2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-幾何體的截面或交線-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

INCLUDEPICTURE"高分訓(xùn)練.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\數(shù)學(xué)課件\\高分訓(xùn)練.tif"INETINCLUDEPICTURE"F:\\陳麗2022年\\2022\\課件\\二輪\\2023版創(chuàng)新設(shè)計(jì)二輪專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材通用版（魯津京……）\\教師word文檔\\板塊三立體幾何與空間向量\\高分訓(xùn)練.tif"INET2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-幾何體的截面或交線-專項(xiàng)訓(xùn)練一、基本技能練1.過一個(gè)圓錐的側(cè)面一點(diǎn)(不是母線的端點(diǎn))作圓錐的截面，則截面與該圓錐側(cè)面的交線可以是圖形①圓；②橢圓；③拋物線的一部分；④雙曲線的一部分中的()A.①②③④ B.①③④C.①② D.①②④2.如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()3.如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中被截去一小部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是()A.棱臺(tái) B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體的過M，N，C1的截面圖形是()A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形5.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，CC1，C1D1的中點(diǎn)，則該正方體被過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的平面截得的截面面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),2)a2C.eq\f(3\r(3),4)a2 D.eq\f(3\r(3),2)a26.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有()A.0條 B.1條C.2條 D.1條或2條7.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M為B1C1的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作平面α使α⊥BM，則平面α截正方體所得截面的面積為()A.4eq\r(2) B.4eq\r(5)C.8eq\r(5) D.16eq\r(2)8.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為CC1的中點(diǎn)，若AM⊥平面α，且B∈平面α，則平面α截正方體所得截面的周長(zhǎng)為()A.3eq\r(2)＋2eq\r(5) B.4＋4eq\r(2)C.2eq\r(2)＋2eq\r(5) D.6eq\r(2)9.(多選)如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，過對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交棱AA1于點(diǎn)E，交棱CC1于點(diǎn)F，得四邊形BFD1E，在以下結(jié)論中，正確的是()A.四邊形BFD1E有可能是梯形B.四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形C.四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD.四邊形BFD1E面積的最小值為eq\f(\r(6),2)10.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是面對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，Q是棱C1D1的中點(diǎn)，用過A1，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體ABCD－A1B1C1D1，則所得截面多邊形可能是()A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形11.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，過B，E，D1的截面與棱A1B1交于F，則截面BED1F分別在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影的面積之和為________.二、創(chuàng)新拓展練13.(多選)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確的是()A.當(dāng)0<CQ<eq\f(1,2)時(shí)，S為四邊形B.當(dāng)CQ＝eq\f(1,2)時(shí)，S為等腰梯形C.當(dāng)CQ＝eq\f(3,4)時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R＝eq\f(1,3)D.當(dāng)eq\f(3,4)<CQ<1時(shí)，S為六邊形14.(多選)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，M為AA1的中點(diǎn)，過B1M作長(zhǎng)方體的截面α交棱CC1于點(diǎn)N，則下列說法正確的是()A.截面α可能為五邊形B.存在點(diǎn)N，使得BN⊥截面αC.若截面α為平行四邊形，則1≤CN≤2D.當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，截面面積為eq\f(3\r(6),4)15.四棱錐P－ABCD各頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，BC的中點(diǎn)，則球O被平面AEF所截得的截面面積為________.16.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在線段CB1上，若平面α經(jīng)過點(diǎn)A，C1，P，則它截正方體ABCD－A1B1C1D1所得的截面的周長(zhǎng)最小值為________.參考答案與解析一、基本技能練1.答案A解析根據(jù)截面與圓錐的位置關(guān)系，所得的圖形如圖所示，故截面與該圓錐側(cè)面的交線可以是圖形①圓；②橢圓；③拋物線的一部分；④雙曲線的一部分.2.答案D解析對(duì)于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四點(diǎn)共面；同理，B、C圖中四點(diǎn)也共面；D中四點(diǎn)不共面.3.答案C解析∵EH∥A′D′，EH∥平面BCC′B′，∴EH∥GF，又平面ABB′A′∥平面DCC′D′，∴EF∥GH，四邊形EFGH為平行四邊形.故剩下的幾何體為五棱柱.4.答案C解析正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，延長(zhǎng)C1M交CD的延長(zhǎng)線于P，延長(zhǎng)C1N交CB的延長(zhǎng)線于Q，連接PQ交AD于E，AB于F，連接NF，ME，則正方體的過M，N，C1的截面圖形是五邊形.