應(yīng)用二元一次方程組-增收節(jié)支（知識梳理與考點分類講解）-八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題5.16應(yīng)用二元一次方程組——增收節(jié)支（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】列二元一次方程組解決增收節(jié)支問題增長（降低）率問題：增長（降低）率=增（減）量/基數(shù)×100%，增長（減少）后的數(shù)量=基數(shù)×【1±增長（降低）率】.銷售問題：銷售額=售價×銷量，總利潤=總銷售額-總成本=單件的利潤×銷量=（售價-進(jìn)價）×銷量，利潤率=利潤/進(jìn)價×100%，打折后的價格=原價×折數(shù)÷10儲蓄問題：利息=本金×利率×期數(shù).本息和=本金+利息.注意：在計算過程中要保持單位的統(tǒng)一.【特別提醒】1.對于增長（降低）率問題，審題時一定要看清是增長還是降低，而且要看準(zhǔn)在哪一個量的基礎(chǔ)上增長或降低，不要顛倒.2.在儲蓄問題中注意利率要根據(jù)期數(shù)而定，期數(shù)是按月算的，利率就用月利率，期數(shù)是按年算的，利率就用年利率.【考點目錄】【考點1】方案問題；【考點2】行程問題；【考點3】工程問題；【考點4】銷售與利潤問題.【考點一】方案問題【例1】（2022上·廣東深圳·八年級?？计谀┈F(xiàn)欲將一批荔枝運(yùn)往外地銷售，若用輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)走噸；輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)走噸．現(xiàn)有荔枝噸，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：：（1）輛型車和輛型車都載滿荔枝一次可分別運(yùn)送多少噸？（2）請你幫該物流公司設(shè)計租車方案．【答案】（1）輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)送噸，輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)送噸；（2）該物流公司共有種租車方案，方案：租用輛型車，輛型車；方案：租用輛型車，輛型車；方案：租用輛型車，輛型車．【分析】（1）設(shè)輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)送噸，輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)送噸，由“用輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)走噸；輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)走噸”，列出二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（2）由“現(xiàn)有荔枝噸，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿荔枝”，列出二元一次方程，結(jié)合、均為非負(fù)整數(shù)，即可得出各租車方案．（1）解：設(shè)輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)送噸，輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)送噸，由題意得：，解得：，答：輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)送噸，輛型車載滿荔枝一次可運(yùn)送噸；（2）由題意得：，∴，又∵、均為非負(fù)整數(shù)，∴或或，∴該物流公司共有種租車方案，方案：租用輛型車，輛型車；方案：租用輛型車，輛型車；方案：租用輛型車，輛型車．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．【舉一反三】【變式1】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期末）五四青年節(jié)某校舉辦歌詠比賽，為鼓勵本班同學(xué)們積極參加，劉老師花了48元錢買了甲、乙兩種（兩種都買）碳素筆作為獎品．已知甲種碳素筆每支6元，乙種碳素筆每支4元，則老師購買碳素筆的方案共有（

）A．4種 B．3種 C．2種 D．1種【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，設(shè)劉老師購買x本甲種碳素筆，本乙種碳素筆，利用總價單價數(shù)量，可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出張老師購買碳素筆的方案共有3種．解：設(shè)劉老師購買本甲種碳素筆，本乙種碳素筆，根據(jù)題意得：，是正整數(shù)，∴或或∴劉老師購買碳素筆的方案共有3種．故選：B．【變式2】（2023下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）五一小長假，小華和家人到公園游玩．湖邊有大小兩種游船．小華發(fā)現(xiàn)1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人．