求解二元一次方程組（知識梳理與考點分類講解）-八年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題5.4求解二元一次方程組（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】代入消元法解二元一次方程組代入消元法：定義：將其中一個方程組中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程組，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程，這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法.用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：步驟具體做法目的注意事項變形選取一個系數(shù)比較簡單的二元一次方程變形，用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)變形為x=ax+b（或x=ay+b）（a,b是常數(shù),a≠0）的形式一般選未知數(shù)系數(shù)比較簡單的方程變形（2）代入把y=ax+B（或x=ay+b）代入另一個沒有變形的方程消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程變形后的方程只能代入另一個方程（或另一個方程變形后的方程）（3）求解解消元后的一元一次方程求出一個未知數(shù)的值去括號時不能漏乘，移項時所移的項要變號（4）回代把求得的未知數(shù)的值代入步驟（1）中變形后的方程求出另一個未知數(shù)的值一般代入變形后的方程（5）寫解把兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來特別提醒：將方程組中的一個二元一次方程寫成用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式，是用代入法解二元一次方程組的前提和關(guān)鍵，其方法就是利用等式的性質(zhì)將其變形為y=ax+b（或x=ay+b）的形式，其中a,b為常數(shù),a≠0.用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)后，應(yīng)代入另一個方程求解，否則只能得到一個恒等式，并不能求出方程組的解.【知識點2】加減消元法解二元一次方程組加減消元法的定義通過將兩個方程相加（減）消去其中一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法.用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟步驟具體做法目的注意事項（1）變形根據(jù)絕對值較小的未知數(shù)（同一個未知數(shù)）的系數(shù)的最小公倍數(shù)，給方程的兩邊都乘適當?shù)臄?shù).使某一個未知數(shù)在兩個方程中的系數(shù)相等或互為相反數(shù).給某個方程乘一個數(shù)時，方程兩邊的每一項都要和這個數(shù)相乘（2）代入兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時，將兩個方程相加；同一個未知數(shù)的系數(shù)相等時，將兩個方程相減.消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程把兩個方程相加（減）時，一定要把兩個方程兩邊分別相加（減）.（3）求解解消元后的一元一次方程求出一個未知數(shù)的值（4）回代把求得的未知數(shù)的值代入方程組中某個較簡單的方程求出另一個未知數(shù)的值回代時選擇系數(shù)較簡單的方程（5）寫解把兩個未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來特別提醒：1.兩個方程同一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)關(guān)系時，解方程組應(yīng)考慮用加減消元法.2.如果同一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值既不相等又不成倍數(shù)關(guān)系，我們應(yīng)設(shè)法將一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系.3.用加減法時，一般選擇系數(shù)比較簡單（同一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)關(guān)系）的未知數(shù)作為消元對象.【考點目錄】【考點1】代入消元法解二元一次方程組；【考點2】加減消元法解二元一次方程組；【考點3】同解方程組；【考點4】整體思想解二元一次方程組；【考點5】求解二元一次方程組——錯題復原問題；【考點6】求解二元一次方程組——參數(shù)問題；【考點7】構(gòu)造二元一次方程組求解?！究键c一】代入消元法解二元一次方程組【例1】（2020下·江蘇蘇州·七年級校考階段練習）解方程組（用代入法）（1） （2）【答案】（1）（2）【分析】（1）把①變形為y=2x-5，再代入②求出x的值，故可求解；（2）把②變形為x=2y+4，再代入②求出y的值，故可求解．解：（1）由①得y=2x-5③把③代入②得3x+4（2x-5）=2解得x=2把x=2代入③得y=-1∴原方程組的解為（2）

由②得x=2y+4③把③代入①得4（2y+4）+3y=5解得y=-1把y=-1代入③得x=2∴原方程組的解為．【點撥】此題主要考查二元一次方程方程組的求解，解題的關(guān)鍵是熟知代入法的運用．【舉一反三】【變式1】（2020下·七年級統(tǒng)考課時練習）用代入法解下列方程組：（1）； （2）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由①，得③，把③代入②，求出y，再把y的值代入③求得x的值從而得到方程組的解；（2）由①，得3y=2x-4③，把③代入②，求出x，再把x值代入③求得y的值從而得到方程組的解解：（1），由①，得③把③代入②，得.解得.把代入①，得.故原方程組的解為，（2），由①得3y=2x-4③把③代入②，得.解得.把代入③得.故原方程組的解為.【點撥】此題考查了代入法解二元一次方程組．熟練掌握代入法解二元一次方程組方法是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2019上·八年級課時練習）用代入法解下列方程組（1） （2）【答案】（1）

