新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)必修5全冊(cè)教案

數(shù)學(xué)?

人民教育出版社A版必修5全冊(cè)教案

目錄

第一章解三角形....................................................................2

第1節(jié).正弦定理和余弦定理..............................................................2

1.1.1.正弦定理..........................................................................................................................................................2

1.1.2.余弦定理..........................................................................................................................................................3

第2節(jié).應(yīng)用舉例........................................................................6

第二章數(shù)列.......................................................................12

第1節(jié).數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法..........................................................12

第2節(jié).等差數(shù)列.......................................................................18

第3節(jié).等差數(shù)列的前N項(xiàng)和.............................................................24

第4節(jié).等比數(shù)列.......................................................................28

第5節(jié).等比數(shù)列的前N項(xiàng)和.............................................................30

第三章不等式.....................................................................37

第1節(jié).不等式與不等關(guān)系...............................................................37

第2節(jié).一元二次不等式及其解法.........................................................42

第3節(jié).二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題.......................................48

3.3.1.二元一次不等式（組）與平面區(qū)域.........................................................................................................48

3.3.2.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題...................................................................................................................................54

I~~—a+h

第4節(jié).基本不等式y(tǒng)Jab<——.......................................................60

2

第一章解三角形

第1節(jié).正弦定理和余弦定理

-.1.1.正弦定理

教學(xué)要求：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦

定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題.

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù).

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：在直角三角形中，邊角關(guān)系有哪些？（三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)）如何解

直角三角形？那么斜三角形怎么辦？

2.由已知的邊和角求出未知的邊和角，稱(chēng)為解三角形.已學(xué)習(xí)過(guò)任意三角形的哪些邊角關(guān)系？（內(nèi)角和、

大邊對(duì)大角）是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化？一引入課題：正弦定理

二、講授新課：

1.教學(xué)正弦定理的推導(dǎo)：

①特殊情況：直角三角形中的正弦定理：sia4=-sinB=2sinC=l即c=，一=—竺=」一.

ccsinAsinBsinC

②能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）

當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是C。，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有CO=asinB=bsinAjliJ

—.同理，—（思考如何作高？），從而_L=_L=_J.

sinAsin5sinAsinCsinAsin3sinC

③*其它證法：證明r（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中&A8c=」"sinC=gacsinB=；〃csinA.

兩邊同除以,而c即得：

2sinAsinBsinC

證明二：（外接圓法）如圖所示，NA=ND,：.-^—=-^—=CD=2R,

sinAsinD

bc

同理」^=2尺^(guò)=2R.

sinBsinC

證明三：（向量法）過(guò)A作單位向量］垂直于衣，由於+而=4方邊同乘以單位向量了得…

④正弦定理的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，及基本應(yīng)用：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；已

知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值.

2.教學(xué)例題：

①出示例1：在A4BC中，已知A=45°,3=60°,a=42cm,解三角形.

分析已知條件一討論如何利用邊角關(guān)系一示范格式一小結(jié)：已知兩角一邊

②出示例2：A45c中，,?=",4=45|）,4=2,求匕和民€:.

分析已知條件一討論如何利用邊角關(guān)系f示范格式f小結(jié)：已知兩邊及一邊對(duì)角

③練習(xí)：A/U3C中，》=6,8=60°,。=1,求4和4,(2.

在AABC中，已知a=10cm,匕=14cm,A=40°,解三角形(角度精確到1°,邊長(zhǎng)精確到1cm)

④討論：已知兩邊和其中?邊的對(duì)角解三角形時(shí)，如何判斷解的數(shù)量？

3.小結(jié)：正弦定理的探索過(guò)程；正弦定理的兩類(lèi)應(yīng)用；已知兩邊及一邊對(duì)角的討論.

三、鞏固練習(xí)：

1.已知AABC中，ZA=60°,a=G，求---'--------.

sinA+sin6+sinC

2.作業(yè)：教材練習(xí)1(2),2題.

一.1.2.余弦定理

教學(xué)要求：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本

的解三角形問(wèn)題.

