第2章 實數（單元測試拔尖卷）-2023-2024學年八年級數學上冊基礎知識專項突破講與練（北師大版）

第2章實數（單元測試·拔尖卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．已知，且，化簡（

）．A． B．1 C．或 D．3或1或或2．如圖，點P，Q對應的數分別為p，q，則下列說法正確的是（

）A．點P向右平移3個單位長度與點Q重合 B．C．的相反數的整數部分為2 D．3．李老師設計了一個關于實數運算的程序：輸入一個數，乘以后再減去，輸出結果．若小剛按程序輸入2，則輸出的結果應為（）A．2 B． C．﹣ D．34．若三條長度分別為，，的線段能構成三角形，我們就把稱為三角數組，已知是三角數組，則下列說法正確的是（

）①一定是三角數組；②不一定是三角數組；③一定是三角數組；④不一定是三角數組；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．已知為實數，且，下列說法：①；②當時，的值是4或；③；④．其中正確的個數是(

)A．1 B．2 C．3 D．46．已知實數滿足，那么的值是(

)A．1999 B．2000 C．2001 D．20027．已知a，b均為正數，且，，是一個三角形的三邊的長，則這個三角形的面積是（

）A． B． C． D．8．化簡二次根式的結果是（

）A． B．－ C． D．－9．有一個計算器，計算時只能顯示1.41421356237十三位（包括小數點），現在想知道7后面的數字是什么，可以在這個計算器中計算下面哪一個值（

