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文檔簡(jiǎn)介
第二講直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
THESECONDCHAPTER
一圓周角定理
營(yíng)預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)一挑戰(zhàn)自我,點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)___________________________________________________________
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]
1.探究并理解圓周角定理的證明過(guò)程.
2.通過(guò)圓周角定理的證明過(guò)程,體會(huì)分類(lèi)討論思想,并能對(duì)一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題
進(jìn)行分類(lèi)討論.
3.理解圓周角定理、圓心角定理及圓周角定理的兩個(gè)推論,能用這些定理、推論
解決相關(guān)的幾何問(wèn)題.
[知識(shí)鏈接]
1.“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”是否正確?
提示不正確.“相等的圓周角所對(duì)的瓠相等”是在“同圓或等圓中”這一大前
提下成立的,如圖.
若A8〃OG,則但比W分.
2.圓的一條弦所對(duì)的圓周角都相等嗎?
提示不一定相等.一般有兩種情況:相等或互補(bǔ).弦所對(duì)的優(yōu)弧與所對(duì)劣弧所成的
圓周角互補(bǔ),所對(duì)同一條弧上的圓周角都相等,直徑所對(duì)的圓周角既相等又互補(bǔ).
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
1.圓周角定理
圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半
語(yǔ)言
A
圖形
語(yǔ)言
符號(hào)在。。中,比所對(duì)的圓周角和圓心角分別是NBAC,ZBOC,則有NBAC
語(yǔ)言==ZBOC
作用確定圓中兩個(gè)角的大小關(guān)系
2.圓心角定理
文字
圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)
語(yǔ)言
圖形
語(yǔ)言0
符號(hào)
A,8是。。上兩點(diǎn),則檢的度數(shù)等于NAQB的度數(shù)
語(yǔ)言
作用確定圓弧或圓心角的度數(shù)
3.圓周角定理的推論
推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧
也相等.
推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直免;90°的圓周角所對(duì)的弦是直逛.
h課堂講義E重點(diǎn)難點(diǎn),個(gè)個(gè)擊破
要點(diǎn)一圓周角定理及其推論
例1在半徑為5cm的圓內(nèi)有長(zhǎng)為5,5cm的弦A3,求此弦所對(duì)的圓周角.
解如圖所示,過(guò)。點(diǎn)作OO_LAB于點(diǎn)D
因?yàn)?O_LA3,。。經(jīng)過(guò)圓心,
所以十(cm).
在RtzXAOO中,OD=^/(9A2—AD2=|(cm),
E
所以NOAO=30。,
所以NAOD=60。.
所以NAO8=2NAOD=120°,
所以NAC8=3NAOB=60°.
因?yàn)镹AO5=120°,所以/麗的度數(shù)為120°,
的度數(shù)為240。.
所以NAEB=gx240°=120°.
所以此弦所對(duì)的圓周角為60?;?20。.
規(guī)律方法弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè),易丟掉120°導(dǎo)致錯(cuò)誤,另外求圓周角時(shí)易
應(yīng)用到解三角形的知識(shí).
跟蹤演練1如圖,已知:△A3C內(nèi)接于00,D,E在8C邊上,且&)=CE,
Z1=Z2.
求證:AB=AC.
證明延長(zhǎng)A。,AE,分別交。。于憶G,連接8b,CG,
VZ1=Z2,:.BF=CG,
:.BF=CG,BG=&,
:.乙FBC=ZGCE.
火,:BD=CE,:ABFD經(jīng)ACGE,
:.AF=AG,AB=A^,:.AB=AC.
要點(diǎn)二圓心角定理
例2如圖所示,AB,C。是。O的兩條直徑,CE//AB,求證:BC=AE.
D
A
證明連接。E,因?yàn)镺E=OC,所以NC=N£
因?yàn)镃E〃/LB.所以NC=NBOC,NE=NAOE.
所以NBOC=ZAOE.
所以比=能.
規(guī)律方法證明弧相等只需證明弧所對(duì)的圓心角相等,通常用圓周角定理或平行
來(lái)轉(zhuǎn)化.
跟蹤演練2如圖所示,已知。。中,/AOB=2N8OC求證:
ZACB=2ZBAC.
證明,/ZACB=^ZAOB,
NBAC=:NBOC,
又由已知NAO3=2NBOC,
ZACB=^X2ZB0C=ZBOC.
i^ZBAC=^ZACB,即:ZACB=2ZBAC.
要點(diǎn)三直徑上的圓周角
例3如圖所示,已知A3為。。的直徑,AC為弦,OD//BC,
交AC于。,BC=4cm.
(1)試判斷0D與AC的位置關(guān)系;
⑵求。。的長(zhǎng);
(3)若2sinA-1=0,求。。的直徑.
解(DOOLAC.理由如下:
:48為的直徑,:.ZACB=90°.
VOD//BC,:.ZADO=ZACB=9Q°,AODA.AC.
(2)V^AOD^AABC,?,?段=笆=〈,
£>CZ\DZ
/.2(cm).
(3)2sinA-1=0,二?sinA=;.
Be
又人也A=”,.\AB=2BC=Scm,
AD
即。。的直徑為8cm.
規(guī)律方法此題充分利用了“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一特征,并在此基礎(chǔ)
上對(duì)前面所學(xué)知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)木C合.
