2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-零點-專項訓(xùn)練【含解析】

第3講零點10類【題型一】水平線法：參變分離【典例分析】已知函數(shù)函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．若，則函數(shù)無零點B．若，則函數(shù)有零點C．若，則函數(shù)有一個零點D．若，則函數(shù)有兩個零點【變式演練】1.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是___2.已知函數(shù)f(x)=|log2x|,0<x≤23.已知函數(shù)f(x)=|log2x|,x>0|x+2|-1,x≤0,若函數(shù)y=A．2B．-2C．-3D【題型二】基礎(chǔ)圖像交點法【典例分析】設(shè)函數(shù)，的零點分別為，則（）【變式演練】1.已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（）A.當(dāng)時，函數(shù)有零點B.若函數(shù)有零點，則C.存在，函數(shù)有唯一的零點D.若函數(shù)有唯一的零點，則2.設(shè)f(x)={4x-4(x≤1)x2-4x+3(x>1)3.已知函數(shù)有三個不同的零點，則的取值范圍是__________.【題型三】分段函數(shù)含參【典例分析】已知，若，方程的解集是______；若方程的解集中恰有3個元素，則a的取值范圍是______.【變式演練】1.已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則實數(shù)m可能的值有（）A．2 B．3 C．4 D．52.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個零點，則a的取值范圍是___________.3.已知函數(shù)若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【題型四】研究直線斜率（臨界是切線）尋找交點關(guān)系【典例分析】已知函數(shù),則函數(shù)的零點個數(shù)為A.1

B.2C.3D.4【變式演練】1.已知函數(shù)，若方程恰有三個根，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．3.已函數(shù)，當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)，有兩個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是______．【題型五】“放大鏡”函數(shù)的交點【典例分析】已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，方程的根有（）個A． B． C． D．【變式演練】1.定義在上的函數(shù)滿足：①當(dāng)時，②.（i）_____；（ii）若函數(shù)的零點從小到大依次記為，則當(dāng)時，_______.2.已知函數(shù)，函數(shù)有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是____________．3.對于函數(shù)，下列個結(jié)論正確的是__________（把你認(rèn)為正確的答案全部寫上）．（1）任取，都有；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3），對一切恒成立；（4）函數(shù)有個零點；（5）若關(guān)于的方程有且只有兩個不同的實根，，則.【題型六】函數(shù)變換：【典例分析】已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且僅有四個互不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（-∞，7] B．（6，+∞） C．（2+∞） D．[8，+∞）【變式演練】1.設(shè)函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有3個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是___________.3.已知函數(shù)對于恒有，若與函數(shù)的圖像的點交為，則=____________【題型七】對數(shù)函數(shù)絕對值“積定法”【典例分析】設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【變式演練】1.已知，是方程的兩個解，則（）A.B.C.D.2.已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0x2+2x+2,x≤0，方程fA．(-∞,-2)B．[-3,-22]C．(-3,-2)D3.已知函數(shù)，（其中），若的四個零點從小到大依次為，，，，則的值是（）A．16 B．13 C．12 D．10【題型八】高斯函數(shù)型【典例分析】設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，已知函數(shù)，若方程有且僅有個實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【變式演練】1.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如，，，設(shè)為函數(shù)的零點，則（）.A．2 B．3 C．4 D．52.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，人們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，則函數(shù)的所有零點之和為（）A． B．0 C．1 D．23.高斯函數(shù)（表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)），若函數(shù)的零點為，則（）A． B． C． D．【題型九】與三角函數(shù)結(jié)合【典例分析】設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（）A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）【變式演練】1.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，若函數(shù)，在區(qū)間上有10個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2.