人教版高中數(shù)學(xué)必修四過(guò)關(guān)題

2014-2015學(xué)年度數(shù)學(xué)必修四

題號(hào)一二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上

第I卷(選擇題)

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明

評(píng)卷人得分

一、選擇題(題型注釋)

1.定義在上的函數(shù)/(x)滿(mǎn)足f(x+2)=/(x)，當(dāng)xe[3,5]時(shí)

/3=2-卜-4|,貝"()

兀兀

A./(sin-)</(cos-)B./(sinl)>/(cosl)

OO

2萬(wàn)2萬(wàn)

C./(sin—)</(cos—)D./(sin2)>/(cos2)

【答案】C

【解析】

試題分析：設(shè)xe[-l,l]則x+4e[3⑸，所以

/(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|

又〃x+2)=〃尤)，所以“x)=/(x+4)=2-因其圖象如下圖所示

因?yàn)?<sinX=，<cos—=^-<1,所以/（sin&]>/fcos—\A選項(xiàng)不

6262v6Jv6J

正確.

「77r<K>/2,

因1為一<1<一,—<cos1<sinl<1,所以/（sinl）</（cosl）,B選項(xiàng)不

422

正確;

_1_

因?yàn)閟in—,cos—所以

3232

-sin0g,

因?yàn)閟in2=sin（4一2）,cos2

22

所以0<sin|2-—7T|<sin2=sin（左一2）<1,

2

/(cos2)=/一sin(2-幻=fsin^2-yjj>/(sin(^-2))=/(sin2)

所以，D選項(xiàng)不正確；

故選C

考點(diǎn)：1、函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.

2.在A(yíng)A3c中，已知tan-----=sinC,給出以下四個(gè)論斷

2

tanA

?----=11

tan8

（2）0<sinA4-sinB<72

③sin?A+cos2B=1

（4）cos2A+cos2B=sin2C

其中正確的是（）

（A）①③（B）②④（C）①④（D）②③

【答案】B

【解析】

試卷第2頁(yè)，總51頁(yè)

試題分析由

C

A+B.「,兀C、1cos，。c

-----=sinC=>tan(------)=----=---￡=2sin—cos—因?yàn)?/p>

222C.C22

tan—sin一

22

cos—W0

2

rr

1=2sin2—=>1-2sin2—=0=>cosC=0nC=90°所以

22

tanB=tan(--A)=---,則=tan2A不一定為1①錯(cuò)；又

2tanAtanB

cosB=cos(---A)=sinA,所以sin?A+cos2B=2sin2A也不一定等于1,

③錯(cuò)；而cos2A+cos?3=cos?A+sin2A=1=sin?C,④正確；因?yàn)?/p>

sinA+sin5=sinA+cosA=V2sin(A+45°),

0。<A<90。=45°<A+45。<135°

<sin(A+45°)<11<V2sin(A+45°)<V2,從而肯定有

0<sinA+sinB<V2,所以②正確；綜上可知選B.

考點(diǎn)：1.三角恒等變換；2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；3.兩角和差公式；4.

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

3.若$111.85（a一夕）+<：0$&5皿夕一。）=加且尸為鈍角,則COS尸的值為

（）

A.±J1-m2B.J1-zn2C.±yjm2-1D.—J1-zn2.

【答案】D

【解析】

試題分析：因?yàn)閟inacos（a—0+cosasin（￡—a）=〃？，所以

sinacos（a一夕）-cosasin（a邛）=m.sinp-m.因?yàn)?/p>

sin2^+cos2^=l,所以cos2/?=l-m2.因?yàn)椤隇殁g角，所以

COSB

考點(diǎn)：兩角差正弦公式，同角三角函數(shù)公式

4.設(shè)0在aABC內(nèi)部，且說(shuō)+麗+農(nóng)肥=g，則4ABC的面積與△A0C的面

積之比為（）

A.3:1

B.4:1

C.5:1

D.6:1

【答案】B

【解析】

如圖，以0A和0B為鄰邊作平行四邊形0ADB,

設(shè)0D與AB交于點(diǎn)E,則E分別是0D,AB的中點(diǎn)，

則發(fā)而4■曲。=0，所以調(diào)=

則0,E,C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以0是中線(xiàn)CE的中點(diǎn).

