課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)第八章立體幾何1空間幾何體的三視圖表面積和體積試題文

PAGEPAGE33第八章立體幾何【真題典例】

§8.1空間幾何體的三視圖、表面積和體積挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖①相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡潔物體的結(jié)構(gòu);②能畫出簡潔空間圖形的三視圖,能識(shí)別三視圖所表示的立體模型;會(huì)用斜二測畫法畫出簡潔幾何體的直觀圖;③會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡潔空間圖形的三視圖和直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式2024課標(biāo)全國Ⅰ,9,5分空間幾何體的三視圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體表面最短路徑問題★★★2024課標(biāo)全國Ⅲ,3,5分空間幾何體的三視圖數(shù)學(xué)文化及空間幾何體的俯視圖空間幾何體的表面積通過對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的探討,駕馭柱、錐、臺(tái)、球的表面積的求法2024課標(biāo)全國Ⅰ,5,5分圓柱的表面積圓柱的軸截面★★★2024課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分三棱錐外接球的表面積面面垂直的性質(zhì)定理及三棱錐的體積2024課標(biāo)全國Ⅰ,7,5分球的表面積空間幾何體的三視圖2024課標(biāo)Ⅰ,11,5分組合體的表面積空間幾何體的三視圖空間幾何體的體積①理解柱、錐、臺(tái)體的體積概念;②能運(yùn)用公式求解柱、錐、臺(tái)、球的體積,并且熟識(shí)臺(tái)體、柱體與錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系2024課標(biāo)全國Ⅰ,10,5分長方體的體積直線與平面所成角★★★2024課標(biāo)全國Ⅱ,6,5分不規(guī)則幾何體的體積空間幾何體的三視圖2024課標(biāo)Ⅰ,6,5分空間幾何體的體積數(shù)學(xué)文化,圓錐的體積公式分析解讀1.理解柱、錐、臺(tái)、球的概念,牢記它們的幾何特征及形成過程.正確把握軸截面、中截面的含義及空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的方法.2.理解三視圖的形成過程及駕馭三視圖與直觀圖的畫法.3.理解柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積的概念,駕馭其表面積和體積公式.4.高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查主要以幾何體的三視圖為背景考查幾何體的表面積和體積,分值約為5分,屬于中檔題.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1.(2024遼寧六校協(xié)作體12月聯(lián)考,6)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,∠ACB=90°,AB=2,PA=BC=1,則此幾何體的左視圖的面積是()A.14 B.1 C.32答案D2.(2024北京,7,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長棱的棱長為()A.1 B.2C.3 D.2答案C3.某幾何體的主視圖和左視圖如圖1,它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1,如圖2,其中O1A1=6,O1C1=2,則該幾何體的側(cè)面積為()A.48 B.64 C.96 D.128答案C考點(diǎn)二空間幾何體的表面積1.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12π B.323π C.8π答案A2.(2024湖北八校12月聯(lián)考,8)已知一幾何體的三視圖如圖所示,它的側(cè)視圖與正視圖相同,則該幾何體的表面積為()A.16+12π B.32+12πC.24+12π D.32+20π答案A3.(2024河北衡水中學(xué)周測卷(十六),2)一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.48 B.32+817 C.48+817 D.80答案C考點(diǎn)三空間幾何體的體積1.(2025屆湖北武漢重點(diǎn)中學(xué)9月聯(lián)考,9)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為2,則此球的體積為()A.43π B.63πC.6π D.46π答案A2.(2024浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1答案A3.(2024吉林長春質(zhì)檢,8)《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題:今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈,問積幾何.芻甍:底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖,設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長為1丈),那么該芻甍的體積為()A.4立方丈 B.5立方丈C.6立方丈 D.12立方丈答案B

煉技法【方法集訓(xùn)】方法1空間幾何體表面積的求解方法1.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,7,5分)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.20π B.24π C.28π D.32π答案C2.(2024安徽皖南八校二聯(lián),8)榫卯是我國古代工匠極為精致的獨(dú)創(chuàng),它是在兩個(gè)構(gòu)件上采納凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式.我國的北京紫禁城,山西懸空寺,福建寧德的廊橋等建筑都用到了榫卯結(jié)構(gòu).圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是一種榫卯構(gòu)件中榫的三視圖,則其體積與表面積分別為()A.24+52π,34+52π B.24+52π,36+54πC.24+54π,36+54π D.24+54π,34+52π答案C3.(2024福建六校12月聯(lián)考,11)如圖是某幾何體的三視圖,正視圖是等邊三角形,側(cè)視圖和俯視圖為直角三角形,則該幾何體的表面積為()A.43 B.4+3 C.3+3 D.4+5答案B4.(2025屆廣東韶關(guān)一調(diào),15)若圓錐與球的體積相等,且圓錐底面半徑與球的直徑相等,則圓錐側(cè)面積與球面面積之比為.

