2020年高考全國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)（理科）真題分類匯編18個(gè)（解析版）

2020年高考全國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)理科真題分類匯編（解析版）

專題一集合--------------------------------------------2

專題二函數(shù)--------------------------------------------7

專題三三角函數(shù)--------------------------------------24

專題四解三角形--------------------------------------31

專題五平面向量--------------------------------------40

專題六數(shù)列------------------------------------------46

專題七不等式----------------------------------------64

專題八復(fù)數(shù)------------------------------------------67

專題九導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用----------------------------------71

專題十算法初步--------------------------------------87

專題十一常用邏輯用語--------------------------------87

專題十二概率統(tǒng)計(jì)------------------------------------91

專題十三空間向量、空間幾何體、立體幾何-------------104

專題十四平面幾何初步------------------------------134

專題十五圓錐曲線與方程----------------------------139

專題十六計(jì)數(shù)原理----------------------------------163

專題十七不等式選講--------------------------------167

專題十八坐標(biāo)系與參數(shù)方程---------------------------170

厚

專題一集合

(2020?全國(guó)［理科)設(shè)集合4={川￥-4段},B={x\2x+a<0},且ACIB={R_2人1},則好()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意首先求得集合A,B,然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于。的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】求解二次不等式％2一440可得：A^{x\-2<x<2},

求解一次不等式2尤+。40可得：

由于Ac3={x|—2W1},故：一"|=1，解得：a=-2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，不等式的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能

力.

(2020?全國(guó)n卷)已知集合U={-2,-1,0,I,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},則Q/(AuB)=

()

A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,

3)

【答案】A

【解析】

【分析】

首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后計(jì)算補(bǔ)集即可.

【詳解】由題意可得：423={-1,0,1,2},則?,(AB)={—2,3}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查并集、補(bǔ)集的定義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?全國(guó)HI卷)已知集合4={(x,y)|x,ywN*,y±x},B={(x,y)|x+y=8},則AnB中元素的個(gè)

度

XZ

數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

采用列舉法列舉出A8中元素的即可.

【詳解】由題意，A8中的元素滿足!/°,且x,yeN,

x+y=8

由x+y=8N2x,得x?4,

所以滿足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),

故AB中元素的個(gè)數(shù)為4.

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.

【2020?新高考全國(guó)卷I+H(山東+海南)】設(shè)集合A={X|1M3},B={X\1<X<^},則AUB=()

A.{x|2<x<3}B.{x|2<x<3}

C.{x|l<x<4}D.{x[l<x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)集合并集概念求解.

【詳解】AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4)

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

(2020?天津)設(shè)全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合4=[-1,0,1,2},8={-3,0,2,3},則

A(”)=()

A.{-3,3}B.{0,2}c.{-1,1}D.

{-3,-2,-1,1,3)

【答案】c

【解析】

【分析】

首先進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得集合的運(yùn)算結(jié)果.

【詳解】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：則A何8)={-1,1}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)集運(yùn)算，交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?浙江)已知集合P={x[l<x<4},。={2<%<3},則PnQ=()

A.{x|l<x<2}B.{X\2<X<3}

C.{x|2<%<3}D.{x|l<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)集合交集定義求解.

【詳解】PIe=(1,4)1(2,3)=(2,3)

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

(2020?江蘇)已知集合4={-1,0,1,2},8={0,2,3},則AB=.

【答案】{0,2}

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的交集即可計(jì)算.

【詳解】A={—l,0,l,2},8={0,2,3}

AI6={0,2}

故答案為：{0,2}.

【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題型.

（2020?浙江）設(shè)集合S,T,SIN",TIN*,S,T中至少有兩個(gè)元素，且S,T滿足:

①對(duì)于任意x,yeS,若x^y,都有xyeT

②對(duì)于任意x,yeT,若則）eS；

x

下列命題正確的是（）

A.若S有4個(gè)元素，則SUT有7個(gè)元素

B.若S有4個(gè)元素，則SUT有6個(gè)元素

C.若S有3個(gè)元素，則SUT有4個(gè)元素

D.若S有3個(gè)元素，則SU7有5個(gè)元素

【答案】A

【解析】

【分析】

分別給出具體的集合S和集合T,利用排除法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后證明剩余選項(xiàng)的正確性即可.

