2022-2023學年九年級上學期同步講練(人教版)22

專題22.3實際問題與二次函數(shù)

典例體系

、知識點

①據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；

實物拋

②確定自變量的取值范圍；

物線③根據(jù)圖象，結(jié)合所求解析式解決問題.

①分析問題中的數(shù)量關系，列出函數(shù)關系式；

實際問②研究自變量的取值范圍；

題中求③確定所得的函數(shù)；

最值④檢驗X的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關的值；

⑤解決提出的實際問題.

①根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，探求圖形中的關系式；

結(jié)合幾

②根據(jù)幾何圖形的關系式確定二次函數(shù)解析式；

何圖形

③利用配方法等確定二次函數(shù)的最值，解決問題

二、考點點撥與訓練

考點1：二次函數(shù)與面積問題

典例：（2020.江蘇省初三二模）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總

長為80米的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.設8C

的長度為X米，矩形區(qū)域ABC。的面積為y米2.

0）求證：AE=2BE；

（2）求y與％之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）”為何值時，V有最大值？最大值是多少？

方法或規(guī)律點撥

此題考查了二次函數(shù)的應用，以及列代數(shù)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵.

鞏固練習

I.（2020?山東省初三一模）如圖，在足夠大的空地上有一段長為a（a?0）米的舊墻MN,某人利用舊墻和

木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中ADWMN,已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄.

（1）若圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長；

（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值.

，，，，//

AD

BC

2.（2020?湖北省初三學業(yè)考試）如圖，在美化校園的活動中，數(shù)學興趣小組用16m長的籬笆，一邊靠墻圍

成一個矩形花園ABC。，墻長為6m,設AB=Xm.

（1）若花園的面積為14機2,求工的值；

2

（2）花園的面積能否為40加？為什么？

（3）若要求花園的面積大于24〃「，求X的取值范圍.

3.（2019?吉林市第二十三中學初三月考）用38加長的竹籬笆建一個矩形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場一面用磚砌成，

其它用竹籬笆圍成，并且在與磚墻相對的一面開2機的門（門用其他材料制成），問怎樣圍竹籬笆，使得養(yǎng)

雞場占地面積最大？最大面積是多少？

/I

4.（2020?廣東實驗中學越秀學校初三月考）如圖，用一段長為40機的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃

ABCD,墻長24九設A8長為x/n,矩形的面積為SM.

（1）寫出S與x的函數(shù)關系式；

（2）當AB長為多少米時，所圍成的花圃面積最大？最大值是多少？

（3）當花圃的面積為150m2時,AB長為多少米？

AD

B-------------C

5.（2020?莆田擢英中學初三零模）某農(nóng)場擬用總長為60〃?的建筑材料建三間矩形牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面

靠現(xiàn)有墻（墻長為40"），其中間用建筑材料做的墻隔開（如圖）.設三間飼養(yǎng)室平行于墻的一邊合計用建

筑材料xm，總占地面積為ym2.

（1）求y關于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；

（2）當x為何值時，三間飼養(yǎng)室占地總面積最大？最大面積為多少？

6.（2019?廣東省初三期末）如圖，某中學準備用長為20,”的籬笆圍成一個長方形生物園ABCO飼養(yǎng)小兔,

生物園的一面靠墻（圍墻最長可利用15機），設AB長度為x（機），矩形ABCD面積為y（/?2）.

*---------------15??-----------

（1）求出y與x的函數(shù)關系式，直接寫出x的取值范圍;

（2）當x為何值時，矩形ABCQ的面積最大？最大面積為多少？

考點2：二次函數(shù)與營銷問題

典例：（2020.遼寧省中考真題）超市銷售某品牌洗手液，進價為每瓶10元.在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售

量丫（瓶）與每瓶售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系（其中且％為整數(shù)），當每瓶洗手液的

售價是12元時，每天銷售量為90瓶；當每瓶洗手液的售價是14元時，每天銷售量為80瓶.

（1）求V與x之間的函數(shù)關系式；

（2）設超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤為卬元，當每瓶洗手液的售價定為多少元時，超市銷售該品牌

洗手液每天銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

方法或規(guī)律點撥

本題主要了考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)總利潤的相等關

系列出函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題.

