高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掃描

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掃描

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯：

集

元四種命題

合

素

與

與1

集

集

原

否

逆充

逆

既

合

合

命

命

命

分

非

否

題

題

題

非

充

命

必

分

題

要

目或非又

于

條

非

件

互為逆否必

要

一、理解集合中的有關(guān)概念

(1)集合中元素的特征：確定性,互異性,無(wú)序性。

集合元素的互異性：如：A={x,xy』g(xy)},8{0,|x|,y},求4；

(2)集合與元素的關(guān)系用符號(hào)反，色表示。

(3)常用數(shù)集的符號(hào)表示：自然數(shù)集；正整數(shù)集、；整數(shù)集；有

理數(shù)集、實(shí)數(shù)集O

(4)集合的表示法：列舉法,描述法,韋恩圖。

注意:區(qū)分集合中元素的形式:如：

A={x\y=x2+2x+l};B={y\y=x2+2x+l};

C={(x,y)ly=/+2x+l};

D={x\x=x2+2x+\];E={(x,y)\y=x2+2x+l,xeZ,yGZ];

F~{(x,y')|y=x2+2x+1};G-{z\y-x2+2x+l,z=—}

x

(5)空集是指不含任何元素的集合。({0}、。和{(/)]的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系)

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注童陋生3,在討論的時(shí)候丕要遺忘了A=。的情況。

如：A={x\axl-2x-\=Q},如果Af]R+=。，求。的取值。

二、集合間的關(guān)系及其運(yùn)算

(1)符號(hào)論,任"是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線(面)的關(guān)

系_；

符號(hào)"u,Z"是表示集合與集合之間關(guān)系的立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。

(2)AAB={}；AUB={}；

孰A={}

(3)對(duì)于任意集合A,B,則：

①AUB—BUA；AHB_BAA；ADB_AUB；

②AD8=A<=>；AU8=Ao；

C"U5=U=；CuAC\B=</>^;

③；"(AflB);

(4)①若〃為偶數(shù)，貝U"=；若"為奇數(shù),貝!=；

②若〃被3除余0,則〃=；若〃被3除余1,則

n=；若〃被3除余2,貝!|〃=；

三、集合中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算：

(1)若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為所有真子集的

個(gè)數(shù)是__________所有非空真子集的個(gè)數(shù)是.

(2)AUB中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算公式為：CW(AUB)=；

(3)韋恩圖的運(yùn)用：

四、4={刈k滿足條件〃},8={回了滿足條件4},

若；則p是q的充分非必要條件=AB;

若；則p是q的必要非充分條件=AB;

若；貝!Ip是"的充要條件。AB;

若；貝！Ip是q的既非充分又非必要條件o；

五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的；

注意：“若/nf,則pnq”在解題中的運(yùn)用，

如："sin。。sin夕"是"cH夕"的條件。

六、反證法：當(dāng)證明”若p,則"感到困難時(shí)，改證它的等價(jià)命題“若—?jiǎng)t成立，

步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立；2、從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾

判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。

矛盾的來(lái)源：1、與原命題的條件矛盾；2、導(dǎo)出與假設(shè)相矛盾的命題；3、導(dǎo)出一個(gè)恒

假命題。

適用與待證命題的結(jié)論涉及"不可能"、"不是"、"至少"、"至多"、"唯一"等字眼時(shí)。

正面詞語(yǔ)等于大于小于是都是至多有一個(gè)

否定

正面詞語(yǔ)至少有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)任意兩個(gè)

否定

二、函數(shù)

定義圖象性質(zhì)方程

型如:型如：

ak

y—c-i---------y-x+—(k>0)

x-bx

對(duì)應(yīng)方程

不等式

反函數(shù)

函數(shù)的三要素圖象

定

解

解

單

奇

定

周

對(duì)圖象變換

圖值值

義

析

析

調(diào)

