2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面向量 6 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（教師用書）教案 北師大版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面向量6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（教師用書）教案北師大版必修4科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面向量6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（教師用書）教案北師大版必修4教材分析本節(jié)課為人教版高中數(shù)學(xué)必修4第2章平面向量第6節(jié)“平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示”的示范課。本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的概念、向量的加減運(yùn)算、向量共線定理等知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究平面向量的數(shù)量積，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及其坐標(biāo)表示，理解向量數(shù)量積的幾何意義，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算及應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要包括：平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、坐標(biāo)表示及其幾何意義。在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、探究，發(fā)現(xiàn)平面向量數(shù)量積的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。同時(shí)，結(jié)合生活實(shí)例，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)對(duì)象為高中二年級(jí)學(xué)生，他們已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握了基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和一定的空間想象能力。但在本節(jié)課中，學(xué)生需要理解并掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，這對(duì)他們來說是一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，因此，在教學(xué)過程中，要注重從學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、空間想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算四個(gè)方面。通過學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、坐標(biāo)表示及其幾何意義，學(xué)生能夠提升自己的邏輯推理能力，通過對(duì)數(shù)量積公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。同時(shí)，通過觀察和分析實(shí)際問題，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中，提升數(shù)學(xué)建模和空間想象能力?？傮w而言，本節(jié)課的目標(biāo)是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積的過程中，全面提升自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）平面向量數(shù)量積的定義及其性質(zhì)：向量數(shù)量積的定義是指兩個(gè)向量的模的乘積與它們夾角的余弦值的乘積，即$$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}|\cdot|\vec|\cdot\cos\theta$$，其中$$\theta$$為兩個(gè)向量的夾角。向量數(shù)量積的性質(zhì)包括交換律、分配律、結(jié)合律和共線定理。

（2）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$的坐標(biāo)分別為$$(a_1,a_2)$$和$$(b_1,b_2)$$，則它們的數(shù)量積可以表示為$$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2$$。

（3）向量數(shù)量積的幾何意義：向量數(shù)量積可以表示為向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec$$方向上的投影長(zhǎng)度與向量$$\vec$$長(zhǎng)度的乘積。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）理解并掌握平面向量數(shù)量積的定義及其性質(zhì)：學(xué)生可能對(duì)兩個(gè)向量夾角的余弦值難以理解，以及如何運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。

（2）掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：學(xué)生可能對(duì)如何將向量的坐標(biāo)代入公式進(jìn)行計(jì)算困惑，以及如何理解坐標(biāo)表示與幾何意義之間的關(guān)系。

（3）幾何意義的理解：學(xué)生可能對(duì)向量數(shù)量積表示為向量在另一個(gè)向量方向上的投影長(zhǎng)度與向量長(zhǎng)度的乘積感到難以理解，需要通過實(shí)際例子和圖形進(jìn)行解釋和引導(dǎo)。

針對(duì)以上難點(diǎn)，教師可以通過以下教學(xué)方法幫助學(xué)生突破難點(diǎn)：

（1）通過實(shí)際例子和圖形，引導(dǎo)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，例如，可以通過兩個(gè)箭頭的夾角來表示向量的夾角，并通過實(shí)際的計(jì)算示例來展示性質(zhì)的應(yīng)用。

（2）通過具體的例題和練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，例如，可以讓學(xué)生計(jì)算兩個(gè)已知坐標(biāo)向量的數(shù)量積，并解釋其幾何意義。

（3）通過實(shí)際例子和圖形，引導(dǎo)學(xué)生理解向量數(shù)量積的幾何意義，例如，可以通過繪制向量的投影圖來展示向量數(shù)量積表示為向量在另一個(gè)向量方向上的投影長(zhǎng)度與向量長(zhǎng)度的乘積。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、計(jì)算機(jī)、白板、黑板、彩色粉筆、向量模型教具。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校提供的教學(xué)管理系統(tǒng)，如Moodle或Blackboard。

3.信息化資源：教學(xué)PPT、動(dòng)畫演示、數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）、向量相關(guān)的視頻教程。

4.教學(xué)手段：小組討論、合作學(xué)習(xí)、問題引導(dǎo)、實(shí)際操作、互動(dòng)式教學(xué)、課后在線練習(xí)。

5.教學(xué)輔助材料：教科書、練習(xí)冊(cè)、教案、學(xué)生作業(yè)、測(cè)驗(yàn)試卷、數(shù)學(xué)論壇或?qū)W習(xí)小組。

6.教學(xué)參考資料：教師自制的教學(xué)指導(dǎo)手冊(cè)、教學(xué)案例、數(shù)學(xué)雜志和學(xué)術(shù)期刊。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示》這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個(gè)問題：“你們?cè)谌粘Ｉ钪惺欠裼龅竭^需要計(jì)算兩個(gè)向量數(shù)量積的情況？”（舉例說明）這個(gè)問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個(gè)問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索平面向量數(shù)量積的奧秘。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解平面向量數(shù)量積的基本概念。平面向量數(shù)量積是兩個(gè)向量的模的乘積與它們夾角的余弦值的乘積，其坐標(biāo)表示為$$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2$$。它的重要性在于可以用來表示向量在另一個(gè)向量方向上的投影長(zhǎng)度與向量長(zhǎng)度的乘積。

