2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)模擬檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁2024一2025學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)模擬檢測高二數(shù)學(xué)試卷（本試卷滿分150分考試時間120分鐘）注意事項：1.答卷前考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.賽每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知平面向量，，.若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算可得，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示運算求解.【詳解】因為，，，則，又因為，則，解得.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位),則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵∴===選D．3.在平行四邊形中，，且，若將其沿折起使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】在平行四邊形中，，若將其沿BD折起使平面平面，可得如圖所示的三棱錐：其中，三棱錐鑲嵌在長方體中，即三棱錐的外接球與長方體的外接球相同.∵∴外接球的半徑為∴三棱錐的外接球的表面積為故選D.點睛：本題主要考查三棱錐外接球的表面積的求法.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常用方法有：①若三棱棱兩兩垂直，則用（為三條棱的長）；②若平面（），則（為ΔABC外接圓的半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.4.如圖，已知邊長為2的正方體，點為線段的中點，則直線與平面所成角的正切值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】連接交于,連接,由于,所以平面,所以角為所求線面角,其正切值為.故選.5.我市對上、下班交通情況作抽樣調(diào)查，上、下班時間各抽取12輛機動車測其行駛速度（單位：）如下表：上班時間182021262728303233353640下班時間161719222527283030323637則上、下班時間行駛時速的中位數(shù)分別為（）A28與28.5 B.29與28.5 C.28與27.5 D.29與27.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，由中位數(shù)的定義求上、下班時間行駛時速的中位數(shù)即可.【詳解】上班時間行駛速度的中位數(shù)是，下班時間行駛速度的中位數(shù)是.故選：D6.已知個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用平均數(shù)與方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為的平均數(shù)為，方差為，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選：D.7.正方形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，，、分別是線段、的中點，則與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，證明出平面，可得出，計算出、，利用異面直線所成角的定義可知，與所成的角為或其補角，計算出即可.【詳解】連接，如下圖所示：四邊形為正方形，則，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，在ΔABC中，，，、分別是線段、的中點，，，，，所以，與所成的角為，且.故選：C.【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8.在△ABC中，D為AC的中點，E為線段CB上靠近B的三等分點，則A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量減法的三角形法則，轉(zhuǎn)化為和即可．【詳解】=﹣=+﹣=+﹣=+（﹣）﹣=﹣，故選D．【點睛】本題考查利用基底表示向量，解題關(guān)鍵理解向量加法、減法、數(shù)乘的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）A.若，則點是的重心B.若，則點在邊的延長線上C.若在所在的平面內(nèi)，角所對的邊分別是，滿足以下條件，則D.若，且，則的面積是面積的【答案】ACD【解析】【分析】對于A，只需證明即可；對于B，我們只需證明，進而說明點并不在射線上；對于C，我們先設(shè)內(nèi)心為，然后證明和重合；對于D，我們只需求出兩個三角形面積對比即可.【詳解】對于A，，即，則，所以點是的重心；對于B，若，則，所以點在邊反向延長線上，故B錯誤；如圖對于C，延長到，使，同理，因為，所以，以為鄰邊作平行四邊形，所以，則，即，因為，同理，，所以，故C正確；如圖對于D，設(shè)為中點，，所以，即，由，所以，所以三點共線，所以.故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：向量之間的加減法運算和內(nèi)積運算，以及內(nèi)積關(guān)于加法的分配律及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.10.如圖，在正六邊形中，點為其中心，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用平行向量和相等向量的定義求解．【詳解】由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征可知，與方向相同，長度相等，，故選項A正確，與方向相反，，故選項B正確，由正六邊形的性質(zhì)可知，，故選項C正確，與不共線，所以不會相等，故選項D錯誤，故選：ABC．11.（多選）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線統(tǒng)計圖．根據(jù)該折線統(tǒng)計圖，下列結(jié)論正確的是（）A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期大致都在8月C.2017年1月至12月月接待游客量逐月增加D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】ABD【解析】【分析】利用折線統(tǒng)計圖中的信息逐一判斷即可.