高一數學必修第二冊 解答題專項訓練（解析版）

2020—2021學年度第二學期

高一數學必修第二冊解答題專項訓練

題組A

1.已知復數z=—"L0+—2"-15），（i是虛數單位）

（1）復數z是實數，求實數機的值；

（2）復數z是虛數，求實數加的取值范圍；

（3）復數z是純虛數，求實數加的值.

【答案】（1）m=5；（2）加且加w—3；（3）加=3或2.

/T?2—2m-]5—0

【解析】（1）復數z是實數，則—，解得機=5；

“2+3/0

加2—2m—[5w0

（2）復數z是虛數，則，解得加。5且機w-3；

m^-3

m1-m—6=0

（3）復數是純虛數，則,解得加=3或2.

m2—2m—15w0

2.設加，〃是兩個單位向量夾角為60。，若a=2m+n,b=-3m+In,

（1）求〃石;

⑵求。;

（3）求2與B夾角；

（4）求B在0的投影向量.

【答案】（1）;（2）不；（3）—；（4）.

【分析】

由已知得"="=1,加?幾=W"cos600=；.

（1）a?1=（2zn+（卜3/+2〃）展開可得答案;

（2）忖=12m+“二J（2m+n）再展開可得答案;.

（3）|S|=|-3m+2n|=^-3m+2nj展開可得答案;

(4)由(3)得，B在々的投影為Wcos(￡.B)可得答案.

【解析】

由已知得同=問=1,m-n=m-ncos600

2

（1）a-b=（2加+〃乂-3加+2"）=-6（加）+2（〃）+m?幾

=-6「+2c+l一xlx一1二——7.

_7

4^=二2L因為兩個向量的夾角的范圍在［0,句,

3-HV7xV72

QTT

所以［與B夾角為

(4)由(3)得，人在。的投影向量為??

3.在△ABC中，角A,民C所對的邊分別為a,A,c.已知a=2后,b=5,c=屈.

(1)求角C的大??；

(2)求sinA的值；

(3)求sin(2A+：)的值.

【答案】(1)C=-.(2)其叵.(3)U亞.

41326

【解析】(1)解：在人45。中，由余弦定理及。=2應力=5,c=屈，有

cosC=a”---=.又因為Ce(0,7t),所以C='.

lab24

(2)解：在AABC中，由正弦定理及C=；q=2應,c=,可得

4

.“asinC2岳

sinA=--------=--------.

c13

(3)解：由〃<c及sinA=^叵，可得cosA=J1-sir?A=,進而

1313

[25

sin2A=2sinAcos=-—,cos2/1=2cos2A-l=一.所以，

1313

.兀).c”71c…兀12應5017A/2

sin2A+—=sinzAcos一■Fcos2Asin—=—x-----1x=--------.

I4)4413213226

4.為了解某市家庭用電量的情況，該市統計局調查了100戶居民去年一年的

月均用電量，發(fā)現他們的用電量都在50kW?h至350kW?h之間，進行適當分

組后，畫出頻率分布直方圖如圖所示.

(I)求a的值；

(II)求被調查用戶中，用電量大于250kW-h的戶數；

(III)為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計

劃采用階梯定價，希望使80%的居民繳費在第一檔(費用最低)，請給出第一檔

用電標準(單位：kW-h)的建議，并簡要說明理由.

【答案】(I)0.006；(II)18；(III)245.5kW?h.

【解析】(1)因為(0.0024+0.0036+。+0.0044+0.0024+0.0012)x50=1,所以

a=0.006；

(2)根據頻率分布直方圖可知：“用電量大于250kW?h”的頻率為

(0.0024+0.0012)x50=0.18,

所以用電量大于250kW?h的戶數為：100x0.18=18,

故用電量大于250kW?h有18戶；

(3)因為前三組的頻率和為：(0.0024+0.0036+0.006)x50=0.6<0.8,

前四組的頻率之和為(0.0024+0.0036+0.006+0.0044)x50=0.82>0.8,

所以頻率為0.8時對應的數據在第四組，

所以第一檔用電標準為：200+W*5035.5kW?h.