又ZXABC,AAEC,AA0C有公共邊AC,則

以jjg=幫=2（2%3；）=0c，故選B.

5.設(shè)兩個(gè)向量a=（入+2,入Jcos?。）和b=g"j_31n8，其中入，m,

a為實(shí)數(shù).若a=2b,則4的取值范圍是（）.

M

A.[—6,1]

B.[4,8]

C.（一8,1]

D.[―1⑹

【答案】A

【解析】由a=2b,得尸+2=2?

[#-cos1<z=M4-2sina

由Xm=cos2a+2sina=2—（sina—l）2,得

試卷第4頁(yè)，總51頁(yè)

—2《入‘一mW2,又X=2m—2,

則_2W4(m—I)?—mW2,?二(^^一9蹄+2SQ

l“-9i?+6N0

解得1WmW2,而之二加一2-22

4MWM

故—6W7W1,即選A.

m

____.二二BC............-

“IMl|祠時(shí)|2

【答案】D

【解析】

AB_AC_

試題分析：因?yàn)槭為與A8同向的單位向量，尸二(為與AC同向的單位向

網(wǎng)KI

ABAC

量,因?yàn)楸硎鞠蛄緼B,AC角平分線(xiàn)所在的向量，根據(jù)

?前=0,知向量巔,巧下角平分線(xiàn)所在的向量垂直于麗，所

ABAC1

以為等腰三角形.根據(jù)M網(wǎng)-]網(wǎng)=[=彳2，知AB,AC的夾角為60°,所以是等

邊三角形.

考點(diǎn)：向量數(shù)量積，向量單位向量.

1+cos2x

UBJvV

4sin(—+x)--

7.已知函數(shù)f(x)=2-asin2cos(n-2)的最大值為2,則常數(shù)a的值

為()

(A)715(B)-715

(C)±-\^5(D)±\/10

【答案】C

【解析】【思路點(diǎn)撥】先利用公式進(jìn)行三角恒等變形，把f(x)化成f(x)=Asin(3

x+。)的形式,再利用最大值求得a.

解：因?yàn)閒(x)=主也+Lasinx

4aosor2

彳cosx+asinx”等cos(x-4))(其中tan6=a)，所以年=2,解得a=±g.

4I?

8.在A(yíng)ABC中，sinA=—,cosB='—，則sine的值為()

513

63T33336333Tl3

A、—或一B、C、D、—或一

656565656565

【答案】A

【解析】

12

試題分析cosB=—B是銳角則

13

由sinA=3>^^,得到45。<A<135°,cosA=±—,

525

~3

A為銳角時(shí)，cosA=—,sinC=sin[Jt-(A+B)]=sin(A+B)

5

.n.4123563

=sinAcosB+cosAsinB=—X——+—X——=——；

51351365

34123533

A為鈍角時(shí),cosA=--,sinC==sinAcosB+cosAsinB=—X-X-=——.綜

551351365

上知，選A。

故選Ao

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)同角公式，兩角和的正弦。

點(diǎn)評(píng)：易錯(cuò)題，利用同角公式涉及開(kāi)方運(yùn)算時(shí)，要注意“土”的選取。

9.使函數(shù)/'(苫)=5后(2X+。)+6<：0$(2.丫+。)是奇函數(shù)，且在[0,?]上是減

函數(shù)的夕一個(gè)值是()

【答案】B

【解析】

試題分析：解答該題可利用代入檢驗(yàn)的方法。

/(x)=sin(2x+6)+V5cos(2x+6)

jr7T兀

2sin(2x+6+1),因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù),所以6+—=左心8二左萬(wàn)一一,kez,

33

試卷第6頁(yè)，總51頁(yè)

正確答案只能在B,D中，將三代入函數(shù)式，得/(x)=-2sin2x,其在[0,(]

上是減函數(shù)，故選B。

考點(diǎn)：奇函數(shù)的概念，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)“輔助角公式”，正弦函

數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，往往要利用三角公式先行“化一本題

解答中，沒(méi)有利用奇函數(shù)的定義，而是根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行