2.案例分析：接下來，我們來看一個(gè)具體的案例。這個(gè)案例展示了平面向量數(shù)量積在實(shí)際中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)平面向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示這兩個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于坐標(biāo)表示的難點(diǎn)部分，我會(huì)通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與平面向量數(shù)量積相關(guān)的實(shí)際問題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)操作。這個(gè)操作將演示平面向量數(shù)量積的基本原理。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“平面向量數(shù)量積在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會(huì)提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了平面向量數(shù)量積的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對(duì)平面向量數(shù)量積的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請(qǐng)隨時(shí)向我提問。學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.理解并掌握平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及其坐標(biāo)表示，能夠運(yùn)用數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算，并解釋其幾何意義。

2.提升邏輯推理能力，通過對(duì)數(shù)量積公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

3.提高空間想象能力，通過觀察和分析實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

4.培養(yǎng)合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，通過小組討論和實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)會(huì)與他人共同解決問題。

5.增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)能力，通過課堂學(xué)習(xí)和課后練習(xí)，培養(yǎng)獨(dú)立思考和解決問題的能力。

6.提升數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力和交流能力，能夠清晰地闡述自己的觀點(diǎn)和思路，并理解他人的想法。

7.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度分析和解決問題，提高解決問題的效率。

8.增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和自信心，相信自己能夠掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。教學(xué)反思與總結(jié)回顧今天平面向量數(shù)量積的教學(xué)，我感覺整體上還是比較成功的。學(xué)生們對(duì)于數(shù)量積的定義和性質(zhì)的理解，通過案例分析和實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)合，都有了顯著的提升。坐標(biāo)表示的講解，雖然一開始有些學(xué)生感到困惑，但通過具體的例子和互動(dòng)式的教學(xué)，他們逐漸掌握了坐標(biāo)表示的方法。

在教學(xué)過程中，我盡量采用了多種教學(xué)手段，如小組討論、實(shí)驗(yàn)操作等，這些方法激發(fā)了學(xué)生的興趣，也提高了他們的參與度。分組討論的時(shí)候，我注意引導(dǎo)學(xué)生思考問題，鼓勵(lì)他們提出不同的觀點(diǎn)，這有助于培養(yǎng)他們的批判性思維和團(tuán)隊(duì)合作能力。

然而，我也發(fā)現(xiàn)了一些需要改進(jìn)的地方。首先是時(shí)間分配上，我發(fā)現(xiàn)過多的時(shí)間花在了理論講解上，而忽略了學(xué)生的實(shí)際操作和練習(xí)。下次我會(huì)在保證理論基礎(chǔ)的前提下，適當(dāng)增加學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐時(shí)間。其次是對(duì)于學(xué)生的差異化教學(xué)，雖然我嘗試對(duì)不同水平的學(xué)生給予不同的引導(dǎo)和問題，但發(fā)現(xiàn)還可以更進(jìn)一步，比如提供不同難度的練習(xí)題目，讓每個(gè)學(xué)生都能在課堂上找到適合自己的學(xué)習(xí)路徑。

教學(xué)總結(jié)方面，我認(rèn)為學(xué)生對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容總體上是滿意的。他們不僅掌握了平面向量數(shù)量積的知識(shí)，更重要的是，他們開始理解數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，這對(duì)于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是非常重要的。在情感態(tài)度上，學(xué)生們對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣也有所提升，這在他們的課堂表現(xiàn)和課后反饋中可以明顯看出。

對(duì)于未來教學(xué)的改進(jìn)，我計(jì)劃更加注重學(xué)生的反饋，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法和節(jié)奏。同時(shí)，我會(huì)嘗試更多的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。此外，我也會(huì)繼續(xù)反思如何更好地照顧到每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都能有所收獲和成長(zhǎng)。重點(diǎn)題型整理1.題型一：平面向量數(shù)量積的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用

題目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$的數(shù)量積。

答案：根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，有$$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2=2(-1)+3(2)=-2+6=4$$。

2.題型二：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用

題目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$的數(shù)量積。

答案：根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有$$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2=2(-1)+3(2)=-2+6=4$$。

3.題型三：平面向量數(shù)量積的幾何意義的應(yīng)用

題目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec$$方向上的投影長(zhǎng)度。

答案：根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec$$方向上的投影長(zhǎng)度等于向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$的數(shù)量積除以向量$$\vec$$的長(zhǎng)度，即$$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}=\frac{4}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$$。

4.題型四：平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)的綜合應(yīng)用

題目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$的數(shù)量積，并判斷向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$是否共線。

答案：根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，有$$\vec{a}\cdot\vec=2(-1)+3(2)=-2+6=4$$。根據(jù)平面向量的共線定理，若兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，則這兩個(gè)向量共線。因此，向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$的數(shù)量積不為0，所以它們不共線。

5.題型五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和幾何意義的綜合應(yīng)用

題目：已知向量$$\vec{a}=(2,3)$$和向量$$\vec=(-1,2)$$，求向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec$$方向上的投影長(zhǎng)度，并判斷向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$是否共線。

答案：根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有$$\vec{a}\cdot\vec=2(-1)+3(2)=-2+6=4$$。根據(jù)平面向量的共線定理，若兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，則這兩個(gè)向量共線。因此，向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$的數(shù)量積不為0，所以它們不共線。向量$$\vec{a}$$在向量$$\vec$$方向上的投影長(zhǎng)度等于向量$$\vec{a}$$和$$\vec$$的數(shù)量積除以向量$$\vec$$的長(zhǎng)度，即$$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}=\frac{4}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$