遼寧高考數(shù)學(xué)-專(zhuān)題考案(2)數(shù)列板塊-第4課-數(shù)列的應(yīng)用(附答案)

遼寧高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題考案(2)數(shù)列板塊第4課數(shù)列的應(yīng)用（附答案）(時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分：100分)題型示例某廠(chǎng)試制新產(chǎn)品，為生產(chǎn)此項(xiàng)產(chǎn)品需增加某些設(shè)備，購(gòu)置這些設(shè)備需一次付款25萬(wàn)元，若租用這些設(shè)備每年初需付租金3.3萬(wàn)元，若一年期存款的年利率為9.8％，試討論哪種方案的收益更大(設(shè)備壽命為10年).解從10年后的價(jià)值考慮，購(gòu)置設(shè)備的25萬(wàn)元，10年后的價(jià)值為：M1=25(1+9.8％)10≈63.674(萬(wàn)元)，每年初付租金3.3萬(wàn)元的10年后的總價(jià)值為：M2=3.3×(1+9.8％)10+3.3×(1+9.8％)9+…+3.3×(1+9.8％)=3.3×1.098×≈57.197(萬(wàn)元).即租用設(shè)備方案的收益更大.點(diǎn)評(píng)優(yōu)化方案的問(wèn)題，即為獲得利潤(rùn)最大的方式.一、選擇題(8×3′＝24′)1．農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入3150元(其中工資性收入為1800元，其他收入為1350元)，預(yù)計(jì)該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其他收入每年增加160元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于()A.4200元~4400元B.4400元~4600元C.4600元~4800元D.4800元~5000元2．已知數(shù)列1，1，2，…它的每一項(xiàng)由一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)首項(xiàng)為0的等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加而得，那么這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)和為()A.467B.557C.978D.10683．凸多邊形各內(nèi)角度數(shù)成等差數(shù)列，最小角為120°，公差為5°，則邊數(shù)n等于()A.16B.9C.16或9D.124．首項(xiàng)是2，公比是3的等比數(shù)列，從第n項(xiàng)到第N項(xiàng)的和為720，則n,N的值分別是()A.n=2,N=6B.n=2,N>6C.n=3,N=6D.n=3,N>65．已知等差數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公差d≠0，設(shè)P=，則P與Q的大小關(guān)系是()A.P>QB.P<QC.P=QD.無(wú)法確定6．一個(gè)機(jī)器貓每秒前進(jìn)或后退一步，程序設(shè)計(jì)人員讓機(jī)器貓以每前進(jìn)3步，然后再后退2步的規(guī)律移動(dòng)；如果將此機(jī)器貓放在數(shù)軸的原點(diǎn)上，面向正的方向，以1步的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)，令P(n)表示第ns時(shí)機(jī)器貓所在的位置的坐標(biāo)，且P(0)=0,那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.P(3)=3B.P(5)=1C.P(101)=21D.P(103)<P(104)7．已知｛an｝是首項(xiàng)為50，公差為2的等差數(shù)列，｛bn｝是首項(xiàng)為10，公差為4的等差數(shù)列.設(shè)以ak，bk為相鄰兩邊的矩形內(nèi)最大圓的面積為Sk，若k≤21，那么Sk等于()A.π(2k+1)2B.π(k+12)2C.π(2k+3)2D.π(k+24)28．一個(gè)正數(shù)組成的等比數(shù)列前7項(xiàng)之和是2，其后14項(xiàng)之和是12，則再后面21項(xiàng)之和是()A.110B.108C.104D.112二、填空題(4×4′＝16′)9．若A、B、C成等差數(shù)列，則直線(xiàn)Ax+By+C=0，必過(guò)點(diǎn).10．已知f(x)為一次函數(shù)，若f(3)=15,且f(2)、f(5)、f(14)成等比數(shù)列，則f(1)+f(2)+…+f(n)=.11．