教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：向量方法證明余弦定理.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問(wèn)：正弦定理的文字語(yǔ)言？符號(hào)語(yǔ)言？基本應(yīng)用？

2.練習(xí)：在AABC中，已知。=1°,A=45°,C=30°,解此三角形.f變式

3.討論：已知兩邊及夾角，如何求出此角的對(duì)邊？

二、講授新課：

1.教學(xué)余弦定理的推導(dǎo)：

①如圖在乙48c中，A8、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b.%

-:AC=AB+BC,\

2

.AC?AC^(AB+BC)*(AB+BC)=AB+2AB?~BC+'BC'

‘一2'1''-2

2

-AB+2|A8|?|8C|cos(180°-8)+8C=c-2accoSB+a\

222

gpb=c+a-2accosBt-

fl2=22222

②試證：t>+c-2bccosA(c=a+b-labcosC

③提出余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦

的積的兩倍.

用符號(hào)語(yǔ)言表示/=^+/-2H854,...等；一基本應(yīng)用：已知兩邊及夾角

④討論：已知三邊，如何求三角？

cosA=

f余弦定理的推論：―2bc，…等.

⑤思考：勾股定理與余弦定理之間的關(guān)系？

2.教學(xué)例題：

①出示例1：在AABC中，已知叱20，c=*>+五,8=60°,求b及A.

分析已知條件一討論如何利用邊角關(guān)系一示范求b

f討論：如何求A?（兩種方法）（答案：b=2叵,4=60°）

f小結(jié)：已知兩邊及夾角

②在△ABC中，已知“T3c〃?，h=Scm,c=i6cm,解三角形.

分析已知條件一討論如何利用邊角關(guān)系-分三組練習(xí)一小結(jié)：已知兩角一邊

3.練習(xí)：

①在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.

②在AABC中，已知a=2,b=3,C=82°,解這個(gè)三角形.

4.小結(jié)：余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例;

余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

三、鞏固練習(xí)：

1.在△ABC中，若6+/+尻,求角A.（答案：A=120°）

2.三角形ABC中，A=120°,b=3,c=5,解三角形.

f變式:求sinBsinC；sinB+sinC.

3.作業(yè)：教材練習(xí)1、2（1）題.

§正弦定理和余弦定理（練習(xí)）

教學(xué)要求：進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容，能熟練運(yùn)用余弦定理、正弦定理解答有關(guān)問(wèn)題，如判斷三角

形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.

教學(xué)重點(diǎn)：熟練運(yùn)用定理.

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.寫(xiě)出正弦定理、余弦定理及推論等公式.

2.討論各公式所求解的三角形類(lèi)型.

二、講授新課：

1.教學(xué)三角形的解的討論：

①出示例1：在aABC中，已知下列條件，解三角形.

7t

(i)A=6,a=25,b=50區(qū)(ii)A=6,a=25應(yīng)，b=50&；

7C50m71

(iii)A=6,a=3,b=50&；(iiii)A=6,a=50,b=50夜.

分兩組練習(xí)f討論：解的個(gè)數(shù)情況為何會(huì)發(fā)生變化？

②用如下圖示分析解的情況.(A為銳角時(shí))

已知邊a,b和/A

a<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b

無(wú)解僅有一個(gè)解有兩個(gè)解僅有一個(gè)解

②練習(xí)：在aABC中，已知下列條件，判斷三角形的解的情況.

2乃2%

(i)A=3,a=25,b=50夜；(ii)A=3,a=25,b=10加

2.教學(xué)正弦定理與余弦定理的活用:

①出示例2：4AABC中，已知sinA:sinB:sinC=6：5：4,求最大角的余弦.

分析：已知條件可以如何轉(zhuǎn)化？一引入?yún)?shù)k,設(shè)三邊后利用余弦定理求角.

②出示例3：在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判斷三角形的類(lèi)型.

分析：由三角形的什么知識(shí)可以判別？一求最大角余弦，由符號(hào)進(jìn)行判斷

a2=b2+c：=力是直角oA/員是直角三角形

a'>b“+c-=4是鈍角o△46。是鈍角三角形

結(jié)論：活用余弦定理，得到：@2<62+/=1是銳角密.6提銳角三角形

③出示例4：已知AABC中，hcosC=ccos8,試判斷^ABC的形狀.