偶

義

稱

期

且

域

式

性

性

域

式

性

性

伸

平

象域域翻

縮

移

轉(zhuǎn)

變

變

變

換

換

換

一、映射與函數(shù)：

(1)映射的概念：AB是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則了,對(duì)于集合A中的-

個(gè)元素,在集合B中都有的元素與它對(duì)應(yīng)；記作：；

(2)一一映射：A,B是兩個(gè)集合，/:AfB是集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映

射下，對(duì)于集合A中的；在集合B中有；而且B

中；

(3涵數(shù)的概念:如果A,B都是，那么A到B的映射f:A，B就叫做A到B

的函數(shù)，記作；

如：若4={1,2,3,4},B={a,b,c};問(wèn):A到8的映射有個(gè)，8到A的映射有

個(gè)；A到3的函數(shù)有個(gè)，若A={1,2,3},則A到B的一一映射有

個(gè)。

函數(shù)y=<p(x)的圖象與直線x=a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)。

二、函數(shù)的三要素：,,?

相同國(guó)教的判斷方造：①；②(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

(1)函數(shù)解析式的求法：

①定義法(拼湊)：如：已知/(^+工人/+乙，求：f(x);

XX

②換元法:如：已知/'(3x+l)=4x+3,求/(x)；

③待定系數(shù)法：如：已知/""(x)]}=l+2x,求一次函數(shù)/(x)；

④賦值法：如：已知2f(x)-/(-)=x+l(xH0),求/(x);

X

(2)函數(shù)定義域的求法：

①y=,則________________；②y=GN*)則____________;

g(x)

③y="(x)]°,貝!I;④如：y=iog/wg(x),

則;⑤含參問(wèn)題的定義域要分類討論；

如：已知函數(shù))，=/(幻的定義域是[0』，求玄幻=/(》+。)+/。一〃)的定義

域。

⑥對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時(shí)的定義域要根

據(jù)實(shí)際意義來(lái)確定。如：已知扇形的周長(zhǎng)為20,半徑為r,扇形面積為S,則

S=/(r)=；定義域?yàn)閛

(3)國(guó)數(shù)值域的求法:

③配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；常轉(zhuǎn)化為型如：

/(x)=ax1++c,x￡Qn,ri)的形式；

②逆螂<反求法)：通過(guò)反解，用y來(lái)表示x，再由x的取值范圍，通過(guò)解不等式，

得出y的取值范圍；常用來(lái)解，型如：y=;

③判別式法：轉(zhuǎn)化一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程(其中>'為參數(shù)),利用存在X使得方程

成立，找方程有解的充要條件運(yùn)用題型：y="X：+/2Y+C3找不全為0)；

dx2+ex+f

有兩種情況：(1)X無(wú)具體范圍：直接套用△NO；(2)X有具體范圍：要

用實(shí)根分布來(lái)其有根的充要條件；

注意：(1)若得到的一F次方程，二欠顆數(shù)是含有y的多項(xiàng)式，此時(shí)要分類討

論。

(2)若一義域中有不連續(xù)的點(diǎn)，要驗(yàn)詆，方法為:令x取丕連續(xù)點(diǎn)的值，求

支y，再由這個(gè)y求出與它對(duì)應(yīng)的了,如果還有定義域內(nèi)有定義的由與

它對(duì)應(yīng),Wby為值域中的一個(gè)值，否則，此y不在值域中.