）A．10 B．10（-1）C．100 D．-110．從，1，2，4四個數中任取兩個不同的數（記作）構成一個數組（其中，且將與視為同一個數組），若滿足：對于任意的和都有，則S的最大值（）A．10 B．6 C．5 D．4二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．設5-的整數部分為，小數部分為，則的值為12．已知，則的值為．13．閱讀以下材料：如果兩個正數a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式：，當且僅當a＝b時取到等號．則函數y＝2x＋（x＜0）的最大值為．（提示：可以先求－y的最小值）14．a，b為有理數，且，則．15．利用下面表格中的規(guī)律計算：已知，，，則．（用含的代數式表示）0.00010.011100100000.010.111010016．如圖，在由邊長都為1的小正方形組成的網格中，的頂點A，B，C均落在格點上．（Ⅰ）線段的長為；（Ⅱ）在上找E點使；請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點E，并簡要說明點E的位置是如何找到的．（不要求證明）．17．黃金比又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為，它介于整數和之間，則的值是．18．觀察下列等式：第1個等式：，第個等式：，第個等式：，第個等式：，…按上述規(guī)律，計算．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）19．計算：(1)(2)20．（8分）已知，，c是的倒數，d是的整數部分．(1)若，求的值；(2)若，求的值．21．（10分）已知a、b滿足，求的值．22．（10分）如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示，設點B所表示的數為m.(1)______.求的值；在數軸上還有C、D兩點分別表示實數c和d，且有與互為相反數，求的平方跟. 23．（10分）像，…這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：＝＝＝＝．再如：請用上述方法探索并解決下列問題：化簡：；化簡：；若，且a，m，n為正整數，求a的值．24．（12分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點D，點E為AC上一點，連接DE，DF⊥DE交BC于點F．(1)求證：DE＝DF；(2)連接EF交CD于點G，若AC＝，當AD＝CE時，求EG2的值．參考答案1．C【分析】根據絕對值的性質化簡解答即可．【詳解】由題意得：，解得，∵，∴，∴或，∴=-2+1=-1，或=-2-1=-3．故選C．【點撥】本題考查了絕對值和有理數的加法法則，能正確去掉絕對值符號是解此題的關鍵．2．C【分析】由圖可知，進而根據平移、絕對值以及化簡二次根式即可得解．【詳解】解：由圖可知，∴，即點P向右平移3個單位長度不與點Q重合，故A錯誤；，∴，故B錯誤；∵，∴，∴，即的相反數的整數部分為2，故C正確；∵，∴，故D錯誤．故選C．【點撥】本題考查了數軸、平移、絕對值以及化簡二次根式，熟練掌握數形相結合的思想是解題的關鍵．3．B【分析】首先用小剛按程序輸入的數乘，求出積是多少；然后用所得的積減去，求出輸出的結果應為多少即可．【詳解】解：．故選：B．【點撥】此題主要考查了二次根式的加減法，解答此題的關鍵是要弄清楚先求什么，再求什么．4．B【分析】，且，先證明，即可證明，由此即可判斷①②；根據是一個三角數組，不是一個三角數組即可判斷③④．【詳解】解：∵是三角數組，∴可設，且，∴，∵，∴，∴一定是三角數組，故①正確，②不正確；∵是一個三角數組，，∴不是一個三角數組，∴當是三角數組時，不一定是三角數組，故③錯誤，④正確；故選B．【點撥】本題主要考查了構成三角形的條件，實數比較大小，正確理解題意是解題的關鍵．5．B【分析】根據二次根式成立的條件，二次根式的性質，即可一一判定．【詳解】解：成立，，，，，故①③正確，④不正確；②當時，，故②不正確；故正確的有：2個，故選：B．【點撥】本題考查了二次根式成立的條件，二次根式的性質，熟練掌握和運用二次根式的相關知識是解決本題的關鍵．6．C【分析】根據絕對值性質與算術平方根的性質先化簡，進而平方即可得到答案【詳解】解：，，即，∴，即，∴，即，∴，故選：C．【點撥】本題考查代數式求值，涉及到絕對值性質與算術平方根的性質，根據條件逐步恒等變形到所求代數式是解決問題的關鍵．7．A【分析】構造矩形，E、F分別為、的中點，設，，將所求三角形面積轉化為即可求解．【詳解】解：如圖，在矩形中，E、F分別為、的中點，設，，∴，，∴在、、中，依次可得到：，，，∴．故選：A【點撥】本題考查二次根式的應用．能夠通過構造矩形及直角三角形，利用等積變換將所求三角形的面積轉化為矩形和幾個直角三角形的面積之差．利用數形結合是解答本題的關鍵．8．B【分析】首先根據二次根式有意義的條件求得a、b的取值范圍，然后再利用二次根式的性質進行化簡即可【詳解】故選B【點撥】本題考查了二次根式的性質及化簡，解題的關鍵是根據二次根式有意義的條件判斷字母的取值范圍．本題需要重點注意字母和式子的符號．9．B【詳解】由于計算器顯示結果的位數有限，要想在原來顯示的結果的右端再多顯示一位數字，則應該設法去掉左端的數字“1”.對于整數部分不為零的數，計算器不顯示位于左端的零.于是，先將原來顯示的結果左端的數字“1”化為零，即計算.為了使該結果的整數部分不為零，再將該結果的小數點向右移動一位，即計算.這樣，位于原來顯示的結果左端的數字消失了，空出的一位由原來顯示結果右端數字“7”的后一位數字填補，從而實現了題目的要求.根據以上分析，為了滿足要求，應該在這個計算器中計算的值.故本題應選B.點撥：本題綜合考查了計算器的使用以及小數的相關知識.本題解題的關鍵在于理解計算器顯示數字的特點和規(guī)律.