故第一檔用電標準為245.5kW-h.

5.某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了100人就該

城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度

評分值(百分制)按照［50,60),［60,70),…,［90,100］分成5組，制成如圖所示頻

率分直方圖.

(1)求圖中x的值；

(2)求這組數據的平均數和中位數；

(3)已知滿意度評分值在［50,60)內的男生數與女生數的比為3：2,若在滿意

度評分值為［50,60)的人中隨機抽取2人進行座談，求2人均為男生的概率.

【答案】⑴x=0.02；(2)平均數為77,中位數設為孚(3)

【解析】(1)由(0.005+0.01+0.035+0.030+x)x10=1,解得了=0.02.

(2)這組數據的平均數為55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77.

中位數設為加，則0.05+0.2+（加—70）x0.035=0.5,解得加=寧.

（3）滿意度評分值在［50,60）內有100x0.005x10=5人，其中男生3人，女生2

人.記為人4,4,4,82,

記“滿意度評分值為［50,60）的人中隨機抽取2人進行座談，恰有1名女生”為

事件A,

從5人中抽取2人有：4人,44，4與，AB2，44，4用，為與，

，AB,

32BXB2

所以總基本事件個數為10個，A包含的基本事件個數為3個，

所以外㈤二元.

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，R4_L平面2靦，底部ZA力為菱形，E為CD

的中點.

（I）求證：物，平面PAC；

（II）若N加俏60°,求證：平面24AL平面孫氏

（III）棱陽上是否存在點凡使得少〃平面用或說明理由.

【答案】（I）見解析（2）見解析（3）存在，且為中點

【解析】（I）證明：因為以，平面ABC。，所以以，；

因為底面ABCD是菱形，所以ACL5D；

因為PAnAC=A,PAACu平面PAC,

所以3D，平面PAC.

（II）證明：因為底面4BCD是菱形且NABC=60。，所以AACD為正三角形,

所以AEJ_CE),

因為A6//CD,所以AE，AB；

因為24,平面ABC。，AEu平面ABC。，

所以AE，A4;

因為B4nAB=A

所以AEL平面A43,

AEu平面Q4E,所以平面P45，平面Q4E.

(Ill)存在點歹為M中點時，滿足CF〃平面Q4E;理由如下:

分別取PB,PA的中點”G,連接CF,FGEG,

在三角形R4B中，FG//AB且FG=；A3；

在菱形ABC。中，E為CD中點，所以CE//A5且CE=g43,所以CE//FG且

CE=FG,即四邊形CEGF為平行四邊形，所以CFHEG；

又CF<Z平面￡Gu平面Q4E,所以CT7〃平面Q4E.

題組B

1.已知復數Z=2T,Q?為虛數單位).

(1)求復數z的模目；

(2)求復數z的共朝復數；

(3)若z是關于x的方程必一7nx+5=0一個虛根，求實數R的值.

【答案】（1）5（2）z=2+z;（3）777=4.

【分析】

(1)直接根據模長的定義求解即可；

(2)實部相等，虛部相反即可；

(3)推導出(2—『)2—(2—。m+5=0,由此能求出實數R的值.

【解析】(1)因為復數z=2—i；

故|z|=J2?+(-1)2=#)；

(2)z=2+i;

(3)...2是關于X的方程d-7nx+5=0一個虛根，

ft(2-z)2-m(2-z)+5=0^(8-2m)+(m-4)z=0；

因為以為實數，所以m=4.

【點睛】本題考查了復數的運算法則、復數的模長、共振復數的定義、復數方

程的根，考查了計算能力，屬于基礎題.

2.已知a,4c是同一平面內的三個向量，其中。=(1,2).

⑴若|c|=26,且c//a,求c的坐標；

(2)若網=手，且魂+26與2.-5垂直，求a與。的夾角0.

【答案】⑴c=(2,4)或c=(-2,T)-

【解析】⑴設c=(x,y).

由c//a和|c|=2拓，可得廣一T°解得廠=：或廣;

，+;/=20[y=4[y=~4

故c=(2,4)或c=(-2,Y).

