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工程碩士(GCT)數(shù)學(xué)模擬試卷1(共9套)(共225題)工程碩士(GCT)數(shù)學(xué)模擬試卷第1套一、選擇題(本題共25題,每題1.0分,共25分。)1、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:故選(B).2、如果一直角梯形的周長(zhǎng)是54cm,兩底之和與兩腰之和的比是2:1,兩腰之比是1:2,那么此梯形的面積為[]cm2.A、54B、108C、162D、216標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)該梯形的兩腰中短的長(zhǎng)為a,兩底中短的長(zhǎng)為b.因?yàn)閮裳仁?:2,所以另一腰長(zhǎng)度為2a.如圖所示,另一底長(zhǎng)度為.又兩底之和與兩腰之和的比是2:1,所以=6a.已知該梯形周長(zhǎng)為54cm,因此26+=6a代入,解得9a=54(cm),a=6(cm).該梯形面積為故選(B).3、某道路一側(cè)原有路燈106盞,相鄰兩盞的距離為36m.現(xiàn)計(jì)劃全部換為新型節(jié)能燈,兩燈距離變?yōu)?0m,共需新型節(jié)能燈[]盞.A、54B、55C、108D、110標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:根據(jù)題意,該道路長(zhǎng)度為105×36=3780(m),于是所需新型節(jié)能燈數(shù)為+1=54+1=55.故選(B).4、修整一條水渠,原計(jì)劃由16人修,每天工作7.5h,6天可以完成任務(wù).由于特殊原因,現(xiàn)要求4天完成,為此又增加了2人,現(xiàn)在每天要工作的時(shí)間為[]h.A、7B、8C、9D、10標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)每天要工作x(h),則x滿足16×7.5×6=(16+2)×x×4,解得x=10h.故選(D).5、某單位招聘員工,報(bào)名表來(lái)自兩個(gè)地區(qū),各有10份和15份,其中女生的報(bào)名表分別有3份和7份.今隨機(jī)地選擇一個(gè)地區(qū),然后從該地區(qū)的報(bào)名表中抽出兩份,抽到的兩份都是女生報(bào)名表的概率是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)兩個(gè)地區(qū)分別為甲、乙兩地,選到甲地的概率為,從甲地的報(bào)名表中抽出兩份,抽到的兩份都是女生報(bào)名表的概率是.選到乙地的概率為,從乙地的報(bào)名表中抽出兩份,抽到的兩份都是女生報(bào)名表的概率是.所求概率為.故選(B).6、在(x一)3的展開(kāi)式中,x5的系數(shù)是[].A、一28B、一56C、28D、56標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:=x5得k=6,所以x5的系數(shù)為(一1)8-6C6=28.故選(C).7、已知復(fù)數(shù)z滿足=i,則|1+z|=[].A、0B、1C、D、2標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:故選(C).8、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2一6,則不等式f(x)<x的解集為[].A、(一2,0)∪(0,2)B、(一2,0)∪(2,+∞)C、(一∞,一2)∪(0,2)D、(一∞,一2)∪(2,+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:當(dāng)x<0時(shí),解f(x)=x2一6<x,得x∈(一2,0).因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x>0時(shí),不等式f(x)<x的解集為(2,+∞).故不等式f(x)<x的解集為(一2,0)∪(2,+∞).故選(B).9、若不等式>ax的解集是(0,4],則a的取值范圍是[].A、(一∞,0)B、(一∞,0]C、(一∞,4)D、(0,4)標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:記f1(x)=,它的定義域是[0,4].y=f1(x)的圖像是圓(x一2)2+y2=4的上半部分.記f3(x)=ax,y=f2(x)的圖像是過(guò)原點(diǎn)的直線.要滿足不等式,即在區(qū)間(0,4]上f1(x)圖像都要在f2(x)圖像上方,只有a<0.注意不能取a=0,此時(shí)不等式的解集是(0,4).故選(A).10、在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2一an=1+(一1)n(n≥3且n∈N*),則前100項(xiàng)的和S100=[].A、2450B、2500C、2600D、2750標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:據(jù)題設(shè)a1=1,a2=2,a3-a1=0,a4-a2=2,…,a99一a97=0,a100-a98=2.所以有a1=a3=a5=…=a99=1.(共50項(xiàng))且a2,a4,…,a100是一個(gè)首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,于是a2+a4+…+a100=50×2+×2=2550,a1+a2+…+a100=2550+50=2600.故選(C).11、已知,則sinx=[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:故選(B).12、平面直角坐標(biāo)系中向量的集合A={a|a=(2,一1)+t(1,一1),t∈R),B={b|b=(一1,2)+t(1,2),t∈R),則A∩B=[].A、{(2,一1))B、{(一1,2))C、{(2,一1),(一1,2))D、標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:令平面向量a=,a的坐標(biāo)即點(diǎn)A的坐標(biāo),向量的集合與端點(diǎn)A的集合一一對(duì)應(yīng).題中的集合A對(duì)應(yīng)于直線l1:t∈R,即直線l1:x+y一1=0.集合B對(duì)應(yīng)于直線l2:t∈R,即l1:2x—y+4=9.直線l1和l2是相交的直線,有一個(gè)交點(diǎn)(一1,2).所以A∩B只有一個(gè)元素——向量(一1,2).故選(B).13、設(shè)r>0.在圓x2+y2=r2屬第一象限部分的任意點(diǎn)作圓的切線,切線被兩坐標(biāo)軸截下的線段長(zhǎng)度的最小值是[].A、rB、C、D、2r標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:如圖,設(shè)圓上任意點(diǎn)P(x0,y0).其中x0>0,y0>0.過(guò)P切線與OP垂直,切線斜率k=一.切線方程為等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0時(shí)成立,此時(shí)(x0,y0)=.故選(D).14、已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),它的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0).直線y=x一1與C交于不同的兩點(diǎn)M,N.線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一,則C的方程為[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:因雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸,所以設(shè)C:=1(a>0,b>0).由焦點(diǎn)坐標(biāo)知a2+b2=7.將y=x一1代入C的方程得(b2一a2)x2+2a2x一a2一a2b2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=一,即得5a2=2b2,與a2+b2=7聯(lián)立解得a2=2,b2=5.故選(D).15、已知一個(gè)圓錐的高和底面半徑相等,它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱的底面半徑也相等,則圓柱的全面積和圓錐的全面積之比等于[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:圖所示為圓錐和圓柱剖面圖的一半,設(shè)圓柱和圓錐底面半徑分別為r和R.由題設(shè),有OE=OC=r,OA=OB=R,ABED∽△BOA,從而得.所以R=2r,圓柱全面積S1=2πr.r+πr2+πr2=4πr2.圓錐全面積故選(C).16、設(shè)f(x)的定義域是[一1,0],則f(x一)+f(sinπx)的定義域是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:由f(x)的定義域是[一1,0]有及一1≤sinnx≤0,即2k一1≤x≤2k(k是整數(shù)).(2)聯(lián)立(1)式和(2)式解得一≤x≤0.故選(C).17、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),且=1,則曲線y=f(x)在x=2處的切線方為[].A、y=x一5B、y=2x一7C、y=x+5D、y=2x+7標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:所以曲線f(x)在x=2處的切線方程為y一f(2)-f’(2)(x一2),即y+3=x一2,亦即y=x一5.故選(A).18、在區(qū)間[0,+∞)內(nèi),方程+sinx-1=0[].A、無(wú)實(shí)根B、有且僅有一個(gè)實(shí)根C、有且僅有兩個(gè)實(shí)根D、有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)f(x)=+sinx一1,當(dāng)x≥1時(shí),f(x)>0,所以只需討論在[0,1]上的情形.f(0)=一1<0,f(1)=1+sin1>0,f(x)在[0,1]上連續(xù),由零點(diǎn)存在定理,f(x)=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.又當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f’(x)=+cosx>0,這說(shuō)明f(x)在(0,1)內(nèi)是單調(diào)增加的,因此f(x)=0在(0,1)內(nèi)只有唯一的一個(gè)實(shí)根,從而+sinx一1=0在[0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根.故選(B).19、設(shè)y=y(x)由方程sinx-=[].A、2e2B、e2C、2e-2D、e-2標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:把x=0代入sinx—=0中,得y=1.