福建省泉州市2025屆高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查試題文含解析

PAGE22-福建省泉州市2025屆高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查試題文（含解析）留意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.考生作答時，將答案答在答題卡上.請依據(jù)題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙、試題卷上答題無效.3.選擇題答案運(yùn)用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；非選擇題答案運(yùn)用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清晰.4.保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合，再進(jìn)行集合的補(bǔ)運(yùn)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，則.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、補(bǔ)集的運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先對得數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，再利用純虛數(shù)的概念，得到實(shí)數(shù)的值.【詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、純虛數(shù)的概念，考查基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用倍角公式得到，再利用誘導(dǎo)公式求得的值.【詳解】因，所以，即.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查倍角公式、誘導(dǎo)公式應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解實(shí)力，求解時留意符號的正負(fù).4.新中國成立70周年，社會各界以多種形式的慶?；顒幼Ｔ缸鎳?，其中，“快閃”因其獨(dú)特新奇的傳播方式吸引大眾眼球.依據(jù)騰訊指數(shù)大數(shù)據(jù)，關(guān)注“快閃”系列活動的網(wǎng)民群體年齡比例構(gòu)成，及男女比例構(gòu)成如圖所示，則下面相關(guān)結(jié)論中不正確的是（）A.35歲以下網(wǎng)民群體超過70%B.男性網(wǎng)民人數(shù)多于女性網(wǎng)民人數(shù)C.該網(wǎng)民群體年齡的中位數(shù)在15～25之間D.25～35歲網(wǎng)民中的女性人數(shù)肯定比35～45歲網(wǎng)民中的男性人數(shù)多【答案】D【解析】【分析】對A，利用頻率分布直方圖可得比例；對B，由男女比例構(gòu)成圖可得結(jié)論；對C，由頻率分布直方圖可估計(jì)中位數(shù)；對D，無法推斷；故可得答案.【詳解】對A，依題意可得，35歲以下網(wǎng)民群體所占比例為，故A正確；對B，由男女比例構(gòu)成圖可得男性所占比例，故B正確；對C，因?yàn)?5歲以下所占比例為，35歲以下所占比例為，故該網(wǎng)民群體年齡的中位數(shù)在15～25之間，故C正確；對D，答案無法推斷，故D錯誤．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖和丙圖，考查數(shù)據(jù)處理實(shí)力和閱讀理解實(shí)力，求解時要充分提取圖中的信息，防止對問題的片面理解.5.設(shè)是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線．若是的一個頂點(diǎn)，是的一個焦點(diǎn)，則的一條漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件得的值，從而得到雙曲線的方程，再利用漸近線方程的定義，求得答案.【詳解】由已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程、漸近線方程，考查基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知等差數(shù)列中，，則（）A.32 B.27 C.24 D.16【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將等式化成關(guān)于的方程，再整體代入，求得式子的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差，則，所以.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中的基本量運(yùn)算，考查整體思想的運(yùn)用，求解的關(guān)鍵是將整體代入所求的式子，考查運(yùn)算求解實(shí)力.7.“塹堵”是中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載著的一種多面體．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某“塹堵”的三視圖，則該“塹堵”的體積等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)幾何體的三視圖可得該幾何體為直三棱柱，再利用體積的計(jì)算公式求得答案.【詳解】由已知可得該“塹堵”是直三棱柱，所以體積，故選：C．【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查三視圖還原幾何體的直觀圖，并求柱體的體積，考查空間想象實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力.8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性可解除兩個選項(xiàng)，再依據(jù)上的單調(diào)性，即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為偶函數(shù)，故解除C，D；因?yàn)樵诤愠闪?，所以在上單調(diào)遞增.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性選擇函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，求解時要留意解除法的應(yīng)用.9.明代朱載堉創(chuàng)建了音樂學(xué)上極為重要的“等程律”．在創(chuàng)建律制的過程中，他不僅給出了求解三項(xiàng)等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的方法，還給出了求解四項(xiàng)等比數(shù)列的中間兩項(xiàng)的方法．比如，若已知黃鐘、大呂、太簇、夾鐘四個音律值成等比數(shù)列，則有，，．