跟蹤演練3如圖,A3是半圓的直徑,AC為弦,且AC:
=4:3,AB=10cm,OO_L4c于D求四邊形。BCD的面積.(X\\\
解?..AB是半圓的直徑,,/。=90°.八°
VAC:5C=4:3,二可設(shè)AC=4光,BC=3x.
又?.?A8=10,.116*+9f=100,
.'.x=2,/.AC=8cm,BC=6cm.
又?..ODUC,AOD//BC,
.'.AD=4cm,OD=3cm.
S西邊彤OBCD=SZ^ABC—SAAOD=]X6X8—5X3x4=24—6=18(cm2).
課堂小結(jié)
1.圓周角定理揭示了圓周角與圓心角的關(guān)系,把角和弧兩種不同類(lèi)型的圖形聯(lián)系
起來(lái).在幾何證明的過(guò)程中,圓周角定理為我們解決角和弧之間的問(wèn)題提供了一種
新方法.
2.圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù),它與圓的半徑無(wú)關(guān),也就是說(shuō)在大小不
等的兩個(gè)圓中,相同度數(shù)的圓心角,它們所對(duì)的弧的度數(shù)相等;反過(guò)來(lái),弧的度
數(shù)相等,它們所對(duì)的圓心角的度數(shù)也相等.
3.關(guān)于圓周角定理推論的理解
(1)在推論1中,注意:“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”的話(huà)結(jié)論就不成立了,
因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩種可能,在一般情況下是不相等的.
(2)圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等,但并不是“圓心角等于它所對(duì)的
弧”.
(3)”相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”.
(4)在同圓或等圓中,由弦相等今弧相等時(shí),這里的弧要求同是優(yōu)弧或同是劣弧,
一般選劣弧.
聲當(dāng)堂檢測(cè)1當(dāng)堂訓(xùn)練,體驗(yàn)成功
1.如圖,43為。。的直徑,C,。是。。上的兩點(diǎn),N3AC=20°,c
AD=CD,則ND4c的度數(shù)是()一
AO
A.30°B.35°
C.45°D.70°
解析"/NBAC=20。,
比的度數(shù)為40°,的度數(shù)為140。.
':AD=Cb,二⑨的度數(shù)為70。.
:.ZDAC=35°.
答案B
2.如圖所示,在。。中,ZBAC=25°,則N80C等于()R__y
A.25°B.50°(\\/J
C.30°D.12.5°kyy
解析根據(jù)圓周角定理,得NBOC=2N8AC=50°.A
答案B
3.AABC內(nèi)接于。O,且@:BC:G4=3:4:5,則NA=,NB=
,NC=.
解析,:AB:BC:CA=3:4:5,
二檢的度數(shù)為90°,比的度數(shù)為120°,為的度數(shù)為150°,
AZA=60°,ZB=75°,ZC=45°.
答案60°75°45°
4.如圖所示,在。。中,直徑AB=10cm,8c=8cm,CD平分
ZACB,求AC和DB的長(zhǎng).o/X/\\
解???AB是。。的直徑,而直徑所對(duì)的圓周角是直角,.?.△ABCV\7/y
D
是直角三角形.
由勾股定理可得AB1=AC1+BC1,
即1()2=AC2+82,,AC=6(cm).
平分N3C4,:.ZBCD=ZDCA=45°.
..?同弧所對(duì)的圓周角相等,
:.ZDBA=ZDCA=45a,NBAD=NBCD=45°,
:.NDBA=NBAD,:.DB=AD,
...由勾股定理可得482=2802,
即102=2。),:.DB=5由(cm).
事分層訓(xùn)練i解疑糾偏,訓(xùn)練檢測(cè)___________________________________________________________
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1.如圖,。是〃的中點(diǎn),與NABO相等的角有()發(fā)
A.7個(gè)B.3個(gè))
C.2個(gè)D.1個(gè)
解析與NA8D相等的角分別為NCB。,ZACD,ZCAD.
答案B
2.如圖,已知圓心角NA03的度數(shù)為100°,則圓周角NAC8的度
數(shù)是()o
A.80°B.100°
C.120°D.130°
解析VZAOB=100°,所對(duì)圓心角為260°,AZACB=130°.
答案D
3.如圖,已知AB是半圓。的直徑,弦AO,BC相交于點(diǎn)P,那么CD看等于
A£>
()
A.sinNBPO
B.cosZBPD
C.tanZBPZ)
D.以上答案都不對(duì)
解析連接80,由區(qū)4是直徑,知是直角三角形.根據(jù)
PDCD(
ACPD^/\APB,-^=-ZB=cosZBPD.Z---------
PBABA.oB
答案B
4.弦BC分00為1:3兩部分,00的直徑等于4,則BC=.
解析由圓心角定理NBOC=(X360°=90°,:.BC=yl22+22=2y/2.
答案2也
5.如圖所示,A,B,C,。是。。上四點(diǎn),且。是AB的中點(diǎn),CD獷7^A
交0B于E,ZA(9B=100°,ZOBC=55°,則/0EC=_______.
解析VZAC>B=100°,且。是檢的中點(diǎn),:.ZBCD=25°.:.一J
ZOEC=ZB+ZBCD=80°.
答案800
6.如圖所示,在。。中,直徑A3=10cm,弦BC=8cm,點(diǎn)。是檢產(chǎn)
的中點(diǎn),連接AC,AD,BD.
⑴求AC和8。的長(zhǎng);D
(2)求四邊形AO8C的面積.