鞏固練習

I.（2020.眉山市東坡區(qū)蘇轍中學初三其他）四川某特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克

60元銷售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷量可增

加20千克.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請回答：

（1）為盡可能讓利于顧客，贏得市場，每千克核桃應降價多少元？

（2）若該專賣店想獲得最大利潤W,核桃的單價應定為多少元？最大利潤是多少？

2.（2020?浙江省初三月考）受新冠疫情影響；3月1日起，“君樂買菜”網(wǎng)絡公司某種蔬菜的銷售價格，開始

上漲.如圖1,前四周該蔬菜每周的平均銷售價格y（元/kg）與周次x（x是正整數(shù)，l4x<5）的關系可近似

2

y=—x+a_、，廠

用函數(shù)5刻畫；進入第5周后，由于外地蔬菜的上市，該蔬菜每周的平均銷售價格y（元7kg）從第5

=」/+法+5

X

周的6元“g下降至第6周的5.6元/超;y與周次x（54x,7）的關系可近似用函數(shù)‘一10”刻

畫.

⑴求叫勺值.

y（兀/kg）

6.0-----------------------1

5.6------

4.4■t

圖1

（2）若前五周該蔬菜的銷售量根網(wǎng)與每周的平均銷售價格?。ㄔ?依）之間的關系可近似地用如圖2所示的

函數(shù)圖象刻畫，第6周的銷售量與第5周相同：

①求加與丁的函數(shù)表達式；

②在前六周中，哪一周的銷售額卬（元）最大?最大銷售額是多少？

3.（2020?四川省成都市七中育才學校初三二模）“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，

因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行，某自行車店在銷售某型號自行車時，標價1500元.已知按標價九

折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同.

（1）求該型號自行車的進價是多少元？

（2）若該型號自行車的進價不變，按標價出售，該店平均每月可售出60輛：若每輛自行車每降價50元,

每月可多售出10輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？

4.（2020?湖北省中考真題）一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

該商品每周的銷售量y（件）與售價x（元件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關系，下表記錄的是某三周

的有關數(shù)據(jù)：

X（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y與x的函數(shù)關系式（不求自變量的取值范圍）;

（2）在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件.若某一周該商品的銷售量不少于6000

件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價分別為多少元？

（3）抗疫期間，該商場這種商品售價不大于15元/件時，每銷售一件商品便向某慈善機構(gòu)捐贈m元

（1W〃?W6）,捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大.請直接寫出m的取

值范圍.

5.（2020?無錫市天一實驗學校初三三模）我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售.當?shù)?/p>

P=--—（X-60）2+41

政府對該特產(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤（萬元）.當?shù)卣?/p>

擬在“十三?五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬

元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修

成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售：公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售.在外地

QQ?94

Q=------（100-x）2+——（100-x）+160

銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤1005（萬元）.

（1）若不進行開發(fā),求5年所獲利潤的最大值是多少？

（2）若按規(guī)劃實施,求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根據(jù)（1）＞（2）該方案是否具有實施價值？

6.（2020.遼寧省初三其他）某水果店經(jīng)銷A、B兩種水果，A種水果進貨單價比B種水果進貨單價多2元，

花50元購進A種水果的數(shù)量與花40元購進B種水果的數(shù)量相同.在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，A種水果每天銷售

量是丫人與銷售價x（元）滿足關系式力=”+20,B種水果，每天銷售量力與銷售價元）滿足%=%+14

（1）求A、B兩種水果的單價.

（2）已知A種水果比B種水果的銷售價高2元/千克，且每天A、B水果均有a千克壞掉.設B水果售價

為t元/千克，每天兩種水果的總利潤為W元，求W與t的函數(shù)解析式，并求出當a的取值在什么范圍內(nèi)，

水果店有可能不賠錢？

考點3：應用二次函數(shù)的建模問題

典例：（2020.浙江省中考真題）用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）.

科學原理：如圖2,始終盛滿水的圓體水桶水面離地面的高度為H（單位：m）,如果在離水面豎直距離為h

（單校：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）s（單

位：cm）與h的關系為s?=4h（H—h）.

應用思考:現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體望料水瓶做相關研究，水瓶直立地面,通過連注水保證它始終盛滿水，

在離水面豎直距高hcm處開一個小孔.

（1）寫出s2與h的關系式；并求出當h為何值時，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在側(cè)面開兩個小孔，這兩個小孔離水面的豎直距離分別為a,b,要使兩孔射出水的射程相同，求a,b

之間的關系式；

（3）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔離水面的豎直距離.

