2.3函數(shù)的單調(diào)性和最值（第1課時函數(shù)的單調(diào)性）課件高一上學期數(shù)學北師大版

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函數(shù)的單調(diào)性和最值第1課時函數(shù)的單調(diào)性第二章函數(shù)北師大版

數(shù)學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.理解函數(shù)單調(diào)性的概念.2.會根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3.能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間

單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減條件設函數(shù)y=f(x)的定義域是D,I是定義域D上的一個區(qū)間,如果對于任意的x1,x2∈I,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結論稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減單調(diào)區(qū)間區(qū)間I叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間區(qū)間I叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減圖象特征自左向右圖象逐漸上升自左向右圖象逐漸下降圖示

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)

名師點睛x1,x2的三個特征:(1)同區(qū)間性,即x1,x2∈D;(2)任意性,即不可用區(qū)間D上的兩個特殊值代替x1,x2;(3)有序性,即需要區(qū)分大小,通常規(guī)定x1<x2.思考辨析在函數(shù)單調(diào)性的定義中,能否去掉“任意”?提示

不能,不能用特殊代替一般.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)單調(diào)性定義中的“任意兩個自變量的值x1,x2”可以改為“存在兩個自變量的值x1,x2”.(

)(2)若函數(shù)y=f(x)在I上滿足f(1)<f(2),則函數(shù)y=f(x)在I上單調(diào)遞增.(

)(3)函數(shù)f(x)=在定義域上單調(diào)遞減.(

)×××2.已知函數(shù)y=f(x)(x∈[-2,6])的圖象如圖.根據(jù)圖象寫出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,單調(diào)遞增區(qū)間為

,單調(diào)遞減區(qū)間為

.

[-2,-1]和[2,6]

[-1,2]解析

由圖象可知f(x)在[-2,6]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2,-1]和[2,6],單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,2].3.[人教A版教材習題]畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象說出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間及在每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.(1)y=x2-5x-6;(2)y=9-x2.解

(1)函數(shù)y=x2-5x-6的圖象如圖所示.(2)函數(shù)y=9-x2的圖象如圖所示.由圖象可知,單調(diào)區(qū)間有(-∞,0],[0,+∞).其中y=f(x)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減.知識點2

增函數(shù)、減函數(shù)的定義

函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)條件設函數(shù)y=f(x)的定義域是D,如果對于任意的x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結論稱函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)名師點睛1.若f(x),g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);若f(x),g(x)分別是區(qū)間A上的增函數(shù)和減函數(shù),則f(x)-g(x)是區(qū)間A上的增函數(shù).2.若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反.思考辨析若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均單調(diào)遞增,你能得出函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增嗎?提示

不能得出.函數(shù)圖象是連續(xù)的才可以得出,有的分段函數(shù)不能得出.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)一個函數(shù)f(x)不是增函數(shù),就是減函數(shù).(

)(2)若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),則f(-3)>f(3).(

)(3)若函數(shù)f(x)為定義在R上的函數(shù)且滿足f(-3)>f(3),則函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù).(

)×√×2.[人教B版教材例題]求證:函數(shù)f(x)=-2x在R上是減函數(shù).證明

任取x1,x2∈R且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0,從而f(x1)>f(x2).因此,函數(shù)f(x)=-2x在R上是減函數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一判斷函數(shù)的單調(diào)性角度1利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性【例1-1】

根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.解

(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的圖象,保留其在x軸上及x軸上方部分,將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方,得到y(tǒng)=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.由圖象可得原函數(shù)在區(qū)間[-3,-1]和[1,+∞)上單調(diào)遞增,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-3]和[-1,1]上單調(diào)遞減.函數(shù)圖象如圖所示,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1]和[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0]和[1,+∞)上單調(diào)遞減.規(guī)律方法

圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性的注意點圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性主要用于常見函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)的單調(diào)性判斷,或應用于能通過常見函數(shù)圖象的平移、翻折等變換得到所給函數(shù)的圖象,從而進行單調(diào)性的判斷.變式訓練1已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結合圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.圖象如圖所示.由圖象可知,函數(shù)在區(qū)間(-∞,1],[2,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.角度2利用單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性【例1-2】

判斷函數(shù)

的單調(diào)性.規(guī)律方法

利用單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的思路當函數(shù)解析式通過變換、轉化之后,是由幾個基本函數(shù)的解析式構成的,則可分析這幾個基本函數(shù)的單調(diào)性,則看是否符合單調(diào)函數(shù)運算性質(zhì)的規(guī)律,若符合,可直接得出結論,否則,不能用這種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.此外,研究函數(shù)的單調(diào)性時,一定要堅持“定義域優(yōu)先”的原則.變式訓練2判斷函數(shù)(x<0)的單調(diào)性.探究點二利用定義證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性【例2】

證明:函數(shù)f(x)=-2x2+3x+3在區(qū)間(-∞,]上單調(diào)遞增.規(guī)律方法

利用定義證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

探究點三函數(shù)單調(diào)性的應用【例3】

(1)若函數(shù)

在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是

.