解(1);A8為。。的直徑,:.ZACB=ZADB=9G°.":AB=IQ,BC=8,.?.在
RtZ\A3C中,AC=、A32-3C2=6(cm)」.?點(diǎn)D是檢的中點(diǎn),:.AD=BD,:.AD
=BD,.'.△AB。為等腰直角三角形,:.BD=ABsin45°=10X當(dāng)=5&(cm).
⑵由(1)知“邊衫ADBC=S“8C+SAABD=;XACX3C+14D2=;X6X8+J><(56)2
=49(cm2).
二、能力提升
7.在RtZ\A3C中,ZC=90°,NA=30°,AC=2小,則此三角形的外接圓的半
徑為()
A.4B.2C.2^3D.4
解析由圓周角定理推論2知:
AB為RCABC的外接圓直徑,又「A"2=4,故外接圓半徑r=,B=2.
cos』30;。2
答案B
8.在半徑為6cm的圓中,6cm長(zhǎng)的弦所對(duì)的圓心角等于.
解析6cm長(zhǎng)的弦的端點(diǎn)與圓心構(gòu)成等邊三角形,故此弦所對(duì)的圓心角為60°或
120°.
答案60°或120°
9.如圖所示,A8是。。的直徑,。是念的中點(diǎn),NA8O=20°,則NBCE=
解析如圖所示,連接A£>,DE,VZABD=20°,ZAED=
20°,又。是崩的中點(diǎn),.?.NQAC=NOE4=20。,:A3是。O
的直徑,AZADB=90°,.*.ZDC4=70°,:.NBCE=70°.
答案70。
10.(2016?江寧一中單元測(cè)試)如圖,為圓。的直徑,AOLBC,A
AF=AB,8/和AO相交于點(diǎn)E,求證:AE=BE.
證明???8C是。。的直徑,
AABAC為直角.又/.RtABDA^RtABAC.AZBAD=ZACB.
":AB=AF,:.ZFBA=ZACB.
:.ZBAD=ZFBA.
:./\ABE為等腰三角形,?.AE=BE.
11.已知AO是△ABC的高,AE是△ABC的外接圓的直徑.求證:
NBAE=NDAC.\/I\\
證明連接8E,因?yàn)锳E為直徑,\//
所以NABE=90°.因?yàn)锳O是△ABC的高,E一,
所以NAOC=90。.所以NAOC=NABE
因?yàn)镹E=NC,所以N3AE=180°-ZABE-ZE,
ND4c=180°-ZADC-ZC.
所以NB4E=ND4C.
三、探究與創(chuàng)新
A
12.如圖,AO是。O內(nèi)接三角形ABC的高線(xiàn),E為數(shù)的中點(diǎn).求證:(的、
ZOAE=ZEAD.1/(/
證明法一顯然NBAE=/C4E,只要證得NB4O=NC4。,就
E
間接證得NOAE=NE4D故延長(zhǎng)A。交。。于尸點(diǎn),連接3F,如圖①,得NAB尸
為直角,又由NC=NE可得NBA。與NC4。相等.
法二若要直接證NOAE=NE4。,就需要把它們?cè)O(shè)置成圓周角,因此把A。,
A£)均延長(zhǎng),分別交。。于尸點(diǎn)和G點(diǎn),連接R7,如圖②,可證得R7〃8C,由
平行直線(xiàn)所夾的弧相等則有呼=田,又徒=沅,:.fi:=R.:.NFAE=NGAE.
法三如圖③,尋找第三個(gè)角,利用等量代換來(lái)證NOAE=NEAO,故連接OE,
利用垂徑定理得OELBC,進(jìn)而易知OE〃AD,可得/E=ND4E;同時(shí),在等腰
三角形OAE中ZOAE=ZE,:.ZOAE=ADAE.
二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理
?預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)J挑戰(zhàn)自我,點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)___________________________________________________________
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]
1.理解圓內(nèi)接四邊形的兩條性質(zhì)定理,并能應(yīng)用定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題.
2.理解圓內(nèi)接四邊形判定定理及推論,能應(yīng)用定理及推論解決相關(guān)的幾何問(wèn)題.
[知識(shí)鏈接]
1.判斷下列各命題是否正確.
(1)任意三角形都有一個(gè)外接圓,但可能不止一個(gè);
(2)矩形有唯一的外接圓;
(3)菱形有外接圓;
(4)正多邊形有外接圓.
提示(1)錯(cuò)誤,任意三角形有唯一的外接圓;(2)正確,因?yàn)榫匦螌?duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)到
各頂點(diǎn)的距離相等;(3)錯(cuò)誤,只有當(dāng)菱形是正方形時(shí)才有外接圓;(4)正確,因?yàn)?/p>
正多邊形的中心到各頂點(diǎn)的距離相等.
