（初中教案）7年級春季班第12講：全等三角形的綜合 -教師版

（初中教案）7年級春季班第12講：全等三角形的綜合-教師版（初中教案）7年級春季班第12講：全等三角形的綜合-教師版/（初中教案）7年級春季班第12講：全等三角形的綜合-教師版初一數(shù)學(xué)春季班(教師版)教師日期學(xué)生課程編號12課型復(fù)習(xí)課課題全等三角形的綜合教學(xué)目標(biāo)1．利用全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明邊角關(guān)系;2．能夠添加合適的輔助線解決全等三角形的相關(guān)問題．教學(xué)重點(diǎn)正確的添加輔助線解決全等三角形的相關(guān)問題．教學(xué)安排版塊時長1全等三角形判定的綜合30min2添加輔助線構(gòu)造全等三角形50min3隨堂檢測20min4課后作業(yè)20min

全等三角形的綜合全等三角形的綜合內(nèi)容分析內(nèi)容分析本節(jié)課通過推理和專題訓(xùn)練,學(xué)會運(yùn)用全等三角形的判定方法去解決三角形全等的綜合問題．通過添加輔助線解決相關(guān)的邊角證明問題,本節(jié)的內(nèi)容相對綜合,難度稍大．知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)模塊模塊一：全等三角形判定的綜合知識精講知識精講全等三角形綜合主要是通過全等得出結(jié)論,進(jìn)而求出相應(yīng)的邊和角之間的關(guān)系．對于稍復(fù)雜的會通過添加平行線,倍長中線或截長補(bǔ)短等方法,解決綜合問題．

例題解析例題解析AABCDE已知：AE＝ED,BD＝AB,試說明：CA＝CD．【難度】★【答案】見解析．【解析】在△ABE與△DBE中,,,,．在△ACE與△DCE中,,,(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理的應(yīng)用．如圖,已知AB＝DC,AC＝DB,BE＝CE,試說明：AE＝DE．ABEABECD【答案】見解析．【解析】在△ABC和△DCB中,,∴△ABC≌△DCB(S.S.S),

∴∠ABC=∠DCB．

在△ABE和△DCE中,

,∴△ABE≌△DCE(S.A.S),∴AE=DE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理的應(yīng)用．ABCDEFO已知：AB∥CD,OE＝ABCDEFO【難度】★【答案】見解析．【解析】,．(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．如圖：A、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上,AE=CF,過E、F分別作BE⊥AC、ABCDEFGDF⊥AC,且AB=CD,AB∥CDABCDEFG【難度】★★【答案】見解析．【解析】∵AB∥CD,∴∠A=∠C．在△AGB和△CGD中,∴ΔAGB≌ΔCGD(AAS),∴BG=DG．∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEG=∠DFG=90°．在△BGE和△DGF中,∴ΔBGE≌ΔDGF(A.A.S),∴GE=GF,即BD平分EF．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．

ABCDEF如圖,已知AD=AE,AB=ACABCDEF【難度】★★【答案】見解析．【解析】,,．．,,【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C＝90°,D是斜邊上AB上任一點(diǎn),ABCDEFGHAE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延長線于F,CH⊥ABABCDEFGH試說明：BD＝CG．【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．．．．,,．,．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．

如圖1,△ABD和△AEC中,AB=AD=BD,AE=EC=AC,連接BE、CD．(1)請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是___________;(2)觀察圖2,當(dāng)△ABD和△AEC分別繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時,BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變;(3)觀察圖3和圖4,若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是______,在圖4中證明你的猜想;(4)這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形(不必證明),如圖5,BB1與EE1的關(guān)系是_________;它們分別在哪兩個全等三角形________________;請在圖6中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點(diǎn),連接圖中哪兩個頂點(diǎn),能構(gòu)造出兩個全等三ABCABCDE圖1ABCDE圖2ABCDEFGABCDEFG圖4圖3ABCDEB1E1ABCDEF圖6圖5【難度】★★★【答案】(1);(2)不變;(3),證明見解析;(4),,連接FF1,可證．【解析】(3)如圖4,．在△ADE和△CDG中,,【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．

已知△ABC中,AB=AC=6cm,BC=4cm,,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動,同時,點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等,經(jīng)過1秒后,△BPD與△CQP是否全等,請說明理由;②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時,能夠使

△BPD與△CQP全等?(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時ABCDPQ出發(fā),都逆時針沿△ABC三邊運(yùn)動,求經(jīng)過多長時間點(diǎn)ABCDPQ的哪條邊上相遇?【難度】★★★【答案】見解析．【解析】(1)①全等,理由如下：．在△BPD和△CQP中,,．②．．．(2),,解得：．此時點(diǎn)P的運(yùn)動路程為24厘米．因為,所以．即【總結(jié)】本題綜合性加強(qiáng),主要考查了動點(diǎn)與全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的結(jié)合,解題時注意分析動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡．

