新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第21講 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（練理科專用）（原卷版）

第04講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一、單選題1．如圖所示，若正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為a，體對(duì)角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，則有（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．33．如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0? B．2 C．SKIPIF1<0? D．SKIPIF1<0?二、填空題5．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則二面角A-PB-C的余弦值為_(kāi)_____．6．下列結(jié)論中，正確的序號(hào)是________．①若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面，則存在實(shí)數(shù)x、y，使得SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共面，則不存在實(shí)數(shù)x、y，使得SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共線，則存在實(shí)數(shù)x、y，使得SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面．三、解答題7．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的中點(diǎn)，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角大小.8．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0.(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.9．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．10．如圖，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求證:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.一、單選題1．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括表面)，若SKIPIF1<0＝xSKIPIF1<0＋ySKIPIF1<0＋zSKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.則點(diǎn)P所有可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<03．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角SKIPIF1<0的平面角大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題5．化學(xué)中，晶體是由大量微觀物質(zhì)單位（原子、離子、分子等）按一定規(guī)則有序排列的結(jié)構(gòu)．構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)），則圖中原子連線BF與SKIPIF1<0所成角的余弦值為_(kāi)_____．6．正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0________.三、解答題7．如圖所示，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長(zhǎng)．8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．(1)求證：PA∥平面MBD；(2)若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．9．如圖所示，多面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.10．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0為等腰三角形.(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值的取值范圍.11．如圖多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上有一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.一、解答題1．（2022·天津·高考真題）直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，F(xiàn)為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角的余弦值．2．（2022·全國(guó)·高考真題（理））如圖，四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)F在SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0的面積最小時(shí)，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0．設(shè)M，N分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．4．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．5．（2022·全國(guó)·高考真題（理））在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求PD與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．6．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0，AC的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．7．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為4，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(1)求A到平面SKIPIF1<0的距離；(2)設(shè)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．8．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0