第2章 實(shí)數(shù)（單元測(cè)試拔尖卷）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（北師大版）

第2章實(shí)數(shù)（單元測(cè)試·拔尖卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．已知，且，化簡(jiǎn)（

）．A． B．1 C．或 D．3或1或或2．如圖，點(diǎn)P，Q對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為p，q，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度與點(diǎn)Q重合 B．C．的相反數(shù)的整數(shù)部分為2 D．3．李老師設(shè)計(jì)了一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)運(yùn)算的程序：輸入一個(gè)數(shù)，乘以后再減去，輸出結(jié)果．若小剛按程序輸入2，則輸出的結(jié)果應(yīng)為（）A．2 B． C．﹣ D．34．若三條長(zhǎng)度分別為，，的線(xiàn)段能構(gòu)成三角形，我們就把稱(chēng)為三角數(shù)組，已知是三角數(shù)組，則下列說(shuō)法正確的是（

）①一定是三角數(shù)組；②不一定是三角數(shù)組；③一定是三角數(shù)組；④不一定是三角數(shù)組；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．已知為實(shí)數(shù)，且，下列說(shuō)法：①；②當(dāng)時(shí)，的值是4或；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．46．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么的值是(

)A．1999 B．2000 C．2001 D．20027．已知a，b均為正數(shù)，且，，是一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)，則這個(gè)三角形的面積是（

）A． B． C． D．8．化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（

）A． B．－ C． D．－9．有一個(gè)計(jì)算器，計(jì)算時(shí)只能顯示1.41421356237十三位（包括小數(shù)點(diǎn)），現(xiàn)在想知道7后面的數(shù)字是什么，可以在這個(gè)計(jì)算器中計(jì)算下面哪一個(gè)值（