答案5∶2方法2空間幾何體體積的求解方法1.(2024北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A.60 B.30 C.20 D.10答案D2.(2025屆湖南長沙長郡中學(xué)9月月考,8)若某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積為()A.4 B.6 C.8 D.10答案B3.(2024江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長為2,以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.

答案4方法3與球有關(guān)的切、接問題的求解方法1.(2024云南民族高校附中月考,8)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著.書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,若某“陽馬”的三視圖如圖所示(單位:cm),則該陽馬的外接球的體積為()A.100πcm3 B.5003πcm3 C.400πcm3 D.4答案B2.(2025屆安徽皖中入學(xué)摸底考試,10)將半徑為3,圓心角為2π3的扇形圍成一個(gè)圓錐(接縫處忽視A.2π3 B.3π答案A3.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,11,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4π B.9π2 C.6π D.答案B4.(2024天津,11,5分)已知一個(gè)正方體的全部頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為.

答案92過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直視圖1.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,9,5分)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為()A.217 B.25 C.3 D.2答案B2.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,3,5分)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A考點(diǎn)二空間幾何體的表面積1.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,5,5分)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()A.122π B.12π C.82π D.10π答案B2.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,7,5分)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3A.17π B.18π C.20π D.28π答案A3.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,10,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為()A.18+365 B.54+185C.90 D.81答案B4.(2024課標(biāo)Ⅰ,11,5分)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1 B.2 C.4 D.8答案B5.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,15,5分)長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為.

答案14π6.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分)已知三棱錐S-ABC的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為.

答案36π考點(diǎn)三空間幾何體的體積1.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,10,5分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長方體的體積為()A.8 B.62 C.82 D.83答案C2.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,6,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為()A.90π B.63π C.42π D.36π答案B3.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,9,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為()A.π B.3π4 C.π2答案B4.(2024課標(biāo)Ⅰ,6,5分)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案B5.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB相互垂直,SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為.

答案8π6.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12(1)證明:直線BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面積為27,求四棱錐P-ABCD的體積.解析(1)證明:在平面ABCD內(nèi),因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由AB=BC=12因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因?yàn)镃M?底面ABCD,所以PM⊥CM.設(shè)BC=x,則CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PN⊥CD,所以PN=142因?yàn)椤鱌CD的面積為27,所以12×2x×142x=2解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱錐P-ABCD的體積V=13×2×(2+4)27.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=22解析(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CF由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=由AB=5,AC=6得DO=BO=AB所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',因?yàn)镺D'?平面BHD',所以AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D'⊥平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=五邊形ABCFE的面積S=12×6×8-12×92所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=13×694×22=B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1.(2024北京,6,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4答案C2.(2024湖北,7,5分)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A.①和② B.③和①C.④和③ D.④和②答案D3.(2024北京,11,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長棱的棱長為.

答案22考點(diǎn)二空間幾何體的表面積1.(2024福建,9,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()A.8+22 B.11+22 C.14+22 D.15答案B2.(2024陜西,5,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4答案D3.(2024浙江,9,6分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是cm2,體積是cm3.

答案80;40考點(diǎn)三空間幾何體的體積1.(2024浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2 B.4 C.6 D.8答案C2.(2024山東,5,5分)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()A.13+23π B.13+23π C.13+26答案C3.(2024山東,13,5分)由一個(gè)長方體和兩個(gè)14圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為答案2+π4.(2024北京,11,5分)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為.

答案3

C組老師專用題組考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1.(2024天津,3,5分)將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案B2.(2024課標(biāo)Ⅰ,8,5分)如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是()A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱答案B3.(2024湖南,8,5分)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B考點(diǎn)二空間幾何體的表面積1.(2024安徽,9,5分)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是()A.1+3 B.1+22C.2+3 D.22答案C2.(2024大綱全國,10,5分)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為()A.81π4 B.16π C.9π D.答案A3.(2024課標(biāo)Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36π B.64π C.144π D.256π答案C4.(2013課標(biāo)Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為.

答案9π5.(2013課標(biāo)Ⅱ,15,5分)已知正四棱錐O-ABCD的體積為322,底面邊長為3,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為答案24π考點(diǎn)三空間幾何體的體積1.(2024課標(biāo)Ⅱ,6,5分)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.18 B.17 C.1答案D2.(2024浙江,2,5分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8cm3 B.12cm3C.323cm3 D.403答案C3.(2024山東,9,5分)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.22π3 B.42π3答案B4.(2024重慶,5,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.13+2π B.13π6 C.7π答案B5.(2024湖南,10,5分)某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為材料利用率=新工件的體積原工件的體積()A.89π B.827π C.24答案A6.(2024課標(biāo)Ⅱ,6,5分)如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A.1727 B.59 C.10答案C7.(2024湖北,10,5分)《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公式V≈136L2h.它事實(shí)上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈275LA.227 B.25C.15750 D.答案B8.(2024遼寧,7,5分)某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.8-π4 B.8-C.8-π D.8-2π答案C9.(2024四川,4,5分)某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是()錐體體積公式:V=13Sh,其中S為底面面積,h為高A.3 B.2 C.3 D.1答案D10.(2024浙江,3,5分)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是()A.72cm3 B.90cm3 C.108cm3 D.138cm3答案B11.(2024重慶,7,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.12 B.18 C.24 D.30答案C12.(2013課標(biāo)Ⅰ,11,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.16+8π B.8+8πC.16+16π D.8+16π答案A13.(2012課標(biāo)全國,7,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.6 B.9 C.12 D.18答案B14.(2012課標(biāo)全國,8,5分)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為2,則此球的體積為()A.6π B.43π C.46π D.63π答案B15.(2010全國Ⅰ,12,5分)已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn),若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為()A.233 B.433答案B16.(2024四川,12,5分)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是.