方法或規(guī)律點撥

本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，厘清題中的數(shù)量關系并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

鞏固練習

1.（2020?河北省初三一模）2019年女排世界杯于9月在日本舉行，中國女排以十一連勝的驕人成績衛(wèi)冕冠

軍，充分展現(xiàn)了團隊協(xié)作、頑強拼搏的女排精神.如圖是某次比賽中墊球時的動作，若將墊球后排球的運

動路線近似的看作拋物線，在同一豎直平面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標系，已知運動員墊球忖（圖中點A）

離球網(wǎng)的水平距離為5米，排球與地面的垂直距離為0.5米，排球在球網(wǎng)上端0.26米處（圖中點8）越過

球網(wǎng)（女子排球賽中球網(wǎng)上端距地面的高度為2.24米），落地時（圖中點C）距球網(wǎng)的水平距離為2.5米,

則排球運動路線的函數(shù)表達式為（）

,，高度/米

2.24''、、、、

、、

、、

。C%（地面）

1485

y-------X2H——X+—

75152

1428514285

V=—X------x+一y=—X+—XH----

C.75152D.75152

2.（2020?吉林省初三一模）如圖，有一座拋物線拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20/",如果水位上升

3〃?達到警戒水位時，水面的寬是10米，建立如圖所示的平面直角坐標系，O為坐標原點，如果水位以

0.2%/〃的速度勻速上漲，那么達到警戒水位后，再過力水位達到橋拱最高點O.

3.（2020?吉林省初三二模）如圖，一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離44機處跳起投籃，球沿條拋物

線運動，當球運動的水平距離為2.4小時，達到最大高度4〃?，然后準確落入籃筐內(nèi).已知籃圈中心距離地面

的高度為務〃，則這位運動員投跳時，球出手處距離地面的高度h為

4.（2020?東北師大附屬明達學校初三二模）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋

面相交于AB兩點,拱橋最高點C到AB的距離為4九AB=\2m,D,E為拱橋底部的兩點，且DEI/AB,若

的長為1a〃，則點E到直線AB的距離為—m.

5.（2020.吉林省初三一模）如圖是一座截面邊緣為拋物線的拱形橋，當拱頂離水面2米高時，水面/為4

米，則當水面下降1米時，水面寬度增加米.

6.（2020?內(nèi)蒙古自治區(qū)初三月考）雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，

32Q1

（、y=—x+3x+1

其身體（看成一點）的路線是拋物線5的一部分，如圖所示.

。）求演員彈跳離地面的最大高度；

（2）已知人梯高6c=34米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？

考點4：應用二次函數(shù)解決實際問題

典例：（2020.江蘇省中考真題）小明和小麗先后從A地出發(fā)同一直道去B地，設小麗出發(fā)第xmin時，小

麗、小明離地的距離分別為＞"、丫2m,凹與x之間的數(shù)表達式X=T80X+2250,%與x之間的函

數(shù)表達式是八.

（1）小麗出發(fā)時，小明離A地的距離為m.

（2）小麗發(fā)至小明到達B地這段時間內(nèi)，兩人何時相距最近？最近距離是多少？

方法或規(guī)律點撥

此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關鍵.

鞏固練習

1.（2020?紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學初三其他）超市有一種“喜之郎”果凍禮盒，內(nèi)裝兩個上下倒置的果凍，

果凍高為4cm,底面是個直徑為6cm的圓，橫截面可以近似地看作一個拋物線，為了節(jié)省成本，包裝應盡

可能的小，那么要制作這樣一個包裝盒至少紙板（）平方厘米.（不計重合部分）

A.253B.288C.206D.245

2.（2020.山西省中考真題）豎直上拋物體離地面的高度'（加）與運動時間’（S）之間的關系可以近似地用公

式'=-5『+卬+%表示，其中%（⑺是物體拋出時離地面的高度，%（加/s）是物體拋出時的速度.某人

將一個小球從距地面L5加的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大高度為（）

A.23.5/wB.22.5m21.5/WD.20.5/77

3.（2020?湖南省中考真題）“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃，臭豆腐雖小，但制作流程卻

比較復雜，其中在進行加工煎炸臭豆腐時，我們把焦脆而不糊的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定

條件下，“可食用率”P與加工煎炸的時間t（單位：分鐘）近似滿足函數(shù)關系式：P=c

b,c為常數(shù)），如圖紀錄了三次實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)關系和實驗數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳

時間為（)

0.9---f

0.8T：

0.6「一1

!----1----?