對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得故選(A).20、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),且滿足方程∫0xtf(x—t)dt=1一cosx,則f(t)dt=[]A、0B、1C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:在∫0xtf(x—t)dt中,令x一t=u,則dt=一du,而且當(dāng)t=0時(shí),u=x;當(dāng)t=x時(shí),u=0.于是∫0xtf(x一t)dt=∫0x(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x-u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du.這樣原方程可寫(xiě)為x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du=1一cosx.對(duì)上式關(guān)于x求導(dǎo)得∫0xf(u)ddu+xf(x)一xf(x)=sinx,即∫0xf(u)du=sinx.令x=f(t)dt=1.故選(B).21、拋物線y=與其過(guò)點(diǎn)P(一1,0)的切線及x軸所圍圖形面積為[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,),則切線方程為將x=一1,y=0代入此切線方程,解得x0=1,故切點(diǎn)為(1,1).參考圖有故選(A).22、如果的值為[].A、一6B、一9C、一18D、18標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:根據(jù)行列式的性質(zhì),有故選(C).23、設(shè)A為m×n矩陣,B為n×m矩陣,J為優(yōu)階單位陣.若AB=I,則[].A、A的秩為m,B的秩為mB、A的秩為m,B的秩為nC、A的秩為n,B的秩為mD、A的秩為n,B的秩為n標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)锳B=I,所以r(AB)=m.由r(AB)≤r(A),r(AB)≤r(B)知m≤r(A)≤m,m≤r(B)≤m,所以r(A)=m,r(B)=m.故選(A).24、A為m×n矩陣,且m<n,Ax=0是Ax=b的導(dǎo)出組,則下述結(jié)論正確的是[].A、Ax=b必有無(wú)窮多組解B、Ax=0必有無(wú)窮多組解C、Ax=0只有零解D、Ax=b必?zé)o解標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由m<n可得Ax=0中方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)(即r(A)<n),所以Ax=0存在非零解,從而Ax=0必有無(wú)窮多組解.Ax=b有解r(A)=r(A|6),在此題中沒(méi)有提供r(A)與r(A|b)是否相等的信息,因此,無(wú)法判斷Ax=b解的情況.故選(B).25、已知A是4階矩陣,A*是A的伴隨矩陣.若A*的特征值是1,一1,3,9,則不可逆矩陣是[].A、A—IB、A+IC、A+2ID、2A+I標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由A*的特征值是1,一1,3,9可得|A*|=一27.又因|A*|=|A|n-1,所以|A|3=一27,即|A|=一3.根據(jù)性質(zhì):如果可逆矩陣A的特征值是λ,其伴隨矩陣A*的特征值為λ*,則有λ=.因此,A-I的特征值為一4,2,一2,一.因A-I的特征值非零,所以A-I可逆.A+I的特征值為一2,4,0,.因A+I的特征值中有為0的數(shù),所以A+I不可逆.故選(B).工程碩士(GCT)數(shù)學(xué)模擬試卷第2套一、選擇題(本題共25題,每題1.0分,共25分。)1、=[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:故選B.2、如果一個(gè)三角形的三邊之比為2:2:3,那么這個(gè)三角形[].A、一定有一個(gè)角是直角B、一定有一個(gè)角是鈍角C、所有的角都是銳角D、三個(gè)角的大小不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2a,2a,3a(a>0).因?yàn)?2a)2+(2a)2=8a2<(3a)2,所以長(zhǎng)為3以的邊所對(duì)的角是鈍角.故選B.3、長(zhǎng)度是800m的隊(duì)伍的行軍速度為100m/min,在隊(duì)尾的某人以3倍于行軍的速度趕到排頭,并立即返回隊(duì)尾所用的時(shí)間是[]min.A、2B、C、4D、6標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,設(shè)某人趕到排頭所用的時(shí)間為t1,則有300t1=800+100t1,t1=4(min).再設(shè)某人從排頭返回隊(duì)尾所用的時(shí)間為t2,則有100t2+300t2=800,t2=2(min).因此總共用了6min.故選D.4、一水池有兩個(gè)進(jìn)水管A,B,一個(gè)出水管C.若單開(kāi)A管,12h可灌滿水池,單開(kāi)B管,9h可灌滿水池,單開(kāi)C管,滿池的水8h可放完.現(xiàn)A,B,C三管齊開(kāi),則水池灌滿水需要[].A、13h24minB、13h48minC、14h24minD、14h48min標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:由題意,A管每小時(shí)灌人滿池水量的,B管每小時(shí)灌人滿池水量的,C管每小時(shí)放出滿池水量的.三管齊開(kāi),則每小時(shí)灌人滿池水量的,因此水池滿水需要.故選C.5、4對(duì)夫婦圍成一圈,每對(duì)夫婦夫妻兩人都相鄰的排法有[]種.A、16B、24C、96D、384標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:將每對(duì)夫婦看作一個(gè)整體,4個(gè)排隊(duì)有4!=24種不同排法.圍成首尾相接的匿后,ABCD,DABC,CDAB及BCDA這4種排法沒(méi)有區(qū)別,所以4個(gè)人圍成一圈共有種不同排法.由于每對(duì)夫婦夫妻兩人交換位置后會(huì)得到另外一種排法,所以每對(duì)夫婦夫妻兩人都村鄰的排法有6×2×2×2×2=96種.故選C.6、某班共有41名學(xué)生,其中有2名同學(xué)習(xí)慣用左手寫(xiě)字,其余同學(xué)都習(xí)慣用右手寫(xiě)字.老師隨機(jī)請(qǐng)2名同學(xué)解答問(wèn)題,習(xí)慣用左手寫(xiě)字和習(xí)慣用右手寫(xiě)字的同學(xué)各有1人被選中的概率是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:從41名學(xué)生中隨機(jī)叫出2人的不同方式共有,習(xí)慣用左手寫(xiě)字和習(xí)慣用右手寫(xiě)字的同學(xué)各有1人被選中的方式共有C21C391=2×39,所以要求的概率為故選C.7、已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=[].A、0B、1C、3D、5標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0.圖像關(guān)于對(duì)稱,得f(1)=f(0)=0.f(x)是奇函數(shù),所以f(-1)=0.圖像關(guān)于對(duì)稱,f(2)=f(-1)=0.由此類推得f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0.故選A.8、已知x>0,y>0,且2x+3y=6,則[].A、有最大值1B、有最小值1C、有最大值D、無(wú)最大、最小值標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:函數(shù)的定義域是0<y<2,當(dāng)y=1時(shí),y(2一y)取得最大值1,以y=1代入,的最大值為1.故選A.9、設(shè)a是方程x9-1=0的一個(gè)根,則a+a2+a3+…+a8=[].A、8B、0或8C、-1D、-1或8標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:α滿足方程x9-1=0,則α9-1=0,(α-1)(1+α+α2+…+α8)=0.若α=1,則α+α2+…+α8=8.若α≠1,則1+α+α2+…+α8=0,所以α+α2+…+α8=-1.故選D.10、已知等差數(shù)列{an)滿足a1+a2+…+101=0,則有[].A、a1+101>0B、a2+a100<0C、a3+a99=0D、a51=51標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:從已知條件,有,其中a1為{an}的首項(xiàng),d為公差,所以有a1+50d=0,即有a51=0,a1+a101=2a1+100d=0,a2+a100=2a1+100d=0,a3+a99=2a1+100d=0.只有(C)是正確的.故選C.11、若過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線z與雙曲線x2一y2=1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則直線l斜率所取值的集合為[].A、{-1,1)B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:直線l與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)坐標(biāo)滿足將y代入第二個(gè)方程,得到x滿足的方程(1一k2)x2-2kx-2=0.(*)當(dāng)1一k2=0,即k=±1時(shí),方程(*)是一次方程,有唯一的解.當(dāng)1一k2≠0時(shí)(*)為二次方程,其判別式△=4k2+8(1一k2)=8—4k2.當(dāng)且只當(dāng)時(shí),△=0,此時(shí)方程(*)有唯一的實(shí)根.所有斜率k可取的值為-1,1,.故選C.12、已知,則tan2x=[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:故選B.13、過(guò)直線x-y+=0上的點(diǎn)作圓x2+y2=1的切線,此點(diǎn)與切點(diǎn)間長(zhǎng)度的最小值是[].A、B、C、2D、標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:過(guò)直線上一點(diǎn)(x0,y0)作圓的切線,由勾股定理可知,此點(diǎn)與切點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度為,所以當(dāng)時(shí),所求線段的長(zhǎng)最短,其值為.故選B.14、一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分,其方程為x2=2y(0≤y≤20).