答案317.(2024天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.

答案8318.(2024天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.

答案20π19.(2011課標(biāo),16,5分)已知兩個(gè)圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上.若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的316,則這兩個(gè)圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為答案120.(2024課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為9721.(2024安徽,19,13分)如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)證明:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM,并求PMMC解析(1)由題設(shè)AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=12·AB·AC·sin60°=3由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱錐P-ABC的高,又PA=1,所以三棱錐P-ABC的體積V=13·S△ABC·PA=3(2)證明:在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)B作BN⊥AC,垂足為N.在平面PAC內(nèi),過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M,連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM?平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=12,從而NC=AC-AN=32.由MN∥PA,得PMMC=AN22.(2024廣東,18,13分)如圖1,四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如圖2折疊:折痕EF∥DC,其中點(diǎn)E,F分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點(diǎn)P在線段AD上的點(diǎn)記為M,并且MF⊥CF.(1)證明:CF⊥平面MDF;(2)求三棱錐M-CDE的體積.解析(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,∴PD⊥AD.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD.∵CF?平面PCD,∴AD⊥CF.又∵M(jìn)F⊥CF,MF∩AD=M,∴CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC,在△PCD中,DC2=CF·PC.∴CF=CD2PC又∵EF∥DC,∴PCPD=FCED?ED=PD·FCPC∴PE=ME=3-34=3∴S△CDE=12DC·ED=12×1×34在Rt△MDE中,MD=ME2-∴VM-CDE=13S△CDE·MD=13×38×623.(2024福建,19,12分)如圖,三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求證:CD⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點(diǎn),求三棱錐A-MBC的體積.解析(1)證明:∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB?平面ABD,BD?平面ABD,∴CD⊥平面ABD.(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.∵AB=BD=1,∴S△ABD=12∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),∴S△ABM=12S△ABD=1由(1)知,CD⊥平面ABD,∴三棱錐C-ABM的高h(yuǎn)=CD=1,因此三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VC-ABM=13S△ABM·h=1解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,如圖,過點(diǎn)M作MN⊥BD交BD于點(diǎn)N,則MN⊥平面BCD,且MN=12AB=1又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=12∴三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=13AB·S△BCD-13MN·S△BCD=24.(2024江西,19,12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.(1)求證:A1C⊥CC1;(2)若AB=2,AC=3,BC=7,問AA1為何值時(shí),三棱柱ABC-A1B1C1體積最大?并求此最大值.解析(1)證明:由AA1⊥BC知BB1⊥BC,又BB1⊥A1B,故BB1⊥平面BCA1,則BB1⊥A1C,又BB1∥CC1,所以A1C⊥CC1.(2)解法一:設(shè)AA1=x,在Rt△A1BB1中,A1B=A1B1同理,A1C=A1C1在△A1BC中,cos∠BA1C=A=-x2(4-x所以S△A1BC=12A1B·A1從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△A1BC·AA因?yàn)閤12-7x2=故當(dāng)x=67=427,即AA1=427解法二:過A1作BC的垂線,垂足為D,連接AD.由于AA1⊥BC,A1D⊥BC,故BC⊥平面AA1D,BC⊥AD.又∠BAC=90°,所以S△ABC=12AD·BC=12AB·AC,得AD=設(shè)AA1=x,在Rt△AA1D中,A1D=AD2-S△A1BC=12從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△A1BC·AA因?yàn)閤12-7x2=故當(dāng)x=67=427,即AA1=42725.(2013課標(biāo)Ⅱ,18,12分)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn).(1)證明:BC1∥平面A1CD;(2)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱錐C-A1DE的體積.解析(1)證明:連接AC1交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1中點(diǎn).由D是AB中點(diǎn),連接DF,則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D為AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=22得∠ACB=90°,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以VC-A1DE=13×12【三年模擬】時(shí)間:45分鐘分值:65分一、選擇題(每小題5分,共45分)1.(2025屆安徽蕪湖11月調(diào)研,7)如圖,一個(gè)直三棱柱容器中盛有水,且側(cè)棱AA1=8.當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí),液面恰好過AC,BC,A1C1,B1C1的中點(diǎn),當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),液面高為(