【詳解】首先利用排除法：

若取S={1,2,4},則T={2,4,8},此時(shí)ST={1,2,4,8},包含4個(gè)元素，排除選項(xiàng)。;

若取S={2,4,8},則7={8,16,32},此時(shí)ST={2,4,8,16,32},包含5個(gè)元素,排除選項(xiàng)C；

若取S={2,4,8,16},則7={8,16,3264,128},此時(shí)ST={2,4,8,16,32,64,128},包含7個(gè)

元素，排除選項(xiàng)8；

下面來說明選項(xiàng)A的正確性：

設(shè)集合5={，|,〃2，〃3，〃4}，且Pl<P2<P3<P4，PI,PZPTPHN*,

則紂,

則PlPl<P2P4，且P1P?，P2P4GT，

同理&eS,^-eS,上wS,馬eS,區(qū)wS,

Pl“3PiPiPl

若Pl=L則則以<〃3，故星=P2即〃3=P；，

PlPl

又Pa〉31〉&>1，故="=Pi,所以04=P；，

“2"3PiPl

故5={1,02，。；，2；}，此時(shí)^^了，生^氐故p；eS,矛盾，舍.

若PlN2,則上<久<〃3，故”=展區(qū)=Pl即〃3=〃：，〃2=P：，

PiPxPlPl

又〃4>%■>%■>乙>1，故"=與二〃],所以R=P3

PlPlP3P3P\

故s={p,p；,p；,p：},此時(shí){p；,P：,P：,P；,P；}qT.

若qeT,則々wS,故烏=p：,i=1,2,3,4,故4=p,3,i=i,2,3,4,

PiP\

即qe{p：,p：,Pi,p：,p：}，故{Pi，p：,P\，p；,p；}=7,

此時(shí)SDT={歷,p；,p；,p：,pt，P,,pt，Pl}T中有7個(gè)元素.

故A正確.

考查集合中含有3個(gè)元素的情形，我們用反證法證明集合S中的任意兩個(gè)元素均具有倍數(shù)關(guān)系.

不妨則設(shè)5={四,〃2，。3}(。1<P2<P3)，其中P”PzP?GM，旦P\，B，W之間不具有倍數(shù)關(guān)系，

則T={PIP2，P2P3，。34}，此時(shí)由對(duì)于任意為)心7，若工勺，則,eS可得：

[oS,這與集合中的元素均為正整數(shù)矛盾，可見假設(shè)不成立，

5“2Pi}

即集合S中的任意兩個(gè)元素均具有倍數(shù)關(guān)系.

同理可得四個(gè)元素的集合S中任意兩個(gè)元素均具有倍數(shù)關(guān)系.

不妨設(shè)集合S={，/,，/、機(jī)3am4a},其中相且加,OWN*,

此時(shí)易知T={m3a,m4a,機(jī)5a，機(jī)6a,”7a},故s7={m。，機(jī)2a,機(jī)3a,m4a,機(jī)5a,機(jī)6aM7a},

即集合ST中含有7個(gè)元素.

故選：A.

【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此

新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但

是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，

以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

(2020?北京)已知集合4={-1,0,1,2},5={x|0<x<3},則AB=().

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{112}

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)交集定義直接得結(jié)果.

【詳解】AIB={-1,0,1,2）I（0,3）={1,2},

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

專題二函數(shù)

（2020?全國(guó)I理科）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的

關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),20）得到下面的散

點(diǎn)圖：

100%

80%

㈱60%

取40%

20%

0

由此散點(diǎn)圖，在10。（2至40（之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸

方程類型的是（）

A.y=a^rbxB.y=a+bx2

C.y=a+hexD.y=o+Z?lnx

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.

【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近，

因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y^a+b\nx.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點(diǎn)圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?全國(guó)I理科)若2"+log2a=4"+210g4。，貝ij()

A.a>2bB.a<2bC.a>b1D.a<b2

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)f{x)=2'+log,x,利用作差法結(jié)合/(x)的單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】設(shè)f(x)=2'+log2x,則“X)為增函數(shù)，因?yàn)?"+log2a=4"+210g4Z?=22〃+Iog2。

2fc

所以/(?)-f(2b)=2"+log2a—Q2&+Iog22b)=22b+log2b_(2+lOg22b)

Tog2；=7<0，

所以f(a)<f(2b),所以a<2b.

