新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第22講 橢圓（講）（原卷版）

第01講橢圓本講為高考命題熱點(diǎn)，分值22-27分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會出現(xiàn)，選擇填空題常考圓錐曲線橢圓雙曲線的離心率，幾何關(guān)系等問題，大題題型多變，但多以最值，定值，范圍，存在性問題，考察邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力.高頻考點(diǎn)一橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且eq\o(PF1,\s\up7(→))⊥eq\o(PF2,\s\up7(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝__________.【方法技巧】橢圓定義的應(yīng)用技巧橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過整體代入可求其面積等．【跟蹤訓(xùn)練】1．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則eq\f(|PF2|,|PF1|)的值為()A.eq\f(5,14) B.eq\f(5,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,13)2．已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________．3．(一題多解)(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．高頻考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)【例2】(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)(2020·福州模擬)過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是________．【方法技巧】[解題技法]求橢圓離心率的三種方法1．直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．2．構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．3．通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．[提醒]在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí)，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根．考向(二)與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題[例4](1)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值為()A．2 B．3C．6 D．8(2)P為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1上任意一點(diǎn)，EF為圓N：(x－1)2＋y2＝4的任意一條直徑，則eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的取值范圍是()A．[0,15] B．[5,15]C．[5,21] D．(5,21)【方法技巧】[解題技法]與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法1．利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．2．利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．4．利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍．[跟蹤訓(xùn)練]【變式訓(xùn)練】1.(2022·江西吉安一模)如圖，用與底面成45°角的平面截圓柱得一截口曲線，即橢圓，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,3)解析：選A設(shè)圓柱的底面圓的直徑為R，則橢圓的短軸長為R.∵截面與底面成45°角，∴橢圓的長軸長為eq\r(2)R，∴橢圓的焦距為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)R))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝eq\f(R,2)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(R,2),\f(\r(2),2)R)＝eq\f(\r(2),2).2．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是________．高頻考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系【例3】1．若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)2．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)．【方法技巧】判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)．(2)對于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn)．高頻考點(diǎn)四弦長問題【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，|AB|＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．[解](1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件．②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)．將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2).同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12k2＋1,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2)＋eq\f(12k2＋1,3k2＋4)＝eq\f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.【方法技巧】1．弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)；③|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；④|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).2．弦長公式的運(yùn)用技巧弦長公式的運(yùn)用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計(jì)算量的大?。覀兊慕?jīng)驗(yàn)是：若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y＝kx＋b便于運(yùn)算，即“定點(diǎn)落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在橫軸上，一般設(shè)為my＝x－a可以減小運(yùn)算量，即“直線定點(diǎn)落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”．【變式訓(xùn)練】1．已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1與直線y＝x＋m交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\f(