④換元法:通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；適用題型

y=ax+y/bx+c;

窖魚(yú)有[界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；

k

⑥基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如：y=x+—(A>0),利用平均值不等式公式來(lái)求值域；

x

⑦單眼性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。

求下列函數(shù)的值域：①y=>0,b>0,a>b,x^[-1,1])(2種方法)；

a-bx

*2—v-I-3丫2—x+3

②'十二xw(—8,0)(2種方法);③y；十二十￡(一8,0)(2種方法);

xx-\

_—x+3/八、_-x+3/、

④y=-----(-00,0);⑤y=---------w——,x￡(-00,0)(2種方法);

X+X+1JC

⑥y=-lx+3,4-x；⑦y=-2x+374—x2；⑧y=---------;

x

三、函數(shù)的性質(zhì)：

(1)函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)/(X),如果對(duì)于定義域內(nèi)任意的；

者_(dá)_____,翅____________,則稱/(X)為增函數(shù)；都有,

則稱/*)為減函數(shù)；

注意：(1)函數(shù)單調(diào)性的定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法。若函數(shù)是一個(gè)關(guān)于X的

多項(xiàng)式，還可以通過(guò)求導(dǎo)證明：當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函

數(shù)。

(2)單調(diào)性一般用區(qū)間表示，不能用集合表示。

(2)圖數(shù)的奇偶掛：對(duì)于函數(shù)/(幻,如果定義域內(nèi)任意的再,，則

稱/(幻為奇函數(shù)；JPW,則稱/(X)為偶函數(shù)；

奇函數(shù)的圖象關(guān)于，偶函數(shù)的圖象關(guān)于;

注意：(1)研究國(guó)數(shù)的奇偶性，苴先要研究直數(shù)的定義域_____________;

(2)若函數(shù)y=/(x),xe。是奇函數(shù)，且OeO,則；

如：判斷y=(尤+1)的奇偶性。

V1+x

關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性和硼性的的結(jié)論：

1、若奇函數(shù)/(X)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增(減)，則/(%)在區(qū)間［-b-a］上是單

調(diào)遞；

2、若偶函數(shù)/(%)在區(qū)間口,切上單調(diào)遞增(減)，則/(%)在區(qū)間［-b,-a］上是單

調(diào)遞；

3、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)的解析式為；這樣的函數(shù)有

個(gè)。

4、任意定義在R上的函數(shù)/(x)都可唯一地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和：

/(X)=g(x)+〃(幻；其中g(shù)(x)=是偶函數(shù)，〃(幻=是奇函

數(shù)；

(3)函數(shù)對(duì)稱性的結(jié)論二

1、設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽，且滿足條件：f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)

y=/(%)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

如：由/(I-X)=/(I+X)成立，則/(X)關(guān)于對(duì)稱；

注意：y=/(a+X)與y=f{b-x)關(guān)于對(duì)稱；

2、定義在R上的函數(shù)y=/(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x滿足條件/(x)=2匕—/(2a—x),

則y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,。)成中心對(duì)稱，

如：/(%)=-/(-%)=>/(%)=2X0-/(2X0-X),則/(X)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(4)函數(shù)的周期性：對(duì)于函數(shù)/*)，如果存在不為零的常數(shù)T,對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)值,

都有則函數(shù)y=/(處為周期函數(shù)，叫周期；

關(guān)于鼠數(shù)周期噂的績(jī)論:

①定義在R上的函數(shù)丁=/(%)對(duì)定義域內(nèi)任意x,都滿足條件

/(x)=f(x+a)=/(X-。)成立，則y=/(x)是以T=為周期的周期函

數(shù)；

②若函數(shù)v=/(%)既關(guān)于直線x=。對(duì)稱，又關(guān)于x=。/對(duì)稱，則y=/(x)-

定是周期函數(shù)，且T=是它的一個(gè)周期；

③若y=/(%)既關(guān)于直線X=a成軸對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)("c)成中心對(duì)稱，則.v=/(幻