22b2

/(?)-f舊)=2"+log2a-(2戶+log,b)=2+log2b-(2人+log2Z?)=22b_吩一廄b，

當(dāng)〃=1時(shí)，/(a)-/(。2)=2>0,此時(shí)/(4)>/(〃)，有

當(dāng)b=2時(shí)，f(a)-f(b2)=-1<0,此時(shí)/(。)</(/)，有a</,所以C、D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是

一道中檔題.

2x+y-2<0,

(2020?全國(guó)I理科)若x,y滿足約束條件<x-y-l>0,則z=x+ly的最大值為.

y+l>0,

【答案】1

【解析】

【分析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.

其中Z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，

2x+y-2=0.、

聯(lián)立直線方程：\，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A（1,O）,

九一y-l=0

據(jù)此可知H標(biāo)函數(shù)的最大值為：zn1ax=l+7x0=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛怵線性目標(biāo)函數(shù)z=ox+勿①原0）的最值，當(dāng)h>0時(shí)，宜線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，

z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)6V0時(shí)，直線過可行域且在），軸上截距最大時(shí)，z值最

小，在），軸上截距最小時(shí)，z值最大

（2020?全國(guó)H卷）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單

的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知

該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每

天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少

需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

【答案】B

【解析】

【分析】

算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.

【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600—1200=900,設(shè)需要志愿者x名，

5Ox

麗20.95,XN17.1,故需要志愿者18名.

故選：B

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?全國(guó)U卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,則危)()

A.是偶函數(shù)，且在(g,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-g,g)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(-co,-；)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-co,-g)單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出/(力為奇函數(shù)，排除AC;當(dāng)Xw(一；，g)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

可判斷出了(%)單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)xe1-o。,-g)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出/(無)單調(diào)

遞減，從而得到結(jié)果.

【詳解】由f(x)=ln|2x+l]—1川2%—1|得/(力定義域?yàn)椴罚?關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，

又/(-x)=ln|l-2jc|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2x+l|=-/(x),

..?/(x)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)時(shí)，/(x)=ln(2x+l)—ln(l-2x),

Qy=ln(2x+1)在卜;上單調(diào)遞增，y=ln(l—2x)在上單調(diào)遞減，

???/(X)在m上單調(diào)遞增,排除B；

當(dāng)XG—00,—時(shí),/(x)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=In-------=

2x—1岫+e)

〃=1+5］在(一°°，—3］上單調(diào)遞減，/(〃)=ln〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/(力在18,-g)上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提

下，根據(jù)“一力與A*)的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù)，

根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.

(2020?全國(guó)in卷)^2x-2y<3-x-3-y，則()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C,ln|x-j|>0D.ln|無一y|<0

【答案】A

【解析】

【分析】

將不等式變?yōu)?*—，根據(jù)/(。=2'—3T的單調(diào)性知》<丁，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中

真數(shù)與1的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】由2*—2y<3r-37得:T-3r<2y-3,

令〃。=2'—3、

y=2,為R上的增函數(shù)，y=3,v為R上的減函數(shù)，.?./(/)為R上的增函數(shù)，

：?x<y,

Qy-x>0,-x+l>l,.?/n(y-x+l)>0,則A正確，B錯(cuò)誤；

Q|x-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單

調(diào)性得到-y的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

(2020?全國(guó)in卷)Sgisric模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)

據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)/⑺。的單位：天)的。gisfic模型：/⑺=,或”藥,其

中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)/(f*)=O.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則f*約為()(lnl9-3)

XZ

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【解析】

【分析】

將f=f*代入函數(shù)/(f)=+.3(—53)結(jié)合)=0-95K求得t*即可得解.

【詳解】/?)=1+$53)，所以/"*)=i+e%F=0-95K，則/3(，F(xiàn))=19.

所以，().23”*—53)=lnl9“3,解得廣。_^_+53=66.

'70.23

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

x+”0,

(2020?全國(guó)HI卷)若x,y滿足約束條件<2x—>20,,則z=3x+2y的最大值為

x<1,

【答案】7

【解析】

【分析】

作出可行域，利用截距的幾何意義解決.