若函數(shù)有且只有一個零點，又點在動直線上的投影為點若點，那么的最小值為__________.3.函數(shù)在上的所有零點之和等于______.【題型十】借助周期性【典例分析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)的取值集合是（）A． B．C． D．【變式演練】1.定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍為．A． B．C． D．2.已知定義域為的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)最多時，所有零點之和為__________．3.已知函數(shù)的定義域是，滿足且，若存在實數(shù)k，使函數(shù)在區(qū)間上恰好有2021個零點，則實數(shù)a的取值范圍為____【課后練習(xí)】1.已知函數(shù)，函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2.（多選題）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的值可以是（）A．0 B． C． D．13.（多選題）關(guān)于的函數(shù)，給出下列四個命題，其中是真命題的為（）．A．存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有2個零點；B．存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有4個零點；C．存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有5個零點；D．存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有8個零點；4.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做與實數(shù)“親密的整數(shù)”記作，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個說法：①函數(shù)在是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.其中說法正確的序號是__________.5.已知函數(shù)，其中，若與的圖像有兩個交點，則的取值范圍是_________6.對于實數(shù)和，定義運算：，設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是___________.7.設(shè)函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為_______；若，且函數(shù)有偶數(shù)個零點，則實數(shù)的取值范圍是____________．8.已知函數(shù)滿足，函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為__________．9.設(shè)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是_____.10.高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”命名的成果就多達(dá)110個，為數(shù)學(xué)家中之最．對于高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，表示實數(shù)的非負(fù)純小數(shù)，即，如，．若函數(shù)（，且）有且僅有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11.（多選題）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.已知函數(shù)，函數(shù)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．函數(shù)是周期函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 D．方程只有一個實數(shù)根12.已知函數(shù)，，，已知時，函數(shù)的所有零點和為21，則當(dāng)時，函數(shù)的所有零點的和為__________．第3講零點10類【題型一】水平線法：參變分離【典例分析】已知函數(shù)函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．若，則函數(shù)無零點B．若，則函數(shù)有零點C．若，則函數(shù)有一個零點D．若，則函數(shù)有兩個零點【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示：觀察可知：當(dāng)時，函數(shù)有一個零點，故A錯誤.故選：A【變式演練】1.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是___【答案】.【解析】函數(shù)當(dāng)時是對勾函數(shù)，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取最小值。所以函數(shù)最小值為2，且在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。當(dāng)時，是減函數(shù)，且，所以為增函數(shù)，且，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，函數(shù)圖像如圖所示。令，函數(shù)恰有三個不同的零點，可以看成函數(shù)恰有三個不同的零點，函數(shù)的圖像與直線有三個交點。由圖像可知。2.已知函數(shù)f(x)=|log2x|,0<x≤213x【答案】0，1畫出函數(shù)y=f(x)，與y=m的圖象，函數(shù)y=f(x)，與y=m的圖象的交點個數(shù)就是函數(shù)函數(shù)g(x)=f(x)-m的零點個數(shù)，因為函數(shù)g(x)=f(x)-m存在四個不同的零點，所以函數(shù)y=f(x)，與y=m的圖象由四個交點，由圖可知，要使函數(shù)y=f(x)，與y=m的圖象由四個交點3.已知函數(shù)f(x)=|log2x|,x>0|x+2|-1,x≤0,若函數(shù)y=f(x)-m+1有四個零點,A．2B．-2C．-3D．3【答案】C【詳解】作出函數(shù)fx=log2x,x>0x+2-1,x≤0的圖象如圖,函數(shù)y=fx-m+1有四個零點，即y=fx與則，fa=fb，a+2-1=b+2-1,可得-a-3=b+1,a+b=-4則-log2c=log2d，可得log2cd=0【題型二】基礎(chǔ)圖像交點法【典例分析】設(shè)函數(shù)，的零點分別為，則（）【答案】A因為函數(shù)，的零點分別為，故可得---①--②，如圖，顯然有，故，①－②得，選A?