本題的一個難點在于如何構造滿足題目要求的算式.解題過程中要注意，只將原結果的左端數字化為零并不一定會讓這個數字消失.只有當整數部分不為零時，左端的零才不顯示.另外，對于本題而言，將結果的小數點向右移動是為了使該結果的整數部分不為零，要充分理解這一原理.10．C【分析】找出的值，結合對于任意的和都有，即可得出的最大值．【詳解】∵，，，，，，∴共有5個不同的值，又∵對于任意的和都有，∴的最大值為5，故選：C．【點撥】本題考查了規(guī)律型：數字的變化類，找出共有幾個不同的值是解題的關鍵．11．【分析】根據算術平方根得到，則，因此，即可確定a，b的值，再代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查的知識點實數的計算，估算是我們應具備的數學能力，“夾逼法”是估算的常用方法．12．/【分析】先利用二次根式有意義求得與的值，然后把與的值代入變形后的代數式求值即可．【詳解】解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案為：【點撥】本題考查了代數式的化簡求值，二次根式有意義的條件的應用是解題的關鍵．13．【分析】根據閱讀材料，求出-y的最小值，即可求出y的最大值．【詳解】解：∵x＜0，則2x＜0，＜0，∴－y＝－(2x＋)≥－2＝，∴，當且僅當2x＝，即x＝時，函數有最大值為．故答案為：．【點撥】本題是閱讀型問題，解題的關鍵是讀懂題目中給出的信息，理解閱讀材料介紹的知識，主要培養(yǎng)自學能力．14．2【分析】先根據完全平方公式進行變形計算，即，且a，b為有理數，求出，進而得到．【詳解】解：a，b為有理數故答案為：2．【點撥】本題主要考查了完全平方公式與二次根式的化簡，關鍵在于完全平方公式的變形．15．【分析】根據已知條件將a+b化為，利用二次根式的乘法法則的逆運算以及求一個數的算術平方根，即可得到答案．【詳解】解：∵，，，∴===0.1k+10k=10.1k，故答案為：．【點撥】此題考查多項式的求值計算，二次根式的乘法法則的逆運算，求一個數的算術平方根，將a+b化為是解題的關鍵．16．如圖，取格點D，連接并延長與交于E點；則點E即為所求【分析】（Ⅰ）根據勾股定理即可求解；（Ⅱ）如圖，取格點D，連接并延長與交于E點；則點E即為所求作的點，然后根據全等三角形的判定與性質即可證明．【詳解】解：（1）如圖，在Rt△ABF中，；（Ⅱ）如圖，取格點D，連接并延長與交于E點；則點E即為所求．證明：如圖，取格點△BGH，∵AF=HG，∠F=∠G=90°，BF=BG=2，∴△ABF≌△HBG，∴∠ABF=∠HBG，∵∠HBG+∠HBF=90°，∴∠ABF+∠HBF=90°，即∠ABH=90°，由作圖可得DE∥BH，∴∠AED=90°，∴DE⊥AB．故答案為：；取格點D，連接并延長與交于E點；則點E即為所求作的點．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，勾股定理等知識，根據格點的特點構造全等三角形從而得到∠ABH=90°是解題關鍵．17．1【分析】根據的取值范圍，求出的取值區(qū)間，將區(qū)間的上下限取整數即可．【詳解】解：∵，∴，∴，又∵介于整數n和n+1之間，∴n=1，故答案為：1．【點撥】本題考查無理數的估算，能夠求出無理數的整數部分是解決本題的關鍵．18．/【分析】首先根據題意，可得：，然后根據分母有理數化的方法，求出算式的值是多少即可．【詳解】解：第個等式：，第個等式：，第個等式：，第個等式：，…第個等式：，故答案為：．【點撥】此題主要考查了分母有理化的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．19．(1)(2)【分析】（1）利用二次根式的乘除法則運算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式進行計算即可得．【詳解】（1）解：原式===（2）解：原式===【點撥】本題考查了二次根式的計算，完全平方公式和平方差公式，解題的關鍵是掌握這些知識點．20．(1)或(2)或14【分析】（1）由，得或，計算即可；（2）先求出c，再根據，求出a、b，最后求出d，代入計算即可．【詳解】（1）解：，，，或，或，或；（2）是的倒數，，，或，是的整數部分，，或，或．【點撥】本題考查了絕對值、平方、有理數的大小比較，有理數的加、減、乘、除法，倒數、無理數，解題的關鍵是注意分情況討論．21．【分析】根據二次根式的非負性列出方程組，通過解方程組求出a，b的值，然后將其代入所求的代數式求值即可．【詳解】解：依題意有，解得：當時【點撥】本題主要考查二次根式的求值及非負數的性質，根據非負數性質列出方程組是解題的前提，代入求值是關鍵．22．(1)(2)2(3)【分析】（1）根據兩點間的距離公式計算即可；（2）由（1）可得、，再利用絕對值的性質化簡絕對值號，最后合并同類項即可解答；（3）根據絕對值和算術平方根的非負性質求出、的值，再代入，進而求其平方根即可．【詳解】（1）解：∵螞蟻從點A沿數軸向右爬了個單位長度到達點，點表示∴點表示∴．故答案為：．（2）解：∵∴，∴．（3）解：∵與互為相反數∴∴，∴，∴∴，即的平方根是．【點撥】本題主要考查了實數與數軸、絕對值的性質、相反數的性質、非負數的性質、求一個數的平方根等知識點，掌握并靈活運用相關性質是解題的關鍵．23．(1)(2)(3)14或46【分析】（1）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結合整除的意義求解．【詳解】（1）（2）（3）∵，∴，，∴又∵、n為正整數，∴，或者，∴當時，；當時，．∴a的值為：或．【點撥】此題考查活用完全平方公式，把數分解成完全平方式，進一步利用公式因式分解化簡，注意在整數分解時參考后面的二次根號里面的數值．24．(1)答案見解析(2)【分析】（1）由題可得△ABC是等腰直角三角形，當D是AB邊中點時，可以得到∠CDA＝90°，AD＝CD，由∠FDE＝∠CDA＝90°，可得∠F