(2)?.?(a+2Z()±(2a-Z>),

.■.(a+2Z>)-(2a-Z>)=0,即2a2+3ab-2b2=0,

2x5+3a-Z>-2x—=0,整理得,

42

八ab1

COSu=-------=-I?

\a\\b\

又(9e[O,7i],，，=兀.

3.已知a*,c分別為A4BC內角4氏。的對邊,且滿足62+02-合=1A,

sinC=2sinB.

(1)求cosA;

(2)若△ABC的周長為6+J百，求AABC的面積.

【答案】⑴高⑵軍.

【解析】(I)因為62+02一儲=3歷,

8

b2+c2-/5

所以cosA=

2bc16

(2)因為sinC=2sinB,所以c=2Z?.

由余弦定理得"=b2+c2-2bccosA=—b2,則a=^^-b.

42

因為AABC的周長為6+A，所以％+走6=6+爐，解得6=2

2

所以△ABC的面積為:xbxZbxJljA[

4.某城市100戶居民的月平均用水量(單位：噸)，以[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)

[8,10)[10,12)口2,14)分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中X的值；并估計出月平均用水量的眾數.

(2)求月平均用水量的中位數及平均數；

(3)在月平均用水量為叵8),[8,10),[10,12),[12,14)的四組用戶中,用分層

抽樣的方法抽取22戶居民，則應在口0,12)這一組的用戶中抽取多少戶？

(4)在第(3)問抽取的樣本中，從口0/2)口2,14)這兩組中再隨機抽取2戶，

深入調查，則所抽取的兩戶不是來自同一個組的概率是多少？

2

【答案】(1)產0.075,7；(2)6.4,5.36；(3)2；(4)y.

【解析】(1)根據頻率和為1,得2義

(0.02+0.095+0.11+0.125+JT+O.05+0.025)=1,

解得尸0.075；由圖可知，最高矩形的數據組為[6,8),所以眾數為

|(6+8)=7；

(2)[2,6)內的頻率之和為

(0.02+0.095+0.11)X2=0.45；

設中位數為y,則0.45+(y-6)X0.125=0.5,

解得尸6.4,...中位數為6.4；

平均數為2(1x0.02+3x0.095+5x0.11+7x0.125+9x0.075+11x0.025)=5.36

⑶月平均用電量為口0,12)的用戶在四組用戶中所占的比例為

__________005__________工

0.125+0.075+0.05+0.025-115

2

，月平均用電量在口0/2)的用戶中應抽取11乂兀=2(戶).

(4)月平均用電量在口2,14)的用戶中應抽取nxi=l(戶)，

月平均用電量在口0,12)的用戶設為/、B,月平均用電量在口2,14)的用戶設為

C,

從口0,12),[12,14)這兩組中隨機抽取2戶共有AB,AC,BC,3種情況,

其中，抽取的兩戶不是來自同一個組的有，ACIC,2種情況，

2

所以，抽取的兩戶不是來自同一個組的概率為1.

5.若5張獎券中有2張是中獎的，先由甲抽1張，然后由乙抽1張，求：

(1)甲中獎的概率夕(2);

(2)甲、乙都中獎的概率尸(③；

⑶只有乙中獎的概率p(。；

⑷乙中獎的概率P(力.

9132

【答案】(1)夕儲)=3(2)P(^)=—(3)P(0=—(4)P(2?)="

510105

【解析】將5張獎券編號為1,2,3,4,5,其中4,5為中獎獎券，用(x,y)

表示甲抽到號碼x,乙抽到號碼片則可能的結果為(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,

5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

共20種.

⑴甲中獎包含8個樣本點，??.尸(4=4=：.

21

(2)甲、乙都中獎包含2個樣本點，???2(而=垢=訶.

63

(3)只有乙中獎包含6個樣本點，:?尸(。=—=—

⑷乙中獎包含8個樣本點，：.P(D)=^7=|

LaU0

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面幽切為平行四邊形，△尸C￡>為等邊三角形,

平面ft4C_L平面四匕PA_LCD,CD=2,AD=3.