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（）A.當(dāng)時，函數(shù)有零點B.若函數(shù)有零點，則C.存在，函數(shù)有唯一的零點D.若函數(shù)有唯一的零點，則【答案】B．試題分析：令，得（時，顯然有零點），在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫函數(shù)與的圖像，可得當(dāng)時，函數(shù)有唯一零點，故A正確；取，畫函數(shù)與的圖像，可得它們有交點，故B錯誤，C正確；當(dāng)時，畫函數(shù)與的圖像，可得它們有一個交點，故當(dāng)或時，函數(shù)有唯一零點，故D正確．2.設(shè)f(x)={4x-4(x≤1)x2-4x+3(x>1)，g(x)=log【答案】3依題意，畫出兩個函數(shù)圖象如下圖所示，由圖可知，零點個數(shù)為3.3.已知函數(shù)有三個不同的零點，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】函數(shù)有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為與交點問題，數(shù)形結(jié)合即可求解的取值范圍.【詳解】作出與的圖象，顯然，不可能存在3個交點；∴，當(dāng)與相切時，即只有一個解，那么，可得，此時，∴函數(shù)有三個不同的零點，則；故答案為：.【題型三】分段函數(shù)含參【典例分析】已知，若，方程的解集是______；若方程的解集中恰有3個元素，則a的取值范圍是______.【答案】【分析】求出時的解析式，分情況討論，分別求解方程的根，即可得方程的解集；在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)和的圖象，由圖象分析即可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得和.故若，方程的解集是；因為，則在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，如圖直線，作出函數(shù)的圖象，如圖拋物線，將直線從左向右平移，由圖象可得，當(dāng)或時，方程有2個解，不符合題意；當(dāng)時，方程有3個解，符合題意；當(dāng)時，方程有1個解，不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.【變式演練】1.已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則實數(shù)m可能的值有（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】CD【分析】在同一坐標(biāo)系中，作y＝f(x)與y＝b的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作y＝f(x)與y＝b的圖象．當(dāng)x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.故選：CD2.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個零點，則a的取值范圍是___________.【答案】##【分析】問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有三個不同交點，分作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】,若函數(shù)有且僅有3個零點,則函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)時，如圖：即可，解得，當(dāng)時,如圖：即可，解得，綜上，故答案為：3.已知函數(shù)若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B由題意可知，函數(shù)實為函數(shù)向下平移個單位得到的．所以圖象只是在坐標(biāo)系中位置發(fā)生變化，而其形狀未發(fā)生變化，有兩零點，說明也存在兩個實數(shù)根，即存在一定區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)性不一致，由此可對進(jìn)行分情況討論，當(dāng)時，，所以兩根不可能異號，但是在上的單調(diào)性為先減后增，使得能夠成立；當(dāng)時，均為增函數(shù)，且恒成立，故不存在兩實數(shù)根使得成立；當(dāng)時，均為增函數(shù)，但是，即的最高點在的最低點的上方．則必然存在兩個實數(shù)根使得能夠成立，綜合以上分析應(yīng)該選B．【題型四】研究直線斜率（臨界是切線）尋找交點關(guān)系【典例分析】已知函數(shù),則函數(shù)的零點個數(shù)為A.1

B.2C.3D.4【答案】C試題分析：函數(shù)的零點，即方程函數(shù)=0的實根的個數(shù)，也是y=f(x)的圖象與y=交點個數(shù)。在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出y=f(x)，y=的圖象，觀察知，交點有3個，故選C?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù)，若方程恰有三個根，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，函數(shù)與函數(shù)有三個不同的交點，結(jié)合圖象可得出結(jié)果.解：由題意可得，直線與函數(shù)至多有一個交點，而直線與函數(shù)至多兩個交點，函數(shù)與函數(shù)有三個不同的交點，則只需要滿足直線與函數(shù)有一個交點直線與函數(shù)有兩個交點即可，如圖所示，與函數(shù)的圖象交點為，，故有.而當(dāng)時，直線和射線無交點，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A.2.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程有四個不同的實數(shù)根，即直線與曲線，作出函數(shù)圖象，即轉(zhuǎn)化為在有兩個不等實根，可得答案.【詳解】設(shè)，該直線恒過點，方程有四個不同的實數(shù)根如圖作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，則，所以直線與曲線有兩個不同的公共點，所以在有兩個不等實根，令，實數(shù)滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.3.