杯內(nèi)放入一個(gè)球,如圖所示,要使球觸及酒杯底部,則球半徑的取值范圍是[].A、(0,1]B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)球半徑為r,在軸截面上截球得圓方程x2+(y—r)2=r2.若球觸及底部,則曲線x2=2y與下半圓(一r<x<r,y≥0)除(0,0)外沒(méi)有其他交點(diǎn),將x2=2y代入下半圓方程,整理得y2-2(r-1)y=0,解出y=0和y=2(r-1).因y≥0,若r>1,則拋物線與圓有(0,0)之外的交點(diǎn),所以r∈(0,1].故選A.15、一個(gè)四面體的體積為V,若過(guò)四面體交于每個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)作截面,沿所作的四個(gè)截面切下該四面體的4個(gè)“角”(4個(gè)小四面體),則余下部分的體積為[].(圖所示為一個(gè)“角”的情形)A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示切下一個(gè)“角”,切下的小四面體各棱長(zhǎng)和高均為對(duì)應(yīng)的大四面體各棱長(zhǎng)和高的.所以小四面體的體積為大四面體體積的.余下部分的體積為故選C.16、=[].A、0B、1C、2D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:故選B.17、設(shè)常數(shù)k>0,方程在(0,+∞)內(nèi)根的個(gè)數(shù)為[].A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)f(x)=lnx—+k,x∈(0,+∞),則.令f’(x)=0,得x=e.當(dāng)0<x<e時(shí),f’(x)>0,因此f(x)在(0,e]上單調(diào)增加;當(dāng)e<x<+∞時(shí),f’(x)<0,因此f(x)在(e,+∞)上單調(diào)減少,從而x=e是f(x)的唯一極大值點(diǎn),因此它是最大值點(diǎn),最大值f(e)=k>0.由及極限的保號(hào)性質(zhì),存在x1,0<x1<e,使得f(x1)<0.同理存在x2>e,使得f(x2)<0.f(x)在[x1,e],[e,x2]上利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理,得出f(x)在(x1,e),(e,x2)內(nèi)各至少有一個(gè)零點(diǎn)的結(jié)論.又f(x)在(x1,e),(e,x2)內(nèi)是單調(diào)的.因而f(x)在(x1,e),(e,x2)內(nèi)最多各有一個(gè)零點(diǎn).綜合上述,f(x)在(x1,e)和(e,x2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),即方程f(x)=0在(x1,e)及(e,x2)內(nèi)各有一個(gè)根.18、圖中給出了f’(x)的圖形,設(shè)有以下結(jié)論:①f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,4)∪(6,9);②f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3)∪(5,7)∪(8,9);③x=1,x=3,x=5,x=7是f(x)的極值點(diǎn);④x=1,x=3,x=5,x=7是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)橫坐標(biāo).則以上結(jié)論中正確的是[].A、①,②B、②,③C、③,④D、①,④標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,在區(qū)間(2,4)∪(6,9)上,f’(x)的圖形在x軸上方,所以f’(x)>0.因此y=f(x)在(2,4)∪(6,9)上單調(diào)增加.又f’(x)在x=1,x=3,x=5,x=7兩側(cè)單調(diào)性發(fā)生了變化,所以,上述四個(gè)點(diǎn)均為曲線y=f(x)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).故選D.19、方程根的個(gè)數(shù)等于[].A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè),則F(x)在(一∞,+∞)上連續(xù)可導(dǎo),且由零點(diǎn)存在定理知F(x)=0至少存在一個(gè)實(shí)根.當(dāng)x∈(一∞,+∞)時(shí),(等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立).又,-1≤sinx≤1,所以有-1≤≤1.注意到F’(0)=1>0,因此,F(xiàn)’(x)>0,這表明F(x)在(一∞,+∞)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增,從而可得F(x)=0最多有一個(gè)實(shí)根.綜合上述F(x)=0在(一∞,+∞)有且僅有一個(gè)實(shí)根,故正確選項(xiàng)為(B).故選B.注意考查方程F(x)=0根的個(gè)數(shù)時(shí),一般從兩個(gè)方面考慮:一方面是F(x)在什么區(qū)間滿足零點(diǎn)存在定理的條件;另一方面是F(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性.20、設(shè)g(x)為連續(xù)函數(shù),且滿足[].A、>0B、<0C、0D、無(wú)法確定標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:故選C.21、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),且嚴(yán)格單調(diào)遞減,0<α<β<γ,,則[].A、I1>I2B、I1<I2C、I1=I2D、I1與I2的關(guān)系不確定標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:由積分中值定理因f(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù),而ξ1<ξ2,所以f(ξ1)>f(ξ2).因此I1一I2=α[f(ξ1)一f(ξ2)]>0,從而I1>I2.故選A.22、設(shè)A是三階矩陣,且|A|=,則|(2A)-1+A*|=[].A、B、2C、5D、標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:故選B.23、設(shè)矩陣,B為某個(gè)三階非零矩陣,且AB=0,則t的值等于[].A、0B、3C、-3D、無(wú)法確定標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:AB=0,所以B的列向量是方程組Ax=0的解向量.B又是非零矩陣,因此至少有一列向量不是零向量,這說(shuō)明Ax=0有非零解,所以|A|=0.=7(t-8)+7×11=7(t+3),所以t=-3.故選C.24、向量組α1=(1,1,2)T,α2=(3,t,1)T,α3=(0,2,一£)T線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是[].A、t=5或t=-2B、t≠5且t≠-2C、t≠-5或t≠-2D、A、B、C均不正確標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:本題中向量的個(gè)數(shù)與維數(shù)相等,它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是它們組成的行列式|α1α2α3|≠0,而故選B.25、A是m×n矩陣,r(A)=r,B是m階可逆方陣,C是m階不可逆方陣,且r(C)<r,則[].A、BAx=0的基礎(chǔ)解系由n一m個(gè)向量組成B、BAx=0的基礎(chǔ)解系由n一r個(gè)向量組成C、CAx=0的基礎(chǔ)解系由n一m個(gè)向量組成D、CAx=0的基礎(chǔ)解系由n一r個(gè)向量組成標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:Ax=0的基礎(chǔ)解系含有n一r個(gè)解向量,又因矩陣B為可逆方陣,所以BAx=0與Ax=0是同解線性方程組,因而,應(yīng)選(B),而不選(A).r(CA)≤min{r(A),r(C)}<r,因而CAx=0的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)大于n一r.由于矩陣C是一個(gè)不可逆矩陣,且r(C)工程碩士(GCT)數(shù)學(xué)模擬試卷第3套一、選擇題(本題共25題,每題1.0分,共25分。)1、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:2、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為18cm,圓心角為240°的扇形,則它的體積是()。A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:3、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:4、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:5、兩個(gè)碼頭相距198km,如果一艘客輪順流而下行完全程需要6h,逆流而上行完全程需要9h,那么該艘客輪的航速和這條河的水流速度分別是()km/h。A、27.5和5.5B、27.5和11C、26.4和5.5D、26.4和11標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:兩個(gè)碼頭相距198km,客輪順流而行要6h,逆流而行需要9h,因此順流速度為(km/h),逆流速度為(km/h).順流速度是客輪的航速加上水流速度,逆流速度是客輪的航速減去水流速度,因此航速為(km/h),水流速度為33—27.5=5.5(km/h).故選A.6、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:7、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:8、函數(shù)f(x)在[a.b]內(nèi)有定義,其導(dǎo)數(shù)f(x)的圖形如圖2所示,則().A、(x1,f(y1)),(x2,f(x2))都是極值點(diǎn)B、(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都是拐點(diǎn)C、(x1,f(x1))是極值點(diǎn),(x2,f(x2))是拐點(diǎn)D、(x1,f(x1))是拐點(diǎn),(x2,f(x2))是極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:在x1處,f’(x)由單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增,因此曲線f(x)由凸變凹,于是(x1,f(x1))是曲線的拐點(diǎn);在x2處,f’(x2)的符號(hào)由負(fù)變?yōu)檎?,因此x2是f(x)的極小值點(diǎn).