模塊二：添加輔助線構(gòu)造全等三角形模塊二：添加輔助線構(gòu)造全等三角形知識精講知識精講倍長中線法;添加平行線構(gòu)造全等三角形;截長補(bǔ)短構(gòu)造全等的三角形;圖形的運(yùn)動構(gòu)造全等三角形．例題解析例題解析已知三角形的兩邊分別為5和7,求第三邊上的中線長x的取值范圍．【難度】★★【答案】．【解析】．∵AD是BC邊上中線,∴BD=CD．在△BDE與△CDA中,∴,∴．在中,∵,∴,∴．【總結(jié)】本題主要考查了中線倍長輔助線及三角形三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用．

在△ABC中,AD是BC邊上的中線,AE＝EF,試說明：BF＝AC．ABCABCDEFG【答案】見解析．【解析】．∵AD是BC邊上中線,∴BD=CD．在△BDG與△CDA中,∴,∴．．,,．【總結(jié)】本題中一方面主要考查了輔助線的添加,另一方面考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,教師可選擇性講解．如圖所示,AD是△ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AC=BF．試說明：AE=EF．【難度】★★【答案】見解析．【解析】．∵AD是BC邊上中線,∴BD=CD．．．【總結(jié)】本題中一方面主要考查了輔助線的添加,另一方面考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,教師可選擇性講解．

已知：如圖所示,△ABC中,D為BC上一點(diǎn),AB=AC,ED=DF,試說明：BE=CF．【難度】★★【答案】見解析．【解析】,則．．．在△EMD與△FCD中,．【總結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．△ABC中,AB=AC,E為AC延長線交于一點(diǎn),且BD=CE,連接DE交底BC于G．試說明：GD=GE．【難度】★★【答案】見解析．【解析】,．．．在△DGF與△EGC中,．【總結(jié)】 本題主要考查了平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．

己知,△ABC中,AB=AC,CD⊥AB,垂足為D,P是射線BC上任一點(diǎn),PE⊥AB,PF⊥AC垂足分別為E、F,試說明PE、PF與CD的關(guān)系．FEDFEDCABPFEDCABP【答案】當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時,;當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時,．【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時,連接AP,,．,．,;(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時,連接AP,,．,．,．【總結(jié)】本題主要考查了利用三角形的面積關(guān)系說明線段間的關(guān)系．

已知,如圖在四邊形ABCD中,BD平分∠ABC,BC>AB,∠A+∠C=180°．試說明：AD=CD．【難度】★★【答案】見解析．【解析】,,則．．,,．,．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用,注意輔助線的添加．已知,如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中點(diǎn),AF⊥BD于E,交BC于F,連結(jié)DF．試說明：∠ADB=∠CDF．【難度】★★【答案】見解析．【解析】,．．在△BAM與△ACF中,,．．在△AMD與△CFD中,,．【總結(jié)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．如圖,BC∥AD,EA、EB分別平分∠DAB、∠CBA,CD過點(diǎn)E,試說明：AB＝AD+BC．【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．．,．．．【總結(jié)】本題主要考查截長補(bǔ)短輔助線的運(yùn)用．ABCD如圖,在中,,,平分．ABCD試說明：．【難度】★★E【答案】見解析．E【解析】,連接DE．．．．,．．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)定理及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．

如圖,已知中,是的角平分線,．試說明：．【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．在△AMD與△CFD中,．．．．【總結(jié)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．在四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,若AB>AD,DC=BC．FABCFABCD【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．,．【總結(jié)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)．

如圖,在△ABC中,AB=AC,延長AB到D,使BD=AB,取AB的中點(diǎn)E,連ABCDEFH接CD和CEABCDEFH【難度】★★【答案】見解析．【解析】延長CE到H,使EH=CE,連接BH．∵E是AB的中點(diǎn),∴AE=BE．在△AEC與△BEH中,∴,∴．∵AB=AC,∴．∵,∴．在△CBD與△CBH中,∴,∴．【總結(jié)】本題主要考查了中線倍長輔助線與全等三角形的判定的綜合運(yùn)用．已知：正方形ABCD中,∠BAC的平分線交BC于E,試說明：AB+BE=AC．【難度】★★【答案】見解析．【解析】,則．,,．．,．．【總結(jié)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．

如圖：在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC,延長AB到E,使BD=BE,延ABCDEF長ED到F,交AC于F,說明AF=ABCDEF【難度】★★【答案】見解析．【解析】,．．．,．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng),主要考查了等腰三角形的性質(zhì)運(yùn)用,教師可選擇性講解．已知AD為△ABC的角平分線,AB＞AC,試說明：AB－AC＞BD－DC．【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．,．,．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用．