已函數(shù)，當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)，有兩個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是______．【答案】【分析】由得，分別求出函數(shù)的解析式以及兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)，可得，可知函數(shù)在上的解析式為，由得，可將函數(shù)f（x）在上的大致圖象呈現(xiàn)如圖：根據(jù)的幾何意義，x軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，當(dāng)直線經(jīng)過點，可得，因此直線的斜率t的取值范圍是。故答案為【題型五】“放大鏡”函數(shù)的交點【典例分析】已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，方程的根有（）個A． B． C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)，由于兩個函數(shù)都為偶函數(shù)，只研究，即得解【詳解】由題意，當(dāng)時，方程的根的個數(shù)即為與的交點的個數(shù)由于也為偶函數(shù)，故只需研究時，兩個函數(shù)的交點個數(shù)即可當(dāng)時，，故是一個交點；當(dāng)時，，故是一個交點；當(dāng)時，，故時，兩個函數(shù)有一個交點，由于兩個函數(shù)都單調(diào)遞減，且在相交，故時，只有一個交點當(dāng)時，，故時，兩個函數(shù)有一個交點，由于兩個函數(shù)都單調(diào)遞減，且在相交，故時，只有一個交點綜上，兩個函數(shù)在有4個交點，由函數(shù)的對稱性有7個交點故選：C【變式演練】1.定義在上的函數(shù)滿足：①當(dāng)時，②.（i）_____；（ii）若函數(shù)的零點從小到大依次記為，則當(dāng)時，_______.【答案】3【分析】（i）由于，可得，根據(jù)解析式求出，代入可得；（ii）在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出和的圖像，根據(jù)圖像得到的對稱關(guān)系，把轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列前n項和即可求解.【詳解】（i）因為，所以，當(dāng)時，，所以；（ii）在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出和的圖像如圖所示：當(dāng)時，利用對稱性，依次有：，……所以故答案為：3；2.已知函數(shù)，函數(shù)有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】或【分析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，作出的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求出當(dāng)直線與的圖象有兩個交點時的斜率范圍即可．【詳解】解：函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，繪制函數(shù)圖像如圖所示，函數(shù)有2個零點則函數(shù)與函數(shù)有2個交點，當(dāng)斜率為零，即時，由圖像可得有兩個交點，則成立；當(dāng)斜率不為零，即時，如圖所示，考查臨界情況，當(dāng)直線與函數(shù)相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為，由題意可得：,解得則直線與函數(shù)相切時斜率為，數(shù)形結(jié)合可知實數(shù)a的取值范圍是．綜上，答案為：或．3.對于函數(shù)，下列個結(jié)論正確的是__________（把你認(rèn)為正確的答案全部寫上）．（1）任取，都有；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3），對一切恒成立；（4）函數(shù)有個零點；（5）若關(guān)于的方程有且只有兩個不同的實根，，則.【答案】（1）（4）（5）【詳解】由題意，得的圖象如圖所示，由圖象，則任取，,都有，故（1）正確；函數(shù)在上先增后減，故（2）錯誤；當(dāng)時，，即，故（3）錯誤；在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，可知兩函數(shù)圖象有三個不同公共點，即函數(shù)有3個零點，故（4）正確；在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，由圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)時，關(guān)于的方程有且只有兩個不同的實根,，且,關(guān)于對稱，即；故（5）正確；故填（1）、（4）、（5）.【題型六】函數(shù)變換：【典例分析】已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且僅有四個互不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（-∞，7] B．（6，+∞） C．（2+∞） D．[8，+∞）【答案】B【分析】根據(jù)題意分析出關(guān)于x的方程有且僅有四個互不相等的實根，可轉(zhuǎn)化為與y=m有四個不同的交點，在同一個坐標(biāo)系作出和y=m的圖像，即可求出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，可化為，x=0顯然不成立，故時，當(dāng)時，可化為，所以記函數(shù)，由知，函數(shù)為偶函數(shù).要使關(guān)于x的方程有且僅有四個互不相等的實根，只需和y=m有四個不同的交點.在同一個坐標(biāo)系作出和y=m的圖像如圖所示：所以：m>6即實數(shù)m的取值范圍是（6，+∞）.故選：B【變式演練】1.設(shè)函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出分段函數(shù)在上得解析式，進(jìn)而根據(jù)解析式做出函數(shù)圖象，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個根等價于函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個公共點，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.