一元二次函數(shù)的最值問題教學(xué)設(shè)計 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

一元二次函數(shù)的最值問題一教材分析高中數(shù)學(xué)人教A版必修一第一章介紹了函數(shù)的概念及其函數(shù)的基本性質(zhì).函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂,是高中數(shù)學(xué)的主干知識,貫穿高中數(shù)學(xué)始終.函數(shù)的最值是函數(shù)的重要性質(zhì),與其他數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密,在數(shù)學(xué)建模,最優(yōu)化等問題中也有廣泛的應(yīng)用.它蘊含了函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合,分類討論,等價轉(zhuǎn)化等重要數(shù)學(xué)思想,是歷年高考的必考內(nèi)容.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》第19頁指出,借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,最大值,最小值,理解它們的作用和實際意義.一元二次函數(shù)一種重要的函數(shù)模型,一元二次函數(shù)的最值問題更是高考常考的內(nèi)容.在學(xué)完最值概念后,講解一元二次函數(shù)的最值問題不僅能夠讓學(xué)生掌握一元二次函數(shù)最值問題常見題型,更能夠讓學(xué)生深刻地體會到最值概念的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想,分類討論思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法,以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此,本節(jié)課實際上是最值問題在一元二次函數(shù)中的具體應(yīng)用.二學(xué)情分析本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了最值概念之后講解的內(nèi)容.學(xué)生在先前的學(xué)習(xí)中對最值的概念有了一定的理解,對一元二次函數(shù)的基本知識也掌握得比較好.因此本節(jié)課是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)中展開的,能夠讓學(xué)生跳一跳,夠得著.但是初中學(xué)過的一元二次函數(shù)要求和高中的要求不相同.在初中階段,學(xué)習(xí)了當(dāng)自變量取任意實數(shù)時,數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的最值的求法,在這個基礎(chǔ)上,高中階段將進(jìn)一步加深對二次函數(shù)最值的求法,引入二次函數(shù)在固定區(qū)間和動區(qū)間以及含參數(shù)的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法.因此高中對一元二次函數(shù)的最值問題要求明顯提高了很多,這對學(xué)生來講是一個難點,需要通過教師的引導(dǎo),師生共同探究來突破.三教學(xué)目標(biāo)知識與技能:會求數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)在一固定(變化)區(qū)間上的最值.會求含參數(shù)的二次函數(shù)在固定(變化)區(qū)間上的最值.當(dāng)已知二次函數(shù)的最值情況時,會求有關(guān)參數(shù)的取值.過程與方法:通過分類型講解,讓學(xué)生體會二次函數(shù)最值問題不同類型的處理策略,在掌握方法的同時提升能力,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的能力.情感態(tài)度與價值觀:于課堂教學(xué)中通過師生互動,生生互動,提高數(shù)學(xué)地思考,數(shù)學(xué)地交流,數(shù)學(xué)地表達(dá)的能力.通過主動思考,引導(dǎo)探究,提高數(shù)學(xué)思辨能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).四教學(xué)重點，難點重點:一元二次函數(shù)最值問題的求解策略難點:一元二次函數(shù)最值問題中的分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的運用五教學(xué)過程環(huán)節(jié)1復(fù)習(xí)引入,平穩(wěn)過渡復(fù)習(xí)二次函數(shù)的配方和三種形式配方：設(shè)一元二次函數(shù),則三種形式：一般式，頂點式，交點式.