o34----5r

A.3.50分鐘B.4.05分鐘C.3.75分鐘D.4.25分鐘

4.（2020?河南省初三其他）小明以二次函數(shù)y=2x2—4x+8的圖象為靈感為“某國際葡萄酒大賽”設計了一款

杯子，如圖為杯子的設計稿，若AB=4,DE=3,則杯子的高CE為（）

5.（2020?河北省中考真題）用承重指數(shù)卬衡量水平放置的長方體木板的最大承重量.實驗室有一些同材質(zhì)

同長同寬而厚度不一的木板，實驗發(fā)現(xiàn)：木板承重指數(shù)卬與木板厚度x（厘米）的平方成正比，當兀=3時，

W=3

（1）求W與x的函數(shù)關系式.

（2）如圖,選一塊厚度為6厘米的木板,把它分割成與原來同長同寬但薄厚不同的兩塊板（不計分割損耗）.設

薄板的厚度為％（厘米），0=%一%

X

①求。與X的函數(shù)關系式:

②X為何值時，。是%的3倍？

（注：（1）及（2）中的①不必寫x的取值范圍）

6.（2020?山東省中考真題）某公司生產(chǎn)A型活動板房成本是每個425元.圖①表示A型活動板房的一面墻，

它由長方形和拋物線構(gòu)成，長方形的長AD=4m,寬4B=3〃z,拋物線的最高點E到BC的距離為4m.

（1）按如圖①所示的直角坐標系，拋物線可以用'=表示，求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）現(xiàn)將A型活動板房改造為3型活動板房.如圖②，在拋物線與AO之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶

FGMN,點G,"在A。上，點N,尸在拋物線上，窗戶的成本為50元已知GM=2m,求每

個8型活動板房的成本是多少？（每個8型活動板房的成本=每個A型活動板房的成本+一扇窗戶尸GMN

的成本）

（3）根據(jù)市場調(diào)查，以單價650元銷售（2）中的3型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，

每月能多售出20個.公司每月最多能生產(chǎn)160個3型活動板房.不考慮其他因素，公司將銷售單價〃（元）

定為多少時，每月銷售3型活動板房所獲利潤卬（元）最大？最大利潤是多少？

專題22.3實際問題與二次函數(shù)

典例體系

、知識點

④據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；

實物拋

②確定自變量的取值范圍；

物線③根據(jù)圖象，結(jié)合所求解析式解決問題.

④分析問題中的數(shù)量關系，列出函數(shù)關系式；

實際問⑤研究自變量的取值范圍；

題中求⑥確定所得的函數(shù)；

最值④檢驗X的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關的值；

⑤解決提出的實際問題.

②根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，探求圖形中的關系式；

結(jié)合幾

⑤根據(jù)幾何圖形的關系式確定二次函數(shù)解析式；

何圖形

⑥利用配方法等確定二次函數(shù)的最值，解決問題

二、考點點撥與訓練

考點1：二次函數(shù)與面積問題

典例：（2020.江蘇省初三二模）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總

長為80米的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.設8C

的長度為X米，矩形區(qū)域A5C。的面積為y米2.

⑴求證：AE=2BE.

⑵求丁與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量》的取值范圍；

（3）、為何值時，丁有最大值？最大值是多少？

3,

--%2+30x（0<%<40）……

【答案】（1）見解析；（2）y=4；（3）當x=20時，>有最大值，最大值為300平方

米

【解析】解：0）；三塊矩形區(qū)域的面積相等，

二矩形AEED面積是矩形BCFE面積的2倍，

又：￡產(chǎn)是公共邊，

AE=2BE,

（2）設BE=a,則AE=2at

???8a+2x=80，

80—2x

.「=8,AB=3a,

々?80-2尤3

v=3ax-3------x=——x+30x

二84

a=-x+40>0,

?-?x<40，

?()<x<40

333

/y=—X2+30X=——(X-20)2+300(0<X<40)——<0

44,且二次項系數(shù)為4

.?.當x=20時，y有最大值，最大值為300平方米.

方法或規(guī)律點撥

此題考查了二次函數(shù)的應用，以及列代數(shù)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵.

鞏固練習

1.(2020?山東省初三一模)如圖，在足夠大的空地上有一段長為a(a>50)米的舊墻MN,某人利用舊墻和

木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中ADSMN,已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄.

(1)若圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長；

(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.

