八年級數(shù)學人教版（上冊）11.2.2 三角形的外角

11.2.2三角形的外角第十一章三角形11.2

與三角形有關的角1.理解并掌握三角形的外角的概念．2.能夠在能夠復雜圖形中找出外角.（難點）3.掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和及三角形的內角和．（重點）4.會利用三角形的外角性質解決問題.學習目標新課導入教學目標教學重點在一個三角形花壇的外圍走一圈，在每一個拐彎的地方都轉了一個角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原來位置時（方向與出發(fā)時相同），一共轉了多少度？新課導入講授新課典例精講歸納總結1知識點三角形外角的定義DBAC1234外角三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角.講授新課DBAC不相鄰內角1234想一想：外角與相鄰內角有什么特殊關系？外角∠4+∠3=180°外角與相鄰內角的大小不能確定發(fā)現(xiàn)：1、每一個三角形都有６個外角．3、每個外角與相應的內角是鄰補角．2、每一個頂點相對應的外角都有２個．相鄰內角講授新課圖中△CEF的三邊的延長線只有EF的延長線FA，CE的延長線EB，延長線FA與邊CF構成的角為∠AFC；延長線EB與邊EF構成的角為∠BEF.由三角形外角的概念可以判斷∠AFC，∠BEF是△CEF的外角．如圖，△CEF的外角為________________．∠AFC，∠BEF導引：講授新課例題1如圖，下列關于△ABC的外角的說法正確的是(

)A．∠HBA是△ABC的外角B．∠HBG是△ABC的外角C．∠DCE是△ABC的外角D．∠GBA是△ABC的外角1D練一練講授新課一個三角形的三個外角中，最少有幾個鈍角？最

多有幾個直角？最多有幾個銳角？2解：一個三角形的三個外角中，最少有兩個鈍角，最多有一個直角，最多有一個銳角．講授新課三角形的外角ACBD相鄰的內角不相鄰的內角問題1

如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內角∠ACB有什么關系？∠BCD與∠ACB互補.2知識點三角形內外角的關系

講授新課問題2

如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內角(∠A，∠B)有什么關系？三角形的外角ACBD相鄰的內角不相鄰的內角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行線的方法證明此結論嗎？講授新課D證明：過C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A，（兩直線平行，內錯角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.驗證結論講授新課三角形內角和定理的推論ABCD(((三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.應用格式：∵∠ACD是△ABC的一個外角∴∠ACD=∠A+∠B.知識要點講授新課練一練：說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°,∠2=140°∠1=18°,∠2=130°講授新課

如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度數(shù).∵∠BEC是△AEC的一個外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB典例精析講授新課例題2

如圖，P為△ABC內一點，∠BPC＝150°，

∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構造三角形的外角，再利用外角的性質即可求出∠A的度數(shù)．E講授新課例題3解：延長BP交AC于點E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.講授新課【變式題】

(一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°思路點撥：添加適當?shù)妮o助線將四邊形問題轉化為三角形問題.講授新課ABCD((20°30°解法一：連接AD并延長于點E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因為∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4你發(fā)現(xiàn)了什么結論？講授新課ABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延長BD交AC于點E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:連接延長CD交AB于點F（解題過程同解法二）.)2F

解題的關鍵是正確的構造三角形，利用三角形外角的性質及轉化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來求解.總結講授新課如圖，試比較∠2、∠1的大?。蝗鐖D，試比較∠3、∠2、∠1的大小.

圖圖解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.拓展探究三角形的外角大于與它不相鄰的內角.講授新課

如圖，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？3知識點三角形的外角和講授新課例題4解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213講授新課解法三：過A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，結論：三角形的外角和等于360°.思考

你能總結出三角形的外角和的數(shù)量關系嗎？DEF講授新課當堂練習當堂反饋即學即用1.判斷下列命題的對錯.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的內角和的2倍.（）（3）三角形的一個外角等于兩個內角的和.（）（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.（）（5）三角形的一個外角大于任何一個內角.（）（6）三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角.（）當堂練習2.如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F

等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A當堂練習3.（1）如圖，∠BDC是________

的外角,也是

的外角；(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,

∠BCE=20°,試求∠AEC的度數(shù).ABCDE△ADE△ADC解：根據(jù)三角形外角的性質有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE.所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE

當堂練習解：因為∠ADC是△ABD的外角.4

.如圖，D是△ABC的BC邊上一點,∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∠C=180o-40o-70o=70°.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因為∠B=∠BAD，ABCD當堂練習ABCDE12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180o,∴∠A+∠B+∠C+∠