一定是周期函數(shù)，且7=是它的一個(gè)周期。

四、圖形變換：

(1)平移變換：

①形如：y=f(x+a):把函數(shù)y=/(x)的圖象沿方向向或平移

個(gè)單位，就得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象。

②形如：y=f(x)+a:把函數(shù)y=/(x)的圖象沿方向向或平移

個(gè)單位，就得到y(tǒng)=/(%)+a的圖象。

(2)對(duì)稱翻轉(zhuǎn)變換：

①形如：y=/(-%)：其函數(shù)圖象與函數(shù)y=/(幻的圖象關(guān)于對(duì)稱。

②形如：y=-/(%)：其函數(shù)圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。

③形如：y=r\x):其函數(shù)圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。

④形如：y=-/(-%)：其函數(shù)圖象與函數(shù)v=/(幻的圖象關(guān)于對(duì)稱。

⑤形如y=f(.\x\):這是偶函數(shù)。其圖象是關(guān)于)，軸對(duì)稱的，所以只要

先________________逋_____________;就得到

了y=/(|x|)的圖象。

⑥形如：y=\f(x)\:將函數(shù)y=/(x)的圖

象;就得到函數(shù)

y=|/(x)l的圖象。

(3)伸縮變換：

①形如：y=f(axc)((o>0):將函數(shù)y=/(x)的圖象橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)不變)縮小(?>1)

或伸長(zhǎng)(0<。<1)到原來(lái)的-倍得到。

(O

②形如：y=Af(x)(A>0):將函數(shù)y=f(x)的圖象縱坐標(biāo)(橫坐標(biāo)不變)伸長(zhǎng)(A>1)

或壓縮(0<A<1)到原來(lái)的A倍得到。

如：y=f(x)的圖象如圖，作出下列函數(shù)圖象：

(1)y=/(-x)；(2)y=-/(x)；

(3)y=/(|x|)；(4)y="(x)|；

(5)y=f(2x);(6)y=((x+l);

(7)y=/(x)+l;(8)y=-/(-%)；

(9)y=/-'(%).

五、反函數(shù)：

(1)定義：設(shè)y=/(x)表示y是自變量x的函數(shù)，它的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃,由式子

y=/(x)解出x,得到式子x=奴y),如果對(duì)于y￡C中的任何一個(gè)值,通

過(guò)式子x=e(y),.在4中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),那么式子》=0(y)

就表示X是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)X=e(y)，叫做y=/(x)的反函數(shù),

記為x=f-'(y)，即x=<p(y)=P'(>),習(xí)慣上仍用x表示自變量，y表示

函數(shù)，把它改寫(xiě)成y=/T(x)。

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件：；

(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系：；

(4)求反國(guó)數(shù)的步驟：①將y=/(X)看成關(guān)于X的方程，解出X=廣,(y),若有兩解,

要注意解的選擇；②將x,)，互換，得y=尸⑴；③寫(xiě)出反函數(shù)的

定義域(即y=/(x)的值域工

(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：；

(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。

如：求下列函數(shù)的反函數(shù)：f(x)=x2-2x+3(x<0);=;

2—1

x

/U)=log---2(x>0)

2x+1

六、復(fù)合函數(shù)：

(1)定義：如果),是〃的函數(shù)，記為y=/(“)，u又是x的函數(shù)，記為“=g(x),且g(x)

的值域與/(〃)的定義域的交集不空，則確定了一個(gè))，關(guān)于x的函數(shù)

y=/[?(%)],這時(shí)y做x的復(fù)合函數(shù)，其中u叫做中間變量,y=/(“)叫做

外層函數(shù)，U=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)。

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：；

七、常用的初等函數(shù)：

(1)一元一次函數(shù)：y-ax+b(a工0)

當(dāng)?！?時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)。<0時(shí)，是減函數(shù)；

(2)一元二次函數(shù)：

一般式：y=ax2+hx+c(a^0);對(duì)稱軸方程是；頂點(diǎn)

為；

兩點(diǎn)式:y=a(x-x,)(x-x2);對(duì)稱軸方程是；與x軸的交點(diǎn)