1//，，，，//，//.，N

AD

BC

【答案】(1)AD的長為90m或者10m；(2)矩形菜園面積S的最大值為1250m2.

【解析】

(1)設AB=xm,則BC=(100-2x)m,

根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得xl=5,x2=45,

當x=5時，IOO-2x=9O,

當x=45時，100-2x=10；

答：AD的長為90m或10m；

(2)設AD=bm,

119

S=-/;(100-M=--(6-50)+1250

二矩形菜園面積22

Va>50,

則b=50時，S有最大值，最大值為1250m2.

2.(2020?湖北省初三學業(yè)考試)如圖，在美化校園的活動中，數(shù)學興趣小組用16m長的籬笆，一邊靠墻圍

成一個矩形花園ABCD墻長為6m,設A8=Xm.

（1）若花園的面積為14〃?2,求工的值；

（2）花園的面積能否為40，/?為什么？

2

（3）若要求花園的面積大于24機,求8的取值范圍.

9

【答案】（1）2；（2）花園的面積不能為40〃廣，理由詳見解析；（3）4VH6.

16-x一

x------=14

【解析】（1）由題意列方程：2,

解得用=14,々=2,

由于％=14>6不合題意，所以尤=2.

（2）設花園的面積為>加2,依題意有：

y=Fy=-^U-8）2+32

2,即2,

）的最大值=32,

2

花園的面積不能為40斤.

y^--（x-8）2+32

（3）由（2）知2

24=--(X-8)2+32

當丁=24時，有2解得玉=12,%=4,

2

:花園的面積大于24機,.\4<^<12,

又；墻長為6m,...OCXN，

???%的取值范圍是4<%W6.

3.（2019?吉林市第二十三中學初三月考）用38ni長的竹籬笆建一個矩形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場一面用磚砌成,

其它用竹籬笆圍成，并且在與磚墻相對的一面開2機的門(門用其他材料制成)，問怎樣圍竹籬笆，使得養(yǎng)

雞場占地面積最大？最大面積是多少？

__<1___

【答案】平行于墻的一邊為20m,垂直于墻的一邊為10m時，養(yǎng)雞場占地面積最大，最大面積是200m工

【解析】

解：設垂直于墻的一邊為則另一邊為38—2x+2=(4()—2x)m,面積為

y=%(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200

二'與％=10時，養(yǎng)雞場的面積有最大值200m2,

即平行于墻的一邊為20m,垂直于墻的一邊為10m時，養(yǎng)雞場占地面積最大，最大面積是200m?

4.(2020?廣東實驗中學越秀學校初三月考)如圖，用一段長為40〃7的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃

ABCD,墻長24也設A3長為X”?,矩形的面積為S〃汽

(1)寫出S與x的函數(shù)關系式;

(2)當AB長為多少米時，所圍成的花圃面積最大？最大值是多少？

(3)當花圃的面積為150加時，A8長為多少米？

【答案】(1)S=-2x2+40x；(2)當x=10時，所圍成的花圃面積最大，最大值為200"科(3)當花圃的面

積為150標時,AB長為15米.

【解析】解：(1)S=x(40-2x)=-2r2+40x,

即函數(shù)關系式為：S=-2N+4(k；

(2)由題意，得：0<40-比24,

解得8<r<20,

又由(1),得S=-2(x-10)2+200,

...當x=10時，所圍成的花圃面積最大，最大值為200m2；

(3)由-2(x-10)2+200=150,

解得XI=5,X2=15,

V8<r<20,

...當花圃的面積為150小時，48長為15米.

5.(2020?莆田擢英中學初三零模)某農(nóng)場擬用總長為60膽的建筑材料建三間矩形牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面

靠現(xiàn)有墻(墻長為40%),其中間用建筑材料做的墻隔開(如圖).設三間飼養(yǎng)室平行于墻的一邊合計用建

筑材料xm，總占地面積為ym2.

(1)求y關于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；

(2)當x為何值時，三間飼養(yǎng)室占地總面積最大？最大面積為多少？

【答案】(l)y=--x2+l5x；0<啟40；(2)當x=30時，三間飼養(yǎng)室占地總面積最大，最大為225(m2).

4

【解析】(1)根據(jù)題意得，y=x-(60-x)=--x2+15x,

44

自變量的取值范圍為：0V后40；

(2)Vy=--,r2+15x=--(x-30)2+225,

44

.,.當x=30時，三間飼養(yǎng)室占地總面積最大，最大為225(m2).