則1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數(shù)為．【答案】【分析】設(shè)1艘大船可載人，1艘小船可載人，依題意：1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人．列出二元一次方程組，求出的值即可．解：設(shè)1艘大船可載人，1艘小船可載人，依題意得：，①②得：，，即1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數(shù)為26，故答案為：．【點撥】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【考點二】行程問題【例2】（2023下·重慶渝中·七年級重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┘滓覂傻叵嗑?40千米，一輛小車和一輛摩托車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)相向而行，1小時20分兩車相遇．相遇后，摩托車?yán)^續(xù)前進(jìn)，小車在相遇處停留1個小時后調(diào)頭按原速返回甲地，小車在返回后半小時追上了摩托車，（1）求小車和摩托車的速度．（2）求相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛多少小時兩車相距30千米？【答案】（1）小汽車和摩托車速度分別為135千米/小時，45千米/小時；（2）小時或小時或小時或小時【分析】（1）小車的速度為千米時，摩托車的速度為千米時，利用路程速度時間，結(jié)合兩車速度間的關(guān)系，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出小車和摩托車的速度；（2）設(shè)相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時兩車相距30千米，利用路程速度時間，結(jié)合兩車相距30千米，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．（1）解：1小時20分小時．設(shè)小車的速度為千米時，摩托車的速度為千米時，根據(jù)題意得：，解得：．答：小車的速度為135千米時，摩托車的速度為45千米時；（2）設(shè)相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時兩車相距30千米，根據(jù)題意得：或或或，解得：或或或．答：相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時或小時或小時或小時兩車相距30千米．【點撥】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對于（2）要用分類討論的思想求解，注意不要漏解．【舉一反三】【變式1】（2023下·貴州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）甲、乙兩地相距，小轎車從甲地出發(fā)后，大客車從乙地出發(fā)相向而行，又經(jīng)過兩車相遇．已知小轎車比大客車每小時多行，設(shè)大客車每小時行，小轎車每小時行，則可列方程組為（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)大客車每小時行，小轎車每小時行，根據(jù)小轎車比大客車每小時多行20千米，甲車行駛2小時，兩車相向行駛4小時共走了880千米，據(jù)此列方程組求解．解：設(shè)大客車每小時行，小轎車每小時行，由題意得：，故選：B．【點撥】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．【變式2】（2023下·云南曲靖·七年級統(tǒng)考期末）從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地需要36分鐘，從乙地到甲地需要24分鐘，甲地到乙地全程是多少？根據(jù)題意，老師給出的方程組為，則方程組中x表示．【答案】從甲地到乙地的上坡路程【分析】設(shè)從甲地到乙地的上坡路為，平路為，根據(jù)保持上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地用36分鐘，從乙地到甲地用24分鐘即可列出方程組，據(jù)此解答即可．解：設(shè)從甲地到乙地的上坡路為，平路為，依題意得，方程組中x表示從甲地到乙地的上坡路程，故答案為：從甲地到乙地的上坡路程．【點撥】根據(jù)實際問題中的條件列方程組時，要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語，找出等量關(guān)系，列出方程組．【考點三】工程問題【例3】（2022下·河北石家莊·七年級?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有一段長為180米的河道整治任務(wù)由A，B兩個工程隊先后接力完成．A工程隊每天整治12米，B工程隊每天整治8米，共用時20天．（1）根據(jù)題意，甲列出的方程組為分析甲所列的方程組，請指出未知數(shù)x，y表示的意義，x表示，y表示；（2）若設(shè)A工程隊共整治河道m(xù)米，B工程隊共整治河道n米，請根據(jù)題意列出二元一次方程組，并求出m，n的值．