復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象,環(huán)節(jié)2:分類講解,提升思維類型1:定軸定區(qū)間例1:已知函數(shù),當(dāng)自變量在下列范圍內(nèi)取值時,求函數(shù)最值(1)[0,3](2)[-1,1](3)[1,4)解析：當(dāng)時,最小值為-7,最大值為5;當(dāng)時,最小值為-4,最大值為20;當(dāng)時,最小值為-7,無最大值.變式1:已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4,求.總結(jié)：對于此類定軸定區(qū)間問題，可以采用配方法和圖象法求解.類型2：動軸定區(qū)間例2：已知函數(shù),在區(qū)間上的最大值是,最小值是,則A與有關(guān)，與有關(guān)B與有關(guān)，與無關(guān)C與無關(guān)，與無關(guān)B與無關(guān)，與有關(guān)解析:若,則,.若,則,.若,則,.總結(jié):拋物線開口方向確定,對稱軸不確定,需根據(jù)對稱軸的不同情況分類討論,可畫出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡圖,用數(shù)形結(jié)合解決問題.類型3：定軸動區(qū)間例3：已知函數(shù),記在區(qū)間上的最大值為,寫出的表達(dá)式.解析:若,則,若,則若,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,.綜上,.總結(jié):區(qū)間是變化的,從運動的觀點來看,讓區(qū)間從左向右沿x軸正方向移動,分析移動到不同位置時對最值有什么影響.借助圖形,可以更直觀,清晰地解決問題.環(huán)節(jié)3:課堂小結(jié)求二次函數(shù)最值的常見類型及解法一是函數(shù)定義域為實數(shù)集,這時這要根據(jù)拋物線開口方向,應(yīng)用配方法即可;二是函數(shù)定義域為某一區(qū)間,這時二次函數(shù)的最值由它的單調(diào)性確定,而它的單調(diào)性又由拋物線的開口方向和對稱軸的位置來決定,當(dāng)開口方向或?qū)ΨQ軸不確定時,還需要分類討論.環(huán)節(jié)4:課后作業(yè)中等題:求在上的最大值.探究題:已知,.設(shè),,記的最小值為,的最大值為,則的值為教學(xué)反思人教A版必修一第一章介紹了函數(shù)的概念及其函數(shù)的基本性質(zhì).函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂,是高中數(shù)學(xué)的主干知識,貫穿高中數(shù)學(xué)始終.函數(shù)的最值是函數(shù)的重要性質(zhì),與其他數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密,在數(shù)學(xué)建模,最優(yōu)化等問題中也有廣泛的應(yīng)用.它蘊含了函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合,分類討論,等價轉(zhuǎn)化等重要數(shù)學(xué)思想,是歷年高考的必考內(nèi)容.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》第19頁指出,借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,最大值,最小值,理解它們的作用和實際意義.一元二次函數(shù)一種重要的函數(shù)模型,一元二次函數(shù)的最值問題更是高考?？嫉膬?nèi)容.在學(xué)完最值概念后,講解一元二次函數(shù)的最值問題不僅能夠讓學(xué)生掌握一元二次函數(shù)最值問題常見題型,更能夠讓學(xué)生深刻地體會到最值概念的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想,分類討論思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法,以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此,本節(jié)課實際上是最值問題在一元二次函數(shù)中的具體應(yīng)用.本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了最值概念之后講解的內(nèi)容.學(xué)生在先前的學(xué)習(xí)中對最值的概念有了一定的理解,對一元二次函數(shù)的基本知識也掌握得比較好.因此本節(jié)課是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)中展開的,能夠讓學(xué)生跳一跳,夠得著.