（2）【分析】代入法的步驟：先選其中的一個方程用其中一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，再代入另一個方程，從而達到消元的目的.解：（1），變形得：，把代入得：，解得：，把代入得：，所以方程組的解是：.（2）可化為：，變形得：，把代入得：，解得：，把代入得：，所以方程組的解是：.【點撥】本題主要考查利用代入消元法解二元一次方程組的方法與步驟，可以結(jié)合代入法的特征進行解答.【考點二】加減消元法解二元一次方程組【例2】（2019下·七年級課時練習）解方程組：．【答案】【分析】根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解．解：，②×4得：③，①+③得：，解得：，把代入②得：解得：，則方程組的解為．【點撥】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023下·七年級課時練習）解方程組：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程利用加減消元法求出解即可．解：（1），由，得，則，③，得，，得．所以原方程組的解為．（2）．由，得，化簡，得，即．把代入①，得，解得．所以原方程組的解為．【點撥】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式2】（2023上·遼寧沈陽·八年級校考期末）解方程組．【答案】【分析】利用加減消元法求解即可．解：，①②得：，解得：，把代入①得：，所以方程組的解為：．【點撥】本題考查了解二元一次方程組，解方程組的方法有代入消元法與加減消元法，會根據(jù)方程組的特點選擇適當?shù)姆椒ń夥匠探M．【考點三】同解方程組【例3】（2022下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）某中學七年級數(shù)學興趣小組在一次活動中，遇到這樣一個問題：已知x、y滿足x+2y＝5，且，求m的值．小璐同學說：先解關(guān)于x、y的方程組，再求m的值．小明同學觀察后說：方程組中含有字母，解方程組可能比較麻煩．但x+2y＝5中不含母……請你用一利比較簡單的方法，求出m的值．【答案】m的值為4【分析】先由不含m的兩個方程組成的方程組解得x、y的值，再把x、y的值代入包含x、y、m的方程，即可得到m的值．解：解方程組：由②得③代入①得解得代入③中得∴方程組的解為把代入中得解得∴m的值為4【點撥】本題考查二元一次方程組和一元一次方程的綜合應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程組和一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·重慶·七年級西南大學附中?？计谀╆P(guān)于x，y的方程組與有相同的解，則a（4b（3的值為（）A．（1 B．（6 C．（10 D．（12【答案】C【分析】先求出的解，再將解代入中求出，即可求解．解：∵方程組與有相同的解，∴與的解相同，由解得，∴，解得，∴，故選：C．【點撥】本題考查了同解方程組，涉及到了解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是理解同解方程組的含義，能利用其中系數(shù)確定的方程先求出它們的解，再求出其中字母系數(shù)的值．【變式2】（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于，的二元一次方程組和有相同的解，則的值為．【答案】3【分析】聯(lián)立，求得和的值，代入，求得，的值，進一步求解即可．解：關(guān)于，的二元一次方程組和有相同的解，聯(lián)立，解得：，將代入，得：，解得：，，故答案為：3．【點撥】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，聯(lián)立兩個已知的方程求出和的值是解題的關(guān)鍵．【考點四】整體思想解二元一次方程組【例4】（2022上·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學校?？计谀╅喿x以下材料：解方程組：；小亮在解決這個問題時，發(fā)現(xiàn)了一種新的方法，他把這種方法叫做“整體代入法”，解題過程如下：解：由①得③，將③代入②得：（1）請你替小亮補全完整的解題過程；（2）請你用這種方法解方程組：．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)閱讀材料補全完整的解題過程即可；（2）由①得代入②得到關(guān)于y的方程，求出y的值，進而求出x的值，即可確定出方程組的解．（1）解：，由①得，將③代入②得：，解得：，把代入①得：，解得：，故原方程組的解是：；（2）解：，整理得：，把③代入④得：，解得，把代入①得：，解得：，故原方程組的解是：．【點撥】本題主要考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【舉一反三】【變式1】（2022下·福建福州·七年級福建省福州屏東中學?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，則關(guān)于x，y的方程組的解為（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】將第二個方程組變形成和第一個方程組形式一樣，根據(jù)整體思想得：，從而得出答案．解：由題意可知，關(guān)于x，y的方程組的解為：，∴．故選：D．【點撥】本題考查了解二元一次方程組，對方程組進行整體換元是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022下·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）用換元法解方程組，若設(shè)，，則原方程組可化為方程組．【答案】【分析】根據(jù)題意，整體代入即可得出結(jié)果．解：，設(shè)x+y=u，x?y=v，則原方程化為：，故答案為：．【點撥】題目主要考查代入消元法，理解題意是解題關(guān)鍵．【考點五】求解二元一次方程組——錯題復原問題【例5】（2017下·福建漳州·七年級校聯(lián)考階段練習）一個被墨水污染的方程組如下：，小剛回憶說：這個方程組的解是，而我求出的解是，經(jīng)檢查后發(fā)現(xiàn)，我的錯誤是由于看錯了第二個方程中的的系數(shù)所致，請你根據(jù)小剛的回憶，把方程組復原出來．【答案】【分析】設(shè)方程組為，而兩個解都是第一個方程的解，將兩個解代入到第一個方程中得到關(guān)于a、b的一元一次方程組求出a和b，再將代入第二方程得到m的值．解：設(shè)被滴上墨水的方程組為．由小剛所說，知和都是原方程組中第一個方程的解，則有，解之，得．又因方程組的解是，所以，，解得，．故所求方程組為．【點撥】本題考查二元一次方程組的解，關(guān)鍵是根據(jù)給出條件求出方程組中待定的系數(shù)．【舉一反三】【變式1】（2023下·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人在解方程組時，甲看錯了方程①中的，解得，乙看錯了方程②中的，解得，則的值為（