(0,3]★(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與

的大小.規(guī)律方法

1.利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小時,要注意將對應的自變量轉化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi).2.利用函數(shù)的單調(diào)性解有關函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對應關系“f”,轉化為自變量的不等式,此時一定要注意自變量的限制條件,以防出錯.3.由分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍時,一般從兩個方面思考:一方面每個分段區(qū)間上函數(shù)具有相同的單調(diào)性,由此列出相關式子;另一方面是考慮端點處的銜接情況,由此列出另一相關式子,求解即可.變式訓練4(1)[2024湖北武漢高一期末]已知f(2x)=|x-a|,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)A★(2)已知函數(shù)g(x)的定義域是[-2,2],且在定義域[-2,2]上單調(diào)遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)增函數(shù)、減函數(shù)的定義;(2)函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)區(qū)間的確定.2.方法歸納:數(shù)形結合法、定義法.3.常見誤區(qū):函數(shù)具有多個單調(diào)區(qū)間時,單調(diào)區(qū)間之間用“,”與“和”連接,含參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性易忽視定義域端點處函數(shù)值的大小.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314A級必備知識基礎練1.[探究點一](多選題)

下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=2x+1 B.y=x2+7C.y=3-x

D.y=x2+2x+1ABD解析

函數(shù)y=3-x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.12345678910111213142.[探究點一·2024陜西咸陽高一期末]函數(shù)f(x)=(x-4)·|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(-∞,0)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0)和(2,+∞)D.(2,+∞)C結合圖象可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(2,+∞).故選C.123456789101112131412345678910111213143.[探究點三]若函數(shù)y=x2+(2a-1)x+1在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是(

)B12345678910111213144.[探究點三]已知函數(shù)y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(2a-1)<f(1-a),則實數(shù)a的取值范圍是(

)C.(0,2) D.(0,+∞)B12345678910111213145.[探究點一]函數(shù)y=f(x)(x∈[-4,4])的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.[-4,-2] B.[-2,1]C.[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]B12345678910111213146.[探究點一]若函數(shù)y=ax與y=在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞減,則函數(shù)y=ax2+bx在區(qū)間(0,+∞)上(

)A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減 C.先增后減

D.先減后增B12345678910111213147.[探究點二]求函數(shù)f(x)=x+(x>0)的單調(diào)區(qū)間.解

設x1,x2是(0,+∞)上的任意兩個實數(shù),且x1<x2,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0.當x1,x2∈(0,3]時,有x1x2-9<0,即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),∴f(x)在區(qū)間(0,3]上單調(diào)遞減;當x1,x2∈[3,+∞)時,x1x2-9>0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞增.綜上可知,函數(shù)f(x)=x+(x>0)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,3],單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞).12345678910111213148.下列有關函數(shù)單調(diào)性的說法不正確的是(

)A.若f(x)為增函數(shù),g(x)為增函數(shù),則f(x)+g(x)為增函數(shù)B.若f(x)為減函數(shù),g(x)為減函數(shù),則f(x)+g(x)為減函數(shù)C.若f(x)為增函數(shù),g(x)為減函數(shù),則f(x)+g(x)為增函數(shù)D.若f(x)為減函數(shù),g(x)為增函數(shù),則f(x)-g(x)為減函數(shù)CB級關鍵能力提升練解析

根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義,知兩個相同單調(diào)性的函數(shù)相加單調(diào)性不變,選項A,B正確;對于D,g(x)為增函數(shù),則-g(x)為減函數(shù),f(x)為減函數(shù),f(x)+(-g(x))為減函數(shù),選項D正確;對于C,若f(x)為增函數(shù),g(x)為減函數(shù),則f(x)+g(x)的單調(diào)性不確定.例如f(x)=x+2為R上的增函數(shù),當g(x)=-x時,f(x)+g(x)=+2在R上為增函數(shù);當g(x)=-3x時,f(x)+g(x)=-2x+2在R上為減函數(shù),故不能確定f(x)+g(x)的單調(diào)性.故選C.12345678910111213141234567891011121314A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)A解析

畫出f(x)的圖象(圖略)可判斷f(x)在R上單調(diào)遞增,故f(4-a)>f(a)?4-a>a,解得a<2.123456789101112131410.若函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),a,b∈R且a+b≤0,則下列選項正確的是(

)A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)D解析

因為a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,又函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上是減函數(shù),所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).123456789101112131411.若函數(shù)

是定義域上的減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為

.

[-3,-1]1234567891011121314(1)求m,n的值;(2)當x∈[1,+∞)時,判斷f(x)的單調(diào)性并證明;(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求實數(shù)x的取值范圍.∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴2x1x2-1>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.1234567891011121314(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴只需1+2x2>x2-2x+4,∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.即實數(shù)x的取值范圍為(-∞,-3)∪(1,+∞).12345678910111213141234567891011121314C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練13.(多選題)下列說法正確的是(

)A.若對于?x1,x2∈R,x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),則函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù)B.若對于?x1,x2∈R,x1≠x2,都有

>-1,則函數(shù)y=f(x)+x在R上是增函數(shù)C.若對于?x∈R,都有f(x+1)>f(x)成立,則函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù)D.函數(shù)y=f(x),y=g(x)在R上都是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x)·g(x)在R上也是增函數(shù)AB1234567891011121314解析

x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)化簡為(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),故A正確;>0,則函數(shù)y=f(x)+x在R上是增函數(shù),故B正確;C選項中,令f(x)=[x],[x]表示不超過x的最大的整數(shù),滿足f(x+1)>f(x),但f(x)在R上不是增函數(shù),如f(1.2)=f(1.5),故C錯誤;D選項中,令f(x