但是初中學(xué)過的一元二次函數(shù)要求和高中的要求不相同.在初中階段,學(xué)習(xí)了當(dāng)自變量取任意實數(shù)時,數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的最值的求法,在這個基礎(chǔ)上,高中階段將進(jìn)一步加深對二次函數(shù)最值的求法,引入二次函數(shù)在固定區(qū)間和動區(qū)間以及含參數(shù)的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法.因此高中對一元二次函數(shù)的最值問題要求明顯提高了很多,這對學(xué)生來講是一個難點,需要通過教師的引導(dǎo),師生共同探究來突破.基于上述對教材分析和學(xué)情分析,本節(jié)課設(shè)置的教學(xué)目標(biāo)如下:知識與技能:會求數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)在一固定(變化)區(qū)間上的最值.會求含參數(shù)的二次函數(shù)在固定(變化)區(qū)間上的最值.當(dāng)已知二次函數(shù)的最值情況時,會求有關(guān)參數(shù)的取值.過程與方法:通過分類型講解,讓學(xué)生體會二次函數(shù)最值問題不同類型的處理策略,在掌握方法的同時提升能力,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的能力.情感態(tài)度與價值觀:于課堂教學(xué)中通過師生互動,生生互動,提高數(shù)學(xué)地思考,數(shù)學(xué)地交流,數(shù)學(xué)地表達(dá)的能力.通過主動思考,引導(dǎo)探究,提高數(shù)學(xué)思辨能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本節(jié)課的教學(xué)重點是一元二次函數(shù)最值問題的求解策略,難點是一元二次函數(shù)最值問題中的分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的運用.整節(jié)課設(shè)計了如下的幾個教學(xué)環(huán)節(jié),第一是復(fù)習(xí)引入,第二是講解三種類型的最值問題,第三是課堂小結(jié),第四是課后作業(yè).章建躍博士說過,從課堂教學(xué)的要求看,教學(xué)的自然和水到渠成應(yīng)包括兩個方面:一是知識邏輯順序的自然;二是學(xué)生心理邏輯的自然,主要是思維過程的自然.在第一個環(huán)節(jié)中和學(xué)生一起回顧初中學(xué)習(xí)過的配方,圖象,結(jié)合高中的單調(diào)性,借助圖象觀察最高點和最低點的坐標(biāo),為后面第二環(huán)節(jié)的講解做好鋪墊.這樣的引入符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,做到了教學(xué)的自然.章建躍博士指出,數(shù)學(xué)思想方法的力量是無限的,它蘊含于數(shù)學(xué)知識中，需要用心挖掘,應(yīng)成為數(shù)學(xué)教與學(xué)的根,手和船.在第二環(huán)節(jié)中,分類講解了三種題型,一是定軸定區(qū)間,二是動軸定區(qū)間,三是定軸動區(qū)間,講解過程中注重對分類討論。專家點評1.聆聽來自學(xué)生的聲音數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要教師思維過程的優(yōu)化，同時也需要聆聽來自學(xué)生的聲音，這是對課堂很好的補充。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)無論是傳授知識還是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的方法，都要求教師具有很好的數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ)，即邏輯思維，形象思維和直覺思維，只有具有這些思維能力并共同作業(yè)，才能使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)具有一定的思維質(zhì)量，才有可能培養(yǎng)出學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)。教師由于知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗的積淀，方法和手段的積累，在解決問題的過程與學(xué)生會有很大的不同，他們在解決問題時方法的選擇會比較準(zhǔn)確，考慮問題會很全面，思維層次會很深入，解決問題的途徑也會有多樣性，呈現(xiàn)多元化趨勢。