(1)設G,〃分別為陽,47的中點，求證：GH〃平面必D;

(2)求證：B4_L平面尸如；

(3)求直線2〃與平面山。所成角的正弦值.

【答案】(1)(2)見解析(3)3.

3

【解析】(1)如圖，連接龍，易知ACcBD=H,BH=DH.

又BG=PG,歆GH//PD.

又GH<z平面PAD,P￡>u平面PAD,所以GHH平面PAD.

(2)如圖，取棱陽的中點凡連接隴

依題意，得DN_LPC.

又平面R4C_L平面70,平面上4Cc平面尸CD=PC,

所以DN_L平面PAC.

又平面為。，故DN1PA.

又R4_LCD,CDcDN=D,所以R4_L平面尸6"

(3)如圖，連接4V

由(2)中區(qū),平面為乙可知/Q4N為直線49與平面44。所成的角.

因為/CZ)為等邊三角形，CD=2且N為％的中點，

所以DN=6

又DN工AN，在心AND中，DN

sinZDAN=

AD-V

3

題組c

1.實數R分別取什么數值時？復數z=^m2+5m+6j+^m2—2根一15)i

⑴與復數2-12i相等；

(2)與復數12+16i互為共扼；

⑶對應的點在x軸上方

【答案】⑴m=-\,(2)m=l.(3)根<一3或相>5.

m2+5m+6=2

<

【解析】⑴根據復數相等的充要條件得向-2吁15=-12.解之，得”=一1.

m2+5m+6=12

(2)根據共振復數的定義得<.解之,得m=l.

m2—2m-15=-16

(3)根據復數z對應的點在x軸上方可得病—2m-15>0,解之，得利<-3或

m>5.

2.已知二工」是同一平面的三個向量，其中1(3,3g)?

(1)若同=2,且

a!Ib，求「的坐標;

⑵若l與：的夾角e的余弦值為冬且丘二卜丘-3刁，求口.

【答案】(1)或口―6);(2)20

3.AABC中，內角AB,C的對邊分別為4,仇c,(2c-b)cosA^acosB.

(1)求角A的值；

(2)<ABAC=3,a=S,求b+c.

7T

【答案】(1)Any(2)b+c=5.

［解析］(1)由正弦定理得：(2sinC-sin^cosAnsinAcosB

2sinCcosA=sin(A+5)

cosA=—

2

冗

?「Aw（0,萬）A=—

3

（2）?.?Q.n=3得Ac=6

又由ZJ2+02-2bccosA-a2^-b2+c2-bc=1,即/+c2=13

;.3+c）2=25即b+c=5.

4.為了解學生的周末學習時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40

名學生某周末的學習時間進行了調查，將所得數據整理繪制出如圖所示的頻率

分布直方圖，根據直方圖所提供的信息：

（1）求該班學生周末的學習時間不少于20小時的人數；

（2）估計這40名同學周末學習時間的25%分位數；

（3）如果用該班學生周末的學習時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學生

周末的學習時間，這樣推斷是否合理？說明理由.

【答案】（1）9；（2）8.75；（3）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有

代表性.

【分析】

（1）首先求學習時間不少于20小時的頻率，再根據樣本容量乘以頻率=人數，

計算結果；（2）首先估算學習時間在25%分位數所在的區(qū)間，再根據公式計算

結果；（3）根據樣本的代表性作出判斷.

【解析】（1）由圖可知，該班學生周末的學習時間不少于20小時的頻率為

(0.03+0.015)x5=0.225

則40名學生中周末的學習時間不少于20小時的人數為40x0.225=9.

(2)學習時間在5小時以下的頻率為0.02x5=0.1<0.25,

學習時間在10小時以下的頻率為0.1+0.04x5=0.3>0.25,

所以25%分位數在(5,10),

0.25-0.1

5+5x=8.75,

~02

則這40名同學周末學習時間的25%分位數為8.75.

(3)不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性.

5.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語.在

一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星

隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是

3?

乙每輪猜對的概率是］；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦

互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動，求：“星隊”至少猜對3個成語的概

率.

2

【答案】

【解析】記事件4“甲第一輪猜對”，記事件6：“乙第一輪猜對”，記