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
1.性質(zhì)定理1
文字
圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互處
語(yǔ)言
符號(hào)若四邊形ABCO內(nèi)接于圓0,則有NA+NC=180°,ZB+ZD
語(yǔ)言=180°
o
圖形
語(yǔ)言
作用證明兩個(gè)角互補(bǔ)
2.性質(zhì)定理2
文字
圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角
語(yǔ)言
符號(hào)四邊形ABC。內(nèi)接于。。,£為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),則有NCBE=
語(yǔ)言/ADC
圖形
語(yǔ)言e
作用證明兩個(gè)角相等
3.圓內(nèi)接四邊形判定定理
文字
如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓
語(yǔ)言
符號(hào)在四邊形A8CD中,如果/3+/。=180°(或NA+NC=180°),那么
語(yǔ)言A,B,C,。四點(diǎn)共圓
_c
0
圖形
語(yǔ)言
作用證明四點(diǎn)共圓
4.判定定理的推論
文字如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)
語(yǔ)言共圓
符號(hào)在四邊形A5CD中,延長(zhǎng)AB到E,若NCBE=NADC,則A,B,C,D
語(yǔ)言四點(diǎn)共圓
/_______C
O
圖形
語(yǔ)言
作用證明四點(diǎn)共圓
尹課堂講義重點(diǎn)難點(diǎn),個(gè)個(gè)擊破
要點(diǎn)一圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
例1如圖,在Rt4ABC中,ZACB=90°,在A(yíng)8上截取出
=AC,以PC為直徑的圓分別交AB,BC,AC于。,E,E求證:
PADA
~PB='DP-
證明連接OF,PF.
:PC是直徑,:.PF1AC.
VBC±AC,J.PF//BC,
.PA__FA
,"PB=FC-
:四邊形PCFD內(nèi)接于。0,
ZADF=ZACP,
\"AP=AC,:.ZAPC=ZACP.
:.ZADF=NAPC.:.DF//PC,
.DAFA.PA_DA.
,"DP=FC,,,PB=DP-
規(guī)律方法1.在本題的證明過(guò)程中,都是利用角相等證明了兩直線(xiàn)平行,然后利
用直線(xiàn)平行,得到比例式相等.
2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)如對(duì)角互補(bǔ),一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角,可用來(lái)作為三角形
相似或兩直線(xiàn)平行的條件,從而證明一些比例式成立或證明某
些等量關(guān)系.
跟蹤演練1如圖所示,。。1和。。2交于A(yíng),B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)A
點(diǎn)的直線(xiàn)分別交兩圓于C,D,經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線(xiàn)分別交兩圓于E,
F.
求證:CEHDF.
證明連接A3,;四邊形A8EC內(nèi)接于。。1,
/.ZABF=ZC,?.?四邊形ABF。內(nèi)接于。。2,
.../48£=/。.又/48£:+/48尸=180°,
.?.NC+NO=180°.故可得CE〃。尺
要點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形的判定
例2如圖,在△ABC中,E,D,尸分別為AB,BC,AC的中點(diǎn),人
且APL3C于P./\\\
求證:E,D,P,尸四點(diǎn)共圓.B-\tc
解連接PF,
\'AP±BC,尸為AC的中點(diǎn),人
???PJAC/UK
BDPC
FC=^AC,:.PF=FC,
ZFPC=ZC.
E,F,。分別為AB,AC,BC的中點(diǎn),
EF//CD,ED//FC,
四邊形EDCE為平行四邊形,:.ZFED=ZC,
ZFPC=ZFED,:.E,D,P,尸四點(diǎn)共圓.
規(guī)律方法1.本題證明的關(guān)鍵是如何使用點(diǎn)E、。、口是中點(diǎn)這一條件.
2.要判定四點(diǎn)共圓,多借助四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或外角與內(nèi)對(duì)角的關(guān)系進(jìn)行證明.
跟蹤演練2如圖,在正△ABC中,點(diǎn)。,E分別在邊3C,AC入
上,且CE=^CA,AD,BE相交于點(diǎn)P,求證:四
BD
點(diǎn)尸,D,C,七共圓;
證明在正△ABC中,由8D=;8C,CE=;CA知△A3。g△3CE,
二NAOB=NBEC,即ZADC+NBEC=況.
二四點(diǎn)P,D,C,E共圓.
要點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用
例3如圖,已知△ABC中,AB=AC,。是△ABC外接圓劣弧
念上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A,。重合),延長(zhǎng)3。至E(/
(1)求證:A。的延長(zhǎng)線(xiàn)。/平分NCDE;”
⑵若NBAC=30°,ZXABC中8C邊上的高為2+S.求△ABC
外接圓的面積.
(1)證明如圖,B,C,。四點(diǎn)共圓,
二/CDF=NABC.又AB=AC,
AZABC=ZACB,S.ZADB=ZACB,:.ZADB=ZCDF.
又由對(duì)頂角相等得ZEDF=ZADB,
故NEDF=/CDF,
即AD的延長(zhǎng)線(xiàn)DF平分NCDE.
⑵解設(shè)。為外接圓圓心,連接A。并延長(zhǎng)交3c于",則連接0C,
由題意N0AC=N0CA=15°,ZACB=75°,AZOCH=60°,
設(shè)圓半徑為r,則r+冬=2+小,得r=2,外接圓的面積為4n.
規(guī)律方法1.在解答本題時(shí)用到了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),垂徑定理等知識(shí),綜合
性較強(qiáng).
2.此類(lèi)問(wèn)題考查知識(shí)較為豐富,往往涉及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)的證明和應(yīng)
用,最終得到某些結(jié)論的成立.
跟蹤演練3如圖所示,已知四邊形A3CO為平行四邊形,過(guò)AP_______P
FC
點(diǎn)A和點(diǎn)8的圓與AD,分別交于點(diǎn)E,F,連接EF求證:E,F,C,。四點(diǎn)
共圓.
證明由題意知四邊形ABEE是圓內(nèi)接四邊形,
...NA+N3FE=180°.又在oABCD中,AB//CD,
二乙4+/。=180°,:.NBFE=ND,
:.E,F,C,。四點(diǎn)共圓.
