5.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)（第1課時周期性奇偶性）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第五章三角函數(shù)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第1課時周期性、奇偶性人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期,并會應(yīng)用.3.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性,會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的定義

定義域?qū)?yīng)的集合是無限集

T可正、可負(fù)但不能為0一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個

常數(shù)T,使得對每一個x∈D,都有x+T∈D,且

=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期的定義如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的

,那么這個最小

就叫做f(x)的最小正周期.

非零

f(x+T)正數(shù)

正數(shù)

名師點睛1.對周期函數(shù)與周期定義中的“對每一個x∈D”,要特別注意“每一個”的要求.如果只是對某些x有f(x+T)=f(x),那么T不一定是f(x)的周期.2.自變量x本身加的常數(shù)才是函數(shù)的周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是函數(shù)的3.本書中涉及的周期,不加特殊說明,一般都是指函數(shù)的最小正周期.思考辨析周期函數(shù)的周期是否唯一?提示

不唯一.若f(x+T)=f(x),則f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)所有的函數(shù)都有最小正周期.(

)2.正弦函數(shù)y=sinx的周期是

.

解析

∵sin(x+2π)=sin

x,∴y=sin

x的最小正周期為2π.3.若存在正數(shù)T,使f(x+T)=-f(x),則函數(shù)f(x)的一個周期為

.

××2π2T

知識點2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)y=sinxy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)名師點睛函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:思考辨析函數(shù)y=Asin(-2x)(A≠0)的奇偶性是怎樣的?提示

根據(jù)奇偶性的定義知,該函數(shù)是奇函數(shù).自主診斷1.[2024山東濱州高一期中]下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

)A.y=sinx-1 B.y=|sinx|C.y=3cosx+1 D.y=-sinxD解析

由題意,選項中函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.對于A中,函數(shù)f(x)=sin

x-1,則f(-x)=sin(-x)-1=-sin

x-1≠-f(x),所以函數(shù)y=sin

x-1既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),不符合題意;對于B中,函數(shù)f(-x)=|sin(-x)|=|sin

x|=f(x),所以函數(shù)y=|sin

x|為偶函數(shù),不符合題意;對于C中,函數(shù)f(-x)=3cos(-x)+1=3cos

x+1=f(x),所以函數(shù)y=3cos

x+1為偶函數(shù),不符合題意;對于D中,函數(shù)f(-x)=-sin(-x)=sin

x=-f(x).又y=-sin

x的定義域為R,所以函數(shù)y=-sin

x是奇函數(shù),符合題意.故選D.C3.下列四個函數(shù)中,圖象關(guān)于y軸對稱的是(

)B解析

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,則函數(shù)為偶函數(shù),故選B.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一三角函數(shù)的周期問題及簡單應(yīng)用【例1】

求下列三角函數(shù)的最小正周期:(1)y=3sinx,x∈R;(2)y=cos2x,x∈R;解

由題可知ω=1,(4)y=|cosx|,x∈R.解

函數(shù)y=|cos

x|的圖象如圖(實線部分)所示.由圖象可知,y=|cos

x|的最小正周期為π.規(guī)律方法求三角函數(shù)的最小正周期的常用方法求三角函數(shù)的最小正周期,一般有兩種方法:(1)公式法,即先將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(其中A,ω,φ,B均為常數(shù),A≠0,ω>0)的形式,再利用T=求得;(2)圖象法,即作出函數(shù)的圖象,通過觀察得到最小正周期.變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的最小正周期:(2)y=cos|x|;解

作出y=cos|x|的圖象,如圖所示,易知y=cos|x|的最小正周期為2π.(3)y=|sinx|.解

設(shè)f(x)=|sin

x|,則f(x+π)=f(x),故y=|sin

x|的最小正周期為π.探究點二三角函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用【例2】

判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;解

函數(shù)f(x)=|sin

x|+cos

x的定義域為R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).解

函數(shù)應(yīng)滿足1+sin

x≠0,顯然定義域不關(guān)于原點對稱,故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).規(guī)律方法判斷函數(shù)奇偶性的常用方法:提醒:判斷函數(shù)奇偶性時,必須先判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱.定義法從f(-x)的解析式中拼湊出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立圖象法作出函數(shù)的圖象,由圖象的對稱性確定其奇偶性驗證法驗證f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是否成立.此法通常用于函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的情形變式訓(xùn)練2(1)[2024河北唐山高一期末]函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=cosx,則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)C解析

因為f(x)g(x)=sin

xcos

x的定義域為R,且f(-x)g(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin

xcos

x=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函數(shù),故A錯誤;因為|f(x)|g(x)=|sin

x|cos

x的定義域為R,且|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|cos(-x)=|sin

x|cos

x=f(x)g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù),故B錯誤;因為f(x)|g(x)|=sin

x|cos

x|的定義域為R,且f(-x)|g(-x)|=sin(-x)|cos(-x)|=-sin

x|cos

x|=-f(x)g(x),所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù),故C正確;因為|f(x)g(x)|=|sin

xcos

x|的定義域為R,且|f(-x)·g(-x)|=|sin(-x)cos(-x)|=|sin

xcos

x|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D錯誤.故選C.(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性:①f(x)=xcos(π+x);②f(x)=sin(cosx);解

函數(shù)f(x)的定義域為R,∵f(x)=xcos(π+x)=-xcos

x,∴f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos

x=-f(x).∴f(x)為奇函數(shù).解

函數(shù)f(x)的定義域為R,∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos

x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).解

由1-cos

x≥0且cos

x-1≥0,得cos

x=1,從而x=2kπ,k∈Z,此時f(x)=0,故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).探究點三函數(shù)奇偶性與周期性的綜合問題【例3】

(1)[2024四川涼山高一階段檢測]若函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)的圖象關(guān)于y軸對稱,則φ的值可能為(

)CD變式探究1

若將例3(2)題中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”,其他條件不變,求

的值.規(guī)律方法當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時,可以首先研究它在一個周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況,再予以推廣求值.變式訓(xùn)練3設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時,f(x)=sinx+x,則1<x<2時,f(x)=

.

sin(x-2)+x-2解析

當(dāng)1<x<2時,-2<-x<-1,則0<2-x<1.因為當(dāng)0<x<1時,f(x)=sin

x+x,所以f(2-x)=sin(2-x)+2-x.因為f(x)是周期為2的奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-f(2-x)=-sin(2-x)+x-2=sin(x-2)+x-2.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.函數(shù)f(x)=sin(-x)的奇偶性是(

)A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)A解析

因為x∈R,且f(-x)=sin

x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).1234