但是對學(xué)生而言知識需要掌握，能力需要培養(yǎng)，知識方法尚在構(gòu)建之中，這就需要教師解決問題的思維過程要考慮到學(xué)生的實際和接受能力的現(xiàn)實狀況，要考慮到學(xué)生真實的想法和需求，要有意識地解決學(xué)生需要解決的當(dāng)前問題，在此基礎(chǔ)上才能考慮如何進(jìn)一步提高學(xué)生的思維水平和解決問題能力。我們的課堂教學(xué)往往有兩個現(xiàn)象值得警惕：一是話語霸權(quán)，即教師侵占學(xué)生的話語權(quán)，忽視學(xué)生的想法和需要，教學(xué)中說著正確的廢話，無視學(xué)生的言論，一次又一次錯過精彩的生成；二是思維剝奪，即教師設(shè)計了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)思維，學(xué)生只能按部就班地去聽，教師在課堂上的提問往往也只是一種擺設(shè)，課堂教學(xué)中只有一種環(huán)節(jié)設(shè)計，甚至教師有唯一正確答案的預(yù)設(shè)，讓學(xué)生沿著其鋪設(shè)的思路去思考。學(xué)生沒有足夠的自主參與和選擇自主思維的途徑和機會，他們只能圍繞著教師的問題轉(zhuǎn)，思路想，與其說是思考，不如說是為了尋找教師所提問問題背后的正確答案而苦心琢磨教師的心思，關(guān)心的是自己的想法是否符合教師的胃口，久而久之這樣的教學(xué)只能塑造學(xué)生奉迎，遵從的思維惰性。這樣的教學(xué)同樣不利于完善教師的思維，彌補教師思維的缺陷，會使本應(yīng)具有思維廣闊性和深刻性的教師思維不再廣闊，深刻和理性，更容易導(dǎo)致思維的敏捷性和非邏輯性思維能力的缺失。2.考慮學(xué)生的思維水平教師的教學(xué)設(shè)計不能只從教材和自己的經(jīng)驗出發(fā)，還需要考慮學(xué)生的思維水平，更需要有課前預(yù)設(shè)。如果課堂只從教材出發(fā)，那只能說我們的教學(xué)是在教教材，教學(xué)時的知識，很難說我們的教學(xué)是在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的能力；如果我們只從自己的經(jīng)驗出發(fā)，那樣的課堂一定是模式化的課堂，即嚴(yán)格執(zhí)行事先的教案設(shè)計，內(nèi)容上不隨意增減，也不會重視課堂上生成資源的利用和開發(fā)，同時也不會發(fā)現(xiàn)學(xué)生個體上的差異，以共性代替?zhèn)€性，以規(guī)律代替特色，學(xué)生的思維將會走向僵化；如果我們只從自己的經(jīng)驗出發(fā)，那樣的課堂一定是孤獨的，學(xué)生唯有教材，眼里也只有各種符號的邏輯演算，教學(xué)勢必缺乏生活意義以及應(yīng)有的價值。學(xué)生學(xué)到的僅僅是知識而不是智慧，掌握的也僅僅是應(yīng)試技巧而不是適應(yīng)未來發(fā)展的技能。學(xué)生的潛能將一直處于沉睡狀態(tài)而不能得到激發(fā)。教師將主宰課堂的一切，學(xué)生處于被控制地位，教師不了解學(xué)生有何體驗，帶著什么樣的精神狀態(tài)，也不知道他們需要什么？這樣的課堂教學(xué)要了解學(xué)生，以學(xué)生現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)，主觀經(jīng)驗，社會文化背景為起點進(jìn)行預(yù)設(shè)，充分估計學(xué)生會在何處，何時，有何疑問和困難，對教師所提的問題會有什么想法，如何去解決，同時教師要站在學(xué)生現(xiàn)有能力以及思維水平角度去分析，課堂有什么樣的生成，從而確定教學(xué)中應(yīng)選擇的認(rèn)知策略，保證我們的教學(xué)是適應(yīng)學(xué)生的，教學(xué)內(nèi)容能夠納入學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)之中。筆者很欣賞裴光亞先生在數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展：在書房與教室間穿行的教研人生一書中所闡述的觀點，如果我們的課堂教學(xué)能夠關(guān)注學(xué)生，我們就站在了教育的高度，站在這樣的高度我們才能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)教學(xué)的功能，從而準(zhǔn)確地把握教學(xué)內(nèi)容的價值甚至是教育價值。其實裴先生是在高速我們，教學(xué)的最高境界不僅是教書而且是育人，如果我們的課堂教學(xué)中沒有關(guān)注學(xué)生的感受，沒有給予學(xué)生思考的機會，甚至學(xué)生沒有了話語權(quán)，這樣的課堂教學(xué)是靈魂的缺失。也正如裴先生所說，我們正處在一個教學(xué)資源過剩的時期，我們不缺少資源，不缺少現(xiàn)實材料，不缺例子，也不缺少概括性的教育，我們不擔(dān)心該講的講了沒有，該做的事做了沒有，我