了探討，更為簡(jiǎn)便。

TT47T

10.已知sin(a+—)=—，貝Ucos(a——)-()

【答案】C

【解析】

TT4

試題分析：因?yàn)閟in(a+；)=；,所以

/兀、*rz兀、兀、./兀、4,.

cos(a—)=sin[(a—)H—]—sin(aH—)=一，故選Co

66235

考點(diǎn)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式。

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，在三角函數(shù)求值問(wèn)題中，應(yīng)優(yōu)先考慮“變角”，通過(guò)研究角之

間的關(guān)系，尋求解題途徑。

4

11.若sin(a-0sinP-cos(a-，)cosP=1，且a為第二象限角，則

tan(—+a)=()

A、7B、-C、-7D、

77

【答案】B

【解析】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值.

?C?cC4

由sin(a-0)sin(3—cos(6Z-(3)cos0=一得

4

cos(a-p)cosp-sin(a-p)sinp=-^

44

所以cos(a—夕+夕)=一5,即cosa=—5；因?yàn)閍為第二象限角，所以

sina=g3

則tana=-g。

4

it.3

tan——I-tana1——.

由兩角和的正切公式有tan(-+a)=——生4--------=一|=-

1—tan色tana1+一‘

44

故正確答案為B

12.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也為2,則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是

()

2

A^------B、2sinlC、2D、sin2

sinl

【答案】A

【解析】本題考查弧長(zhǎng)公式/=ar,其中a為.圓弧所對(duì)的中心角的弧度數(shù)，r

為圓弧的半徑.

如圖示，ZAOB=2,AB=2.過(guò)點(diǎn)。作OC_LAB于點(diǎn)C,則垂徑定理得

AC=^AB=1,NA0C=4N408=l.在即AAOC中，AC=1,N4OC=1,貝I

0A=埠工

sin1sin1

所以占以二三

sinl

故正確答案為A.

13.在A(yíng)ABC中，AB=5,BC=2,N8=6(X,則A88C的值為()

A、5>/3B、5C、-5A/3D、-5

【答案】D

【解析】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算.

兩個(gè)向量a,B的數(shù)量積的定義a?B=|cos<a,B>

如圖示，A48c中，|而|=5,|阮|=2；

又NB=60",則<而，而>=180°-NB=120°

試卷第8頁(yè)，總51頁(yè)

AB-BC=|AB\-\BC\cos<AB,BC>=5x2xcosl20°=-5

則AB-AC=-5

故正確答案為D

B^L

評(píng)注：向量而，死的夾角〈而，脛〉并不是B,而是8的補(bǔ)角.

14.已知P是ZVLBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，PB+PC+2PA=0,現(xiàn)將一粒紅豆

隨機(jī)撒在A(yíng)48C內(nèi)，則紅豆落在A(yíng)P8C內(nèi)的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4332

【答案】D

【解析】

試題分析：因?yàn)榉?定+2西=0,P點(diǎn)為A46C的邊上中線(xiàn)的中點(diǎn)，

故S08c=工SMBC，現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在A(yíng)ABC內(nèi)，則紅豆落在bPBC內(nèi)的

q1

概率是p=±w=+，故選D.

SA4M2

考點(diǎn)：幾何概型的概率運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，

—>—,—>—>

15.已知向量a=（V3,l）,向量b=（sina-m,cosaGR,且a〃〃，則機(jī)

的最小值為為（）

A、2B、6C、-2D、-V3

【答案】C

【解析】

試題分析：因?yàn)橄蛄俊?（百,1）,向量〃=（sina-m,cosa）,awR,且?！?/p>

7sina-mcosnf仄仁?,乃、廿日

h,所以尸——=,En|rJlm=sina-<3cosa=2sm（a）,其取

V313，

小值為一2,故選C。

考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行的條件，三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)

的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：小綜合題，本題綜合考查平面向量、三角函數(shù)、三角恒等變換等重要知

識(shí)內(nèi)容，難得的小題。兩向量平行，則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例（坐標(biāo)不為0）.

16.在A(yíng)ABC中，sinAsin8<cosAcos6,則△ABC一定是（）

A、正三角形B、等腰三角形C、銳角三角形D、鈍角三角形

【答案】D

【解析】

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷.