據(jù)此，可得正項(xiàng)等比數(shù)列中，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可得三項(xiàng)等比數(shù)列的中項(xiàng)可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，四項(xiàng)等比數(shù)列的第2、第3項(xiàng)均可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，從而類比出正項(xiàng)等比數(shù)列中的可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示.【詳解】因?yàn)槿?xiàng)等比數(shù)列的中項(xiàng)可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，四項(xiàng)等比數(shù)列的第2、第3項(xiàng)均可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，所以正項(xiàng)等比數(shù)列中的可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，因?yàn)?，所以，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查類比推理實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，求解時要先讀懂題目的文化背景，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行等價變形求解.10.若直線與函數(shù)的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，消去，得，將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線恰有一個公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的圖象，從而求得的取值范圍.【詳解】由，消去，得，則依題意，可知直線與曲線恰有一個公共點(diǎn)，令，則，當(dāng)；當(dāng)或；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如圖所示，作出與的圖象，因?yàn)閮蓚€函數(shù)圖象有且只有一個公共點(diǎn)，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，求解時要留意利用導(dǎo)數(shù)的工具性探討函數(shù)的單調(diào)性，從而作出函數(shù)的草圖，考查運(yùn)算求解實(shí)力.11.若橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)中，存在不共線的三點(diǎn)恰為菱形的中心和頂點(diǎn)，則的離心率等于（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】由菱形對角線相互垂直可轉(zhuǎn)化為，在橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)中找到不共線的三點(diǎn)能構(gòu)成一個直角三角形，結(jié)合橢圓的對稱性，只須考慮三種狀況，作出圖形，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意，由菱形對角線相互垂直可轉(zhuǎn)化為，在橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)中找到不共線的三點(diǎn)能構(gòu)成一個直角三角形，結(jié)合橢圓的對稱性，只須考慮三種狀況：（1）如圖1，若以頂點(diǎn)焦點(diǎn)為菱形頂點(diǎn)，為中心，則，由勾股定理得，，由化簡得，兩邊同除以，得，又因?yàn)?，可得．?）如圖2，若以焦點(diǎn),為菱形頂點(diǎn)，為中心，則，故，易得；（3）如圖3，若以焦點(diǎn)為菱形的中心，,為頂點(diǎn)，則，易得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率及橢圓的對稱性性質(zhì)，考查邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，求解的關(guān)鍵是畫出幾何圖形，并能進(jìn)行完整的分類探討.12.已知函數(shù)．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在至多有2個實(shí)根，則的最大值為（）A.10 B.14 C.15 D.18【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對稱軸和對稱中心，求出后，再利用換元法，求出在至多有2個實(shí)根時，的取值范圍，從而得到的最大值.【詳解】由題意，得為的圖象的對稱中心，直線為的圖象的一條對稱軸，所以，兩式相加得，又因?yàn)?，所以，代入，得，因?yàn)闀r，，即由已知可得，至多有2個實(shí)根，即，由此可得，又因?yàn)?，所以時的最大值為10，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，求解時要留意三角函數(shù)的周期性特點(diǎn)，同時要留意換元法的敏捷運(yùn)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，且，，則____________.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得的坐標(biāo)，再代入向量模的公式中.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算及模的求解，屬于基礎(chǔ)題.14.若滿意約束條件則的最大值為___________.【答案】4【解析】【分析】作出約束條件所表示的可行域，再依據(jù)直線截距的最大值，求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示：由得在軸上的截距越大，越大，所以當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，求解時要留意將目標(biāo)函數(shù)的最大值看成直線在軸上截距的最大值.15.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】先求出直線恒過點(diǎn)，再視察中可轉(zhuǎn)化成只含的變量，進(jìn)而探討的最小值，即可得到答案.【詳解】直線的方程可化為，由解得，直線恒過點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.當(dāng)時，最小，此時，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，求解的關(guān)鍵是找到以為變量進(jìn)行探討最值.16.