分析：如何將邊角關(guān)系中的邊化為角？一再思考：又如何將角化為邊？

3.小結(jié)：三角形解的情況的討論；判斷三角形類(lèi)型；邊角關(guān)系如何互化.

三、鞏固練習(xí)：

sinA_2a+b

1.已知a、b為aABC的邊，A,B分別是a、b的對(duì)角，且sinB3,求b的值

2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:5:6,則cosA:cosB:cosC=.

3.作業(yè)：教材B組1、2題.

第2節(jié).應(yīng)用舉例

§應(yīng)用舉例（一）

教學(xué)要求：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的

測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ).

教學(xué)重點(diǎn)：熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理解答有關(guān)三角形的測(cè)量實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立解三角形的數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.在中，ZC=60°,”+b=2（G+l）,c=20,則NA為.

B

2.在△ABC中，siM=-Smg+SinC,判斷三角形的形狀.

cos8+cosC

解法：利用正弦定理、余弦定理化為邊的關(guān)系，再進(jìn)行化簡(jiǎn)

二、講授新課：

1.教學(xué)距離測(cè)量問(wèn)題：

①出示例1：如圖，設(shè)A、8兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的

河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是55〃?，ZBAC=51°,/ACB=75°.求A、B

兩點(diǎn)的距離（精確到0.1m）.、

分析：實(shí)際問(wèn)題中已知的邊與角？選用什么定理比較合適？

f師生共同完成解答.一討論：如何測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之二

間的距離？

③出示例2：如圖，4、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.

分析得出方法：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測(cè)得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得

ZBCA=a,Z.ACD=P,4CDB=y,Z.BD\=8.

討論:依次抓住哪幾個(gè)三角形進(jìn)行計(jì)算？

一寫(xiě)出各步計(jì)算的符號(hào)所表示的結(jié)論.具體如下：

在AAOC和A8OC中，應(yīng)用正弦定理得

ALasin（y+b）_?sin（7+<5）gQ—asiny_osiny

sin[l80°一（〃+y+S）]sin（尸+y+5）'sin[l80°一（a+6+7）]sin（a+夕+y）

計(jì)算出AC和8c后，再在△力8c中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出48兩點(diǎn)間的距離

AB=VAC2+BC2-2ACxBCcosa

④練習(xí)：若在河岸選取相距40米的C、。兩點(diǎn)，測(cè)得N8C4=60",NACZ）=30°,/CDB=45?,ZBDA

=60°.（答案：AB=206）.

2.小結(jié)：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜

三角形的數(shù)學(xué)模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）

檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.

三、鞏固練習(xí)：

1.隔河可以看到兩個(gè)目標(biāo)，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距百女機(jī)的C、。兩點(diǎn)，并測(cè)得NAC8=75°,

/BCO=45°,乙4。。=30°,乙4。8=45°.A、8、C、。在同一個(gè)平面，求兩目標(biāo)4、B間的距離.（答

案：A/5km）

2.兩燈塔4、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30°,燈塔B在觀察站

C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？（答案：41akm）

3.作業(yè)：教材練習(xí)1、2題.

§應(yīng)用舉例（二）

教學(xué)要求：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)

題.

教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)：能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件.

教學(xué)過(guò)程:

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：測(cè)量建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)卜方山頂?shù)暮０胃叨饶?

2.討論：怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？

二、講授新課：

1.教學(xué)高度的測(cè)量：

①出示例1：A8是底部8不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一

種測(cè)量建筑物高度A8的方法.

分析：測(cè)量方法一計(jì)算方法

師生??起用符號(hào)表示計(jì)算過(guò)程與結(jié)論.

心H一4l…?sinasin25

AB=AE-^-h=ACs\na+h=----------+/?f.

sin(a-/?)

②練習(xí)：如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角a=54°40',在塔底C處

測(cè)得力處的俯角P=50'V.已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高C。（精確到1⑼

③出示例2：如圖,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂。在東

偏南15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南25°的方向上,

仰角為8°,求此山的高度CO.

分析：已知條件和問(wèn)題分別在哪幾個(gè)三角形中？分別選用什么定理來(lái)

依次解各三角形？-師生共同解答.