分析：把已知不等式左邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式變形，得到cos（A+B）

的值小于0,由A和B三角形的內(nèi)角，得到A+B的范圍，進(jìn)而得到A+B為銳角，

再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得C必須為鈍角，故此三角形為鈍角三角形.

解:VcosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）>0,且A和B為三角形的內(nèi)角，

A0<A+B<90°,又A+B+C=180°,

則C為鈍角，即三角形一定是鈍角三角形.

故答案為：D

17.如圖，半圓的直徑AB=4,。為圓心，。為半圓上不同于A(yíng)、B的任意

一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（方+方）玩的最小值等于

A.2B.一2C.—1D.0

A0BI

【答案】B

【解析】

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

分析：根據(jù)。為AB的中點(diǎn)，我們易得（而+而）西=-2|FOI-IPC\,

又由OPC三點(diǎn)共線(xiàn)，故|所|+|正|=|反1=2為定值，根據(jù)基本不等式,

我們易得（蘇+方）玩的最小值.

解答：解：因?yàn)?為圓的中點(diǎn)，

試卷第10頁(yè)，總51頁(yè)

所以西+而=2麗，

從而則（再+而）屈=-2|F0|?|'PC；

XIP0\+\PC1=1OC1=2為定值,

所以當(dāng)且僅當(dāng)IP0=|PC1=1,

即P為OCy中點(diǎn)時(shí)，

（PA+PB）2PC取得最小值是-2,

故選B.

18.函數(shù)y=sin］的周期是

兀

A.—B.7tC.17CD.4%

2

【答案】D

【解析】

考點(diǎn)：三角函數(shù)周期計(jì)算

2萬(wàn)

由正弦函數(shù)最小正周期計(jì)算公式可知所求函數(shù)周期為

\(o\

T=-j—=4〃.

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查三角函數(shù)周期，直接套公式，屬基礎(chǔ)題.

19.在A(yíng)48C中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且次=?乙4+?而，Q是BC中點(diǎn),

33

AQ與

CP交點(diǎn)為M,又ar=t而,則，的值為()

,1c2C43

A.-B.-C.一

2354

【答案】D

【解析】先根據(jù)向量關(guān)系而二金杳+:而得即P是AB的一個(gè)而=,靠

333

三等分點(diǎn)，利用平面幾何知識(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作PC的平行線(xiàn)交AB于D,利用三角形

的中位線(xiàn)定理得到PC=4PM,

結(jié)合向量條件即可求得t值.

解：?.?麗=2誣+!在

33

——■1--1—

，CP-CA=——TCA+—CB

33

—1—

，AP=-AB即P是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，

3

過(guò)點(diǎn)Q作PC的平行線(xiàn)交AB于D,

：Q是BC中點(diǎn)，...QDMLPC,且D是PB的中點(diǎn)，

2

從而QD=2PM,

；.PC=4PM,

3—

；.CM=—CP,

4

又CM=tCP,則t=2

4

故選D.

20.直線(xiàn)y=a（a為常數(shù)）與正切曲線(xiàn)y=tan3x（3是常數(shù)且3>0）相交，則相鄰兩

交點(diǎn)間的距離是（）

A.nB.—C.-D.與a的值有關(guān)

CD（O

【答案】C

【解析】

考點(diǎn)：正切函數(shù)的周期性.

分析：直線(xiàn)y=a與正切曲線(xiàn)y=tan3x兩相鄰交點(diǎn)間的距離，便是此正切曲線(xiàn)

的一個(gè)最小正周期.

解：因?yàn)橹本€(xiàn)y=a（a為常數(shù)）與正切曲線(xiàn)y=tan<ox相交的相鄰兩點(diǎn)間的距離

就是正切函數(shù)的周期，

因?yàn)閥=tan3x的周期是石，所以直線(xiàn)y=a（a為常數(shù)）與正切曲線(xiàn)y=tan3x

CD

冗

相交的相鄰兩點(diǎn)間的距離是一?

CD

故答案為：C.