故選D.9、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:10、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:11、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:12、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:13、對(duì)于齊次線性方程組(1)若λ=0,則方程組有非零解;(2)若λ=1,則方程組有非零解;(3)若λ=-1,則方程組有非零解;(4)若λ≠0且λ≠1,則方程組只有零解;以上命題正確的個(gè)數(shù)為()個(gè).A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:這是一個(gè)三個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)的齊次方程組,由系數(shù)矩陣的行列式來(lái)判斷它的解比較方便.設(shè)Ax=0.即λ=0或λ=-1或λ=1時(shí),Ax=0有非零解.|A|≠0時(shí),即λ≠0且λ≠±1時(shí),Ax=0只有零解.由此得到題中(1)(2)(3)均正確,(4)不正確.故正確的選擇應(yīng)為C.14、設(shè)向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),向量β1能由α1,α2,α3線性表出,向量β2不能由α1,α2,α3線性表出,則必有[].A、α1,α2,β1線性相關(guān)B、α1,α2,β1線性無(wú)關(guān)C、α1,α2,β2線性相關(guān)D、α1,α2,β2線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:β1能由α1,α2,α3線性表出,只能斷定向量組α1,α2,α3,β1線性相關(guān),不能確定α1,α2,β1是否線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān).例如α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,0,1)T,當(dāng)β1=(0,0,2)T時(shí),α1,α2,β1線性無(wú)關(guān),當(dāng)β1=(2,0,0)T時(shí),α1,α2,β1線性相關(guān),因此不選(A)和(B).又設(shè)α1=(1,0,0,0)T,α2=(0,1,0,0)T,α3=(0,0,1,0)T,β2=(0,0,0,1)T,則α1,α2,β2線性無(wú)關(guān),因此不選(C),由排除法選(D).事實(shí)上,因α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),β2不能由α1,α2,α3線性表出,所以α1,α2,β2線性無(wú)關(guān),從而部分組α1,α2,β2線性無(wú)關(guān).故選D.15、設(shè)向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),向量β1能由α1,α2,α3線性表出,向量β。不能由α1,α2,α3線性表出,則必有[].A、α1,α2,β1線性相關(guān)B、α1,α2,β1線性無(wú)關(guān)C、α1,α2,β2線性相關(guān)D、α1,α2,β2線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:β1能由α1,α2,α3線性表出,只能斷定向量組α1,α2,α3,β2線性相關(guān),不能確定α1,α2,β1是否線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān).例如α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,0,1)T,當(dāng)β1=(0,0,2)T時(shí),α1,α2,β1線性無(wú)關(guān),當(dāng)β1=(2,0,0)T時(shí),α1,α2,β1線性相關(guān),因此不選A和B.又設(shè)α1=(1,0,0,0)T,α2=(0,1,0,0)T,α3=(0,0,1,0)T,β2=(0,0,0,1)T,則α1,α2,β2線性無(wú)關(guān),因此不選C,由排除法選D.事實(shí)上,因α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),β2不能由α1,α2,α3線性表出,所以α1,α2,α3,β2線性無(wú)關(guān),從而部分組α1,α2,β2線性無(wú)關(guān).故選D.16、線性方程組當(dāng)[].A、m≠1時(shí),線性方程組有無(wú)窮多解B、m=1時(shí),線性方程組有無(wú)窮多解C、m≠1時(shí),線性方程組無(wú)解D、m=1時(shí),線性方程組無(wú)解標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由此可見(jiàn),無(wú)論m取何值,都有,因此,線性方程組總是有解的,排除C,D.當(dāng)m=1時(shí),,線性方程組有無(wú)窮多解.故選B.注當(dāng)m≠1時(shí),,線性方程組有唯一解.17、曲線x2+(y-1)2=1,與直線y=2在第一象限所圍成圖形面積為[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,所求面積為曲線,y=2,y軸所圍成圖形面積與半徑為1的半圓面積之差,所以故選A.18、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:19、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:20、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:21、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:22、某洗衣機(jī)生產(chǎn)廠家,為了檢測(cè)其產(chǎn)品無(wú)故障的啟動(dòng)次數(shù),從生產(chǎn)的一批洗衣機(jī)中任意抽取了5臺(tái),如果測(cè)得的每臺(tái)無(wú)故障啟動(dòng)次數(shù)分別為11300,11000,10700,10000,9500,那么這批洗衣機(jī)的平均無(wú)故障啟動(dòng)次數(shù)大約為[].A、10300B、10400C、10500D、10600標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:這5臺(tái)洗衣機(jī)的平均無(wú)故障啟動(dòng)次數(shù)為故選C.23、在[e,e2]上的最大值為[].A、0B、1C、2ln2D、標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:I’(x)=(1/x)lnx,當(dāng)x∈[e,e2]時(shí),I’(x)>0,所以I(x)在[e,e2]是單調(diào)遞增函數(shù),I(x)在e,e2]上的最大值是故選D.24、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析25、A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:暫無(wú)解析工程碩士(GCT)數(shù)學(xué)模擬試卷第4套一、選擇題(本題共25題,每題1.0分,共25分。)1、若的值[].A、等于B、等于C、等于D、沒(méi)法確定標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)椋蔬xC.2、設(shè)Ω是邊長(zhǎng)為a的正方形,Ω1是以歐姆四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形,Ω2是以Ω1四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形,則Ω2的面積與周長(zhǎng)分別是[].A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,設(shè)Ω的邊長(zhǎng)為a,則Ω1的邊長(zhǎng)為,Ω2的邊長(zhǎng)為,Ω2的面積為,Ω2的周長(zhǎng)為.故選B.3、甲、乙兩地相距96km,P,Q兩輛車同時(shí)從甲地出發(fā)勻速駛往乙地.開(kāi)車1h后,P車在Q車前方12kin處.P車比Q車早40min到達(dá)乙地,P車的行車速度是[]km/h.A、12B、24C、36D、48標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)P車行車速度為vkm/h,Q車1h比P車慢12km,Q車速度為(v—12)km/h.從甲地到乙地,P車需,Q車需,因此,v2—12v—144×12=0,(v—48)(v+36)=0,v=48.即P車速度為48km/h.故選D.4、按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為:,…,按此規(guī)律排列下去,這列數(shù)中的第10個(gè)數(shù)是[].A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:,…,所以這列數(shù)中的第10個(gè)數(shù)是.故選A.5、從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù),使這3個(gè)數(shù)之和能被3整除,則不同的取法有[]種.A、6B、7C、8D、9標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:本題討論取出3個(gè)數(shù)之和的性質(zhì),是與3個(gè)數(shù)次序無(wú)關(guān)的組合問(wèn)題.因?yàn)閿?shù)目不太大,可以將各種情形逐個(gè)列出.例如,首先取1,然后取2,第3個(gè)可以取3或6.然后再依次(從小到大)考慮,列出{1,2,3),{1,2,6),{1,3,5),{1,5,6),{2,3,4},{2,4,6},{3,4,5},{4,5,6},共8種取法.只要按順序不遺漏即可.故選C.6、某課程試卷由5道選擇題組成,每題所列的5個(gè)備選項(xiàng)中只有1項(xiàng)是正確的.一個(gè)沒(méi)學(xué)過(guò)該課程的學(xué)生參加了這次考試,對(duì)每個(gè)題目,該考生只能從5個(gè)備選項(xiàng)中隨機(jī)選擇1個(gè)備選項(xiàng).該考生答對(duì)4題以上的概率是[].A、0.0064B、0.00192C、0.4096D、07372標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:根據(jù)題意,該考生每道題做對(duì)的概率都是0.2,該考生5道題全對(duì)的概率為0.25,做對(duì)4道題的概率為C540.24×0.2所以該考生答對(duì)4題以上的概率是C540.24×0.2+0.25=6×0.25=0.00192.