已知正方體的棱長為1，動點(diǎn)在棱上，四棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)幾何關(guān)系得到，，從而得到的關(guān)系，再利用消元法，得到，最終利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)，得到的取值范圍，從而得到球的表面積取值范圍.【詳解】如圖，設(shè)球的球心為，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，且，.因在球面上，所以球心在線段上，點(diǎn)也在球面上，.設(shè).則.在中，…………①在中，…………②,聯(lián)立①②，得，因?yàn)?，所?所以，所以球的表面積取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐與球的切接問題、球的表面積，考查空間想象實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，求解的關(guān)鍵是先確定以什么為變量進(jìn)行探討.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.記數(shù)列的前項(xiàng)和為．若.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析；（2）=.【解析】【分析】（1）利用臨差法得到，從而證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）依據(jù)對數(shù)運(yùn)算得到，再利用裂項(xiàng)相消法對數(shù)列進(jìn)行求和.【詳解】（1）由已知，得，……①當(dāng)時，，……②①—②，得，即，整理，得，又由，得，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以，故=.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義、裂項(xiàng)相消法求和，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，考查基本運(yùn)算求解實(shí)力.18.的內(nèi)角所對的邊分別為.已知．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將等式進(jìn)行“邊化角”得到，再利用三角形的內(nèi)角及正弦定理進(jìn)行“角化邊”，從而求得的值；（2）利用余弦定理求得的表達(dá)式，再利用基本不等式求得最小值.【詳解】（1）在中，由正弦定理，得，從而由，可得，整理，得，即，又因?yàn)?，所以，所以．?）由（1）不妨設(shè)，則，在中，由余弦定理，得，所以，當(dāng)即時，等號成立，故取到最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理、三角形內(nèi)角和、三角恒等變換的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，求解的最小值時，要留意基本不等式的運(yùn)用及取到最值的條件驗(yàn)證.19.如圖，平面，平面，四邊形是邊長為的菱形，，，.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明平面平面，從而得到線面平行；（2）由（1）知，平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．取的中點(diǎn)，連接，．證明平面，故所以點(diǎn)到平面的距離為，再將數(shù)據(jù)代入體積公式求解．【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，平面，所以平?因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平?（2）由（1）知，平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的菱形，，所以是邊長為的等邊三角形，所以，且，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，故所以點(diǎn)到平面的距離為．所以三棱錐的體積．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、面面平行的位置關(guān)系、三棱錐體積求解，考查空間想象實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，在證明平行關(guān)系時，留意定理?xiàng)l件的完整性.20.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)且斜率為2的直線與相切．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由判別式等于0，求得拋物線方程中的參數(shù)值，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）設(shè)的方程為，，利用兩點(diǎn)間的距離公式，并進(jìn)行消參，將線段分別用進(jìn)行表示，從而證明等式成立.【詳解】（1）過點(diǎn)且斜率為2的直線方程為，即，設(shè)的方程為，由消去，得，因?yàn)橹本€與相切，所以，解得（舍去）或，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)的方程為，．令，得，即，由消去，得，因?yàn)榕c相交，所以，解得或，設(shè)，則，，，從而，又，所以.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、考查弦長公式、韋達(dá)定理等學(xué)問，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力，求解時留意變量思想和消元思想的敏捷運(yùn)用.21.已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對參數(shù)分和兩種狀況探討后，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先證當(dāng)不等式在不會成立，再進(jìn)一步證明時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．再對分和兩種狀況，探討各自的最小值大于等于，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，則，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上，可得當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）①當(dāng)時，因?yàn)?，所以不符合題意；②當(dāng)時，由（1），知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（?。┊?dāng)即時，，所以在單調(diào)遞增，故，故滿意題意.（ⅱ）當(dāng)即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，令，則，故在單調(diào)遞減，