為；

頂點(diǎn)式：y=a(x-幻2+〃；對(duì)稱軸方程是；頂點(diǎn)為；

①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：

當(dāng)a〉0時(shí)：為增函數(shù)；為減函數(shù)；

當(dāng)。<0時(shí)：為增函數(shù)；為減函數(shù)；

②二次函數(shù)求最值問(wèn)題：首先要采用配方法，化為V=。甕-⑥2+4的形式，

I、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則

”>0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最小值，最大值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

a<0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最大值，最小值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

n、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則

。>0時(shí)：最小值在距離對(duì)稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最大值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的

端點(diǎn)處取得；

a<0時(shí)：最大值在距離對(duì)稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最小值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的

端點(diǎn)處取得；

有三個(gè)類型題型：

Q)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如：y=x2+x+l,xef-l,ll

(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動(dòng)),區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何

時(shí)在區(qū)間之外。如：y=x2+ax+l,xe[-l,l]

(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù).y=/+%+1,%e團(tuán),a+1]

③二次方程實(shí)數(shù)根的分布問(wèn)題：設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的兩

根為；則：

根的情況x{>x2>kx[<x2<kXj<k<x2

在區(qū)間(左,+8)上有在區(qū)間(-8次)上有在區(qū)間(左,+8)或

等價(jià)命題

兩根兩根(-8,%)上有一根

充要條件

根的情況m<x]<x2<n%,<m<n<x2XjG(m,〃)，x20(m,n)

在區(qū)間(m,n)上有在區(qū)間(加,〃)上無(wú)

等價(jià)命題在區(qū)間(m,n)上有一根

兩根根

充要條件

注意：若在閉區(qū)間[加,n]討論方程/(幻=。有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開(kāi)區(qū)間(m,n)

上實(shí)根分布的情況,得出結(jié)果，在令x=〃和A-=，〃檢直端點(diǎn)的情況。

cic

(3)反比例函數(shù)：y^-(x^Q)=>y^a+-^—

xx-b

a，、

y=—(x0)y=c+------(zxwb)

Xx-b

圖形

定義域

值域

4>0

單調(diào)性

a<0

對(duì)稱中心

漸近線

(4)指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>O,a^l)

指數(shù)運(yùn)算法則：___________________

0<6Z<1a>1

圖象

定義域

值域

龍>0

函數(shù)值

x<0

單調(diào)性

(5)對(duì)數(shù)函數(shù):y=log,,x(a>0,。手1)

指數(shù)運(yùn)算法則：___________________

(1)bg““bn>=；

(2)換底公式：____________________________

(3)對(duì)數(shù)恒等式：__________________________

0<。v1a>1

圖象

0<a<1a>\

定義域

值域

x>0

函數(shù)值

x<0

單調(diào)性

注意:(1)y=優(yōu)與y=log〃x的圖象關(guān)系是；

(2)比較兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若

底數(shù)不相同時(shí)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。

(3)已知函數(shù)/(x)=log,(x2+kx+2)的定義域?yàn)镽,求k的取值范圍。

2

已知函數(shù)/(x)=log,(x2+kx+2)的值域?yàn)镽,求k的取值范圍。

2

(4)下圖中,與々力213,仇間的關(guān)系是：

k

六、y=x+—(Z>0)圖象：

X

定義域：;

值域：;

奇偶性：;

單調(diào)性：是增函數(shù)；是減函數(shù)。

七、補(bǔ)充內(nèi)容：

(1)抽象函數(shù)的性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：

①/區(qū)+/)=/(XJ+f(x2)n正比例函數(shù)/(x)=k&k，0)

②/(%)+x2)=/(X,)-f(x2);/(%1-x2)=/(X|)+f(x2)=>；

x

③/a?%)=/&)+/(%)；/(,)=/(-)-/(￡)=>；

X2

@/(x,)+/(x2)=2/(^1).n;

(2)不等式恒成立的條件：

(1)已知/(x)=ax+b,a,beR,B.a豐0,〃?],m2GR;則

(a)/(x)>0在xeO],m2)時(shí)恒成立n；

(b)f(x)<0在xw(犯，加2)時(shí)恒成立=；可借助一次函數(shù)得

到。

(2)已知f(x)=ax2+bx+c,a,h,ceR

(a)f(x)〉0在xeR時(shí)恒成立n或;