【詳解】若，則，所以，故，其圖象如圖：函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個公共點，于是，.故選：C.2.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有3個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】本題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與的圖象有且只有3個交點，分別利用、以及三種情況討論可求得，結(jié)合的圖像即可得解.【詳解】因為關(guān)于方程有且只有3個實數(shù)根，設(shè)，得到函數(shù)與的圖象有且只有3個交點.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以如圖所示：因為函數(shù)與的圖象有且只有3個交點，所以或或.故答案為：.3.已知函數(shù)對于恒有，若與函數(shù)的圖像的點交為，則=____________【答案】2n【分析】根據(jù)題意判斷出函數(shù)和的圖像關(guān)于點對稱，所以交點也關(guān)于點對稱，即可求解.【詳解】因為函數(shù)對于恒有，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；的圖像關(guān)于點對稱，所以當(dāng)為和的圖像的交點時，點也是和的圖像的交點.所以【題型七】對數(shù)函數(shù)絕對值“積定法”【典例分析】設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D解：如圖所示，繪制函數(shù)的圖象，則點的坐標(biāo)分別為，由對稱性可得：，則：,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，據(jù)此可得：的取值范圍是本題選擇D選項.【變式演練】1.已知，是方程的兩個解，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為是方程的兩個解，即是函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與函數(shù)圖象，如圖所示，由圖象可得，即，即，又因為，所以，所以，綜上所述，故選B．2.已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0x2+2x+2,x≤0，方程f(x)-b=0A．(-∞,-2)B．[-3,-22]C．(-3,-2)D【答案】B作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象知x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，1＜b≤2，解不等式1＜log12x≤2得：14≤x3＜12，∴x32(8+x令g（t）＝-4t-12t，則g（t）為在[14，24）上單調(diào)遞增，在[2∴g（14）≤g（t）≤g（24），即-3≤g（t）≤-22．3.已知函數(shù)，（其中），若的四個零點從小到大依次為，，，，則的值是（）A．16 B．13 C．12 D．10【答案】B解：由題意可知，有四個零點等價于函數(shù)圖象與函數(shù)有四個交點，如圖所示，由圖形可知，，，，，∴，，，，即，，，，所以，，故，故選：B．【題型八】高斯函數(shù)型【典例分析】設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，已知函數(shù)，若方程有且僅有個實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由可得：，繪制函數(shù)的圖象，使得此函數(shù)與正比例函數(shù)在上恰好有個交點即可.如圖所示，點和點為臨界點，實數(shù)的取值范圍是.本題選擇C選項.【變式演練】1.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如，，，設(shè)為函數(shù)的零點，則（）.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用零點存在性定理求出，再由“高斯函數(shù)”的定義即可求解.【詳解】，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，若，則，所以.故選：B2.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，人們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，則函數(shù)的所有零點之和為（）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由題意知，當(dāng)時，，所以不是函數(shù)的零點，當(dāng)時，令，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合函數(shù)零點的定義即可求解.【詳解】由題意知，當(dāng)時，，所以不是函數(shù)的零點，當(dāng)時，可得，，令，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象可知，除點外，函數(shù)圖象其余交點關(guān)于（0，1）中心對稱，∴橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即，由函數(shù)零點的定義知，函數(shù)的所有零點之和為.故選：A3.高斯函數(shù)（表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)），若函數(shù)的零點為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的單調(diào)性，再由零點存在定理，得到零點所在范圍，然后從內(nèi)到外求函數(shù)值.【詳解】因為，所以，所以在R上是增函數(shù).而，所以，所以，所以.故選：B【題型九】與三角函數(shù)結(jié)合【典例分析】設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（）A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）【答案】A【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當(dāng)和時兩個函數(shù)零點個數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當(dāng)時，有4個零點，即；當(dāng)，有5個零點，即；當(dāng)，有6個零點，即；（2）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，無零點；當(dāng)時，，有1個零點；當(dāng)時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則應(yīng)滿足或或，則可解得a的取值范圍是.