課堂小結(jié)
1.對(duì)圓內(nèi)接四邊形的理解
(1)圓內(nèi)接四邊形是圓內(nèi)接多邊形的一種特殊情況,它們的關(guān)系可以用集合形式表
示:{圓內(nèi)接四邊形}U{圓內(nèi)接多邊形}.
(2)掌握一些常見(jiàn)的結(jié)論,例如,正多邊形一定存在外接圓;三角形一定存在外接
圓,并且三角形的外接圓的圓心(即外心)是三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn);圓內(nèi)接
梯形一定是等腰梯形等.
2.判斷四點(diǎn)共圓的基本方法
(1)如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離相等,那么這四個(gè)點(diǎn)共圓;
(2)如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;
(3)如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共
圓;
(4)如果兩個(gè)三角形有公共邊,公共邊所對(duì)的角相等且在公共邊的同側(cè),那么這兩
個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.
尹當(dāng)堂檢測(cè)J當(dāng)堂訓(xùn)練,體驗(yàn)成功
1.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有()
①平行四邊形內(nèi)接于圓;②梯形內(nèi)接于圓;③菱形內(nèi)接于圓;④矩形內(nèi)接于圓;
⑤正方形內(nèi)接于圓.
A.1個(gè)B.2個(gè)
C.3個(gè)D.4個(gè)
解析根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的判定定理知,④⑤正確.
答案B
2.四邊形ABCO內(nèi)接于圓。,NA=25°,則NC等于()
A.25°B.75°C.115°D.155°
解析?.?四邊形ABC。內(nèi)接于圓O,...NA+NC=180°.又NA=25°,?.ZC
=180°-ZA=155°.
答案D
3.如圖,點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)圓上,直線(xiàn)AB,DC相交于廠(chǎng)
點(diǎn)尸,直線(xiàn)AO,8C相交于點(diǎn)°,如果乙4=50°,/P=30°,(/X
那么NQ=.'Q
解析VZA=50°,ZP=30°,,/QDC=NA+/P=80°.又NQCO=N4
=50°,.\Z2=180°-80°-50°=50°.
答案50°
4.如圖所示,以銳角AABC的三邊為邊向外作三個(gè)等邊三角形汴工\
ABD,BCE,C4G.求證:AABD,ABCE,△CAG的外接圓。Oi,
。。2,。。3交于一點(diǎn).
證明設(shè)。Oi,。。3交于點(diǎn)居連接ARBF,CF,SA,F,B,E
D四點(diǎn)共圓,
△A3。為等邊三角形,
同理,ZAFC=120°,又NA尸3+/4尸。+/3尸。=360°,
AZBFC=120°.VZBFC+ZE=180°,:.B,E,C,產(chǎn)四點(diǎn)共圓,
即。。1,。。2,0。3交于一點(diǎn).
守分層訓(xùn)練J解疑糾偏,訓(xùn)練檢測(cè)__________________________________________
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1.如圖,A8CD是。。的內(nèi)接四邊形,延長(zhǎng)BC到E,已知去―
NBCD:NECD=3:2,那么NBOO等于()(
A.12O0B.136°E
C.144°D.15O0
解析':ABCD:ZECD=3:2,:"ECD=72",AZBOD=2ZA=2ZECD
=144°.
答案C
2.在圓內(nèi)接四邊形ABC。中,NA:N8:NC:N。可以是()
A.4:2:3:1B.4:3:1:2
C.4:1:3:2D.以上都不對(duì)
解析四邊形ABC。內(nèi)接于圓,故/A+NC=N3+NO,所以只有B適合.
答案B
3.如圖所示,已知在圓內(nèi)接四邊形ABC。中,氏4的延長(zhǎng)線(xiàn)和CO
的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P,AC和3。相交于點(diǎn)E,則圖中共有相似三角
形()
A.5對(duì)B.4對(duì)
C.3對(duì)D.2對(duì)
解析由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理可以判定:XABESXDCE,MADE
SABCE,△/?4cs△PDB,△如0s△PCB共4對(duì).
答案B
4.如圖所示,四邊形A8CO內(nèi)接于。0,若N300=110°,那么
NBCD的度數(shù)為.
解析VZA=1zBOD=1xilO°=55°,/.ZBCD=180°-
55°=125°.
答案125°
5.如圖,兩圓相交于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交兩圓于點(diǎn)C,
D,過(guò)點(diǎn)8的直線(xiàn)交兩圓于點(diǎn)E,F,連接CE,DF,若NC
=115°,則N0=.
解析如圖,連接A3,
VZC=115°,/.ZABE=65°,
:.ZD=ZABE=65°.
答案65°
6.如圖,在△ABC中,C。是NACB的平分線(xiàn),△ACO的外接A
Dj
圓交BC于點(diǎn)E,AB=2AC.
E
B
⑴求證:BE=2AD;
(2)當(dāng)AC=1,EC=2時(shí),求A。的長(zhǎng).
⑴證明連接OE,
..?ACE。是圓的內(nèi)接四邊形,
:./BDE=ZBCA.
又NDBE=NCBA,
:ABDEsABCA,
_,BEDE一
即有,而,:
^D/7\=CK/iA3=2AC.BE=2DE.
又CO是NACB的平分線(xiàn),
:.AD=DE,從而B(niǎo)E=2AD.
