《正余弦定理復(fù)習(xí)課》教案

《正余弦定理復(fù)習(xí)課》教案教材：人教A版必修5第一章授課教師：浙江省溫州中學(xué)鄒瓊艷一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：(1)正弦定理和余弦定理結(jié)合起來(lái)，能夠很好地解決三角形的問(wèn)題，注意定理的變式及合理選用公式；(2)掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；(3)掌握三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用；(4)能運(yùn)用兩個(gè)定理轉(zhuǎn)化三角形中的一些邊角關(guān)系式。2.過(guò)程與方法：(1)體會(huì)解三角形的實(shí)質(zhì)就是由正弦定理與余弦定理聯(lián)立得到方程組，由方程的思想求解未知的邊角；(2)通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析，解答兩個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問(wèn)題。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)正、余弦定理，在解三角形問(wèn)題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。難點(diǎn)：正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。三、教學(xué)過(guò)程【例題】已知△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知c=8,C=60o【問(wèn)1】你能否解此三角形？【設(shè)計(jì)意圖】此問(wèn)主要是想讓學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，三角形中六個(gè)基本元素，任何一條正余弦定理的公式都對(duì)著四個(gè)未知量，所以必須要有三個(gè)已知量才能求解。滲透解三角形問(wèn)題中的方程思想?！締?wèn)2】若固定A、B兩點(diǎn)，符合題意的點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？【設(shè)計(jì)意圖】此問(wèn)的目的之二是回顧正弦定理的內(nèi)容，三角形中一邊和其對(duì)角確定，該三角形的外接圓半徑是確定的，學(xué)生容易回答點(diǎn)C的軌跡是以AB為60o圓周角所對(duì)弦、半徑確定的圓；同時(shí)利用幾何畫(huà)板的優(yōu)勢(shì)，把圖形靜與動(dòng)的相對(duì)關(guān)系淋漓盡致地體現(xiàn)在學(xué)生的面前，讓學(xué)生對(duì)圖形有較強(qiáng)的把握，A、B、C三點(diǎn)共圓的圖形可對(duì)接下來(lái)一些問(wèn)題的研究提供數(shù)形結(jié)合的依據(jù)?！締?wèn)3】用幾何畫(huà)板做出圓后問(wèn)：點(diǎn)C可以在圓上任取嗎？【設(shè)計(jì)意圖】此問(wèn)是為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的思維習(xí)慣，嚴(yán)格地說(shuō)，點(diǎn)C的軌跡是圓上AB所對(duì)的優(yōu)弧?！締?wèn)4】你能增加一個(gè)條件，使點(diǎn)C確定嗎？【設(shè)計(jì)意圖】此問(wèn)通過(guò)開(kāi)放問(wèn)題充分發(fā)揮學(xué)生的聯(lián)想能力，通過(guò)一題多解，拓寬學(xué)生的思路，再次滲透解三角形問(wèn)題中的方程思想，體驗(yàn)如何合理選擇公式。預(yù)設(shè)學(xué)生的想法有以下幾種：給定一個(gè)角A（或角B），利用正弦定理即可求得其余兩邊。給定一條邊a(或b)，利用正弦定理和余弦定理均可求得其余的邊和角。當(dāng)學(xué)生給出這個(gè)方案時(shí)，追問(wèn)（1）：邊a的長(zhǎng)可以任意給嗎？（為了書(shū)寫方便，下面就以給a邊為例）【設(shè)計(jì)意圖】有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思考方式，用動(dòng)態(tài)的圖形來(lái)研究靜態(tài)的問(wèn)題。由圖可知，增加的邊長(zhǎng)應(yīng)有一個(gè)限制范圍，即追問(wèn)（2）：在給定的范圍內(nèi)取哪個(gè)值，三角形的形狀較為特殊？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生很容易看出，當(dāng)a=8時(shí)，此時(shí)三角形為正三角形。自然地過(guò)渡到當(dāng)a=7和a=9兩種情況的探究。通過(guò)對(duì)照余弦定理所對(duì)應(yīng)的方程，發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=7時(shí)，三角形唯一確定；當(dāng)a=9時(shí)，三角形有兩解。激發(fā)學(xué)生的刨根究底的探究欲望，自然地拋出解三角形中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。【問(wèn)5】若此三角形有兩解，求a的取值范圍?！