【詳解】解：對A，接待游客量雖然逐月波動，但總體上逐年增加，故A正確；對B，折線統(tǒng)計圖可知，各年的月接待游客量高峰期大致都在8月，故B正確；對C，2017年8月至9月月接待游客量呈下降趨勢，故C錯誤；對D，折線統(tǒng)計圖可知，各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量，且，則______.【答案】27【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示可直接得答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.13.在ΔABC中,角所對的邊分別為,角等于，若，則的長為__________.【答案】【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【詳解】因為角等于，，所以由余弦定理可得，所以，故答案為.【點睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.14.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來.若正四棱柱的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為__________.（容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留）【答案】【解析】【分析】由題若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，求出半徑長再求表面積．【詳解】若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，即所以球形容器的表面積【點睛】本題考查球體表面積，解題的關(guān)鍵是求出球體的半徑．四、解答題：本題共5小題共77分，解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.15.已知，，.（1）求與的夾角；（2）當(dāng)為何值時，向量的模長為？【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積的運算律，求得，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案;（2）根據(jù)向量的模長為，結(jié)合模的計算以及數(shù)量積的運算律，可得到，求得答案.【小問1詳解】由題意得，則，得，由于，所以；【小問2詳解】由于，解得或，即x的值為或.16.已知復(fù)數(shù)z=3+bi（bR），且（1+3i）·z純虛數(shù)（1）求復(fù)數(shù)z（2）若w=z·(2+i)，求復(fù)數(shù)w的模|w|【答案】（1）z=3+i（2）【解析】【分析】（1）計算得到，得到答案.（2），再計算模長得到答案.【詳解】（1），則為純虛數(shù)，故，解得，故.（2），故.【點睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計算能力.17.為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)舉行了一次環(huán)保知識競賽，共有900名學(xué)生參加了這次競賽．為了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計．請根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題．分組頻數(shù)頻率40.080.160.2016合計501.00（1）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內(nèi)）；（2）補全頻數(shù)分布直方圖；（3）若成績在75.5~85.5分的學(xué)生獲得二等獎，問獲得二等獎的學(xué)生約為多少人？【答案】（1）填表見解析；（2）作圖見解析；（3）234人.【解析】【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和頻率的求解公式求解即可.（2）由（1）中表格中的數(shù)據(jù)完成頻數(shù)分布直方圖.（3）根據(jù)頻率分布表可求出成績在75.5～80.5分的學(xué)生頻率為0.10，成績在80.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.16，從而可得成績在75.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.26，進而可求得獲得二等獎的人數(shù).【小問1詳解】補全頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率40.0880.16100.20160.32120.24合計501.00【小問2詳解】頻數(shù)分布直方圖如下圖所示：【小問3詳解】成績在75.5～80.5分的學(xué)生占70.5～80.5分的學(xué)生的，因為成績在70.5～80.5分的學(xué)生頻率為0.20，所以成績在75.5～80.5分的學(xué)生頻率為0.10．成績在80.5～85.5分的學(xué)生占80.5～90.5分的學(xué)生的．因為成績在80.5～90.5分的學(xué)生頻率為0.32，所以成績在80.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.16，所以成績在75.5～85.5分學(xué)生頻率為0.26．∵有900名學(xué)生參加了這次競賽，∴該校獲得二等獎的學(xué)生有：0.26×900＝234，∴該校獲得二等獎的學(xué)生有234人.18.如圖，在四棱錐中，面面，且，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，且.【解析】【分析】（1）首先過A作，垂足為，以A為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出和平面的法向量，根據(jù)即可證明平面.（2）求出平面的法向量為，再代入二面角公式計算即可得到答案.（3）首先假設(shè)線段上存在一點，設(shè)，，得到，根據(jù)直線與平面所成角正弦值為，求得，以及.【詳解】（1）過A作，垂足為，則，以A為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，則，令，解得：.因為，所以又平面，所以平面（2）設(shè)平面的一個法向量為，因為，，所以，令，解得.所以.即平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）假設(shè)線段上存在一點，設(shè)，，.因為，所以則因為平面的一個法向量所以，整理得：，所以，因為，所以.所以存在，且.【點睛】本題主要考查利用立體幾何向量法證明線面平行和二面角的求法，同時考查了線面角的求