(2)解由條件得AB=2AC=2,設(shè)AD=t,根據(jù)割線(xiàn)定理得BDBA=BEBC,即(A8
-AD)BA=2AD-(,2AD+CE),
:.(2~t)X2=2t(2t+2),
即2戶(hù)+3/—2=0,解得或-2(舍去),
即AD=^.
二、能力提升
7.如圖,A8是。。的弦,過(guò)A,O兩點(diǎn)的圓交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于C,
交00于D,若CO=5cm,則CB等于()(K'TO
A.25cmB.15cm
5
C.5cmD,2cm
解析連接。4,OB,OQ,9:OA=OB=OD,
:.ZOAB=ZOBA,
NODB=NOBD.(Xoj/)
VC,D,0,A四點(diǎn)共圓,
:.NOAB=NCDO,
ZCDO=ZOBA,
:.ZCDO+ZODB=ZOBA+ZOBD,
即NCDB=NC8O,
:.CD=CB,VCD=5cm,
:.CB=5cm.
答案C
8.(2014.陜西高考)如圖,△ABC中,BC=6,以為直徑的半圓
分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,若AC=2AE,則EF=.
A(J
解析VZA=ZA,ZAEF=ZACB,AAEF^AACB,:.TE=
答案3
9.如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABC。中,AB=AD,ZBAD=6Q°,
AC=a9則四邊形A5c。的面積為.
解析如圖,連接易知NB4O=NA8O=NAOB=NAC8
=ZAC£>=60°.
設(shè)NCA£>=。,AB=AD=b,
則N8AC=60°—仇
S辿邊形ABCD=S^ABc+SAACD
=;a/?sin(60°—9)+^〃加in0
=;Q/?sin(60°+9)=;"sinNABC,
在△ABC中,由正弦定理可知
a_____b________b
sinZABCsinZACSsin60°'
.\bsmZABC=asin60°.
???SQ四邊形ABCz_>__=_?]?z-6rxfO?6??sin260=a.
答案凜2
10.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,過(guò)點(diǎn)C作DB的平行線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn).
求證:BEAD=BCCD.
證明如圖,連接AC.煤一
C
ABE
?四邊形A8CO為圓內(nèi)接四邊形,
,ZADC=ZEBC.
又BD//EC,
:.ZCEB=ZDBA,且NACD=NDBA,
ZCEB=ZACD.:.△ADCsACBE.;M=器,即BEAD=
/幾Dt!a
BCCD./C
11.如圖所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,。是AC的中點(diǎn),
OE平分NAO8交A3于E,過(guò)A,D,E的圓交3。于N.求證:
BN=2AE.
證明連接EN.
四邊形AEND是圓內(nèi)接四邊形,
?.NBNE=NA,又<ZABD=ZABD,
:ABNEsABAD,:瑞=焉
\"AB=AC,AC=2AD,
:.AB=2AD,BN=2EN,
X,/ZADE=ZNDE,:.AE=EN,
:.AE=EN,:.BN=2AE.
三、探究與創(chuàng)新
12.如圖所示,在銳角三角形ABC中,A。是8C邊上的高,DE
1AB,DFLAC,E,尸為垂足.求證:E,B,C,b四點(diǎn)共圓.
證明法一連接EF,
\'DE±AB,DF±AC,
:.ZAED+ZAFD=9Q°+90°=180°,
:.A,E,D,F四點(diǎn)共圓,/.Z1=Z2.
AZBEF+ZC=ZBED+Z1+ZC=90°+Z2+ZC=90°+90°=180°,
:.E,B,C,產(chǎn)四點(diǎn)共圓.
法二連接EF,"JDELAB,DFLAC,
:.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,
E,D,F四點(diǎn)共圓,.\Z3=Z4.
:.ZCFE+ZB=ZCFD+Z4+ZB=90°+Z3+ZB=90°+90°=180°,
:.E,B,C,產(chǎn)四點(diǎn)共圓.
法三連接EF,":DE±AB,DF±AC,
:.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,
:.A,E,D,尸四點(diǎn)共圓,.".Z1=Z2.
VZAEF=90°-Zl=90°-Z2,ZC=90°-N2,
二ZA£:F=ZC,
:.E,B,C,尸四點(diǎn)共圓.
法四連接EF,':DE±AB,DFLAC,
:.ZAED+ZAFD=900+90°=180°,
E,D,F四點(diǎn)共圓,/.Z3=Z4.
VZAFE=9Q0-Z4=90°-Z3,
ZB=90°-Z3,/.ZAFE=ZB,
:.E,B,C,尸四點(diǎn)共圓.
三圓的切線(xiàn)的性質(zhì)及判定定理
聲預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我,點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]
1.理解切線(xiàn)的性質(zhì)定理、判定定理及兩個(gè)推論,能應(yīng)用定理及推論解決相關(guān)的幾
何問(wèn)題.
2.能歸納并正確表示由圓的切線(xiàn)性質(zhì)定理和兩個(gè)推論整合而成的定理.
[知識(shí)鏈接]
1.根據(jù)直線(xiàn)與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),說(shuō)明它們有怎樣的位置關(guān)系?
提示直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線(xiàn)與圓相交;直線(xiàn)與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直
線(xiàn)與圓相切;直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),直線(xiàn)與圓相離.
2.下列關(guān)于切線(xiàn)的說(shuō)法中,正確的有哪些?
⑴與圓有公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn);
(2)垂直于圓的半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn);
(3)與圓心的距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn);
(4)過(guò)直徑的端點(diǎn),垂直于此直徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).