）A．2 B． C．0 D．【答案】B【分析】把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值計算即可．解：把代入②中，得，解得；把代入①中，得，解得，，故選B．【點撥】本題考查了方程組的解法，代數(shù)式的值計算，熟練掌握解方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022下·江蘇泰州·七年級校考期中）已知方程組的解應(yīng)為，小明解題時把c抄錯了，因此得到的解是，則=．【答案】【分析】將兩對解代入方程組的第一個方程求出a與b的值，將第一對解代入第二個方程求出c的值，即可求出的值．解：依題意得，，解得將代入，解得則，故答案為：16．【點撥】此題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，正確的計算是解題的關(guān)鍵，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【考點六】求解二元一次方程組——參數(shù)問題【例6】（2023下·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（實數(shù)m是常數(shù)）（1）若，求實數(shù)m的值（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．（3）在（2）的條件下，化簡．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）本題先將兩式相加求出m的值；（2）再將兩式相減可求出m的范圍；（3）根據(jù)m的范圍以及絕對值的性質(zhì)進行化簡．解：（1）在方程組中，得，∴

（2）在方程組中，得，

（3）∴．∴=

=

【點撥】本題考查了已知二元一次方程組解之和或差求參數(shù)，以及已知字母的取值范圍化簡絕對值，解題的關(guān)鍵是對方程組進行適當?shù)暮愕茸冃危九e一反三】【變式1】（2021下·上海閔行·六年級上海上師初級中學校考期中）已知二元一次方程組無解，則a的值是（

）.A． B． C．1 D．以上都不對【答案】D【分析】由②得出③，把③代入①得出，根據(jù)方程組無解，得到，求出即可．解：由②得,③

把③代入①得,∴，∵方程組無解,∴,∴，故選D.【點撥】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出一個關(guān)于a的方程．【變式2】（2023下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）已知是二元一次方程組的解，則的值是．【答案】【分析】利用二元一次方程組解的意義將x，y值代入方程組，得到關(guān)于m，n的方程組，解方程組求得m，n值，代入代數(shù)式中化簡運算即可．解：是二元一次方程組的解，，