解答:在AABC中，NA=15°,/C=25°-15°=10°,根據(jù)正弦定理，-竺

sinA

AB

sinC

ARsinAssin15

BC=——；----=—；...—7.4524（km）,CD=BCxtanZDBC^BCxtan80—1047（⑼.

sinCsin10

2.練習(xí)：某人在山頂觀察到地面上有相距2500米的A、8兩個(gè)目標(biāo)，測(cè)得目標(biāo)A在南偏西57°,俯角

是60°,測(cè)得目標(biāo)8在南偏東78°,俯角是45°,試求山高.

解法：畫(huà)圖分析，標(biāo)出各三角形的有關(guān)數(shù)據(jù)，再用定理求解.關(guān)鍵：角度的概念

3.小結(jié)：審題；基本概念（方位角、俯角與仰角）；選擇適合定理解三角形；三種高度測(cè)量模型（結(jié)合

圖示分析）.

三、鞏固練習(xí)：

1.為測(cè)某塔A8的高度，在一幢與塔48相距20m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30°,測(cè)得塔基8

的俯角為45°,則塔A8的高度為多少〃，？答案：20+今叵（⑼

2.在平地上有力、B兩點(diǎn)，A在山的正東，B在山的東南，且在4的南25°西300米的地方，在A側(cè)山

頂?shù)难鼋鞘?0°,求山高.（答案：230米）

3.作業(yè)：練習(xí)1、3題.

§應(yīng)用舉例（三）

教學(xué)要求：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)重點(diǎn)：熟練運(yùn)用定理.

教學(xué)難點(diǎn)：掌握解題分析方法.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：如何測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離？又如何測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的距

離？如何測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高度？與前者有何相通之處？

2.討論：在實(shí)際的航海生活中，如何確定航速和航向？［北

通法：轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問(wèn)題

二、講授新課：；

1.教學(xué)角度的測(cè)量問(wèn)題：/t>B

①出示例1：甲、乙兩船同時(shí)從8點(diǎn)出發(fā)，甲船以每小時(shí)10（后+l）h〃的速度向A—

正東航行，乙船以每小時(shí)20km的速度沿南60°東的方向航行，1小時(shí)后甲、乙兩船分別到達(dá)A、C兩

點(diǎn)，求4、C兩點(diǎn)的距離，以及在A點(diǎn)觀察C點(diǎn)的方向角.

分析：根據(jù)題意，如何畫(huà)圖？一解哪個(gè)三角形？用什么定理？如何列式？

一學(xué)生講述解答過(guò)程（答案：―）

6

f小結(jié)：解決實(shí)際問(wèn)題，首先讀懂題意，畫(huà)出圖形f再分析解哪個(gè)三角形，如何解？

②練習(xí)：已知A、8兩點(diǎn)的距離為100海里，B在A的北偏東30°,甲船自A以50海里/小時(shí)的速度

向B航行，同時(shí)乙船自B以30海里/小時(shí)的速度沿方位角150°方向航行，問(wèn)航行幾小時(shí)，兩船之間

的距離最小？

畫(huà)出圖形，并標(biāo)記已知和要求的一解哪個(gè)三角形？用什么定理解？如何列式？

③出示例2：某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45。相距9海里的C處有?艘走私船，正沿南偏東75°的方

向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問(wèn)巡邏

艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？

分析:如何畫(huà)出方位圖？一尋找三角形中的已知條件和問(wèn)題？一如何解三角形.

一師生共同解答.（答案：北偏東83°13'方向；1.4小時(shí)）

④練習(xí)：某漁輪在力處測(cè)得在北45°的C處有一魚(yú)群，離漁輪9海里，并發(fā)現(xiàn)魚(yú)群正沿南75°東的方

向以每小時(shí)10海里的速度游去，漁輪立即以每小時(shí)14海里的速度沿著直線方向追捕，問(wèn)漁輪應(yīng)沿什么

方向，需幾小時(shí)才能追上漁群？

2.小結(jié)：

（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.（2）已知量與未

知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出

問(wèn)題的解.