故選C.5.答案C解析作出過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面，如圖，由圖可知，截面為正六邊形，且邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)a，所以截面面積S＝6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(3\r(3),4)a2，故選C.6.答案C解析如圖所示，平面α即平面EFGH，則四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH.所以與平面α(平面EFGH)平行的棱有2條.7.答案C解析分別取AA1，BB1的中點(diǎn)E，N，連接DE，CN，EN，則EN∥DC，EN＝DC，所以四邊形ENCD是平行四邊形，由于△B1BM≌△BCN，所以∠MBB1＋∠BNC＝90°，所以BM⊥CN，又因?yàn)镈C⊥BM，DC∩CN＝C，所以BM⊥平面ENCD，所以平面ENCD即為平面α，又CN＝2eq\r(5)，所以截面的面積為2eq\r(5)×4＝8eq\r(5).8.答案A解析正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥AC，所以BD⊥AM(三垂線定理)，如圖，取BB1中點(diǎn)N，A1B1中點(diǎn)E，連接MN，AN，BE，可知BE⊥AN，所以BE⊥AM(三垂線定理)，所以AM⊥平面DBE，取A1D1中點(diǎn)F，則α即為截面BEFD，易求周長(zhǎng)為3eq\r(2)＋2eq\r(5).9.答案BCD解析對(duì)于選項(xiàng)A，過BD1，作平面與正方體ABCD－A1B1C1D1的截面為四邊形BFD1E，如圖所示，因?yàn)槠矫鍭BB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF.故四邊形BFD1E為平行四邊形，因此A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形ABCD，因此B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)時(shí)，EF⊥平面BB1D1D，又EF?平面BFD1E，則平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)F點(diǎn)到線段BD1的距離最小時(shí)，平行四邊形BFD1E的面積最小，此時(shí)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，此時(shí)最小值為eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),2)，因此D正確.故選BCD.10.答案ABC解析如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，截面多邊形是三角形，選項(xiàng)A滿足題意；圖①圖②如圖②，取棱CD的中點(diǎn)Q1，連接QQ1和AQ1，因?yàn)镼是棱C1D1的中點(diǎn)，所以QQ1∥DD1∥AA1，將點(diǎn)P移動(dòng)到平面AA1QQ1與BD交點(diǎn)處，此時(shí)截面多邊形是四邊形，選項(xiàng)B滿足題意；圖③如圖③，令點(diǎn)P距離點(diǎn)B較近，此時(shí)截面多邊形是五邊形，選項(xiàng)C滿足題意；易知點(diǎn)P無(wú)論如何移動(dòng)，截面與平面ABCD的交線都平行于A1Q，所以這條交線只能與正方形ABCD的邊AB，AD之一有交點(diǎn)(頂點(diǎn)A除外)，則截面不可能與正方形ABB1A1和正方形ADD1A1都有交線(棱AA1除外)，所以截面不可能與正方體的六個(gè)面都有交線，則截面多邊形不能是六邊形，所以選項(xiàng)D不滿足題意.故選ABC.11.答案平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.12.答案1解析因?yàn)槠矫鍮ED1F∩平面ABCD＝BE，平面BED1F∩平面A1B1C1D1＝D1F，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF，所以截面BED1F是平行四邊形，所以BE＝D1F，所以A1F＝CE，從而B1F＝DE，截面BED1F在平面A1B1C1D1上的正投影是以B1F為底，該底對(duì)應(yīng)的高為1的平行四邊形，在平面ABB1A1上的正投影是以A1F為底，該底上的高為1的平行四邊形，因此兩個(gè)投影的面積和S＝(CE＋DE)×1＝1為定值.二、創(chuàng)新拓展練13.答案ABC解析如圖1，當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)，即CQ＝eq\f(1,2)時(shí)，PQ∥BC1且PQ＝eq\f(1,2)BC1，又AD1綊BC1，圖1故PQ∥AD1且PQ＝eq\f(1,2)AD1，PA＝D1Q，故截面APQD1為等腰梯形，故B正確；當(dāng)0<CQ<eq\f(1,2)時(shí)，只需在DD1上取點(diǎn)M使PQ∥AM，即可得截面APQM為四邊形，故A正確；當(dāng)CQ＝eq\f(3,4)時(shí)，延長(zhǎng)AP，DC交于M，連接QM，直線QM與C1D1交于點(diǎn)R，如圖2，因CQ＝eq\f(3,4)，則C1Q＝eq\f(1,4)，CS＝1，又eq\f(C1R,CM)＝eq\f(C1Q,QC)，故C1R＝eq\f(1,3)，選項(xiàng)C正確；圖2當(dāng)eq\f(3,4)<CQ<1時(shí)，S為五邊形，D錯(cuò)誤.14.答案ACD解析選項(xiàng)A，設(shè)P為CC1的中點(diǎn)，當(dāng)N在PC1之間時(shí)，截面α為平行四邊形NQMB1，當(dāng)N在PC之間時(shí)，截面α為五邊形N1Q1GMB1，其中NQ∥B1M，N1Q1∥B1M，故選項(xiàng)A，C正確；若BN⊥截面α，則BN⊥B1M，這顯然是不成立的，因?yàn)槿绻闪ⅲ梢酝瞥鯞1M⊥平面BB1C1C，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，截面為梯形CGMB1，易知G為AD的中點(diǎn).易求CG＝GM＝eq\f(\r(5),2)，MC＝eq\r(3)，MB1＝eq\r(2)，B1C＝eq\r(5)，所以CM⊥B1M，△CGM為等腰三角形，故S＝S△CGM＋S△CMB1＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(3\r(6),4)，故選項(xiàng)D正確.故選ACD.15.答案eq\f(14π,3)解析由題可知PC的中點(diǎn)即為球心O，故球的半徑R＝eq\r(12＋12＋22)＝eq\r(6)，設(shè)球心O到平面AEF的距離為d，截面圓的半徑為r.由題意可知球心O到平面AEF的距離等于點(diǎn)B到平面AEF的距離，在三棱錐B－AEF中，由等體積法可得d＝eq\f(2\r(3),3)，故r2＝R2－d2＝eq\f(14,3)，故截面面積S＝πr2＝eq\f(14π,3).16.答案2eq\r(5)解析當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)C或與點(diǎn)C重合時(shí)，A，C1，P三點(diǎn)確定的平面α如圖①所示，圖①因?yàn)槠矫鍭DD1A1∥BCC1B1，所以AE∥QC1，同理AQ∥EC1，所以四邊形AEC1Q是平行四邊形，即為所求的截面，設(shè)D1E＝x(0≤x≤1)，則A1E＝1－x，所以AQ＝EC1＝eq\r(x2＋1)，QC1＝AE＝eq\r(（1－x）2＋1)，AQ＋AE＝eq\r(x2＋1)＋eq\r(（1－x）2＋1)＝eq\r(（x－0）2＋（0－1