向量概念-高一年級下冊數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第二冊

高一下學(xué)期數(shù)學(xué)講義1

9.1向量概念

預(yù)習(xí)-知識清單

既有________又有___________的量叫向量；例如：位移、力、速度、加速度等都是

向量向量.

向量的大小叫做________（或模）

用一條有向線段表示，有向線段的長度表示向量大小，箭頭方向表示向量方向

向量的表示

AB

A---------------------------?B

C

向量的模國\a\

零向量長度為0的向量，記作________,零向量的方向是__________的

長度等于_________的向量

單位向量

________是與N同向的單位向量，_______是與2反向的單位向量

方向相同或相反的非零向量為共線向量（6與任一向量共線）

平行/共線向量

a||b,a||c,b||c

>-----7。

長度相等且方向相同的向量為相等向量

相等向量

B*5AB=DC

兩向量只有相等或不等，不能比較大小

長度_______且方向________的向量

相反向量

a的相反向量為_________；前的相反向量為瓦?；6的相反向量為6

向量的夾角

知識點(diǎn)1、向量的概念及表示

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫作向量.例如：位移、力、速度、加速度等都是向

量.

2.向量的表示

向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量

的方向.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記為荏，向量也可用石、^表示。

3.向量的模：向量廂的大小稱為向量的長度（或稱為模），記作|南1。

4.零向量：長度為0的向量稱為零向量，記作6；零向量的方向是任意的。

5.單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量，叫作單位向量。

【練習(xí)題】

1.在下列說法中正確的有（）

①在物理學(xué)中，作用力與反作用力是一對共線向量；

②溫度有零上溫度和零下溫度，因此溫度也是向量；

③方向?yàn)槟掀?0的向量與北偏東60的向量是共線向量；

④平面上的數(shù)軸都是向量.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列說法中，正確的是（）

①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；

③單位向量都是同方向；④任意向量與零向量都共線.

A.①②B.②③C.②④D.①④

知識點(diǎn)2、向量間的關(guān)系

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。如圖，向量2、丸是一組平行向

量。

向量匯與向量石平行，記作江〃人

規(guī)定：零向量與任一向量平行。

【拓展】平行向量的情況

兩個(gè)平行的非零向量在其方向與長度兩個(gè)要素上可能出現(xiàn)以下四種情況：

（1）方向相同，長度不等；（2）方向相同，長度相等（相等向量）；

（3）方向相反，長度相等（相反向量）；（4）方向相反，長度不等。

2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫作相等向量。向量4與方相等，記作之=心

3.共線向量:任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此平行向量又稱為共線向量。

【拓展】向量相等具有傳遞性，即若2=3,b-c,則N.若切/B,b//c,未必有力浮。

但若。于6,則之〃3,b//c,可得處先。

4.向量的夾角：對于兩個(gè)非零向量2癡，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作市=2OB=b,ZAOB=0（0°

wewi8o°）叫作向量a與B的夾角.當(dāng)e=o°時(shí)，a與3同向；當(dāng)e=i8o°時(shí)，N與3反o相向；

當(dāng)8=90°時(shí)，則稱向量a與石垂直，記作說

5.相反向量

我們把與向量a長度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，記作-a,a與v互為相反向量.

規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；

對任意一個(gè)向量優(yōu)總有-(-涉=2。

【練習(xí)題】

1.判斷下列結(jié)論是否正確，并說明理由.

(1)長度相等的兩個(gè)向量一定是相等向量.

(2)相等向量的起點(diǎn)必定相同.

—>—>

(3)向量的長度與向量84的長度相等.

(4)物理學(xué)中的作用力和反作用力是一對共線向量.

(5)若a與b都是單位向量，貝b=b.

2.下列關(guān)于向量的命題，序號正確的是.

①零向量平行于任意向量；

②對于非零向量若〃//人則〃=±b;

③對于非零向量若。=±b,則〃//b;

④對于非零向量若a//b，則〃與人所在直線一定重合.