提示(3)(4)正確.
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
1.切線(xiàn)的性質(zhì)定理
文字
圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑
語(yǔ)言
符號(hào)
直線(xiàn)/與圓。相切于點(diǎn)A,則0A11
語(yǔ)言
丁
圖形
語(yǔ)言
A1
作用證明兩條直線(xiàn)垂直
2.性質(zhì)定理推論1
文字
經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)
語(yǔ)言
符號(hào)
直線(xiàn)/與圓。相切于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)〃」/,則A且加
語(yǔ)言
a
圖形
語(yǔ)言
作用證明點(diǎn)在直線(xiàn)上
3.性質(zhì)定理推論2
文字
經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)皿
語(yǔ)言
符號(hào)
直線(xiàn)/與圓。相切于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)〃2,/,則。豆〃2
語(yǔ)言
£
圖形
語(yǔ)言
41
m
作用證明點(diǎn)在直線(xiàn)上
4.切線(xiàn)的判定定理
文字
經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直王這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)
語(yǔ)言
符號(hào)OA是圓。的半徑,直線(xiàn)@04,且AS/,貝心是圓。的
語(yǔ)言切線(xiàn)
£
圖形
語(yǔ)言
A1
作用證明直線(xiàn)與圓相切
尹課堂講義J重點(diǎn)難點(diǎn),個(gè)個(gè)擊破
要點(diǎn)一切線(xiàn)的性質(zhì)
例1如圖所示,已知AB是。。的直徑,直線(xiàn)CO與。。相切于
點(diǎn)、C,AC平分ND4B,AD.LCD.
⑴求證:OC〃AO;
(2)若AD=2,AC=y[5,求AB的長(zhǎng).
⑴證明如圖所示,連接8C
■:CD為。0的切線(xiàn),
:.OCLCD.
又A"CD,AOC//AD.
(2)解:,AC平分NOA3,
:.ZDAC=ZCAB.
?.?AB為。。的直徑,
-3=90°.
又A"C£>,ZADC=90°,
AADC^AACB.
,替=弟,".AC2=ADAB.
AC/In
'."AD=2,AC=y[5,'.AB=^.
規(guī)律方法1.本例中第(2)小題是通過(guò)三角形相似來(lái)尋找A。、AC與AB之間關(guān)系
的.
2.利用圓的切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)證明或進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算,有時(shí)需添加輔助線(xiàn),其中連接
圓心和切點(diǎn)的半徑是常用輔助線(xiàn).從而可以構(gòu)造直角三角形,利用直角三角形邊角
關(guān)系求解,或利用勾股定理求解,或利用三角形相似求解等.
跟蹤演練1如圖所示,NC=90°,點(diǎn)。在A(yíng)C上,CO為。。
的直徑,。。切43于E,若BC=5,AC=12,求。。的半徑.cC.
解連接OETAB與。。切于點(diǎn)E,
AOEA.AB,即NOEA=90°.
VZC=90°,ZA=ZA,
RtAACB^RtAAEO,c、/
OEAO=
:£.>C{Q.*?8c=5,AC12,
.OE12—OE._W
.\AB=13,..手=-—'?.OE=y.
要點(diǎn)二圓的切線(xiàn)的判定
例2已知:是。。的直徑,BC是。。的切線(xiàn),切點(diǎn)為B,過(guò)點(diǎn)A作AO〃OC,
交。。于點(diǎn)D
求證:0c是。。的切線(xiàn).
證明如圖,連接。。,設(shè)NOAO=N1,Z0DA=Z2,ZBOC
=Z3,ZC0D=Z4.
':OA=OD,.\Z1=Z2.
\'AD//OC,.\Z1=Z3,Z2=Z4.
;.Z1=Z2=Z3=Z4.
又?:0B=0D,Z3=Z4,OC=OC.
:.△0B8X0DC,
:.ZOBC=ZODC.
是。。的切線(xiàn),
:.ZOBC=90°.:,ZODC=900,即OOLCD是。。的切線(xiàn).
規(guī)律方法判斷一條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí),常用輔助線(xiàn)的作法:
(1)如果已知這條直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn),則連接圓心與這個(gè)公共點(diǎn),設(shè)法證明連接所
得到的半徑與這條直線(xiàn)垂直,簡(jiǎn)記為“連半徑,證垂直”;
(2)若題目未說(shuō)明這條直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn),則過(guò)圓心作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn),得垂線(xiàn)段,
再證明這條垂線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑,簡(jiǎn)記“作垂直,證半徑”.
跟蹤演練2如圖所示,在△ABC中,已知以A8為直
徑的。。交8C于。,DELAC,垂足為£求證:OE是。。的切
線(xiàn).
證明連接。。和AD〈AB是。。的直徑,
J.ADLBC,又?.?AB=AC,
:.BD=CD,又?.?A0=80,
OD//AC.':DE±AC,
:.ODLDE,是。。的切線(xiàn).
要點(diǎn)三圓的切線(xiàn)的判定與性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用
例3如圖所示,正方形A3C。是。。的內(nèi)接正方形,延長(zhǎng)84到E,
使AE=A8,連接ED
(1)求證:直線(xiàn)磯>是。。的切線(xiàn).
(2)連接E0交AO于點(diǎn)凡求證:EF=2F0.