已知,如圖1正方形ABCD中,E是BC中點(diǎn),EF⊥AE交∠DCE外角的平分線于F．(1)試說明：AE=EF．(2)如圖2,如當(dāng)E是BC上任意一點(diǎn),而其它條件不變時,AE=EF是否仍然成立,試加以分析說明．ABCABCDEFGABCDEFG圖1圖2HH【答案】見解析．【解析】(1)．,．．,,．．;(2)成立．,．．．．．【總結(jié)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．

如圖,點(diǎn)D、E三等分△ABC的BC邊．試說明：AB+AC＞AD+AE．【難度】★★★【答案】見解析．【解析】,．．,．．．,即．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用,注意輔助線的添加．ABCDEMNP已知：如圖,在△ABC的邊上取兩點(diǎn)DABCDEMNP試說明：AB+AC＞AD+AE．【難度】★★★【答案】見解析．【解析】,．．在△AEM與△NDM中,,．．,．．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．

ABCDEF如圖,在△ABC中,AB=AC,D是CB延長線的一點(diǎn),且∠DABCDEF上一點(diǎn),DE=DB．試說明：AE=BE+BC．【難度】★★★【答案】見解析．【解析】．．在△ABD與△ACF中,．．,．,．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用,綜合性較強(qiáng),注意對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)．隨堂檢測隨堂檢測ABCDP如圖△ABC和△DBC中,∠ABP=∠DBP,∠ACP=∠DCP,P是BC上任意一點(diǎn),試說明：ABCDP【難度】★【答案】見解析．【解析】,,．．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用．

已知,△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_________．【難度】★【答案】．【解析】．．在△ABD與△ECD中,．．即．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．ABCDEFG從正方形ABCD的頂點(diǎn)A作∠EAF=45°,交DC于F,BC于E,試說明：ABCDEFG【難度】★【答案】見解析．【解析】．,．,即．．【總結(jié)】本題考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵．

已知,E是AB中點(diǎn),AF=BD,BD=5,AC=7,求DC的長．G【難度】★★G【答案】2．【解析】．．．,．．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用,教師在講解時注意針對性的引導(dǎo)．如圖,△ABC中,AB<AC,AD是中線,試說明：∠DAC<∠DAB．ABCABCDE【答案】見解析．【解析】．．．．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形邊角關(guān)系的綜合應(yīng)用,注意添加適當(dāng)?shù)妮o助線將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分線,P是AD上任意一點(diǎn),ABCDPE試說明：AB-ACABCDPE【難度】★★【答案】見解析．【解析】,則．．,．,．【總結(jié)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用．如圖,在△ABC中,AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC中點(diǎn),EF∥AD交CA的延長線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G,若BG=CF,試說明：∠BAD=∠CAD．MABMABCDEFG【答案】見解析．【解析】．．．,．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．

已知：如圖,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE．試說明：BE+DF=AE．ABCABCDEFG【答案】見解析．【解析】．,．．．．．,．【總結(jié)】本題主要考查了在正方形背景下的輔助線的添加及全等三角形的綜合運(yùn)用．如圖所示,△ABC是邊長為1的正三角形,∠BDC=120°,BD=CD,以D為頂點(diǎn)作一個60°的∠MDN,點(diǎn)M、N分別在AB,AC上,求△AMN的周長．ABCABCDMNE【答案】2【解析】．．,．．,．,．,．如圖,已知梯形ABCD中,AB=CD=10厘米,BC=8厘米,∠B=∠C,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P在線段BC上由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動,同時點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動．若點(diǎn)P與Q都以2厘米/秒的速度運(yùn)動,經(jīng)過1．5秒后,△BPE與△CQP是否全等?請說明理由;若點(diǎn)P的速度為3厘米/秒,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時,能夠使△PBE與ABCDEABCDEPQ【難度】★★★【答案】(1)全等;(2)或．【解析】(1),則．．．,;(2),由(1)可知,．．．,．綜上點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為或．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),注意分類討論,綜合性較強(qiáng)．

課后作業(yè)課后作業(yè)已知：如圖,OD⊥AD,OH⊥AE,DE交GH于O．若∠1=∠2,AGODEHAGODEH12【難度】★【答案】見解析．【解析】．．．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線．試說明：AD<(AB+AC)．ABCABCDE【答案】見解析．【解析】延長到點(diǎn),使,連接,為邊上的中線,．．,,,．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系的綜合運(yùn)用．

已知：AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,試說明：∠F=∠C．【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用．△ABC中,AD是∠CAB的平分線,且AB=AC+CD,試說明：∠C=2∠B．【難度】★★ABCDABCDE【解析】．．．．．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．

已知：如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DE上,且∠BAE=∠CDE．ABCDEF試說明ABCDEF【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．,．【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用．如圖所示,已知△ABC中,AD平分∠BAC,E、F分別在BD、AD上．ABCDEFGDE=CD,EF=AC．ABCDEFG【難度】★★【答案】見解析．【解析】．．,【總結(jié)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的判定定理的綜合運(yùn)用,注意輔