故選B.7、下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在[—1,1]上單調(diào)遞減的函數(shù)是[].A、f(x)=sinxB、f(x)=|x+1|C、f(x)=(ax+a—x)(a>0,a≠1)D、標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:先考查奇偶性.易見(jiàn)A奇,B非奇非偶,C偶.再看D:所以A,D為奇函數(shù).再考查它們的單調(diào)性.f(x)=sinx在上單調(diào)增,而≈1.57,[—1,1],所以f(x)在[—1,1]上單調(diào)增.故排除A.故選D.事實(shí)上,若令.因x∈(—2,+∞)時(shí)g(x)單調(diào)減,而y=lnx在定義域上單調(diào)增.所以復(fù)合函數(shù)lng(x)是單調(diào)減的.8、已知c為實(shí)數(shù),二次方程x2+x+c=0有兩個(gè)復(fù)數(shù)根x1和x1,滿足|x1—x2|=3,則c=[].A、B、C、—2D、2標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)x1,x2是二次方程x2+z+c=0的一對(duì)復(fù)根,故x1=α+βi,x2=α—βi,其中α,β為實(shí)數(shù),由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=—1,即.由條件|x1—x2|=3,得|2βi|=3,即.不妨寫(xiě)成.所以故選B.9、設(shè)(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)20=a0+a1x+a2x2+…+a20x20,則a1+a2=[].A、210B、231C、1150D、1540標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)20==(1+C211x+C212x2+C213x3+…+x21—1—x)=20+C212x+C213x2+…+x20.所以a1+a2=C212+C212=1540.故選D.10、函數(shù)f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為n,則口的值是[].A、B、C、2D、4標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:若a>1,函數(shù)ax和loga(x+1)均為增函數(shù),故f(x)在[0,1]上為增函數(shù).若0<a<1,f(x)在[0,1]上為減函數(shù).所以f(x)在[0,1]上最大值與最小值之和為f(0)+f(1)=a0+loga1+a+loga2=1+a+loga2,其值為a,故1+loga2=0,得10ga2=—1,故.故選B.11、由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2+y2=2引兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A和B,且∠APB=60°,則動(dòng)點(diǎn)P軌跡為[].A、橢圓B、圓C、雙曲線D、拋物線標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,圓半徑為,直角△PAO中OA=,∠APO=30°,故PO=.即動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)距離為常數(shù),其軌跡為圓x2+y2=8.故選B.12、函數(shù)是[].A、最小正周期為π的奇函數(shù)B、最小正周期為π的偶函數(shù)C、最小正周期為2π的奇函數(shù)D、最小正周期為2π的偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:所以f(x)是奇函數(shù),其最小正周期為π.故選A.13、下面4個(gè)點(diǎn)中,在直線z+y—1=0上且到點(diǎn)A(—2,3)的距離等于的點(diǎn)是[].A、P1(—2,3)B、P2(—4,5)C、P3D、P4(—3,4)標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:A點(diǎn)在直線x+y—1=0上,到A的距離為的點(diǎn)在以A為中心,半徑為的圓上,圓的方程為(x+2)2+(y—3)2=2.圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)(=1,2)與(=3,4),其一為P4.故選D.14、已知雙曲線C:.過(guò)點(diǎn)(1,1)作直線l,使l與C只有一個(gè)交點(diǎn),滿足這個(gè)條件的直線l共有[]條.A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:過(guò)點(diǎn)(1,1)的直線,如果斜率不存在,則直線為x=1,它與C有一個(gè)公共點(diǎn),即C右支上的頂點(diǎn)(1,0).過(guò)點(diǎn)(1,1)且斜率為k的直線方程為y=k(x—1)+1.將y代入C的方程,得(4—k2)x2+2(k2—k)x—(k2—2k+5)=0.(*)若k=±2,方程(*)可分別解出一個(gè)x,即有兩條符合條件的直線.若k≠±2,(*)式為二次方程,其判別式△=4(k2—k)2+4(4—k2)(k2—2k+5)=4(—8k+20).當(dāng)時(shí),△=0,1與C有一公共點(diǎn).綜上,共有4條直線滿足條件,其中2條分別平行于雙曲線的漸近線(k=±2),另兩條分別與雙曲線的右支相切.結(jié)合圖形不作上述計(jì)算也可得到選項(xiàng)D.故選D.15、已知矩形的長(zhǎng)與寬分別為8cm和6cm,則其各邊中點(diǎn)連接所得的四邊形的周長(zhǎng)與面積分別為[].A、20cm,24cm2B、20cm,36cm2C、14cm,24cm2D、14cm,36cm2標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,AA1=3cm,AD1=4cm,A1D1==5(cm).因此所求四邊形A1B1C1D1的周長(zhǎng)為5×420(cm).A1C1=8cm,B1D1=6cm,A1B1C1D1的面積=△A1C1D1的面積×2,△A1C1D1的面積==4×3=12(cm2,故四邊形A1B1C1D1面積為24cm2.故選A.16、設(shè)函數(shù),在(—∞,+∞)上可導(dǎo),則有[].A、a=0,b=2B、a一0,b==1C、a=—1,b=2D、a=e—1,b=1標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:f(x)在不是分段點(diǎn)處是初等函數(shù),因此,只需討論在分段點(diǎn)x=1處的情形.要使f(x)在x=1處可導(dǎo),必須使f(x)在x=1處連續(xù),即=f(1),也就是,所以a=0.要使f(x)在x=1處可導(dǎo),必須使f’—(1)=f’+(1).而因此b=1.故選B.17、設(shè)函數(shù)f(x),g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù),且f’(x)g(x)—f(x)g’(x)<0,則當(dāng)a<x<b時(shí)有[].A、f(x)g(b)>f(b)g(x)B、f(x)g(a)>f(a)g(x)C、f(x)g(x)>f(b)g(b)D、f(x)g(x)>f(a)g(a)標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:,因此,在[a,b]內(nèi)單調(diào)下降,于是當(dāng)a<x<6有,有,即f(x)g(b)>f(b)g(x).故選A.18、設(shè)f(x)=t3(t—2)dt,則f(x)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)是[]個(gè).A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:f’(x)=x3(x—2).令f’(x)=0,得x1=0,x2=2.f’(x)在x1和x2的兩邊改變了符號(hào),因此,x1和x2都是f(x)的極值點(diǎn).故選C.19、f(x),g(x)是連續(xù)函數(shù),且,則必有[].A、曲線y=f(x)與y=g(x)在[a,b]上重合B、曲線y=f(x)與y=g(x)僅在z=a與x=b相交C、曲線y=f(x)與y=g(x)在[a,b]上至少有一個(gè)交點(diǎn)D、不能確定曲線y=f(x)與y=g(x)在[a,b]上是否有交點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè),則F(a)=F(b)=0.F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理,至少存在ξ∈(a,b)使得F’(ξ)=0.而F’(x)=f(x)—g(x),F(xiàn)’(ξ)=0,即f(ξ)—g(ξ)=0.故選C.評(píng)注也可用積分中值定理解析本題.因,所以[f(x)—g(x)]dx=0,從而存在ξ∈[n,6]使得[f(ξ)—g(ξ)](b—a)=0,即有f(ξ)—g(ξ)=0.20、若f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且ff(a)=f(b)=0,又f2(x)dx=1,則xf(x)f’(x)dx=[].A、B、1C、0D、標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:故選D.21、設(shè)在[0,+∞)上f”(x)>0,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)如下不等式成立的是[].A、f’(0)x<f(0)—f(x)<f’(x)xB、f’(0)x<f(x)—f(0)<f’(x)xC、f(x)—f(0)>f’(0)x>f’(x)xD、f’(x)x>f’(0)x>f(x)—f(0)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由拉格朗日中值定理得f(x)—f(0)=f’(ξ)x,ξ∈(0,x).又因f”(x)>0,所以f’(x)單調(diào)遞增,所以有f’(0)<f’(ξ)<f’(x),因而有f’(0)x<f(x)—f(0)<f’(x)x。故選B.22、在f(x)=中,x2的系數(shù)為[].A、1B、—1C、0D、2標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由于在f(x)的表達(dá)式中,與x2有關(guān)的項(xiàng)只有—(x+1)2(x—1)一項(xiàng),所以x2的系數(shù)為—(1+1—1)=—1.故選B.23、設(shè)A=的3個(gè)特征值為1,2,3,則[].A、x=2,y=4,z=1B、x=—1,y=4,z為任意實(shí)數(shù)C、x=4,y=—1,z為任意實(shí)數(shù)D、x=4,y=2,z為任意實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)λ為A的特征值,有由已知|A—λI|=(1—λ)(2—λ)(3—λ)=(1—λ)(λ2—5λ+6),比較上面兩式中關(guān)于λ的同次冪系數(shù)得解此方程組得x=—1,y=4.