證明(1)如圖所示,連接0D
?四邊形A5CD為正方形,AE=AB,
:.AE=AB=AD,ZEAD=ZDAB=90°.
AZEDA=45°,又NODA=45°.
ZODE=ZADE+ZODA=90°.
二直線(xiàn)ED是。。的切線(xiàn).
(2)如圖所示,作OMLA3于M.
?。為正方形ABC。的中心,為A3的中點(diǎn).
:.AE=AB=2AM,XAF//OM,
世=絲=。
^?FO~AM~Z:.EF=2FO.
規(guī)律方法對(duì)圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點(diǎn),其解答思路常常是
先證明某直線(xiàn)是圓的切線(xiàn),再利用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)求解相關(guān)結(jié)果.
跟蹤演練3已知:如圖,A是。。上一點(diǎn),半徑。。的延長(zhǎng)線(xiàn)
與過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交于3點(diǎn),OC=BC,AC=^OB.
(1)求證:AB為。。的切線(xiàn);
(2)若/ACO=45°,0C=2,求弦C。的長(zhǎng).
⑴證明如圖,連接04,
V0C=BC,AC=^0B,:.0C=BC=CA=0A,
.,.△ACO為正三角形,AZ0=60°,AZB=30°,
:.ZOAB=90°,...AB為。。的切線(xiàn).
(2)解VZACD=45°,...RtZvlCE中,AE=EC,
、歷
又?.'△ACO為正三角形,:.AE=EC=^AC=戊,
又?.?CO=TNAOC=30°,在RtaAEO中,
DE=y[5AE=#,:.CD=CE+DE=p+m
課堂小結(jié)
1.圓的切線(xiàn)的判定方法有
(1)定義法:和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn);
(2)幾何法:和圓心距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn);
(3)判定定理:過(guò)半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).
2.圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用
在解決有關(guān)圓的切線(xiàn)問(wèn)題,添加輔助線(xiàn)有以下規(guī)律:
(1)已知一條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí),通常連接圓心和切點(diǎn),這條半徑垂直于切線(xiàn).
(2)要證明某條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí),若已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓上的某一點(diǎn),則需作出經(jīng)過(guò)
這一點(diǎn)的半徑,證明直線(xiàn)垂直于這條半徑,簡(jiǎn)記為“連半徑,證垂直”;若直線(xiàn)與
圓的公共點(diǎn)沒(méi)有確定,則應(yīng)過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn),得到垂線(xiàn)段,再證明這條垂線(xiàn)
段的長(zhǎng)等于半徑,簡(jiǎn)記為“作垂直,證半徑”.
尹當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂訓(xùn)練,體驗(yàn)成功
1.(2016.石家莊模擬)如圖所示,直線(xiàn)/與。。相切于點(diǎn)A,8是/上任一點(diǎn)(與點(diǎn)A
不重合),則△。48是()
AB
A.等邊三角形B.銳角三角形
C.直角三角形D.鈍角三角形
解析:/與。。相切,,△048是直角三角
形.
答案C
2.已知A3是。。的切線(xiàn),下列給出的條件中,能判定的是()
AAB與。。相切于直線(xiàn)CD上的點(diǎn)C
B.CO經(jīng)過(guò)圓心。
C.CD是直線(xiàn)
D.AB與。。相切于點(diǎn)C,CD過(guò)圓心0
解析由圖①②③可知,根據(jù)選項(xiàng)A,B,C中的條件都不能判定A5_LCO;因?yàn)?/p>
圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑,所以選項(xiàng)D正確(如圖④).
答案D
3.如圖所示,DB,0c是。。的兩條切線(xiàn),A是圓上一點(diǎn),已知NO=46°,則NA
解析如圖②所示,連接。8,0C,則。OCLCD,
故NOBO+NDCO=90。+90°=180°,則四邊形OBOC內(nèi)
接于一個(gè)圓.則有N8OC=180°-ZD=180°-46°=
134°,所以NA=gN80C=gx134°=67°.
答案67°
F分層訓(xùn)練J解疑糾偏,訓(xùn)練檢測(cè)
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()
①過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn);②過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心;
③過(guò)半徑的一端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn);④同心圓內(nèi)大圓的弦A3
是小圓的切線(xiàn),則切點(diǎn)是A8的中點(diǎn).
A.2B.3C.4D.5
解析由切線(xiàn)的判定及性質(zhì)定理知:①②④正確,③不正確,過(guò)半徑的外端點(diǎn)且
垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)或直徑.
答案B
2.如圖所示,。。是正△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為E,F,G,
點(diǎn)P是弧EG上的任意一點(diǎn),則NEPR等于()
A.12O0B.9O0
C.60°D.30°
解析如圖所示,連接。E,OF.
VOEA.AB,OFLBC,
:.ZBEO=ZBFO=90°.
:.ZEOF+ZABC=\SO°.
:.ZEOF=nO0.
:./EPF=g/EOF=60:
答案C
3.如圖,在。。中,AB為直徑,A。為弦,過(guò)8點(diǎn)的切線(xiàn)與AO
的延長(zhǎng)線(xiàn)交于C,若AQ=OC,則sinNACO等于()
A.嚅B*
c坐
解析連接3。,作OELAC于E
TBC切。O于8,
cB
;AB為直徑,:.BD±AC,
':AD=DC,:.BA=BC,
NA=45°,設(shè)。。的半徑為R
二OC=^BC2+OB2=^4/?2+7?2=V5/?.
答案A
4.如圖
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