2024-2025學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)第一次月考試卷01【北師大版】

-2025學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)第一次月考試卷01【北師大版】一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A B. C. D.2.關(guān)于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法不正確的是（）A.點（3，﹣1）在它的圖象上 B.它的圖象在第二、四象限C.當(dāng)x＞3時，﹣1＜y＜0 D.當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小3.已知四邊形是平行四邊形，對角線與交于點O，下列結(jié)論不正確的是（）A.當(dāng)時，它是菱形 B.當(dāng)時，它是菱形C.當(dāng)時，它是菱形

D.當(dāng)時，它是菱形

4.下列說法正確的是（）A.任意兩個位似三角形一定相似B.物體在任何光線照射下影子的方向都是相同的C.如果，則D.點P是長為2的線段的黃金分割點，則5.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示．則這個反比例函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.6.如圖，在一張長寬分別為和的長方形紙板上剪去四個邊長為的小正方形，并用它做成一個無蓋的小長方體盒子，若要使長方體盒子的底面積為，求x的值，根據(jù)題意，可列得的方程為（）A. B.C. D.7.如圖，△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，連接DE，線段BE、CD相交于點O，若OD=2，則OC=（）．A.3 B.4 C.5 D.68.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.89.已知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能（）A. B.C. D.10.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則（）A. B. C.1 D.二、填空題（每題3分，共15分）11.如果，那么=___________．12.已知反比例函數(shù)，點P為該反比例函數(shù)圖象上一點，過點向兩坐標(biāo)軸引垂線，得到四邊形，若四邊形面積為，則值為_____________．13.已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值=___．14.如圖，是等邊三角形，點，在反比例函數(shù)的圖象上軸于點．若，則的值為_______．15.如圖，△ABC≌△DEF(點A、B分別與點D、E對應(yīng))，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不動，△DEF運動，并滿足點E在BC邊從B向C移動(點E不與B、C重合)，DE始終經(jīng)過點A，EF與AC邊交于點M，當(dāng)△AEM等腰三角形時，BE＝__________．三、解答題16.解下列方程：（1）；（2）．17.如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度，點F到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，墻到木板的水平距離為．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．（1）求的長．（2）求燈泡到地面的高度．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于C，D兩點，DE⊥x軸于點E，點C的坐標(biāo)為(6，?1)，DE=3．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點P在反比例函數(shù)圖象上，且△POA的面積等于8，求P點的坐標(biāo)．19.某超市銷售的紅豆進(jìn)價為每千克8元．當(dāng)紅豆每千克售價為15元時，日銷售量為300千克．該超市為擴大銷售量、增加經(jīng)營利潤，計劃采取降價的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)紅豆每千克售價每下降0.5元時，日銷售量就會增加5千克．（1）當(dāng)銷售量為320千克時，紅豆售價為___________元；當(dāng)紅豆每千克售價是10元時，日銷售量是多少千克？（2）該商場計劃每日銷售紅豆獲利1020元，則紅豆售價應(yīng)定每千克多少元？20.如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在CD邊上，點F在DC延長線上，AE＝BF．（1）求證：四邊形ABFE是平行四邊形；（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF長．21.【綜合實踐】如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂，如圖，即），受桔槔的啟發(fā)，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠桿可繞支點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點O距左端，距右端，在杠桿左端懸掛重力為的物體A．（1）若在杠桿右端掛重物B，杠桿在水平位置平衡時，重物B所受拉力為______．（2）為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準(zhǔn)備調(diào)整裝置，當(dāng)重物B的質(zhì)量變化時，的長度隨之變化．設(shè)重物B的質(zhì)量為，的長度為．則①y關(guān)于x的函數(shù)解析式是______．②完成下表：…1020304050……8a2b…③在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．（3）在（2）的條件下，將函數(shù)圖象向右平移4個單位長度，與原來的圖像組成一個新的函數(shù)圖象，記為L．若點A的坐標(biāo)為，在L上存在點Q，使得．請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)．22.【證明體驗】（1）如圖1，為的角平分線，，點E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連結(jié)交于點G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點E在上，．若，求的長．

2024-2025學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)第一次月考試卷01【北師大版】一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義“只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程”逐項判斷即可．【詳解】A.2x+1=0是一元一次方程，故不符合題意；B.，分母含有未知數(shù)，故不符合題意；C.為一元二次方程，符合題意；D.，分母含有未知數(shù)，故不符合題意；故選C．【點睛】此題主要考查一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程的特點．2.關(guān)于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法不正確的是（）A.點（3，﹣1）在它的圖象上 B.它的圖象在第二、四象限C.當(dāng)x＞3時，﹣1＜y＜0 D.當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小【答案】D【解析】【分析】由題意利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可解．【詳解】∵當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．

∴反比例函數(shù)y=-的圖象分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．

故選D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3.已知四邊形是平行四邊形，對角線與交于點O，下列結(jié)論不正確的是（）A.當(dāng)時，它是菱形 B.當(dāng)時，它是菱形C.當(dāng)時，它是菱形