試卷第12頁(yè)，總51頁(yè)

r*nqy

21.函數(shù)y=單調(diào)遞增區(qū)間為

1-sinx

()

y/j)1)

(A)(左左一：，％〃+：)(%€Z)(B)(2k兀一彳,2k兀+?(keZ)

3〃兀兀

(C)Qk兀一半，2k兀一拳(ksZ)(D)Qk兀一號(hào)，2k兀+3(kGZ)

【答案】D

【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系、三角函數(shù)等知識(shí)。

-sinx(l-sinx)+cosxcosxF涔令—得

(1-sinx)2

377TT

sinx<l,故xe(2%萬(wàn)—萬(wàn)義左乃+萬(wàn)乂人6%),考慮到/(x)的定義域，故

選D

22.若把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向左平移5個(gè)單位,然后再把圖象上每個(gè)

點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)保持不變)，得到函數(shù)y=sinx的圖象,

則>=/(x)的解析式為()

A.y=sinlx---B.y=sin2x--C.y=sin—xd—

I4I2^(24

.(1

D.y=sin—x+—

(22)

【答案】B

【解析】本題考查函數(shù)圖像變換法則.

根據(jù)題意可知：將函數(shù)y=sinx的.圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

17T

—(縱坐標(biāo)保持不變)，然后再把圖象沿X軸向左平移上個(gè)單位，得到函數(shù)

24

y=/(x)的圖象；

函數(shù)y=sinx的.圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的工(縱坐標(biāo)保持不變)，

2

7T

得函數(shù)y=sin2x,再把函數(shù)y=sin2x,圖象沿x軸向左平移點(diǎn)個(gè)單位，得函

數(shù)

y=sin2(x-?)=sin(2x-9,則f(x)=sin(2x-9.故選B

試卷第14頁(yè)，總51頁(yè)

第II卷（非選擇題）

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明

評(píng)卷人得分

二、填空題（題型注釋?zhuān)?/p>

23.AABC中，角A、B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,下列命題正確的是

（寫(xiě)出正確命題的編號(hào)）.

①若A48。最小內(nèi)角為a,則cosaN!；

2

②若AsinB>BsinA,則

③存在某鈍角A4BC,有tanA+tan8+tanC>0；

”?------―—―JT

④若2aBe+bCA+cAB=0,則\ABC的最小角小于-；

6

⑤若a<也（0</?1）,則A〈也.

【答案】①④⑤

JT1

【解析】對(duì)①，因?yàn)锳ABC最小內(nèi)角為a,所以0<a<一,cosiZ>-,

32

故正確；對(duì)②，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=?吐，求導(dǎo)得，F(xiàn)'(x)=XC0SX7SmX>

XX

冗sinx.

當(dāng)xe(O,—)時(shí)，tanx>x,即*2-3*B---->x,則xcosx-sinx<0,所以

2cosx

、xcosx-sinx?.sinx./△%、，乂、―-

F(x)=--------z-------<0,即/(x)=------在無(wú)e(0,一)上單臧，由

xx2

②A(yíng)sin8>3sinA得吧片〉迫3,即F(8)>/(A),所以B<A,

BA

故②不正確；對(duì)③，因?yàn)?2114+12!18+1211。=12114121181211(7,則在

鈍角A43C中，不妨設(shè)A為鈍角，有tanA<0,tan8>0,tanC>0,故

tanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC<0

③不正確；對(duì)④，由

2aBe+bCA+cAB=2aBC+bCA4-c(AC+CB)

=(2a-c)BC+(b-c)CA

=6,即(2a-c)BC=(c-Z?)C4,而B(niǎo)C,CA不共線(xiàn)，則

2a-c=0,b-c=Q,解得c=2a,b=2a,則a是最小的邊，故A是最小

lj2,2_2

4/+4。2_。27V3

的角，根據(jù)余弦定理cosA=--------------------------——>----

2bc2-2a-2a82

jr

知A<k，故④正確；對(duì)⑤，由a<%(0</工1)得a<活<〃，所以A<8,

sinBsinAAsinA_

由②知，-----<------,即一<------,又根據(jù)正弦定理知sinAcrsinB,

BABsinB

,sinAb,,A

即ar-----<t,所以—<t,即A<也.故①④⑤正確.

sinBB

【考點(diǎn)定位】本題考查三角函數(shù)與解三角形、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式

的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生綜合解題能力.