三、鞏固練習(xí)：

1.我艦在敵島4南偏西50。相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10。的方向以10海里/小時(shí)的速

度航行.問(wèn)我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？

2.某時(shí)刻A點(diǎn)西400千米的B處是臺(tái)風(fēng)中心，臺(tái)風(fēng)以每小時(shí)40千米的速度向東北方向直線前進(jìn)，以臺(tái)

風(fēng)中心為圓心，300千米為半徑的圓稱(chēng)為“臺(tái)風(fēng)圈”，從此時(shí)刻算起，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間4進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈？A

處在臺(tái)風(fēng)圈中的時(shí)間有多長(zhǎng)？

3.作業(yè)：教材習(xí)題1.2A組2、3題.

§應(yīng)用舉例（四）

教學(xué)要求：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題，掌握三角形的面

枳公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用，能證明三角形中的簡(jiǎn)單的恒等式.

教學(xué)重點(diǎn)：三角形面積公式的利用及三角形中簡(jiǎn)單恒等式的證明.

教學(xué)難點(diǎn)：利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問(wèn)：接觸過(guò)哪些三角形的面積公式？

2.討論：已知兩邊及夾角如何求三角形面積？

二、講授新課：

1.教學(xué)面積公式：

①討論：AABC中，邊BC、CA.A8上的高分別記為/>“、*、",那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?/p>

一如何計(jì)算三角形面積？

②結(jié)論：三角形面積公式，S=—absinC,S=—bcsiiiA,S=—acsinB

222

③練習(xí)：已知在AA8C中，/8=30°力=6￡=6百,求”及44班?的面積5.

（解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)）

④出示例1：在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三

角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68機(jī),88丸127%這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到（Hen?）?

分析：由已知條件可得到什么結(jié)論？根據(jù)三角形面積公式如何求一個(gè)角的正弦？

一師生共同解答.一小結(jié)：余弦定理，誘導(dǎo)公式，面積公式.

f討論：由三邊如何直接求面積？（海侖公式）

2.教學(xué)恒等式證明：

①討論：射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA.

分析：如何證明第一個(gè)式子？

?.a~+b~~c~a~+c~~b~

證一：右邊=b----------------Fc-------=--a-=左邊

2ab2ac2a

證二：右邊=27?sinBcosC+2RsmCcosB=2Rsin（B+C）=2RsinA=a=左邊

f學(xué)生試證后面兩個(gè).

②出示例2：在AABC中，求證：

222

（1）"=si>4：sinB仁）a+^+c=2（bccosA+cacosB+abcosC）

c2sin2C

分析：觀察式子特點(diǎn)，討論選用什么定理？

3.小結(jié)：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”.

三、鞏固練習(xí)：

1.在△4BC中，若螞4=4，判斷△ABC的形狀.（兩種方法）

tanBb~

2.某人在歷汽車(chē)站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車(chē)沿公路向M站行駛.公路

的走向是〃站的北偏東40°.開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)到A的距離為31千米，汽車(chē)前進(jìn)20千米后，到A的距離縮

短了10千米.問(wèn)汽車(chē)還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車(chē)站？（15千米）

3.作業(yè)：教材習(xí)題4、5題.

第一章小結(jié)

--教學(xué)重點(diǎn)

1.理解正弦定理及余弦定理的推導(dǎo)證明過(guò)程，能夠熟練運(yùn)用正、余弦定理解三角形。

2.根據(jù)實(shí)際情況設(shè)計(jì)測(cè)量距離、高度、角度等的測(cè)量方案，并能利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題

3.靈活運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化求角度、判斷三角形形狀等有關(guān)三角形的問(wèn)題。

二.教學(xué)難點(diǎn)：①正、余弦定理的推導(dǎo)證明，應(yīng)用定理解三角形。②設(shè)計(jì)測(cè)量距離、高度、角度等的測(cè)

量方案，并能利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，③在現(xiàn)實(shí)生活中靈活運(yùn)用正、余弦定理解決問(wèn)題。進(jìn)行

邊角轉(zhuǎn)化

三.教學(xué)過(guò)程

解:二角形的應(yīng)用舉例

—[兩點(diǎn)間距離的測(cè)量]

----（物體高度的測(cè)量）

---1角度的測(cè)量）

2、例題講解:

例1.在A4BC中，已知8=45°,C=60°,c=1。試求最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度。