D.當(dāng)時，它是菱形

【答案】D【解析】【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故選項A不符合題意；B、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故選項B不符合題意；C、如圖，四邊形是平行四邊形，，，，，，平行四邊形是菱形，故選項C不符合題意；D、四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4.下列說法正確的是（）A.任意兩個位似三角形一定相似B.物體在任何光線照射下影子的方向都是相同的C.如果，則D.點P是長為2的線段的黃金分割點，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)位似圖形，平行投影，比例，黃金分割，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、任意兩個位似三角形一定相似，符合題意；B、物體在太陽光線照射下影子的方向都是相同的，在燈光的照射下影子的方向與物體的位置有關(guān)，故本選項中的命題是假命題，不符合題意；C、如果，則，故本選項中的命題是假命題，不符合題意；D、點P是長為2的線段的黃金分割點，則或，不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了位似圖形，平行投影，比例，黃金分割，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．5.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示．則這個反比例函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，電流與電阻是反比例函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中給出的坐標(biāo)即可求出該反比例函數(shù)解析式．【詳解】根據(jù)題意，電流與電阻是反比例函數(shù)關(guān)系，在該函數(shù)圖像上有一點(6,8)，故設(shè)反比例函數(shù)解析式為I=，將(6,8)代入函數(shù)解析式中，解得k=48，故I=故選C．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)解析式的求解方法，掌握求解反比例函數(shù)解析式的方法是解答本題的關(guān)鍵．6.如圖，在一張長寬分別為和的長方形紙板上剪去四個邊長為的小正方形，并用它做成一個無蓋的小長方體盒子，若要使長方體盒子的底面積為，求x的值，根據(jù)題意，可列得的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別表示出底面長方形的長和寬，然后根據(jù)長方形面積公式列出方程即可．【詳解】解：由題意得，底面長方形的長為，寬為，∵要使長方體盒子的底面積為，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意表示出底面長方形的長和寬是解題的關(guān)鍵．7.如圖，△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，連接DE，線段BE、CD相交于點O，若OD=2，則OC=（）．A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意，知DE為△ABC的中位線，則DE∥BC，DE=BC，再證明△ODE∽△OCB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出OC=2OD．試題解析：∵點D、E分別為AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=BC，∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，∴△ODE∽△OCB，∴OD：OC=DE：BC=1：2，∴OC=2OD=4．故選B．考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．三角形中位線定理．8.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設(shè)蠟燭火焰的高度為，則：，解得：，即蠟燭火焰的高度為，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．9.已知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象確定b的符號，結(jié)合已知條件求得a的符號，由a,b的符號確定一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限．【詳解】解：若反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，則．所以．則一次函數(shù)的圖象應(yīng)該經(jīng)過第一、二、三象限；若反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，則a<0．所以b>0．則一次函數(shù)的圖象應(yīng)該經(jīng)過第二、三、四象限．故選項A正確；故選A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．10.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，首先證明，再利用平行線分線段成比例定理求出，推出，，可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，四邊形是正方形，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，設(shè)正方形的邊長為，求出，．二、填空題（每題3分，共15分）11.如果，那么=___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，得到，代入分式求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．12.已知反比例函數(shù)，點P為該反比例函數(shù)圖象上一點，過點向兩坐標(biāo)軸引垂線，得到四邊形，若四邊形面積為，則的值為_____________．【答案】【解析】【分析】因為過反比例函數(shù)上任意一點向兩坐標(biāo)軸引垂線，所得四邊形面積是個定值，即再由函數(shù)圖象所在的象限確定k的值即可.【詳解】解：∵點P為反比例函數(shù)圖象上一點，設(shè)，又∵過點向兩坐標(biāo)軸引垂線，得到四邊形，若四邊形面積為，∴，故答案為：.【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點向兩坐標(biāo)軸引垂線，所得矩形面積為，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解的幾何意義.13.已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值=___．【答案】5【解析】【分析】作M關(guān)于BD對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、PB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【詳解】解：作M關(guān)于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵M(jìn)Q⊥BD，∴AC∥MQ，∵M(jìn)為BC中點，∴Q為AB中點，∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴NQ=BC，∵四邊形ABCD是菱形，∴CP=AC=3，BP=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案為5【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此問題的關(guān)鍵．14.如圖，是等邊三角形，點，在反比例函數(shù)的圖象上軸于點．若，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點，過點作于點，表示和的坐標(biāo)，列方程可得的值，代入可得的值．【詳解】解：如圖，設(shè)點，過點作于點，則，，則．點，在同一個反比例函數(shù)的圖象上，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，能夠利用待定系數(shù)法求解析式是解題的必要方法，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)確定各點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．15.