【詳解】不等式組所表示的可行域如圖

3_r77

因?yàn)閦=3x+2y,所以y=--,易知截距不越大，則z越大，

222

3r3xz

平移直線)=一萬，當(dāng)丁二一萬十,經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，

y=2x[x=l

由，?,得《―4(1,2),

x=i[y=2

所以Zmax=3x14-2x2=7

故答案為：7.

度

XZ

【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合

的思想，是一道容易題.

[2020?新高考全國(guó)卷I+H（山東+海南）】基本再生數(shù)治與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基

本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新

冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/（7）=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間r（單位:天）的變化

規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率『與Ro,7近似滿足Ro=l+".有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出品=3.28,.據(jù)此，在

新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（ln2M.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得/（。=6*=*38,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間

為:天，根據(jù)6°-38?力）=26°-38',解得乙即可得結(jié)果.

328—1

【詳解】因?yàn)?=3.28,7=6,&=1+叮,所以「=送一=0.38,所以/。）=e"，

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為％天，

則eo-w)=2e°w,所以e°啊=2,所以0.38%=In2,

摩

In20.69

所以%—。1.8天.

0.38038

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

[2020?新高考全國(guó)卷I+11(山東+海南)】信息燧是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有

可能的取值為1,2,,〃，且P(X=i)=p‘>0(i=l,2,,〃)Sp,=l,定義X的信息熠

/=!

〃(X)=-fp,log2P,.()

J=l

A.若〃=1,則/7(X)=0

B.若n=2,則"(X)隨著Pi的增大而增大

C.若“=’(，=1,2,,〃)，則"(X)隨著"的增大而增大

n

D.若n=2m,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為1,2,M,且P(，=力=%+P2,?+1./j=1,2,，附，則

【答案】AC

【解析】

【分析】

對(duì)于A選項(xiàng)，求得H(X),由此判斷出A選項(xiàng)的正確性.對(duì)于B選項(xiàng)，利用特殊值進(jìn)行排除.對(duì)于C

選項(xiàng)，計(jì)算出”(x),由此判斷出c選項(xiàng)的正確性.對(duì)于D選項(xiàng)，計(jì)算出”(x),"(y),由此判斷

出D選項(xiàng)的正確性.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若〃=1,貝M=L“=1,所以H(x)=—(lxlog21)=0,所以A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，若〃=2,貝iji=l,2,p2=l-p1,所以

”(x)=-［入log28+(1-Pi)?log?(1-A)］，

1(1133、

//%="10§2+10§2，

當(dāng)Pi=1時(shí)，()^4-44,4>1

當(dāng)Pl=14時(shí)，"(“=一(匕31%13+鼠110821A/，

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，若p,=』(i=l,2,,〃)，則

n

H(X)=-log,-|xn=-log2-=log,n,

\n-n)-n

則”(X)隨著〃的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若〃=2加，隨機(jī)變量y的所有可能的取值為1,2,,〃?，且尸位=力=〃/+。2,,—

(J=1,2,,m).

"(X)=-工P,?10g2Pi=EPi-10g2—

/=l/=1Pi

.1,1.1,1

P\,log?—+Pl-log?—++Pirn-\,1°§2-+--P-i-m-10§2---------

PlPl〃2"IP2m

(Pl+〃2,”).log2―--+(“2+).log2-------------------++(P,“+P,“+)lOg2―—

Pl+Pl,,,Pl+P,?+Pm+1

,1,1,1,1

P|-log----------------+22?log2--------------------++，2mT.log?

2―；------+Pin.■10g2-------

Pl+P2m〃2+〃2,"T〃2+〃2，“TPl+“2，”

、11,1,1

由于Pi>0(z=1,2,,2加)，所以一>-，--所---以--b-g-2—>142---------------------

PiPi+Plm+l-iPiP,+P2,"+I

.1,1

所以0?log?—>P/-log2----------

PiPi+pl^-i

所以H(x)〉”(y),所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)新定義“信息端”的理解和運(yùn)用,考查分析、思考和解決問題的能力，屬

于難題.

4x

(2020?天津)函數(shù)y=-^一的圖象大致為()

X+1

xz

【解析】

【分析】

由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得：/（-x）=-7—=則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐

標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；

4

當(dāng)x=l時(shí)，y=——=2>0,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

1+1

故選：A.