3.下列命題中，正確的是.(填序號)

①若H=則a=6;②若卜卜卜卜則〃〉Z?；

③若a=b,則a//b；④若小。，則a=0.

例題講解

例題1.某人從4點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)6點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了10匹米到達(dá)

。點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)〃點(diǎn).

(1)作出向量A8，BC，C￡>;

(2)求4。的模.

例題2.如圖，設(shè)點(diǎn)。是正六邊形ABCDEF的中心，請完成以下問題.

—>―?—>

(1)分別寫出與。4OB,OC相等的向量；

(2)寫出與晶共線的向量.

H

課堂練習(xí)

1.給出下列物理量：

①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間.

其中不是向量的有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

2.下列說法：正確說法的個(gè)數(shù)是（）

①零向量是沒有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量與任意一個(gè)向量共線.

A.0B.1C.2D.3

3.下列說法正確的是（）

A.向量￡與6共線，6與c共線，則a與c也共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)

C.向量°與6不共線，則￡與b都是非零向量

D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

4.下列命題正確的是（）

A.若AB=OC，則A、B、C、。四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形

B.兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同

C.若a、b都是單位向量,貝!|a=b

D.向量A8與BA是兩平行向量

5.模為0的向量叫做零向量，記作：.

6.圖中，小正方形的邊長為1,則|48|=_,|CO|=_,|￡T|=__.

7.如圖，A，4,???,4是。。上的八個(gè)等分點(diǎn)，則在以A，4,???,

4以及點(diǎn)。這九個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量里，模等于圓半徑的向量有多少個(gè)?

模等于半徑0倍的向量有多少個(gè)?

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8.如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E,F,。分別是AC,AB,

BC的中點(diǎn).

（1）寫出與前共線的向量;

BDC

(2)寫出與麗的模大小相等的向量;

(3)寫出與前相等的向量.

9.如圖，已知以。為圓心、1為半徑的圓上有8個(gè)等分點(diǎn)A,B,C,

D,E,F,G,H,以圖中標(biāo)出的9個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，(1)0。

與0E的夾角是多少？

(2)與0。垂直的向量有哪些？

1.在下列命題中,哪些是正確的？

(1)若兩個(gè)向后相等.則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；

(2)模相等的兩個(gè)平行向被是相同的向量：

(3)若a和b都是單位向量.則a=加

(4)兩個(gè)相同的向量的模相等；

《5〉若?！ㄍ邉t。與b的夾角是0°.

2.設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心?則向量而,訪.6^(

A.相同的向量a模相等的向量

G共線向量D.共起點(diǎn)的向量

3.寫出圖中所示各向量的長度(小正方形的邊長為1).

4.如圖?在直線/上?找出與荏平行的向量.

5.如圖?四邊形ABCD是正方形.找出與戲垂直的向僦.

習(xí)題9.1

1.巳知點(diǎn)O是正方形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，在以點(diǎn)OM.B.C.D這5

點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起點(diǎn)?另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中.寫出：

（1）與衣相等的向量；

（2）與邁長度相等的向量；

（3）與示共線的向量.

2.長度相等的向量是相同的向殳嗎？相向的向盤是共線向量嗎？平行于同一

個(gè)非零向員的兩個(gè)向量是共線向量嗎？請舉例說明.

3.如圖，點(diǎn)（）為正方形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都

是正方形.在圖曾勢向量中：

（1）分別寫名亨茄?防相等的向量；

（2）寫出與亞共線的向居；

（3）寫出與茄的模型等的向量,

（4）判斷向量而與乃是否相等，

（5）寫出與我垂直的向量.

4.如圖?四邊形ABCD與四邊形ABDE都是平行四邊形.

試回答工亨問題：

（1）。硬色等的向量是_______?

（2）若|如§|=3,則I前|=.

5.下列命題中，正確的是.（填序號）

①若|a|一|b|.JWa=b,②若|。|>”|,則a>配

③若a=匕,則a〃加④若|a|=0.則a=0.