如圖，△ABC≌△DEF(點A、B分別與點D、E對應(yīng))，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不動，△DEF運動，并滿足點E在BC邊從B向C移動(點E不與B、C重合)，DE始終經(jīng)過點A，EF與AC邊交于點M，當(dāng)△AEM是等腰三角形時，BE＝__________．【答案】1或【解析】【分析】首先由∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案．【詳解】∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠C，∴AE≠AM，當(dāng)AE=EM時，∵∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=∠CEM+∠BEA，∴∠BAE=∠CEM，則△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC－EC=6－5=1；當(dāng)AM=EM時,則∠MAE＝∠EMA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，∴∠CAB=∠CEA，又∵∠C＝∠C，∴，∴，∴BE=，綜上所述BE=1或，故答案為：1或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題16.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）x1=2，x2=4（2）x1=2+，x2=2-【解析】【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【小問1詳解】（x-2）2-2x+4=0，（x-2）2-2（x-2）=0，（x-2）（x-2-2）=0，x-2=0或x-2-2=0，解得：x1=2，x2=4；【小問2詳解】x2-4x-1=0，x2-4x=1，配方，得x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，開方得：x-2=±，解得：x1=2+，x2=2-．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．17.如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度，點F到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，墻到木板的水平距離為．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．（1）求的長．（2）求燈泡到地面的高度．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出的長；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進(jìn)而求出的長．【小問1詳解】解：由題意可得：，則，故，即，解得：，經(jīng)檢驗，是上述分式方程的解，∴的長為；【小問2詳解】∵，∴（），∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：（），∴燈泡到地面的高度為．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于C，D兩點，DE⊥x軸于點E，點C的坐標(biāo)為(6，?1)，DE=3．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點P在反比例函數(shù)圖象上，且△POA面積等于8，求P點的坐標(biāo)．【答案】（1）反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=-；一次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x+2；（2）點P的坐標(biāo)是（-，4）或（，-4）．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出點D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)表達(dá)式即可求解；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)是（m，n），根據(jù)三角形面積公式求得即可．【小問1詳解】解：∵點C（6，-1）在反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象上，∴k=6×（-1）=-6，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=-，∵點D反比例函數(shù)y=-上，且DE=3，∴y=3，代入求得：x=-2，∴點D的坐標(biāo)為（-2，3）．∵C、D兩點在直線y=ax+b上，則，解得，∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+2；【小問2詳解】解：設(shè)點P的坐標(biāo)是（m，n）．把y=0代入y=-x+2，解得x=4，即A（4，0），則OA=4，∵△POA的面積等于8，∴×OA×|n|=8，解得：|n|=4，∴n1=4，n2=-4，∴點P的坐標(biāo)是（-，4）或（，-4）．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，三角形面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．19.某超市銷售的紅豆進(jìn)價為每千克8元．當(dāng)紅豆每千克售價為15元時，日銷售量為300千克．該超市為擴大銷售量、增加經(jīng)營利潤，計劃采取降價的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)紅豆每千克售價每下降0.5元時，日銷售量就會增加5千克．（1）當(dāng)銷售量為320千克時，紅豆售價為___________元；當(dāng)紅豆每千克售價是10元時，日銷售量是多少千克？（2）該商場計劃每日銷售紅豆獲利1020元，則紅豆售價應(yīng)定為每千克多少元？【答案】（1）13，350（2）11元【解析】【分析】（1）因為每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸，可求出當(dāng)每噸售價是240元時，此時的月銷售量是多少噸．（2）紅豆售價應(yīng)定為每千克x元，則每千克的銷售利潤為元，日銷售量為千克，根據(jù)題意列出方程求解即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)銷售量為320千克時，紅豆售價為元；（千克）．答：當(dāng)銷售量為320千克時，紅豆售價為13元；當(dāng)紅豆每千克售價是10元時，日銷售量是350千克；【小問2詳解】解：設(shè)紅豆售價應(yīng)定為每千克x元，則每千克的銷售利潤為元，日銷售量為千克，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去）．答：則紅豆售價應(yīng)定為每千克11元．【點睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出紅豆每千克售價每下降0.5元時，日銷售量就會增加5千克的關(guān)系，從而列方程求解．20.如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在CD邊上，點F在DC延長線上，AE＝BF．（1）求證：四邊形ABFE是平行四邊形；（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）EF＝5【解析】【分析】（1）先根據(jù)矩形性質(zhì)證得AD=BC，∠D=∠BCD=∠BCF=90°,再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)證明Rt△ADE≌Rt△BCF得到∠DEA=∠F，則有AE∥BF，然后根據(jù)平行四邊形的判定可證得結(jié)論；（2）先證得∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理求得AB=5，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=AB即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴∠DEA=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形．（2）解：如圖，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=．∵四邊形ABFE是平行四邊形，∴EF=AB=5．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定方法以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．21.【綜合實踐】如圖所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂，如圖，即），受桔槔的啟發(fā)，小杰組裝了如圖所示的裝置．其中，杠