【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的

值域，判斷圖象的上下位置.（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì).（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷

圖象的對(duì)稱性.（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng).

（2020?天津）設(shè)a=3°'7,Z?=I—I,c-log070.8>則。力,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出a,b,c的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)?=3°，>1，

Z，=Qy'8=3°-8＞30-7=?.

c=log070.8＜log070.7=1,

所以

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)基和對(duì)數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)

和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對(duì)應(yīng)值的范圍.

比較指對(duì)某形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=ax,當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)遞增：當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)遞減；

(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=log“％,當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)遞減;

(3)借助于中間值，例如：0或1等.

(2020?天津)己知函數(shù)/(x)=/'若函數(shù)g(x)=/(x)-忸2-2H(AeR)恰有4個(gè)零

-x,x＜0.

點(diǎn)，則％的取值范圍是()

A.°°,—2(2A/2,+oo)B.2^(0,2＞^)

C.(YO,0)(0,2揚(yáng)D.(YO,0)(2血,4w)

【答案】D

【解析】

【分析】

將問題轉(zhuǎn)化為＞=1%/2與/X)=曾有3個(gè)不同交點(diǎn)，分

由g(0)=0,結(jié)合已知，

\x\

%=(),%＜0,%＞0三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.

【詳解】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程I丘-2|=誓恰有3個(gè)實(shí)根

\x\

即可，

令人上號(hào)，即尸與〃⑴二詈的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn).

XX

因?yàn)?詈弋,尤>0

x<0

當(dāng)&=0時(shí)，此時(shí)y=2,如圖1,y=2與%*）=曾有2個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意:

\x\

f（x）

當(dāng)k<0時(shí)，如圖2,此時(shí)y=|丘一2|與九（%）=%恒有3個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意;

\x\

當(dāng)女>0時(shí)，如圖3,當(dāng)丁=丘一2與），=d相切時(shí)，聯(lián)立方程得f一丘+2=o，

令△=（）得左2一8=0,解得左=20（負(fù)值舍去），所以女〉2痣.

綜上，女的取值范圍為（—0,0）（2后,不》）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.

x—3y+1W0

（2020?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<，C，則kZx+y的取值范圍是（）

x+y-3>0

A.(-oo,4]B"4,+8)C.[5,+oo)D.(-oo,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定目標(biāo)函數(shù)在何處能夠取得最大值和最小值從而

確定目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可.

【詳解】繪制不等式組表示平面區(qū)域如圖所示，

其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,

z取得最小值時(shí)，其兒何意義表示直線系在y軸上.的截距最小，

據(jù)此結(jié)合H標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，

聯(lián)立立線方程：\:，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A（2,l）,

x+y-3=0

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為：zmin=2+2x1=4

且目標(biāo)函數(shù)沒有最大值.

故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是［4,+8）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z=oc+力（"#））的最值，當(dāng)人>0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，

z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b<0時(shí)，直線過可行域且在），軸上截距最大時(shí)，z值最

小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

（2020?浙江）函數(shù)產(chǎn)rcosx+sinx在區(qū)間［-兀，+兀］的圖像大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在1處的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖像.

【詳解】因?yàn)?(x)=xcosx+sinx,則/(-x)=-xcosx-sinx=-/'(x),

即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，

據(jù)此可知選項(xiàng)C￡>錯(cuò)誤；

且％=不時(shí)，y=%cos4+sin7=一)<0,據(jù)此可知選項(xiàng)8錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的

值域，判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì).(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷

圖象的對(duì)稱性.(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng).

(2020?浙江)已知a,beRS.ab/0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b巨0在於0上恒成立，則()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】C

【解析】

【分析】

對(duì)。分。>0與“<0兩種情況討論，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.

XX

【詳解】因?yàn)?。沙?,所以470且加4),設(shè)/(x)=(x-a)(x-勿。一2。一切，則f(x)的零點(diǎn)

為玉=a，/=b,x3—2a+b

當(dāng)a>0時(shí)，則工2</，%>°，要使/(x)20，必有2a+8=a,且匕<0,

即6=-。，且b<0,所以b<0；

當(dāng)。<0時(shí)，則尤2>尤3，不<0，要使/(x)NO,必有。<0.