大樓共n層(n為奇數(shù))，現(xiàn)每層指定一人，共n人集中到第k層開(kāi)會(huì)，要使n位參會(huì)人員上、下樓梯所走路程總和最短(假定相鄰兩層樓梯長(zhǎng)相等，為a)，則k=.12．有一堆物品，某層放n2個(gè)，而它的上一層比它少放(2n-1)個(gè)(n≥2),已知這堆物品底層放100個(gè)，頂層放16個(gè)，這堆物品共有個(gè).三、解答題(3×12′＝36′)13．如圖，△OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)、(1，0)、(0，2)，設(shè)P1為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，P2為線(xiàn)段CO的中點(diǎn)，P3為線(xiàn)段OP1的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線(xiàn)段PnPn+1的中點(diǎn)，令Pn的坐標(biāo)為(xn,yn)，an=yn+yn+1+yn+2.圖1(1)求a1,a2,a3及an;圖1(2)證明yn+4=1-,n∈N*;(3)若記bn=y4n+4-y4n,n∈N*,證明{bn}是等比數(shù)列.14．某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元.今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤(rùn)為500（1+）萬(wàn)元(n為正整數(shù)).(1)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬(wàn)元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An,Bn的表達(dá)式;(2)依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？15．△ABC中，內(nèi)角A、B、C成等比數(shù)列，且b2-a2=ac，求A、B、C.四、思考與討論(2×12′＝24′)16．設(shè)a>0，a≠1，f(x)=loga(x+)(x≥1)．(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x)及其定義域；(2)設(shè)bn=f-1(n),Sn=b1+b2+…+bn,試求證當(dāng)|log2a|<1時(shí)，對(duì)于n∈N*，有Sn＜2n-()n.17．試判斷，能否構(gòu)造一個(gè)實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an},使其滿(mǎn)足下列三個(gè)條件:①a1+a6=11;②a3·a4=;③至少存在一個(gè)自然數(shù)m,使am-1,a,am+1+依次成等差數(shù)列.若能，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案1．B設(shè)從2003年起第n年的收入為y,則有y=1800(1+6%)n-1+［1350+(n-1)·160］2003年為當(dāng)n=1時(shí)，則2008年為n=6,故2008年農(nóng)民收入1800（1+6%）5+（1350+5×160）∈(4400,4600).2．C等差數(shù)列:a1=0，d=-1，∴S10=-45，等比數(shù)列:b1=1，q=2,∴S′10=1023.3．B凸多邊形內(nèi)角和為(n-2)·180°，最大內(nèi)角小于180°.4．CSN-Sn-1=3N-3n-1=720，再用代入法驗(yàn)證.5．A∵d≠0,∴a5≠a7，∴6．D先列出數(shù)列P(n)的前n項(xiàng)，即0,1,2,3,2,1,2,3,4,…可推得P(5n)=n,P(5n+1)=n+1,P(5n+2)=n+2,P(5n+3)=n+3,P(5n+4)=n+2(n∈N),∴P(3)=3,P(5)=1,P(101)=P(20×5+1)=20+1=21.所以A、B、C均正確.P(103)=P(20×5+3)=23,P(104)=P(20×5+4)=20+2=22,則P(103)>P(104).故選D.7．Cak=2k+48,bk=4k+6，∵k≤21,∴bk≤ak，故以bk為直徑.8．D每7項(xiàng)之和構(gòu)成的數(shù)列記為｛An｝，則｛Ａn｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為q,q=2A4＋Ａ5＋Ａ6=112.9．(1，-2)∵2B=A+C，∴A-2B+C=0，∴必過(guò)點(diǎn)(1,-2).10．3n2設(shè)f(x)=ax+b,則f(x)=6x-3,再求和.11．路程總和s=a［1+2+…+(k-1)］+0+a·［1+2+…+(n-k)］=［k2-(n+1)k+］·a.∵a>0,且n為奇數(shù)，∴k=時(shí)s最小.12．