故選：A．【變式演練】1.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，若函數(shù)，在區(qū)間上有10個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得出函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱以及函數(shù)的周期為，由函數(shù)為奇函數(shù)得出，并由周期性得出，然后作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，列舉前個交點的橫坐標(biāo)，結(jié)合第個交點的橫坐標(biāo)得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】由可知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，且，所以，，所以，函數(shù)的周期為，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：，則，于是得出，，由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上從左到右個交點的橫坐標(biāo)分別為、、、、、、、、、，第個交點的橫坐標(biāo)為，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選A．2.若函數(shù)有且只有一個零點，又點在動直線上的投影為點若點，那么的最小值為__________.【答案】【分析】易知：為偶函數(shù)，若要若函數(shù)有且只有一個零點，則，解得：，根據(jù)題意，直線過定點：，則點在以線段為直徑的圓上，再根據(jù)圓外一點到圓上最短距離即可得解.【詳解】由可得為偶函數(shù)，若要若函數(shù)有且只有一個零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)有，解得：，故點直線過定點，定點：，由點在動直線上的投影為點則點在以線段為直徑的圓上，圓心為，半徑，所以.故答案為：.3.函數(shù)在上的所有零點之和等于______.【答案】8【詳解】分析：通過化簡函數(shù)表達(dá)式，畫出函數(shù)圖像，分析圖像根據(jù)各個對稱點的關(guān)系求得零點的和．詳解：零點即，所以即，畫出函數(shù)圖像如圖所示函數(shù)零點即為函數(shù)圖像的交點，由圖可知共有8個交點。圖像關(guān)于對稱，所以各個交點的橫坐標(biāo)的和為8【題型十】借助周期性【典例分析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)的取值集合是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)周期為，求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式，將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為與直線只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，，，即，的周期為.時，，，，，周期為4，，當(dāng)，當(dāng)，做出函數(shù)圖像，如下圖所示：令，當(dāng)，，，兩邊平方得，，此時直線與在函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個交點，同理，直線與在函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個交點，則要使函數(shù)在內(nèi)與直線只有一個交點，則滿足，周期為4，范圍也表示為，所以所有的取值范圍是.故選:D.【變式演練】1.定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍為．A． B．C． D．【答案】A【詳解】,當(dāng)時，,作出圖形，由圖可知直線過點時有六個交點，過點時有八個交點，過點時有六個交點，過點時有八個交點，因此要使函數(shù)有7個零點，需，選A.2.已知定義域為的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)最多時，所有零點之和為__________．【答案】14【解析】試題分析：由于定義域為的奇函數(shù)滿足，∴函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為8，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)，即為函數(shù)與的交點的個數(shù)，作出函數(shù)上的函數(shù)的圖象，顯然，當(dāng)時，交點最多，符合題意，此時，零點的和為.3.已知函數(shù)的定義域是，滿足且，若存在實數(shù)k，使函數(shù)在區(qū)間上恰好有2021個零點，則實數(shù)a的取值范圍為____【答案】【分析】方程在上恰有2021個零點，等價于存在，使在上恰有2021個交點，作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合，再根據(jù)函數(shù)周期性的應(yīng)用，使每個交點都處在之間才能取到2021個點，代入條件求得參數(shù)取值范圍.【詳解】由函數(shù)在上的解析式作出如圖所示圖像，由知，函數(shù)是以4為周期，且每個周期上下平移|a|個單位的一個函數(shù)，若使時，存在，方程在上恰有2021個零點，等價于在上恰有2021個交點，如圖所示，知在每個周期都有4個交點，即時滿足條件，且必須每個周期內(nèi)均應(yīng)使處在極大值和極小值之間，才能保證恰有2021個交點，則當(dāng)時，需使最后一個完整周期中的極小值，即，解得，即當(dāng)時，需使最后一個極大值，即，解得，即，綜上所述，故答案為：【課后練習(xí)】1.已知函數(shù)，函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“與的圖象有三個交點”，然后根據(jù)圖象分析有三個交點時的取值范圍即可.