）A．10 B．10（-1）C．100 D．-110．從，1，2，4四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)（記作）構(gòu)成一個(gè)數(shù)組（其中，且將與視為同一個(gè)數(shù)組），若滿(mǎn)足：對(duì)于任意的和都有，則S的最大值（）A．10 B．6 C．5 D．4二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．設(shè)5-的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值為12．已知，則的值為．13．閱讀以下材料：如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取到等號(hào)．則函數(shù)y＝2x＋（x＜0）的最大值為．（提示：可以先求－y的最小值）14．a(chǎn)，b為有理數(shù)，且，則．15．利用下面表格中的規(guī)律計(jì)算：已知，，，則．（用含的代數(shù)式表示）0.00010.011100100000.010.111010016．如圖，在由邊長(zhǎng)都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上．（Ⅰ）線(xiàn)段的長(zhǎng)為；（Ⅱ）在上找E點(diǎn)使；請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)E，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)E的位置是如何找到的．（不要求證明）．17．黃金比又稱(chēng)黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為，它介于整數(shù)和之間，則的值是．18．觀(guān)察下列等式：第1個(gè)等式：，第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，…按上述規(guī)律，計(jì)算．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）19．計(jì)算：(1)(2)20．（8分）已知，，c是的倒數(shù)，d是的整數(shù)部分．(1)若，求的值；(2)若，求的值．21．（10分）已知a、b滿(mǎn)足，求的值．22．（10分）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m.(1)______.求的值；在數(shù)軸上還有C、D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有與互為相反數(shù)，求的平方跟. 23．（10分）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：＝＝＝＝．再如：請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：化簡(jiǎn)：；化簡(jiǎn)：；若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．24．（12分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接DE，DF⊥DE交BC于點(diǎn)F．(1)求證：DE＝DF；(2)連接EF交CD于點(diǎn)G，若AC＝，當(dāng)AD＝CE時(shí)，求EG2的值．參考答案1．C【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)解答即可．【詳解】由題意得：，解得，∵，∴，∴或，∴=-2+1=-1，或=-2-1=-3．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值和有理數(shù)的加法法則，能正確去掉絕對(duì)值符號(hào)是解此題的關(guān)鍵．2．C【分析】由圖可知，進(jìn)而根據(jù)平移、絕對(duì)值以及化簡(jiǎn)二次根式即可得解．【詳解】解：由圖可知，∴，即點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度不與點(diǎn)Q重合，故A錯(cuò)誤；，∴，故B錯(cuò)誤；∵，∴，∴，即的相反數(shù)的整數(shù)部分為2，故C正確；∵，∴，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸、平移、絕對(duì)值以及化簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握數(shù)形相結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】首先用小剛按程序輸入的數(shù)乘，求出積是多少；然后用所得的積減去，求出輸出的結(jié)果應(yīng)為多少即可．【詳解】解：．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的加減法，解答此題的關(guān)鍵是要弄清楚先求什么，再求什么．4．B【分析】，且，先證明，即可證明，由此即可判斷①②；根據(jù)是一個(gè)三角數(shù)組，不是一個(gè)三角數(shù)組即可判斷③④．【詳解】解：∵是三角數(shù)組，∴可設(shè)，且，∴，∵，∴，∴一定是三角數(shù)組，故①正確，②不正確；∵是一個(gè)三角數(shù)組，，∴不是一個(gè)三角數(shù)組，∴當(dāng)是三角數(shù)組時(shí)，不一定是三角數(shù)組，故③錯(cuò)誤，④正確；故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，實(shí)數(shù)比較大小，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)二次根式成立的條件，二次根式的性質(zhì)，即可一一判定．【詳解】解：成立，，，，，故①③正確，④不正確；②當(dāng)時(shí)，，故②不正確；故正確的有：2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式成立的條件，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用二次根式的相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)與算術(shù)平方根的性質(zhì)先化簡(jiǎn)，進(jìn)而平方即可得到答案【詳解】解：，，即，∴，即，∴，即，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式求值，涉及到絕對(duì)值性質(zhì)與算術(shù)平方根的性質(zhì)，根據(jù)條件逐步恒等變形到所求代數(shù)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．A【分析】構(gòu)造矩形，E、F分別為、的中點(diǎn)，設(shè)，，將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為即可求解．【詳解】解：如圖，在矩形中，E、F分別為、的中點(diǎn)，設(shè)，，∴，，∴在、、中，依次可得到：，，，∴．故選：A【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的應(yīng)用．能夠通過(guò)構(gòu)造矩形及直角三角形，利用等積變換將所求三角形的面積轉(zhuǎn)化為矩形和幾個(gè)直角三角形的面積之差．利用數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．8．B【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件求得a、b的取值范圍，然后再利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可【詳解】故選B【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件判斷字母的取值范圍．本題需要重點(diǎn)注意字母和式子的符號(hào)．9．B【詳解】由于計(jì)算器顯示結(jié)果的位數(shù)有限，要想在原來(lái)顯示的結(jié)果的右端再多顯示一位數(shù)字，則應(yīng)該設(shè)法去掉左端的數(shù)字“1”.對(duì)于整數(shù)部分不為零的數(shù)，計(jì)算器不顯示位于左端的零.于是，先將原來(lái)顯示的結(jié)果左端的數(shù)字“1”化為零，即計(jì)算.為了使該結(jié)果的整數(shù)部分不為零，再將該結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，即計(jì)算.這樣，位于原來(lái)顯示的結(jié)果左端的數(shù)字消失了，空出的一位由原來(lái)顯示結(jié)果右端數(shù)字“7”的后一位數(shù)字填補(bǔ)，從而實(shí)現(xiàn)了題目的要求.根據(jù)以上分析，為了滿(mǎn)足要求，應(yīng)該在這個(gè)計(jì)算器中計(jì)算的值.故本題應(yīng)選B.點(diǎn)撥：本題綜合考查了計(jì)算器的使用以及小數(shù)的相關(guān)知識(shí).本題解題的關(guān)鍵在于理解計(jì)算器顯示數(shù)字的特點(diǎn)和規(guī)律.本題的一個(gè)難點(diǎn)在于如何構(gòu)造滿(mǎn)足題目要求的算式.解題過(guò)程中要注意，只將原結(jié)果的左端數(shù)字化為零并不一定會(huì)讓這個(gè)數(shù)字消失.只有當(dāng)整數(shù)部分不為零時(shí)，左端的零才不顯示.另外，對(duì)于本題而言，將結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)是為了使該結(jié)果的整數(shù)部分不為零，要充分理解這一原理.10．