已知函數(shù)/(x)=j———1Y—--i]

24.則函數(shù)f(x)的最小值

[sinx八cosx)

為.

【答案】9

【解析】

試題分析由

.(1.V1八(l-sin2x)(l+sin2x)(1-cos2x)(l+cos2x)

r高丁嬴丁=-------記----------------嬴五-------

cos2x(l+sin2x)sin2x(l+cos2x)1+cos2x+sin2x+sin2.rcos2x2

,44?221+-22

sinxCOSXsinxcosxsinxcosx

=1H-----------------7=1H----;——

(2sinxcosx)sirr2x

由正弦函數(shù)的圖像與8性質(zhì)可8知—l《sin2x《l且sin2x^0,所以

>=8

0<sin~2x<1,所以22-1-

sinX

試卷第16頁(yè)，總51頁(yè)

TT

所以/(x)>l+8=9(當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=±l即2x=：+Qr即

光=工+"keZ時(shí)等號(hào)成立).

42

考點(diǎn)：1.三角恒等變換；2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；3.三角函數(shù)的圖像與

性質(zhì).

25.若sin3e—cos382cose-sine,且ee[0,2〃)，則角6的取值范圍

是.

【答案】[%,網(wǎng)]

44

【解析】

試題分析：由立方差公式

sin30-cos30=(sin0-cos。乂sin?。+sin0cos0+cos26),原不等式可化

為(sin6-cos6)[1+；sin26J2cos6-sin6；當(dāng)sin6-cos6=0即x=?

或苦時(shí)，不等式(sine-cose)[l+；sin2e12cose—sin。恒成立；當(dāng)

sin。一cos6>0即時(shí)，不等式可化為11+；5皿26)2—1即

sin2^>-4,此不等式恒成立；當(dāng)sin6-cose<0時(shí)，原不等式可化為

(l+gsin2ej〈—l即sin29W-4,該不等式不可能成立；綜上可知

44

考點(diǎn)：1.三角恒等變換；2.三角函數(shù)的值域.

26.如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓。的半徑為1,圓

心在線(xiàn)段CD(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，P是圓。上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量

AP=+為實(shí)數(shù))，則m+〃的最大值為.

【答案】5

【解析】

試題分析：我們知道當(dāng)點(diǎn)P'在直線(xiàn)8尸上時(shí)，若而=加而+〃而，則

m+n=\,因此我們把直線(xiàn)8尸向上平移，則m+〃在增大（只要點(diǎn)P'在與

BE平行的同一條直線(xiàn)上，m+〃就不變，也即機(jī)+〃的值隨直線(xiàn)到點(diǎn)A的距

離的變化而變化），當(dāng)。與。重合，這時(shí)圓Q上有一點(diǎn)到A的距離最大為5,

而點(diǎn)A到直線(xiàn)B尸的距離為1,故〃2+〃最大值為5.

考點(diǎn)：向量的線(xiàn)性表示，三點(diǎn)共線(xiàn)的性質(zhì).

sina

27.已知A1,————........21且?08=0,

sin(a+2￡).、sin(a-26)

sin￡W0

sina一女cos￡=0,貝U%=.

【答案】土金

【解析】

、力舊八工l」4+sina個(gè)sina八

試題分析：由己知有-----------2+-------------=0,R即n

sin(a-2/?)sm(a+2/?)

211

，

-s-i-n--a-=--s-i-n--(--a---2-〃--)----s--i-n-(-a---+--2-，)

故2sin(a-2/?)-sin(a4-2/?)=[sin(a-2尸)+sin(a+2/?)]sina,

即2sin(a-2/?)sin(a+20=2sin2a,cos24,

cos4』-cos2a=2sin2a?cos2/

cos22^-cos2a=sin2acos2^=sin2a-2sin2^sin2a，即

試卷第18頁(yè)，總51頁(yè)

sin22/3=2sin27??sin2a,

因?yàn)閟in/wO,所以有2cos?￡=sin?a,于是攵=包2=±丁5

cos0

考點(diǎn)：1向量的數(shù)量積；2兩角和差公式。

28.如圖，在直角梯形ABCD中,AB//CD,AB=2,AD=DC=1,P是線(xiàn)段BC上一

動(dòng)點(diǎn)，Q是線(xiàn)段DC上一動(dòng)點(diǎn)，DQ=ADC,CP=(1-A)CB,則無(wú)R通的

取值范圍是.