【答案】（1）A工程隊整治河道的天數(shù)；B工程隊整治河道的天數(shù)；（2）；60，120【分析】（1）根據(jù)所列的方程組，結(jié)合題意，作答即可；（2）根據(jù)有一段長為180米的河道整治任務(wù)由A，B兩個工程隊先后接力完成，得到，根據(jù)共用時20天得到：，即可得出方程組，再求解即可．（1）解：由題意和所列方程組可知：x表示A工程隊整治河道的天數(shù)，表示：B工程隊整治河道的天數(shù)，故答案為：A工程隊整治河道的天數(shù)；B工程隊整治河道的天數(shù)；（2）設(shè)A工程隊共整治河道m(xù)米，B工程隊共整治河道n米，由題意，得：，解得：．即m，n的值分別為60，120．【點撥】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程組是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2021上·四川巴中·八年級四川省巴中中學(xué)校考期中）某污水處理廠庫池里現(xiàn)有待處理的污水m噸．另有從城區(qū)流入庫池的待處理污水（新流入污水按每小時n噸的定流量增加）．若該廠同時開動2臺機(jī)組，需30小時處理完污水；若同時開動3臺機(jī)組，需15小時處理完污水．若5小時處理完污水，則需同時開動的機(jī)組數(shù)為（

）A．6臺 B．7臺 C．8臺 D．9臺【答案】B【分析】設(shè)同時開動x臺機(jī)組，每臺機(jī)組每小時處理a噸污水，根據(jù)“如果同時開動2臺機(jī)組要30小時剛好處理完污水，同時開動3臺機(jī)組要15小時剛好處理完污水”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值（用含a的代數(shù)式表示），再由5小時內(nèi)將污水處理完畢，即可得出關(guān)于關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出結(jié)論．解：設(shè)同時開動x臺機(jī)組，每臺機(jī)組每小時處理a噸污水，依題意，得，解得：，∵5ax=30a+5a，∴x=7．答：要同時開動7臺機(jī)組．故選：B．【點撥】本題考查的是用二元一次方程組來解決實際問題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2020上·重慶萬州·八年級?？计谥校┮凰赜幸粋€進(jìn)水管和三個完全相同的出水管，現(xiàn)水池中有一定量的水，打開進(jìn)水管（注水速度一致），若只打開一個出水管，則1小時正好能把水池中的水放完；若打開兩個出水管，則20分鐘正好能把水池中的水放完；問若打開三個出水管，則需要分鐘恰好能把水池中的水放完．【答案】12【分析】設(shè)進(jìn)水管的進(jìn)水速度為x，每一個出水管的出水速度為y，水池中原有水量為a，根據(jù)題意列方程組求解解：設(shè)進(jìn)水管的進(jìn)水速度為x，每一個出水管的出水速度為y，水池中原有水量為a，由題意可得：，解得：設(shè)打開三個出水管需要b小時能把水池中的水放完，則時=12分故答案為：12【點撥】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，正確列出等量關(guān)系求解是關(guān)鍵．【考點四】銷售與利潤問題【例4】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）為促進(jìn)消費(fèi)，某商家對商品進(jìn)行打折促銷．打折前，2件A商品和1件B商品的總售價為30元；1件A商品和2件B商品的總售價為33元．（1）求每件A商品和每件B商品的售價；（2）若兩種商品的折扣相同，打折后，9件A商品和8件B商品共用了141.6元．求商家打幾折出售這兩種商品．【答案】（1）每件A商品售價為9元，每件B商品的售價為12元；（2）商家打8折出售這兩種商品【分析】本題考查一元一次方程，二元一次方程組的應(yīng)用．（1）設(shè)每件A商品售價為x元，每件B商品的售價為y元，根據(jù)2件A商品和1件B商品的總售價為30元；1件A商品和2件B商品的總售價為33元得解方程組求解即可；（2）設(shè)商家打m折出售這兩種商品，根據(jù)9件A商品和8件B商品共用了141.6元列方程求解即可．解：（1）設(shè)每件A商品售價為x元，每件B商品的售價為y元，根據(jù)題意得：，解得，∴每件A商品售價為9元，每件B商品的售價為12元；（2）設(shè)商家打m折出售這兩種商品，根據(jù)題意得：，解得，答：商家打8折出售這兩種商品．【舉一反三】【變式1】（2023下·湖南益陽·七年級校考期中）五一節(jié)前夕，某超市用1680元購進(jìn)A，B兩種商品共60件，A型商品每件24元，B型商品每件36元，設(shè)購進(jìn)A型商品件，B型商品件，依題意列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)A、B兩種商品共60件以及用1680元購進(jìn)A、B兩種商品，分別得出等式組成方程組即可．解：設(shè)購進(jìn)A型商品件，B型商品件，根據(jù)題意，得．故選：B【點撥】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量