【詳解】由題意可知：與的圖象有三個交點，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，如下圖所示：當(dāng)時，若與的圖象有三個交點，需滿足，即；當(dāng)時，考慮與相切，則有，即，所以，所以，當(dāng)時，，即切點在第三象限，不符合，當(dāng)時，，符合要求，又，所以由圖象可知：若與的圖象有三個交點，需滿足，即，綜上可知，，故選：A.2.（多選題）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的值可以是（）A．0 B． C． D．1【答案】ACD【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可知方程的實根個數(shù)可能為0，1，2，3，4，而最多有2個實根，由此分類討論可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程的實根個數(shù)可能為0，1，2，3，4，當(dāng)時，方程無實根，當(dāng)時，方程有唯一實根，當(dāng)時，方程有2個實根，當(dāng)或時，方程有3個實根，當(dāng)時，方程有4個實根，∵最多有2個實根，此時，∴方程有6個不同的實數(shù)根等價于的實根至少有3個，當(dāng)時，的三個根均大于-2，符合題意；當(dāng)時，的四個根均大于，有8個不同的實數(shù)根，不合題意；當(dāng)時，此時有7個不同的實數(shù)根，不合題意；當(dāng)時，只有三個均大于的不同實根，符合題意.故的取值范圍是故選：ACD3.（多選題）關(guān)于的函數(shù)，給出下列四個命題，其中是真命題的為（）．A．存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有2個零點；B．存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有4個零點；C．存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有5個零點；D．存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有8個零點；【答案】ABCD【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與圖像的交點個數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出簡圖即可得到答案.【詳解】令，設(shè)，容易判斷函數(shù)為偶函數(shù)，現(xiàn)考慮時的情況，，時，，，則函數(shù)在單增，在單減，函數(shù)極大值為，時，，，則函數(shù)在單增，在單減，函數(shù)極大值為，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，如示意圖，而問題與圖像的交點個數(shù).，由圖可知，交點個數(shù)可以是2、4、5、8個.故選：ABCD.4.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做與實數(shù)“親密的整數(shù)”記作，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個說法：①函數(shù)在是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.其中說法正確的序號是__________.【答案】②③④【分析】由，可證，是周期為的函數(shù)，求出的解析式，做出函數(shù)圖像，利用周期性做出函數(shù)的圖像，以及函數(shù)圖像，即可判斷①②③④真假，得出結(jié)論.【詳解】，的周期為1，當(dāng)時，，，先做出函數(shù)圖像，利用周期做出圖像如下圖所示：在不具有單調(diào)性，①錯誤；函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，②正確；函數(shù)在上單調(diào)遞增，③正確；函數(shù)有多少個零點，即為有多少個解，轉(zhuǎn)化為與有多少個交點，作出函數(shù)圖象可知當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，④正確.故答案為：②③④.5.已知函數(shù)，其中，若與的圖像有兩個交點，則的取值范圍是_________【答案】【分析】為分段函數(shù)，做出和圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)得出的取值范圍．【詳解】解：，（1）若，作出和的圖象如圖，顯然與只有一個交點．（2）若，作出和的圖象如圖，顯然與只有一個交點．（3）若，作出和的圖象如圖，顯然與只有一個交點．（4）若，作出和的圖象如圖，顯然與有兩個交點．（5）若，作出和的圖象如圖，顯然與只有一個交點．綜上，的取值范圍是．故答案為：．6.對于實數(shù)和，定義運算：，設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)代數(shù)式和之間的大小關(guān)系，結(jié)合題中所給的定義，用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由可得，由可得，所以根據(jù)題意得，即，作出函數(shù)的圖象如圖，當(dāng)時，開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的圖象和直線有三個不同的交點．可得的取值范圍是，故答案為：7.設(shè)函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為_______；若，且函數(shù)有偶數(shù)個零點，則實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】1【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，將函數(shù)的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)；將函數(shù)有偶數(shù)個零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點個數(shù)為偶數(shù)個時，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】首先畫出函數(shù)的圖象，以及函數(shù)的圖象，如圖兩個函數(shù)都過點，函數(shù)只有一個零點；恒過點，的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點，如圖：當(dāng)時，，直線的斜率，，，,當(dāng)時，與有0個交點，即有0個零點；當(dāng)時，