【答案】[0,2]

【解析】

試題分析：解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則

A(0,0),B(2,0),C(1,1),0(0,1)

因?yàn)樵?2前，而=(1一4)赤，所以

所以，麗=(2—47),而=01)

______(3V9

APAQ=(41).(2-42)=-力+3/1=-A一+-,(O<A<1)

\2/4

所以，04萬(wàn)?而W2

故答案應(yīng)填[0,2].

考點(diǎn)：1、平面向量基本定理；2、向量的坐標(biāo)表示；3、向量的數(shù)量積；4、-

元二次函數(shù)的最值.

29.如圖A46C是直角邊等于4的等腰直角三角形，。是斜邊的中點(diǎn)，

AM=1AB+m-AC,向量函7的終點(diǎn)M在A(yíng)4CD的內(nèi)部(不含邊界)，

4

則實(shí)數(shù)初的取值范圍是.

13

【答案】<m<

44

【解析】

AF=-AB,

試題分析：設(shè)4過(guò)點(diǎn)F作FE平行AC于E點(diǎn)，交AD于N點(diǎn)，則

31

EF=-AC,NF=-AC

44,由向量加法的幾何意義知，點(diǎn)M必在線(xiàn)段EN上(不含

1313

m=—m=——Vm<一

端點(diǎn)).又4時(shí)，M=N,4時(shí)，M=E,所以44.

考點(diǎn)：向量加法的幾何意義

30.給出如下五個(gè)結(jié)論：

1

①存在aG(0,"),使sina+cosa=3；

2

②存在區(qū)間(a,b),使y=cosx為減函數(shù)而sinx<0;

③y二tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；

④y二cos2x+sin((-x)既有最大值和最小值,又是偶函數(shù)；

⑤y二sin|2x+一|的最小正周期為冗.

￡

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】④

【解析】①中aG(0,口時(shí)，如圖，由三角函數(shù)線(xiàn)知OM+MP>1,得sina+cosa>1,

Q

試卷第20頁(yè)，總51頁(yè)

故①錯(cuò).

②由y=cosx的減區(qū)間為(2kn,2k"+")(keZ),故sinx>0,因而②錯(cuò).

③正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是(k災(zāi)-三k"+[)，kGZ.

故y=tanx在定義域內(nèi)不單調(diào)，故③錯(cuò).

(4)y=cos2x+sin(--x)=cos2x+cosx

2

=2COS2X+COSX-1=2(COSX+-)2--.

Ymax=2,Ymin=

a

故函數(shù)既有最大值和最小值，又是偶函數(shù),故④正確.

⑤結(jié)合圖象可知y=sin|2x+E|不是周期函數(shù),故⑤錯(cuò).

6

31.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量日和6，定義2*/=言，若平面向量33

滿(mǎn)足：,卜慟＞0,。與B的夾角(0,；),且。*B和都在集合

n_.

<xx=—,neZ>中，則a*l=

2

3

【答案】一

2

【解析】

——ci,h。k.一一bk

試題分析：設(shè)。*6=J==cosO=",則。*a==cos6=2,兩式相

~2

bbb2a

乘，可得cos?e=&k；因?yàn)閑e(0,j),所以勺、&都是正整數(shù)，于是

4

2＜砧＜34,所以g1而用用〉。，所以

24,即

叫于是T

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積、新定義問(wèn)題.

32.△48。中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，向量力=(2sin氏2—cos25,

〃=(2s療(?+弓)，-1

,mln,/B=

【答案】或"7幾

66

【解析】由勿_L〃，得勿?〃=(),所以4sinB*sin2(—+—)+cos26—2=0,

42

[兀

所以2sinB1-cos—+8+cos26—2=0,

[2

即2sin5+2sin25+l-2sin25-2=0,

1715

也即sin〃=一,又因?yàn)?〈水冗，所以5=—或一冗.