C【分析】找出的值，結(jié)合對(duì)于任意的和都有，即可得出的最大值．【詳解】∵，，，，，，∴共有5個(gè)不同的值，又∵對(duì)于任意的和都有，∴的最大值為5，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，找出共有幾個(gè)不同的值是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根得到，則，因此，即可確定a，b的值，再代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)實(shí)數(shù)的計(jì)算，估算是我們應(yīng)具備的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的常用方法．12．/【分析】先利用二次根式有意義求得與的值，然后把與的值代入變形后的代數(shù)式求值即可．【詳解】解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，二次根式有意義的條件的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)閱讀材料，求出-y的最小值，即可求出y的最大值．【詳解】解：∵x＜0，則2x＜0，＜0，∴－y＝－(2x＋)≥－2＝，∴，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝時(shí)，函數(shù)有最大值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題是閱讀型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目中給出的信息，理解閱讀材料介紹的知識(shí)，主要培養(yǎng)自學(xué)能力．14．2【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形計(jì)算，即，且a，b為有理數(shù)，求出，進(jìn)而得到．【詳解】解：a，b為有理數(shù)故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了完全平方公式與二次根式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵在于完全平方公式的變形．15．【分析】根據(jù)已知條件將a+b化為，利用二次根式的乘法法則的逆運(yùn)算以及求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，即可得到答案．【詳解】解：∵，，，∴===0.1k+10k=10.1k，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查多項(xiàng)式的求值計(jì)算，二次根式的乘法法則的逆運(yùn)算，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，將a+b化為是解題的關(guān)鍵．16．如圖，取格點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)與交于E點(diǎn)；則點(diǎn)E即為所求【分析】（Ⅰ）根據(jù)勾股定理即可求解；（Ⅱ）如圖，取格點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)與交于E點(diǎn)；則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，然后根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可證明．【詳解】解：（1）如圖，在Rt△ABF中，；（Ⅱ）如圖，取格點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)與交于E點(diǎn)；則點(diǎn)E即為所求．證明：如圖，取格點(diǎn)△BGH，∵AF=HG，∠F=∠G=90°，BF=BG=2，∴△ABF≌△HBG，∴∠ABF=∠HBG，∵∠HBG+∠HBF=90°，∴∠ABF+∠HBF=90°，即∠ABH=90°，由作圖可得DE∥BH，∴∠AED=90°，∴DE⊥AB．故答案為：；取格點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)與交于E點(diǎn)；則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)格點(diǎn)的特點(diǎn)構(gòu)造全等三角形從而得到∠ABH=90°是解題關(guān)鍵．17．1【分析】根據(jù)的取值范圍，求出的取值區(qū)間，將區(qū)間的上下限取整數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∴，又∵介于整數(shù)n和n+1之間，∴n=1，故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，能夠求出無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分是解決本題的關(guān)鍵．18．/【分析】首先根據(jù)題意，可得：，然后根據(jù)分母有理數(shù)化的方法，求出算式的值是多少即可．【詳解】解：第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，…第個(gè)等式：，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了分母有理化的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．19．(1)(2)【分析】（1）利用二次根式的乘除法則運(yùn)算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】（1）解：原式===（2）解：原式===【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的計(jì)算，完全平方公式和平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．20．(1)或(2)或14【分析】（1）由，得或，計(jì)算即可；（2）先求出c，再根據(jù)，求出a、b，最后求出d，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，或，或，或；（2）是的倒數(shù)，，，或，是的整數(shù)部分，，或，或．【點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值、平方、有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加、減、乘、除法，倒數(shù)、無(wú)理數(shù)，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論．21．【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性列出方程組，通過(guò)解方程組求出a，b的值，然后將其代入所求的代數(shù)式求值即可．【詳解】解：依題意有，解得：當(dāng)時(shí)【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的求值及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)列出方程組是解題的前提，代入求值是關(guān)鍵．22．(1)(2)2(3)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可；（2）由（1）可得、，再利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)絕對(duì)值號(hào)，最后合并同類(lèi)項(xiàng)即可解答；（3）根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)求出、的值，再代入，進(jìn)而求其平方根即可．【詳解】（1）解：∵螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬了個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)表示∴點(diǎn)表示∴．故答案為：．（2）解：∵∴，∴．（3）解：∵與互為相反數(shù)∴∴，∴，∴∴，即的平方根是．【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、絕對(duì)值的性質(zhì)、相反數(shù)的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、求一個(gè)數(shù)的平方根等知識(shí)點(diǎn)，掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．(1)(2)(3)14或46【分析】（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．【詳解】（1）（2）（3）∵，∴，，∴又∵、n為正整數(shù)，∴，或者，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴a的值為：或．【點(diǎn)撥】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進(jìn)一步利用公式因式分解化簡(jiǎn)，注意在整數(shù)分解時(shí)參考后面的二次根號(hào)里面的數(shù)值．24．(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題可得△ABC是等腰直角三角形，當(dāng)D是AB邊中點(diǎn)時(shí)，可以得到∠CDA＝90°，AD＝CD，由∠FDE＝∠CDA＝90°，可得∠F