(b)f(x)20在xeR時(shí)恒成立n或;(可借助一次函

數(shù)

(c)/(尤)<0在xeR時(shí)恒成立n或;或二次函數(shù)得

到入

(3)/。)>0恒成立0"(切"皿>。；/(x)<a恒成立="(X)]max<。

三、不等式

注意：特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。

二、均值丕等式：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

若凡人>0，則”(當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號(hào))

2

④<(^)2<

基本應(yīng)用：①放綢，娜；

②求函數(shù)最值：注意：①一正二定三取等；②積定和小，和定積大。

當(dāng)M=〃(常數(shù))，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)a+h=S(常數(shù))，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

常用的方法為：拆.湊、平方；

91

如：①函數(shù))=4x-24尤(X>])的最小值o

_1,

②已知0cx<g，則y=r(1一5x)的最大值。

③y=sinxcos?"x,尤e(0,,)的最大值。

④若正數(shù)x,y滿足x+2y=1,貝!]!+工的最小

%y

值

推廣：①若,則”;十￡?疚(當(dāng)且僅當(dāng)a=o=c時(shí)取等號(hào))

基本變形：a+b+c>；("；+與>;

②若a,a^,---,a>0,貝!]—-------------->…%(當(dāng)且僅當(dāng)

}nn'

q=%=…=。”時(shí)取等號(hào))

三.絕對(duì)值不等式：<<<

法…意…：IQ+b|<|QI+|切0；

|Q+8|=|Q|+|8|<=>；

\a-b\<\a\-v\b\^>;

|Q-b|=|Q|+1b\<=>;

\a\-\b\<\a+b;

\a\—\b\=\a+b|o;

\a\-\h\<\a-b;

|a|-1力|二|a-b\<^>；

四院常用的基本丕等式:

(1)設(shè)a/￡R,則。220,(。—力220(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))

(2)|a|之a(chǎn)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))；|。|之-。(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))

(3)若a>0力>0，則2a2b+ah2

(4)若a,/?,c￡R，貝！JcJ+Z?2+/2ab+he+ca

(5)若a,b,ceR,則3(aZ?+Ac+eq)<(?+/?+c)2<3(a2+/?2+c2)

2222

(6)柯西不等式：設(shè)％,%也也eR,貝!J(a向+a2h2)<+a2)(b1+Z?2)

—?—?-*—*._*2_*2

注意：可從向量的角度理解：設(shè)。=(4,。2)，〃=(4，〃2)，貝IK。))b

(7)a>b,cib>0一<一;一<一;

abab

,c、,八c+—b,bb+m-b,hb+m

(8)a,b>0,mER，右一<1,則一<-----;右一>1，則一>------;

aaa+maaa+m

五、證明不等式常用方法：

(1)比較法：①作差比較：A-B<0<=>A<B

A

②作商比較：一21(8〉0)oAN6

B

作差比較的步累：

(1)作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式)作差。

⑵變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)(或式)的完全平方和。

⑶判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。

注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大小。

(2)綜合法：由因?qū)Ч?/p>

(3)分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證……

(4)反證法：正難則反。

(5)放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。

放縮法的方法有：

(1)添加亙媾去一型項(xiàng),如：yja2+1>同;+>n

⑵將分子或分母放大(或縮小)

(3)利用基圭不矍式，如：log3?1g5<(他3；尼5)2=lgV15<lgV16=lg4;

/,,八〃+5+1)

傘(〃+1)<--------

(4)利用常用結(jié)論：

,，八?/7b+m

I、a>b>0,meR+,—<-----

aa+m

、〃+l-4k=,---——產(chǎn)<―7=；

ny[k+l+4k14k

11111111，工―、