故選B.24、設(shè)α1=(1,2,3,1)T,α2=(3,4,7,—1)T,α3=(2,6,a,6)T,α4=(0,1,3,a)T,則a=8是α1,α2,α3,α4線性相關(guān)的[].A、充分必要條件B、充分而非必要條件C、必要而非充分條件D、既不充分也不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:n個(gè)n維向量線性相關(guān)性的判定一般用行列式|α1,α2,…,α3|=0較方便.當(dāng)a=8時(shí),行列式|α1,α2,α3,α4|一0,向量組α1,α2,α3,α4線性相關(guān),但a=2時(shí)仍有行列式α1,α2,α3,α4=0,所以a=8是向量組α1,α2,α3,α4線性相關(guān)的充分而非必要條件.故選B.25、設(shè)A是三階矩陣,|A|=3,2A—I,A—21均不可逆,A*是A的伴隨矩陣,則A*的3個(gè)特征值是[].A、B、1,2,3C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:按定義,如果行列式|λI—A|0,則λ是矩陣A的特征僵.由于2A—I,A一2I小可逆,所以有|2A—I|=0,|A—2I|=0.這表明,λ2=2是A的特征值.又由|A|=λ1λ2λ3=3可知,λ3=3為A的特征值,因而A*的3個(gè)特征值分別是.故選D.注意如果矩陣A可逆,設(shè)λ是A的特征值,α是A的屬于λ的特征向量,即Aα=λα,兩邊左乘A—1得,A—1Aα=λA—1—α,即α=λA—1α,把,這表明是A*的特征值.工程碩士(GCT)數(shù)學(xué)模擬試卷第5套一、選擇題(本題共25題,每題1.0分,共25分。)1、兩條長(zhǎng)度相同的繩索,一條截掉16m,另一條接上14m后,長(zhǎng)繩長(zhǎng)度正好是短繩的4倍,則兩條繩索原來(lái)的長(zhǎng)度是[]m.A、20B、24C、26D、30標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)兩條繩索原來(lái)的長(zhǎng)度是xm,則x+14=4(x一16),解得x=26m.故選(C).2、a,b,c是滿足a>b>c>1的3個(gè)正整數(shù),如果它們的算術(shù)平均值是,幾何平均值是4,那么b的值等于[].A、2B、4C、8D、不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:c>1,c除得盡64,因此c最小為2.b>c,b除得盡64,因此b最小為4.a(chǎn)>b,a除得盡64,因此a最小為8.又abc=64=2×4×8,因此正好a=8,b=4,c=2.故選(B).3、設(shè)直線L的方程為y=kx+a,且L在x軸上的截距是其在y軸上截距的一2倍,則直線L與兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積是[].A、a2B、2a2C、2k2D、4k2標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,直線y=kx+a與x軸交點(diǎn)為(一,0),與y軸交于(0,a).由題意,×|2a|×|a|=a2.故選(A).4、一個(gè)底面半徑是10cm,高是30cm的圓柱形容器中,水深6cm.將一個(gè)長(zhǎng)和寬都是cm,高是10cm的長(zhǎng)方體鐵塊豎直放在該容器中,水面的高度為[]cm.A、6B、8C、10D、12標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:容器中水的體積是π×102×6=600π(cm3).由于(100π一25π)×10=750π>600π,所以水面沒(méi)有沒(méi)過(guò)鐵塊.設(shè)水面的高度為h,則有25πh+600π=100πh,從而水面的高度為h==8(cm).故選(B).5、某人駕車從A地趕往B地,前一半路程比計(jì)劃多用時(shí)45min,平均速度只有計(jì)劃的80%.若后一半路程的平均速度為120km/h,此人還能按原定時(shí)間到達(dá)B地.問(wèn)A,B兩地的距離為[]km.A、270B、300C、540D、600標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)A,B兩地的距離為2xkm,計(jì)劃平均速度為vkm/h.依題意得故選(C).6、經(jīng)統(tǒng)計(jì),某校教工食堂一個(gè)售飯窗口每天中午排隊(duì)買(mǎi)飯的教工人數(shù)及相應(yīng)的概率如下:一周5個(gè)工作日中,有2天或2天以上中午出現(xiàn)超過(guò)15位教工排隊(duì)買(mǎi)飯的概率是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:一個(gè)窗口排隊(duì)人數(shù)超過(guò)15的概率為0.25+0.2+0.05=0.5,5個(gè)工作日中,有一天中午出現(xiàn)超過(guò)15位教工排隊(duì)買(mǎi)飯的概率是0.55,只有一天中午出現(xiàn)超過(guò)15位教排隊(duì)買(mǎi)飯的概率是C51×0.5×0.54,所以有2天或2天以上中午出現(xiàn)超過(guò)15位教工排隊(duì)飯的概率是1—0.55-C51×0.5×0.54=.故選(C).7、已知集合M={x|≥1),N={x|x2+2x一3≤0),則M,N滿足關(guān)系[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:由不等式≥1,可知x≠1.不等式兩邊乘(1一x)2,得4(1一x)≥(1一x)2整理得x2+2x一3≤0,與x≠1聯(lián)立,解集為[一3,1).所以M={x|一3≤x<1).不等式x2+2x一3≤0的解集為[一3,1].所以N={x|一3≤x≤1).于是有MN.故選(A).8、下列命題中的假命題是[].A、對(duì)一切x>0,y>0,(x+y)()≥4B、對(duì)一切x>0,y>0,x2+y2+2≥2x+2yC、對(duì)一切x>0,y>0,D、對(duì)一切x>0,y>0,x3+y3≥2xy2標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:對(duì)一切x>0,y>0,由均值不等式所以(A)是真命題.又由x2+y2+2一(2x+2y)=(x一1)2+(y一1)2≥0,故(B)也是真命題.為分析(C),不妨設(shè)x≥y>0.式子可變形為x—y≥x一+y,等價(jià)地化為,所以(C)也為真命題.由排除法可選(D).事實(shí)上,可令t=,有t∈(0,+∞).(D)的式子可化為t3+1≥2t.而t3+1—2t=t3一t+1一t=(t2一1)(t2+t一1)=(t—t1)(t一t2)(t一1),其中,t1=,則t3+1—2t<0.故(D)為假命題故選(D).9、已知a>1,函數(shù)y=log2x在區(qū)間[a,a+1]上的最大值是最小值的2倍,則a=[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:函數(shù)y=log2x在定義域內(nèi)是增函數(shù),在[a,a+1]上當(dāng)x=a+1時(shí)最大,當(dāng)x=時(shí)最小,所以由題意得log2(a+1)=2log2a,即a+1=a2.解方程a2-a-1=0,求得a=.故選(C).10、已知an=(n=1,2,…).?dāng)?shù)列{an}各項(xiàng)之和等于[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:n為奇數(shù)時(shí),=0.所以只要考慮n為偶數(shù)時(shí)各項(xiàng)的和.而故選(C).11、過(guò)圓x2+y2=r2上的點(diǎn)P(x0,y0)作圓的切線,切線被x軸和y軸截下的線段長(zhǎng)度的取值范圍是[].A、(r,+∞)B、(2r,+∞)C、(,+∞)D、(,+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:圓上(x0,y0)點(diǎn)的切線方程是x0x+y0y=r,若切線與x軸和y軸都有交點(diǎn),交點(diǎn)為當(dāng)|x0|=|y0|時(shí)等號(hào)成立,即|AB|最小值為2r.故選(B).12、如圖所示,在正方形網(wǎng)格中,A,B,C是三個(gè)格子點(diǎn).設(shè)∠BAC=θ,則tanθ=[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)過(guò)A點(diǎn)水平的網(wǎng)格線與BC交于點(diǎn)D.記∠BAD=θ1,∠CAD=θ2,則有θ=θ1+θ2.故選(C).13、光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā),經(jīng)y軸反射到曲線C:(x一5)2+(y-7)2=4的最短路程是[].A、一2B、一2C、8D、9標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:C是以(5,7)為中心,半徑等于2的圓.光線從A出發(fā),經(jīng)y軸反射到圓C上的某點(diǎn)B(入射角等于反射角),其路程等于從A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A’(一1,1)到圓C上點(diǎn)B的路程.所以求最短的路程,就是作A’(一1,1)與圓心(5,7)的連線,連線與圓的交點(diǎn)D(最接近A’的交點(diǎn)),A’到D的距離即為所求,即故選(A).14、已知F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足線段MF1與線段MF2垂直的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)橢圓方程為=—1,a>b>0,則F2(一c,0),F(xiàn)2(c,0).因MF2⊥MF2,所以點(diǎn)M在以O(shè)為圓心,直徑為2c的圓上.點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,即有c<b.由a2=b2+c2,得a2>2c2.所以有e=.故選(C).15、菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm,對(duì)角線AC的長(zhǎng)為8cm,則此菱形內(nèi)切圓的周長(zhǎng)與面積分別是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,設(shè)菱形中心為O.菱形周長(zhǎng)為20cm,因此邊長(zhǎng)為5cm.又AC為8cm,所以O(shè)D==3(cm).菱形內(nèi)切圓半徑等于直角三角形AOD中AD邊上的高,所以內(nèi)切圓半(cm2).故選(D).16、f(x)==0,則a,b滿足[].A、a>0,b<0B、a>0,b>0C、a≤0,b>0D、a≤0,b<0標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因(a-ebx),從而應(yīng)有b>0,由此可得不選(A)和(D).又因f(x)在(一∞,+∞)上連續(xù),必須有a—ebx≠0.