371若某層放n2個(gè),則它的上一層放n2-(2n-1)=(n-1)2個(gè),設(shè)此堆物品共m層，則(10-m+1)2=16,所以m=7,故此堆物品共7層.共有物品102+92+…+42=-(12+22+32)=371個(gè).13．分析（1）由賦值法求a1,a2,a3,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到y(tǒng)n,yn+1,yn+3關(guān)系，再求得an+1=an，從而{an}為常數(shù)列.(2)由上式，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，原式即得證.(3)由（2）式即可得到bn+1=-bn關(guān)系，原式即得證.(1)解因?yàn)閥1=y2=y4=1,y3=,y5=,所以a1=a2=a3=2.圖2又由題意可知yn+3=.圖2∴an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,∴{an}為常數(shù)列.∴an=a1=2,n∈N*.(2)證明將等式y(tǒng)n+yn+1+yn+2=2兩邊除以2，得yn+=1,又∵yn+4=,∴yn+4=1-，n∈N*.(3)∵bn+1=y4n+8-y4n+4==-(y4n+4-y4n)=-bn,又∵b1=y8-y4=-≠0,∴{bn}是公比為-的等比數(shù)列.點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)一類(lèi)幾何圖形的坐標(biāo)作為切入點(diǎn)，既考查了學(xué)生的幾何知識(shí)又考查了代數(shù)知識(shí)，但側(cè)重于數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，又涉及等比數(shù)列一系列知識(shí).能力方面考查學(xué)生對(duì)所給條件的靈活運(yùn)用，及綜合運(yùn)用能力，解決問(wèn)題的創(chuàng)新能力.14．分析An,Bn由題意很容易即可求出，通過(guò)作差法比較Bn與An的大小，Bn-An是關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，本題即可求解.解（1）依題設(shè)，An=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n）=490n-10n2Bn=500-600=500n--100.(2)Bn-An=-(490n-10n2)=10n2+10n--100=10因?yàn)楹瘮?shù)y=n(n+1)--10在（0,+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，n(n+1)--10≤12--10<0;當(dāng)n≥4時(shí)，n(n+1)--10≥20--10>0.∴僅當(dāng)n≥4時(shí)，Bn>An.答:至少經(jīng)過(guò)4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)一個(gè)具體的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，來(lái)考查學(xué)生建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和，以及不等式基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.15．解由余弦定理:b2=a2＋c2-2ac·cosB，∴b2-a2=c2-2ac·cosB，∴ac=c2-2ac·cosB，∴c2=ac(1+2cosB).再由正弦定理得sinC=sinA(1+2cosB)=sinA+2sinAcosB=sinA+sinC+sin(A-B)，∴sinA+sin(A-B)=0.∴2sin(A-)cos=0，顯然cos≠0，∴sin(A-)=0,∴A=.即B=2A,又A、B、C成等比數(shù)列，∴C=4A.∴A+2A+4A=π.∴A=，B=，C=.16．解(1)由y=loga(x+)(x≥1)，得x=(ay+a-y)∴f-1(x)=(ax+a-x)．當(dāng)a>1時(shí)，f-1(x)的定義域?yàn)椋?,+∞］；當(dāng)0<a<1時(shí)，f-1(x)的定義域?yàn)?-∞，0)．(2)依題意，得bn=(an+a-n)(n∈N*)∴Sn=(a+a-1)+(a2+a-2)+…+(an+a-n)=(a+a2+…+an)+(a-1+a-2+…+a-n)=∵|log2a|<1，∴-1<log2a<1,又n∈N*，∴a>1.因而1<a<2.由于a+,a2+，…，an+在(1，2)遞增．∴Sn<(2+22+…+2n)+(+)=2n-1+(1-)=2n--．∵+>2=()n，∴2n--<2n-()n．因此Sn<2n-()n．17．解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,∵a