266

33.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量。4、迎、05,其中以與啊的夾角為120°,

與國(guó)的夾角為30。，KIQi|=CSI=2,OQ=,若國(guó)=人

QX+口福(入、MGR),則A+U的值為.

【答案】/l+〃=6.

【解析】

試題分析：由已知根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得礪?礪=-2,OAOC^n,

OBOC=0,為了求4〃，我們把已知條件反=/1次+〃而兩邊分別乘

一"，——2，-1■—

OCOA=WA+uOBOA

OA,OB,得______________即

OCOB=AOA-OB+uOB

4"2"12

所以4+〃=6.

—2A+4//=0

試卷第22頁(yè)，總51頁(yè)

考點(diǎn)：平面向量基本定理，向量的數(shù)量積.

34.設(shè)a,A,c是單位向量，且a+^=c,則。區(qū)的值為.

【答案】-

2

―?22-*2|

【解析】a+b=cob=c—aob=c—2ac+a=a,c=—。

2

35.給出以下四個(gè)命題：

①若cosacos/?=1,則sin(a+/)=0；

TT

②己知直線(xiàn)％=相與函數(shù)/(x)=sin無(wú),g(尤)=sin(,-x)的圖像分別交于點(diǎn)

M,N,則|MN|的最大值為V2；

③若數(shù)列4=〃2+2〃(〃6"+)為單調(diào)遞增數(shù)列，則％取值范圍是/!<—2；

3

④已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)an=—^―,其前n項(xiàng)和為5“，則使S“>0的〃的

2〃一11

最小值為12.

其中正確命題的序號(hào)為.

【答案】①②

【解析】

c\cos?=1?fcosa=-\..門(mén)

①vcosacosp=1,/J或〈=>sina=sinp=0

cosp=1[cosp=-l

/.sin(a+夕)=sinacos/+cosasin/?=0,故①正確；

②MN|=|sinx—sin(]—x)|=|sinx-cosx|=V2|sin(x-[)|

故②正確；

③a“+]-a“=2"+1+2>0恒成立=>4>-(2/?+l)max=-3，故③不正確；

④當(dāng)“26時(shí)，an>0,當(dāng)時(shí)，an<0,由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知：

a]+ai0=a2+ag=---=a5+a6=0,/.510=0,Sn>0,故不正確.

評(píng)卷人得分

三、解答題（題型注釋?zhuān)?/p>

36.己知函數(shù)/（幻=65淪（儂+。）+25淪2美辿一1（0>0,0<°<%）為

奇函數(shù)，且相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為生TT.

2

（1）當(dāng)xejg,?）時(shí)，求/"）的單調(diào)遞減區(qū)間；

TT

（2）將函數(shù)y=/（x）的圖象沿x軸方向向右平移上個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)

6

ITT7T

縮短到原來(lái)的上（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象.當(dāng)xe

2126_

時(shí)，求函數(shù)g（x）的值域.

【答案】（1）---,；（2）[―2,-\/3]

[24」

【解析】

試題分析：（1）先用余弦二倍角公式將其降基，再用兩角和差公式的逆用即化

一公式將其化簡(jiǎn)為/（x）=2sin（a>+9-工），兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為半個(gè)

6

周期，從而可得。的值，由函數(shù)為奇函數(shù)可求9的值。根據(jù)xe（-',（）求

整體角的范圍。再此范圍內(nèi)將整體角代入正弦的單調(diào)減區(qū)，解得x的范圍，即

為所求。（2）先將x用x-2替換，再將x用2x替換即可得函數(shù)），=g（x）。

6

根據(jù)x的范圍得整體角的范圍，結(jié)合函數(shù)圖像求函數(shù)的值域。

（1）由題知f（x）=VJsin（姐+0）-cos（姐+。）=2sin（art+^---）,

6

TT27r7t

??,相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸的距離為一，??.T=—=—x2=〃,0=2,3

2co2

分

jrn

又二/（X）為奇函數(shù)，，?！?萬(wàn),。=一+攵%,（攵WZ）,

66

兀

0<（/）<兀,：.（!）=—,即/（x）=2sin（2x）,5

6

分