因ebx>0,所以應(yīng)使a-ebx<0,這樣應(yīng)有a≤0.故選(C).17、設(shè)f(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù),且xf’(x)<f(x),則當(dāng)0<a<x<b時(shí)有[].A、bf(x)>xf(b)B、af(x)>xf(a)C、xf(x)>bf(b)D、xf(x)>af(a)標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)F(x)=.由于當(dāng)0<a<x<b時(shí),xf’(x)<f(x),因此F’(x)<0.這表明F(x)是單調(diào)遞減的函數(shù),當(dāng)0<x<b時(shí)有F(x)>F(b),即,亦即bf(x)>xf(b).故選(A).18、設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo),f(a)<f(b),x0∈(a,b)是f(x)在(a,b)內(nèi)的唯一駐點(diǎn),且f(x0)>f(b),則x0是[].A、f(x)的極小值點(diǎn)B、f(x)在[a,b]上的最小值點(diǎn)C、f(x)在[a,b]上的最大值點(diǎn)D、f(x)的極大值點(diǎn),但不是f(x)在[a,b]上的最大值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因f(x)在[a,b]上可導(dǎo),所以f(x)在[a,b]上連續(xù),進(jìn)而f(x)在[a,b]上一定能取得最大值和最小值。由題設(shè)f(a)<f(b)<f(x)可知,f(x)的最大值一定在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)取得,即存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)≥f(x).由于ξ∈(a,b),因此ξ一定是極大值點(diǎn),利用取得極值的必要條件可得f’(ξ)=0.又因x0是f(x)在(a,b)內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以x0=ξ,因而x0是f(x)在[a,b]上的最大值點(diǎn).故選(C).19、設(shè)a>1,則在[0,a]上方程=0根的個(gè)數(shù)為[].A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)F(x)=,則F(x)在[0,a]上可導(dǎo),且F’(x)=>0,這表明F(x)在[0,a]上嚴(yán)格單調(diào)遞增,從而可得F(x)=0在[0,a]內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根.又F(0)=∫a0e-tdt<0,由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的零點(diǎn)存在定理知存在x0∈(0,a),使得F(x0)=0.綜合上述,F(xiàn)(x)=0在[0,a]上有且僅有一個(gè)實(shí)根.故選(B).20、曲線x2+(y-1)2=1,y=x2與直線y=2在第一象限所圍成圖形面積為[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,所求面積為曲線y=x2,y=2,y軸所圍成圖形面積與半徑為1的半圓面積之差,所以故選(A).21、設(shè),則[]。A、I1>I2>I3B、I2>I1>I3C、I3>I2>I1D、I3>I1>I2標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:由定積分性質(zhì)有I1>I2>I3.故選(A).22、設(shè)D=,則A21+A22+A23的值等于[].A、0B、18C、4D、12標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)|A|=,則A中元素的A21,A22,A23與D中元素的這三個(gè)代數(shù)余子式相同.因此故選(C).23、A是n階可逆矩陣,A*是A的伴隨矩陣,則(A*)*=[].A、|A|n-1AB、|A|n-2AC、|A|n+1AD、|A|n+2A標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由于AA*=|A|I,所以(A*)-1=,且|A*|=|A|n-1.又因?yàn)锳*(A*)*=|A*|I,所以(A*)*=|A*|(A*)-1==|A|n-2A.故選(B).24、α1=(1,0,0,O)T,α2=(2,一1,1,一1)T,α3=(0,1,一1,a)T,β=(3,一2,b,一2)T,β不能由α1,α2,α3線性表出,則[].A、b≠2B、a≠1C、b=2D、a=1標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β,對(duì)(α1,α2,α3,β)做行初等變換有當(dāng)b≠2時(shí),線性方程組x1α1+x2α2+x3α3=β無(wú)解,所以β不能由α1,α2,α3線性表出.注意b=2時(shí),a=1或a≠1,β都可由α1,α2,α3線性表出.故選(A).25、下列矩陣中,不能與對(duì)角矩陣相似的是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:選項(xiàng)(A),有三個(gè)不同的特征值,所以可以對(duì)角化.對(duì)于選項(xiàng)(B),設(shè)(B)中矩陣為B,則矩陣B的特征值為λ1=λ2=0,λ3=4.對(duì)于二重特征值λ=0,有r(B—λI)=2,所以齊次線性方程組(B—λI)x=0的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)向量,即λ=0只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,因此B沒(méi)有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.從而B(niǎo)不能對(duì)角化.故選(B).注選項(xiàng)(C)中的矩陣是對(duì)稱矩陣,所以可以對(duì)角化.設(shè)選項(xiàng)(D)中的矩陣為D,則r(D一λI)=1,所以二重特征值λ=0對(duì)應(yīng)于兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,故(D)中的矩陣可以對(duì)角化.工程碩士(GCT)數(shù)學(xué)模擬試卷第6套一、選擇題(本題共25題,每題1.0分,共25分。)1、周長(zhǎng)相同的圓、正方形和正三角形的面積分別為a,b和c,則a,b,c的大小關(guān)系是[].A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、a>c>b標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:故選A.2、三名小孩中有一名學(xué)齡前兒童,他們的年齡都是質(zhì)數(shù),且依次相差6歲.他們的年齡之和為[].A、21B、27C、33D、39標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:根據(jù)題意,有一名兒童的年齡不足6周歲,所以最小孩子的年齡只可能是2,3或5.由于2+6=8和3+6=9都是合數(shù),所以最小孩子的年齡是5,從而三個(gè)孩子的年齡分別是5,11,17,他們的年齡之和為5+11+17=33.故選C.3、已知某單位的A部門(mén)人數(shù)占單位總?cè)藬?shù)的25%,B部門(mén)人數(shù)比A部門(mén)少,C部門(mén)有156人,比B部門(mén)多,該單位共有[]人.A、426B、480C、600D、624標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)锽+=C=156,所以B=120.又因?yàn)锳一=B=120,所以A=150.從而單位總?cè)藬?shù)為.故選C.4、設(shè)互不相同的3個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.若|a-c|<|a一b|+|b一c|,則點(diǎn)B[].A、在A,C點(diǎn)的左邊B、在A,C點(diǎn)的右邊C、在A,C兩點(diǎn)之間D、與點(diǎn)A,C的關(guān)系不確定標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)椋黙一c|≤|a一b|+|b—c|,且“=”成立與點(diǎn)B位于A,C兩點(diǎn)之間等價(jià),所以當(dāng)|a—c|<|a一b|+|b一c|時(shí),點(diǎn)B不會(huì)位于A,C兩點(diǎn)之間.但既可以位于A,C點(diǎn)的左邊,也可以位于A,C點(diǎn)的右邊.故正確選項(xiàng)為(D).故選D.5、若復(fù)數(shù)z滿足(z-i)i=2+i,則z=[].A、-1-iB、-1+3iC、1-2iD、1-i標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:因?yàn)?z—i)i=2+i,所以z=i+(+1)=i-2i+1=1一i.故選D.6、把兩個(gè)不同的白球和兩個(gè)不同的紅球任意地排成一列,結(jié)果為兩個(gè)白球不相鄰的概率是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:總排列數(shù)為P44=24.要求白球不相鄰,可以先定兩個(gè)位置放白球,放法有P22=2.兩白球的左、右端和中間三處空位.若選左端和中間各放一紅球,有P22=2種排法.同理選中間和右端各放一紅球,也有2種排法.若選中間放兩個(gè)紅球,也是2種放法.白球不相鄰的排法有P22(P22+P22+P22)-12種.所求概率為.若考慮兩個(gè)白球相鄰的情況,如果把兩個(gè)白球作為一個(gè)整體與兩個(gè)紅球作排列,則有P33種排法,三個(gè)位置中的一個(gè)放兩個(gè)白球,又有P22種排法,所以兩個(gè)白球相鄰的概率為白球不相鄰的概率為.故選D.7、已知f(x)=x2+bx+c,x∈[0,+∞).f(x)是單調(diào)函數(shù)的充分必要條件是[].A、b≥0B、b≤0C、b>0D、b<0標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:函數(shù)y=f(x)的圖像是開(kāi)口向上的拋物線,其對(duì)稱軸是直線.f(x)在x∈[0,+∞)上單調(diào)(單調(diào)增),則對(duì)稱軸不應(yīng)在y軸右方,即b≥0.注意b=0時(shí)y=f(x)在[0,+∞)也是單調(diào)的.故選A.8、設(shè)a>0,b>0.若是3a與3b的等比中項(xiàng),則的最小值為[].A、3B、4C、1D、標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:由題意,,即3a+b=3,所以有a+b=1,從而.由均值不等式所以時(shí)等號(hào)成立.故選B.9、過(guò)△OAB的重心G的直線l分別與邊OA和OB交于點(diǎn)P和Q.