例2.在AABC中，已知a:b:c=3:J7:2,試判斷此角形的形狀并求出最大角與最小角的和。

例3.如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設(shè)于C、D,已知AABC為邊長(zhǎng)等于a的正三角形,

當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于B時(shí)，測(cè)得NCO8=45°,48=75°,試求炮擊目標(biāo)的距離AB。

三、鞏固練習(xí)

1.在AA3C中，sinA:sinsinC=3:2:4試試判斷此角形的形狀并求出最小角。

2.在AA3C中，a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊，且您0=」-

cosC2Q+C

（1）求角8的大?。唬?）若匕=JT5,a+c=4,求a的值。

3.a,b,c分別是AABC的三邊，a2+c2=b2+y[3ac,則角8為---度。

4.測(cè)-塔（底不可到達(dá)）的高度，測(cè)量者在遠(yuǎn)處向塔前進(jìn)，在A處測(cè)得塔頂C的仰角40",再前進(jìn)20

米到B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得C的仰角為60°,試求此塔的高度CD。

第二章數(shù)列

第1節(jié).數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

教學(xué)目的：

1.通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生理解數(shù)列的概念,理解數(shù)列是一種特殊函數(shù),把數(shù)列融于函數(shù)之中；

2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式,并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng),對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列,會(huì)根據(jù)前幾項(xiàng)

寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式；

3.理解遞推公式的意思,能類(lèi)比函數(shù)畫(huà)出數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象；

4.理解通項(xiàng)公式與遞推公式的異同；

5.通過(guò)探究、思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析等教學(xué)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，并通過(guò)日常生

活重的大量實(shí)例,鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn),大膽猜想,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)

度；

6.通過(guò)本節(jié)章頭圖的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,理解大自然的豐富多彩,感受“大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”，

從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重點(diǎn)：

1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念；

2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式的意義,并能根據(jù)通項(xiàng)公式或遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)；

3.了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：

1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

2.理解遞推公式和通項(xiàng)公式的關(guān)系；

3.數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用的處理技巧.

教學(xué)過(guò)程：

一、引入新課：

創(chuàng)設(shè)情景

引導(dǎo)學(xué)生閱讀章頭圖幾文字說(shuō)明，“有人說(shuō)，大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”“樹(shù)木的分叉、花瓣的數(shù)量、植物

的種子或樹(shù)木的排列……都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律”，那么大自然是怎么懂?dāng)?shù)學(xué)的?都遵循了什么樣的規(guī)律?

真是神奇而又奧妙.插圖右側(cè)是四種不同類(lèi)型的花瓣,其花瓣樹(shù)木分別是3,5,8,13,你看出這幾個(gè)數(shù)字的

特點(diǎn)了嗎?前兩個(gè)之和恰好等于后一個(gè)，你說(shuō)奇妙不奇妙?這種規(guī)律就是我們將要學(xué)習(xí)的數(shù)列.

引例

1.國(guó)際象棋中的每個(gè)格子中一次放入這樣的麥粒數(shù)排成一列數(shù)

1,2,22,23,24,-,263

2.某班學(xué)生的學(xué)號(hào)由小到大排成一列數(shù)

1,2,3,4,…,45

3.1984年至2008年,我國(guó)奧運(yùn)健兒在歷次奧運(yùn)會(huì)上獲得的金牌數(shù)排成一列數(shù)

15,5,16,16,28,32,51

像上面這些例子中,按一定次序排成的一列數(shù),它們有什么共同特點(diǎn)？

共同特點(diǎn)：

(1)每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)；

(2)這些數(shù)在排列上按一定順序來(lái).

二、講解新課：

1.數(shù)列的概念

按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)

有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，通常也叫做首項(xiàng)，排在第二位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第2

項(xiàng)，…,排在第〃位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第〃項(xiàng).

注：從數(shù)列定義可以看出，數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那

么他們就不是同一數(shù)列，顯然數(shù)列和數(shù)集有本質(zhì)的區(qū)別.

2.數(shù)列的記法

數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成：4,4，…，4,…，可簡(jiǎn)記為｛〃“｝.其中%是數(shù)列的第〃項(xiàng).