綜上一定有b<0.

故選：C

【點(diǎn)晴】本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查學(xué)生分類討論思想，一道中檔題.

(2020?江蘇)已知戶加0是奇函數(shù)，當(dāng)定0時(shí)，〃x)=xG，則長(zhǎng)8)的值是一.

【答案】-4

【解析】

【分析】

先求/(8),再根據(jù)奇函數(shù)求/(-8)

2

【詳解】/@=83=4,因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以了(-8)=-八8)=T

故答案為：-4

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

(2020?北京)己知函數(shù)/(x)=2,-無一1,則不等式/(幻>0的解集是().

A.(-1,1)B.(7,-1)(1,”)

C.(0,1)D.(』0)51,田)

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函數(shù)y=2*和y=x+l的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(%)=2-—1,所以〃%)>0等價(jià)于2*>x+l，

在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2*和y=x+l的圖象如圖:

兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,（1,2）,

不等式2'>x+l的解為x<0或尤>1.

所以不等式/（力>0的解集為：（-8,0）U（l,4W）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.

（2020?北京）.函數(shù)/（幻=一］+1門的定義域是.

X+1

【答案】（0,+8）

【解析】

【分析】

根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.

尤>0

【詳解】由題意得《,八，，x>0

X+1H0

故答案為：（0,+8）

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

（2020?北京）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)

的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水摔放量W與時(shí)間f的關(guān)系為W=/（r）,用一""）一""）-的大小評(píng)

b-a

價(jià)在以力］這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間

的關(guān)系如下圖所示.

摩

Hf

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在，4］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在弓時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在與時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0,切,L，弓］，L，4］這三段時(shí)間中，在［0田］的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果

【詳解】一/（'-,（"）表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù),

b-a

在］必］這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治

理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；

甲企業(yè)在［0/1［,匕/2］,在2"3］這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在,冉］這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)

最大，即在，1冉］的污水治理能力最強(qiáng).④錯(cuò)誤；

在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力

比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；

在與時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識(shí)別能力，屬中檔題.

摩

專題三三角函數(shù)

7F

（2020?全國(guó)I理科）設(shè)函數(shù)/（X）=COS（啰X+工）在［一兀，兀］的圖像大致如下圖，則/（X）的最小正周

6

期為（）

10K7兀

L.------------B.

9~6

4兀3兀

D.

3T

【答案】C

【解析】

【分析】

（4）?（4乃Ji\（47rA

由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)［一1-,01即可得到cos廣1-3+qJ=0,結(jié)合1-7,oj是函數(shù)

47rTCTC3

/（x）圖象與次軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)即可得到-----<y+-=-y,即可求得。=5,再利用三角

函數(shù)周期公式即可得解.

【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)

47r711

將它代入函數(shù)/（X）可得：COS-——=0

I96；

乂（一5,0）是函數(shù)/（%）圖象與“軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn),

一「4〃7171w3

所以-----切+—=——，解得：69=-

9622

_24_2九?_4"

所以函數(shù)/（%）的最小正周期為"=-^7=T=T

2

故選：c

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.

（2020?全國(guó)I理科）已知aw（0,兀），且3cos2a-8cosa=5,則sina=（）

A.叵B.2

33

C.-D.叵

39

【答案】A

【解析】

【分析】

用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosa的一元二次方程，求解得出8sa,再用同角間

的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa—8=0，

.2

即3cos-。一4cosa—4=0，解得cosa=-§或cosa=2（舍去），

又aG（0,4）,sina=Jl-cos2a=-

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

（2020?全國(guó)n卷）若a為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項(xiàng)是否正確即可.

摩

7JT171\

【詳解】當(dāng)。=---時(shí)，cosla=cos-->0,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

6，I3j

JI21

當(dāng)a=——時(shí)，cos2a=cos-<0,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

3I

由a在第四象限可得：sin?<0,cosa>0,則sin2a=2sinacosa<0,選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D

正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，意在考查學(xué)生

的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

2

(2020?全國(guó)HI卷)在中，cosC=—,AC=4,BC=3,則cos8=()

3

1112

A.-B.-C.-D.一

9323

【