已知OP=λOA,,則[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,設(shè)M為AB的中點(diǎn),則故選D.10、已知{an}是等差數(shù)列,a2+a3+a4=30,a5+a6=40,則公差d=[].A、2B、3C、4D、5標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:等差數(shù)列的通項(xiàng)an=a1+(n—1)d,所以a2+a3+a4=(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)=3a1+6d,a5+a6=(a1+4d)+(a1+5d)=2a1+9d.即得線性方程組解出d=4.故選C.11、已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B,則以AB為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的公共點(diǎn)的數(shù)目為[].A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:如圖所示,設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.AB中點(diǎn)為M,過(guò)A、B和M分別作l的垂線,垂足分別是A’、B’和M,則有以AB為直徑的圓,其圓心在M,且與l相切,切點(diǎn)為M’.所以此圓與l只有1個(gè)交點(diǎn).故選B.12、已知集合M={x|sinx>cosx,0<x<x},N={x|sin2x>cos2x,0<x<π),則M∩N=[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:在(0,π)上分別作出y=sinx和y=cosx,y=sin2x和y=cos2x的圖像(見(jiàn)圖),即可看出.故選B.13、直線l:x+y=b與圓C:(x-1)2+(y-1)2=2相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則b的值等于[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:用代數(shù)方程求解,以y=b一x代入圓C方程得2x2-2bx+(b—1)2-1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+2=b,x1x2=(b2-2b),(x1一x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=b2-2(b2-2b)=一b2+4b.|AB|2=(x1一x2)2+(y1一y2)2=2(x1一x2)2=2(一b2+4b),由|AB|2=4,即得一b2+4b=2,解得.本題借助圖形也很容易分析(見(jiàn)圖),即考查斜率為-1的直線l與圓C(圓心在Q(1,1),半徑為交于A,B,|AB|=2.因|QA|=|QB|=,所以△QAB為等腰直角三角形,Q至l距離為1.用.故選C.14、橢圓(1>b>0)的右頂點(diǎn)為A.已知橢圓上存在一點(diǎn)P,使(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則b的取值范圍為[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:已知A(1,0).設(shè)P(x,y),由條件得OP垂直于PA,做內(nèi)積得(x,y).(x-1,y)=0,即x(1-x)一y2=0.以y2=b2(1一x2)代入,得(1一b2)x2一x+b2=0.分解因式得(x-1)[(1—b2)x—b2]=0.因x<1得.故選B.15、如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,AC=CE.△AFC的面積為[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:在△EAB中FC//AB,所以△AFC的面積=正方形ABCD的面積一△ABC的面積一△ADF的面積故選A.16、設(shè)當(dāng)x→0時(shí),(-1)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無(wú)窮小量,而xsinxn是比(2+x)tanx2高階的無(wú)窮小量,則正整數(shù)n等于[].A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:當(dāng)x→0時(shí)(-1)ln(1+x2)~x2.x2=x4,xsinxn~x.xn=xn+1,(2+x)tanx2~2x2,由題目條件有2<n+1<4,從而n=2.故選B.17、設(shè)=[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:在;當(dāng)t=0時(shí),u=0;dt=,因此故選C.18、方程3xex+1=0在(一∞,+∞)內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為[].A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè)f(x)=3xex+1,則f’(x)=3ex+3xex=3(1+x)ex.令f’(x)=0,得x=-1.當(dāng)x<-1時(shí),f’(x)<0,當(dāng)x>-1時(shí)f’(x)>0.由此可得f(x)在(一∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)增加,x=-1是f(x)的唯一極小值點(diǎn),因而是最小值點(diǎn),最小值為f(-1)=-3e-1+1<0.由函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可判斷f(x)在(一∞,-1)內(nèi)和(-1,+∞)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),因此方程f(x)=0在(一∞,+∞)內(nèi)恰有兩個(gè)根.故選C.注(1)(2)對(duì)本題利用零點(diǎn)存在定理時(shí),可用如下方法:,f(-1)<0,f(1)=3e+1>0,因此f(x)在(-3,-1)內(nèi)和(-1,1)內(nèi)至少各有一個(gè)零點(diǎn).19、設(shè)f’(x)=[φ(x)]2,其中φ(x)在(一∞,+∞)內(nèi)恒為負(fù)值,其導(dǎo)數(shù)φ’(x)為單調(diào)減函數(shù),且φ’(x0)=0,則下列結(jié)論正確的是[].A、y-f(x)所表示的曲線在(x0,f(x0))處有拐點(diǎn)B、x=x0是y=d(x)的極大值點(diǎn)C、曲線y=f(x)在(一∞,+∞)上是凹的D、f(x0)是f(x)在(一∞,+∞)上的最大值標(biāo)準(zhǔn)答案:A知識(shí)點(diǎn)解析:因φ(x)在(一∞,+∞)內(nèi)恒為負(fù)值,所以f’(x0)=[φ(x0)]2≠0,由取得極值的必要條件,x0一定不是f(x)的極值點(diǎn),故不選(B);又如果f(x)的最值點(diǎn)x0在開(kāi)區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)取得,則x0一定是極值點(diǎn),由上面的分析知,x0一定不是f(x)的極值點(diǎn),故不選(D).f"(x)=2φ(x)φ’(x).由題設(shè)φ’(x0)=0得f"(x0)=2(2(x0)φ’(x0)=0.又因?yàn)棣铡?x)是單調(diào)遞減函數(shù),φ(x)<0,所以,當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí)f”(x)→0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)f"(x)>0.這表明(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).故選A.20、(x+x4)(ex一e-x)dx=[].A、0B、C、4eD、標(biāo)準(zhǔn)答案:B知識(shí)點(diǎn)解析:注意到ex一e-x為奇函數(shù),所以x(ex一e-x)為偶函數(shù),x4(ex一e-x)為奇函數(shù),因此故選B.21、當(dāng)y=a2一x2(x≥0)與x軸、y軸及x=2a(a>0)圍成的平面圖形的面積A等于16時(shí),a=[].A、1B、C、2D、標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:根據(jù)定積分的幾何意義,有由2a3=16得a=2.故選C.22、設(shè)A,B,C均是n階矩陣,則下列結(jié)論中正確的是[].A、若A≠B,則|A|≠|B|B、若A=BC,則AT=BTCTC、若A=BC,則|A|=|B||C|D、若A=B+C,則|A|≤|B|+|C|標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:設(shè),則A≠B,但|A|=1,|B|=1.故(A)不對(duì).A=BC,則AT=CTBT,而矩陣乘積是不能交換順序的,故(B)不對(duì).(C)是正確的.(D)不對(duì),例如設(shè).而|A|=1,|B|=0,|C|=0,故|A|≤|B|+|C|不成立.故選C.23、下列矩陣中,與對(duì)角陣相似的矩陣是[].A、
B、
C、
D、
標(biāo)準(zhǔn)答案:C知識(shí)點(diǎn)解析:與對(duì)角陣相似的矩陣對(duì)應(yīng)于特征值λ=1應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,由于所以矩陣對(duì)應(yīng)于特征值λ=1有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,故其與對(duì)角陣相似.故選C.24、設(shè)η1,η2,η3,η4是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系,則Ax=0的基礎(chǔ)解系還可以是[].A、η1-η2,η2+η3,η3-η4,η4+η1B、η1+η2,η2+η3+η4,η1-η2+η3C、η1+η2,η2+η3,η3+η4,η4+η1D、η1+η2,η2-η3,η3+η4,η4+η1標(biāo)準(zhǔn)答案:D知識(shí)點(diǎn)解析:由題目條件知Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有4個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,而(B)中僅有3個(gè)解向量,個(gè)數(shù)不符合要求,故不選(B).容易觀察到選項(xiàng)(A),(C)中的向量滿足(η1一η2)+(η2+η3)一(η3一η4)一(η4+η1)=0,(η1+η2)一(η2+η3)一(η3+η4)一(η4+η1)=0.這表明(A),(C)中的解向量都線性相關(guān),雖然(A),(C)含有4個(gè)解向量.但(A),(C)都不是Ax=0的基礎(chǔ)解系.由排除法,正確選項(xiàng)為(D).故選D.注意(A),(C)中的解向量也可用如下方法判斷其線性相關(guān)性.
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