3.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛*｝的第〃項(xiàng)氏與序號(hào)〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式怎=/(〃)來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫

做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

注：(1)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)不唯一.

如1,0,1,0,1,0,1?！?，

它的通項(xiàng)公式可以是*=1+(T)，也可以是%=|cos吐1萬(wàn)

22

(2)通項(xiàng)公式的作用:①求數(shù)列中的任意一項(xiàng)；

②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是不是該數(shù)列中的項(xiàng),并確定是第幾項(xiàng).

4.數(shù)列的本質(zhì)

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作一個(gè)定義域是正整數(shù)集N*(或它的子集｛1,2,3,…,〃｝)的函數(shù).當(dāng)自變

量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.而數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值,序號(hào)就是自變量,數(shù)列的通項(xiàng)公式就是

相應(yīng)函數(shù)的解析式.其圖象是一群孤立點(diǎn).由于函數(shù)有三種表示法，所以數(shù)列也有三種表示法:列表法、圖

象法和通項(xiàng)公式法.通常用通項(xiàng)公式法表示數(shù)列.

5.數(shù)列的分類(lèi)

(1)按數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是否有限,分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列.

項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列；

項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列.

(2)按數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)的變化趨勢(shì)，分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列.

一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；

?個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；

各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)列；

一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列.

6.遞推公式

已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它前一項(xiàng)a,-(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表

示,這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式.

注：已知數(shù)列的遞推公式時(shí),采用逐次代值法,可以求出數(shù)列的其它項(xiàng)值.

三、講解范例：

例1寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列個(gè)數(shù):

/、，71

(1)1,————(2)2,0,2,0.

234

.,22-132-142-152-1

(3)1,3,5,7⑷r-，——

2345

n+1

解：⑴—(2)%=2|cos

n2

("+1)2-1

⑶an-2n-\(4)明

n+1

類(lèi)型題：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

23456

⑴1,0,1,0,…(2),----------,—,-----

38152435

⑶7,77,777,7777,.-■(4)-1,7,-13,19,-25,31,…

(5)1,3,3,5,5,7,7,99…(6)1,3,7,15,-

(7)2,-6,12,-20,30,-42,---(8)0.9,0.99,0.999,0.9999,…

.A.246810

(9)-,-,3,—,???(IO)9999,■°.

333315356399

1+(-1嚴(yán)〃+1

答案：⑴巴

2("+1)2-1

7

⑶%(4)=(-l)H(6n-5)

1+(-1)"

⑸ann+——-——(6)an2"-1

2

⑺%(一1嚴(yán)〃(〃+1)⑻a=1------

10"

n2n

(9)a(10)a-

n~3n

(2n-l)(2n+l)

點(diǎn)評(píng)：這種由“數(shù)”給出數(shù)列的“式”的題目，解決的關(guān)鍵是找出這個(gè)數(shù)列呈現(xiàn)的規(guī)律性的東西,然后在

通過(guò)歸納給出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.但是學(xué)生應(yīng)該注意到,數(shù)列的通項(xiàng)公式并不是唯一的.常用下

列手段來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題：

①用(-1)"和(-1)向來(lái)調(diào)整符號(hào)；

②各項(xiàng)均化為分?jǐn)?shù)，平方數(shù),指數(shù),對(duì)數(shù)及同類(lèi)式子再找規(guī)律；

③借助一些特殊的數(shù)列：/},{r},{2〃—1},{a"},{l+f},+

n22

④有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用分段的形式來(lái)表示.

例2根據(jù)下面數(shù)列{樂(lè)}的通項(xiàng)公式,寫(xiě)出前5項(xiàng).

n

(1)a=----(2)a=(-1)"-n(3)a=2

nn+lnn

解：略

例3在數(shù)列｛%｝中，卬=3,4。=21,通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)的一次函數(shù).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，并求。2008；

(2)若bn=a2n,求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式.

解：略

例4已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a?=—2/+9〃+3.

(1)試問(wèn)2是否是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)？

(2)求數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)；

⑶若明N0,求〃.

解：略

例5已知數(shù)列1,2二7,一5,1一3,…

325

(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式對(duì);

(2)根據(jù)a?判斷數(shù)列｛an｝的增減性和有界性.

