩人選擇哪一套題相互不受影響，且選擇每一套題的幾率均等．（1）他們都選擇“2023”的概率為_(kāi)_____；（2）請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求兩人都不選擇“2023”的概率【答案】（1）（2），圖形見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）畫樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果數(shù)以及他們都選擇“2023”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案；（2）由樹(shù)狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩人都不選擇“2023”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案；【小問(wèn)1詳解】解：畫樹(shù)狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中他們都選擇D的結(jié)果有1種，他們都選擇“2023”的概率為，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】由樹(shù)狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中他們都不選擇的結(jié)果有9種，兩人都不選擇“2023”的概率為．18.綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量塔的高度，如圖，塔前有一座高為的觀景臺(tái)，已知，的坡度為，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測(cè)得塔頂部B的仰角為，在觀景臺(tái)D處測(cè)得塔頂部B的仰角為．（1）求的長(zhǎng)；（2）求塔的高度．（結(jié)果保留個(gè)位）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：在中，的坡度為，，∴，∴．即的長(zhǎng)為．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，在中，，∴．在中，由，，，則．∴．即的長(zhǎng)為．如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．19.如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）14【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及解直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再利用直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而可得，然后再利用等腰三角形的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得，從而可得，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而求出，的長(zhǎng)，最后設(shè)的半徑為，在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【小問(wèn)1詳解】證明：是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，，，是的直徑，，，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】解：，，在中，，，，，，，，，設(shè)的半徑為，在中，，，，的半徑為14．20.如圖1，矩形和矩形共頂點(diǎn)，且繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，滿足．（1）的比值是否發(fā)生變化，若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出相應(yīng)的值，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，連接，求的面積．【答案】（1）不變化，，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，，根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理證得，，再證明和，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）連接，，過(guò)G作交延長(zhǎng)線于F，先證明求得，再由，證明F、C、G、B四點(diǎn)共圓，再利用圓內(nèi)接四邊形的外角性質(zhì)得到，證明求得，進(jìn)而求解面積即可．【小問(wèn)1詳解】解：結(jié)論：不變化，．理由為：如圖1，連接，，∵四邊形是矩形，∴，，∵，則，設(shè)，，則，∴，同理可得，，∴，∴，，∴，，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：如圖2，連接，，過(guò)G作交延長(zhǎng)線于T，∵四邊形是矩形，∴，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵∴，又，∴∴，∴，∵，∴F、C、G、B四點(diǎn)共圓，∴，又，∴，∴，即，∴，則．【點(diǎn)睛】本題屬于相似三角形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于函數(shù)y（x＞0），它的圖象是雙曲線在第一象限內(nèi)的一部分，如圖1，這條曲線將第一象限分成了三個(gè)部分，即曲線上方、曲線下方和曲線上．（1）對(duì)于函數(shù)y（x＞0）的圖象而言，①點(diǎn)P（3，1）在（填“曲線上方”、“曲線下方”、“曲線上”）．②橫、縱坐標(biāo)滿足不等式y(tǒng)的點(diǎn)在（填“曲線上方”、“曲線下方”、“曲線上”）．（2）已知m＞0，將在第一象限內(nèi)滿足不等式組的所有點(diǎn)組成的區(qū)域記為W．①當(dāng)m＝1時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出區(qū)域W（用陰影部分標(biāo)示）；②若A（1，2），B（2，4）兩點(diǎn)恰有一個(gè)點(diǎn)在區(qū)域W內(nèi)，結(jié)合圖象，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）①曲線上方；②曲線下方（2）①見(jiàn)解析；②1＜m＜8且m≠2【解析】【分析】（1）①把相應(yīng)坐標(biāo)代入函數(shù)式即可得到答案；②根據(jù)函數(shù)圖象可得到答案；（2）①根據(jù)題意得不等式組，根據(jù)軌跡可得答案；②分當(dāng)點(diǎn)A（1，2）在區(qū)域W內(nèi)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B（2，4）在區(qū)域W內(nèi)時(shí)，兩種情況得不等式組，求解可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：①在函數(shù)y圖象上，當(dāng)x＝3時(shí)，y，∴點(diǎn)P（3，1）在曲線上方；②y為曲線，橫、縱坐標(biāo)滿足不等式y(tǒng)的點(diǎn)在曲線下方．故答案為：①曲線上方；②曲線下方．【小問(wèn)2詳解】解：①由題意知，區(qū)域W滿足，∴區(qū)域W滿足在y的上方且在y＝x+1的下方，如圖：②當(dāng)點(diǎn)A（1，2）在區(qū)域W內(nèi)時(shí)，，得1＜m＜2，當(dāng)點(diǎn)B（2，4）在區(qū)域W內(nèi)時(shí)，，得2＜m＜8，∴m的取值范圍為1＜m＜8且m≠2．【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)的軌跡問(wèn)題，掌握反比例函數(shù)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解決此題關(guān)鍵