驹O(shè)計(jì)意圖】一方面是想“趁熱打鐵”讓學(xué)生再次利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C即以B為圓心以給定的a為半徑的圓與已經(jīng)圓弧的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有唯一交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，于是，難點(diǎn)輕松突破；另一方面，學(xué)生還可以結(jié)合正余弦定理建立方程,從方程角度探求兩解問(wèn)題,通過(guò)一題多解，拓寬學(xué)生的思路，進(jìn)一步體驗(yàn)解析幾何的解題技巧和規(guī)律。【問(wèn)6】剛才同學(xué)們?cè)黾拥亩际沁吅徒鞘谷切未_定，能否給出其他與三角形相關(guān)的量，間接地確定邊角進(jìn)而確定三角形呢？【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用面積、周長(zhǎng)等相關(guān)量去制約三角形，使基本量思想得到合理的延伸。在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，需要利用化歸轉(zhuǎn)化的思想，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為待定的兩條邊長(zhǎng)的方程組，進(jìn)而再次滲透解三角形問(wèn)題中的方程思想。另外，這個(gè)問(wèn)題承上啟下，給出面積其實(shí)是給出的邊的乘積，即的一種制約關(guān)系，結(jié)合多條制約關(guān)系可從方程組角度求解,進(jìn)一步深入滲透方程思想?！咀兪健恳阎髦?，分別是角的對(duì)邊，已知，，求邊的值?！驹O(shè)計(jì)意圖】此問(wèn)將角C=600這一條件變?yōu)檫@樣一種三角的制約關(guān)系，間接地給出三角，自然地過(guò)渡到邊角互化的問(wèn)題研究中去；同時(shí)，這個(gè)問(wèn)題的解決體現(xiàn)了正余弦定理應(yīng)用的兩個(gè)重要方向，即將邊轉(zhuǎn)化成角和將角轉(zhuǎn)化為邊，通過(guò)一題多解，使學(xué)生看到公式轉(zhuǎn)化的靈活性、多樣性以及多種方法思想上的統(tǒng)一性。將解題上升為對(duì)思想方法的探究。該問(wèn)的兩種解法如下：解法一：，結(jié)合余弦定理得又因?yàn)?，解方程可得邊的值。解法二：由可得，可先解出，進(jìn)而求和，最后利用正弦定理求得邊的值?！居肿儭恳阎髦校謩e是角的對(duì)邊，已知，，你可以確定三角形中的哪些量？【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步刪減條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只含純粹的邊角制約關(guān)系，挖掘題目背景中更為深層的隱含條件。結(jié)合上題的解決過(guò)程，發(fā)現(xiàn)兩條方程三個(gè)未知量，邊長(zhǎng)不可求，但角都是可以確定的，求三角也可以從上題解題過(guò)程中的兩種方法解決對(duì)于解法二仍舊成立，而對(duì)于解法一可調(diào)整利用方程和求出三邊的比值。追問(wèn)：根據(jù)三邊的比值如何求三角？【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化對(duì)解三角形形問(wèn)題的兩種本質(zhì)思想:從形上說(shuō)，三邊比值確定得到的一系列三角形均為相似三角形；從數(shù)上說(shuō)，余弦定理公式為齊二次式，因此利用三邊比值即可求角，進(jìn)一步熟悉公式的特征，并從形和數(shù)兩方面展開(kāi)討論分析。【再變】已知△中，分別是角的對(duì)邊，已知，你還可以確定此三角形中角嗎？若不能，試研究角的變化范圍。【設(shè)計(jì)意圖】充分利用變式,讓學(xué)生從題海中解脫出來(lái)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，增強(qiáng)知識(shí)的系統(tǒng)性與連貫性，從而使學(xué)生能夠抓住問(wèn)題的本質(zhì)，加深對(duì)問(wèn)題的理解，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律。另外,此問(wèn)進(jìn)一步刪減條件,從方程角度來(lái)說(shuō)只有一條方程不可能求解三邊和三角。但三邊的的制約關(guān)系肯定對(duì)角的大小有所限制，任取正弦定理或余弦定理展開(kāi)研究均可。進(jìn)一步探求三角形中的邊角制約的奧秘，進(jìn)一步分析公式的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)靈活、正確、合理地選取公式進(jìn)行解題。具體解法有如下幾種：解法一:聯(lián)系余弦定理可得,所以解法二:由可得,進(jìn)而有,于是,得,從而得到解法三:由可得,進(jìn)而有,于是,即進(jìn)而有,所以【課堂小結(jié)】請(qǐng)你從以下三個(gè)方面談?wù)剬W(xué)習(xí)這節(jié)課的體會(huì)：1.這節(jié)課我的收獲是——2.我想進(jìn)一步探究的問(wèn)題是——3.這節(jié)課我最感興趣的地方是——【設(shè)計(jì)意圖】課堂小結(jié)改變以往教師自己闡述的方式，真正地做到讓學(xué)生成為課堂的主體，淋漓盡致傾聽(tīng)學(xué)生內(nèi)心最