2222

(2)因?yàn)閍-a=(3-----)-(3—)=-------->0

n+lnn+1nnzz+1

所以數(shù)列｛a“｝是遞增數(shù)列

2

又因?yàn)?<%=3--<3

n

所以數(shù)列｛%｝是有界數(shù)列.

例6已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)卬=1,且勺=1+—]—(〃>1),寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).

?n-i

解：略

例7(1)已知數(shù)列｛。,,｝的首項(xiàng)為=2，且6+]=an-4(n>1),試寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng),并歸納出通項(xiàng)

公式.

(2)在數(shù)列｛6｝中，/=0,=%+(2〃—1)(〃GN*),試寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納出通

項(xiàng)公式.

解：略

例8設(shè)數(shù)列也“｝是以1為首項(xiàng)的正數(shù)列I,且(〃+l)a,t,-na^+an+ia?=0(〃e*),求數(shù)列｛明｝的通

項(xiàng)公式.

解：略

類(lèi)型題1:已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,=2%,寫(xiě)出前5項(xiàng)，并猜想明.

類(lèi)型題2:已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,見(jiàn)出寫(xiě)出前5項(xiàng)，并猜想明.

+2

類(lèi)型題3:已知數(shù)列｛%｝滿足4=3,=3%—2,寫(xiě)出前5項(xiàng),并猜想瑪.

例9已知數(shù)列｛”“｝的遞推公式是%+2=3%+1-2%，且％=1,%=3.求:

(1)牝；(2)127是這個(gè)數(shù)列中的第幾項(xiàng)？

S~~S1">1

例10若記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，試證明明=:.

S1n-1

證明：略

變式題1:已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=2/一〃，求明.

變式題2:已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=/?2+〃+1,求明.

變式題3:已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=2"-1,求

例11如圖中的三角形成為謝賓斯基(Sierpinski)三角形.在下圖四個(gè)三角形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次

構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng),請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出它的圖象.(P30

例2)

AAA

解：略

例12如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽,會(huì)徽的主體圖案是由如圖所示的一連串直角三角形演化

而成,其中OAy--44=]>

記,OA2,OA3,--,OA7,。4的長(zhǎng)度所在的數(shù)列為&｝(〃€N*,14〃48)

(1)寫(xiě)出數(shù)列的前4項(xiàng)；

(2)寫(xiě)出數(shù)列｛/“｝的一個(gè)遞推關(guān)系式；

(3)求｛/“｝的通項(xiàng)公式；

(4)如果把圖中的三角形繼續(xù)做下去,那么。&，。&008的長(zhǎng)度分別為多少？

/1?>

補(bǔ)充練習(xí)：

1.下列說(shuō)法正確的是(C)

A.數(shù)列1,3,5,7可以表示為｛1,3,5,7)

B.數(shù)列1,0,T,—2與數(shù)列—2,-1,0,1是相同的數(shù)列

C.數(shù)列｛竺)的第女項(xiàng)為1+1

nk

D.數(shù)列0,2,4,6,8,…可記為｛2〃｝

2.設(shè)數(shù)列03,0.33,0.333,0.3333,…的通項(xiàng)公式是(B)

11123

A.-(10"-1)B.-(1-----)C.-(10"-1)D.—(10H-1)

9310"910

3.已知數(shù)列｛”“｝中，=1,。2=3,%=an-\+——(?N3),則為等于(A)

an-2

5513

A.—B.—C.4D.5

123

4.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為=1且%=—ga,i(〃N2),則知等于(D)

,,1171

A.-1B.-C.—D.---

2248

5.已知數(shù)列｛氏｝滿足=%+；,則數(shù)列｛*｝是(A)

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列D.常數(shù)列

6.已知數(shù)列｛*｝滿足%+2=6+1+%,若q=1,。5=8,則%等于(D)

A.-1B.2C.1D.3

7.數(shù)列32,上,士…的一個(gè)通項(xiàng)公式是.(氏=±2)

52117"3n+2

8.數(shù)列｛%｝滿足4=1。82(〃2+3)-2,貝心0823是這個(gè)數(shù)歹1」的第一項(xiàng).(3)

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