6.(2019?廣東省初三期末)如圖，某中學準備用長為20〃?的籬笆圍成一個長方形生物園A8CQ飼養(yǎng)小兔,

生物園的一面靠墻(圍墻最長可利用15優(yōu))，設AB長度為x(m),矩形ABC。面積為y(m2).

*----------15泄----------J

“一,，詈“，，V

5'--------------'C

(1)求出y與x的函數(shù)關系式，直接寫出x的取值范圍；

(2)當x為何值時，矩形ABCD的面積最大？最大面積為多少？

【答案】(1)y=-2y2+20x(0〈爛g)；(2)當x=5時，面積最大為50M

【解析】解：(1)當長方形的寬AB=x時，其長BC=20-2x,

故長方形的面積y=x(20-2x)=-2x2+20x,

5

即y=-2x2+20x(0<x<-)；

（2）y=-Zr2+20x

=-2（x-5）2+50,

：-2<0,

...當x=5時，y取得最大值，最大值為50,

答：當x=5時，面積最大為504.

考點2：二次函數(shù)與營銷問題

典例：（2020?遼寧省中考真題）超市銷售某品牌洗手液，進價為每瓶10元.在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售

量?。ㄆ浚┡c每瓶售價8（元）之間滿足一次函數(shù)關系（其中且x為整數(shù)），當每瓶洗手液的

售價是12元時，每天銷售量為90瓶；當每瓶洗手液的售價是14元時，每天銷售量為80瓶.

（1）求V與x之間的函數(shù)關系式；

（2）設超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤為卬元，當每瓶洗手液的售價定為多少元時，超市銷售該品牌

洗手液每天銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

【答窠】（1）、=-5"+15°（IO<X<15,且x為整數(shù)）；（2）當每瓶洗手液的售價定為15元時，超市銷售

該品牌洗于液每天銷售利潤最大，最大利潤是375元

【解析】解：（1）設了與x之間的函數(shù)關系式為丫="+"（ZH°）,根據(jù)題意，得：

‘12%+》=90

’14Z+b=80

>=-5

解得M=150,

與X之間的函數(shù)關系式為y=-5x+15°（|0<x<15,且X為整數(shù)）：

（2）根據(jù)題意，得：

w=（x—10）（—5x+150）

2

=-5x+200^-1500f

=-5（x-20）2+500

9

vfl=-5<0,

，拋物線開口向下，卬有最大值,

.?.當x<20時，卬隨工的增大而增大，

v10<x<15,且％為整數(shù)，

，當x=15時，卬有最大值，

即卬=—5x（15—20）2+500=375

答：當每瓶洗手液的售價定為15元時，超市銷售該品牌洗于液每天銷售利潤最大，最大利潤是375元.

方法或規(guī)律點撥

本題主要了考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)總利潤的相等關

系列出函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題.

鞏固練習

1.（2020.眉山市東坡區(qū)蘇轍中學初三其他）四川某特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克

60元銷售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷量可增

加20千克.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請回答：

（1）為盡可能讓利于顧客，贏得市場，每千克核桃應降價多少元？

（2）若該專賣店想獲得最大利潤W,核桃的單價應定為多少元？最大利潤是多少？

【答案】（1）每千克核桃應降價6元；（2）核桃的單價應定為55元，最大利潤是2250元.

【解析】

-x20

解：（1）設每千克核桃應降價x元，則每千克利潤為（60-X-40）元，則每天銷量為（100+2）

-x20

（60-X-40）（100+2）=2240,

解得，=4,X2—6,

1?要盡可能讓利于顧客，

???要盡可能讓利于顧客，

每千克核桃應降價6元；

1x20

（2）設每千克核桃應降價y元，則每千克利潤為（60-y-40）元，則每天銷量為（100+2）

2x20

則W=(60->--40)(100+2)=-10(y-5)2+2250,

...當），=5時，W取得最大值，此時W=2250,

.\60-y=60-5=55,

該專賣店想獲得最大利潤W,核桃的單價應定為55元，最大利潤是2250元.

2.（2020?浙江省初三月考）受新冠疫情影響；3月1日起，“君樂買菜”網(wǎng)絡公司某種蔬菜的銷售價格，開始

上漲.如圖1,前四周該蔬菜每周的平均銷售價格）（元/kg）與周次工（》是正整數(shù)，l4x<5）的關系可近似

2

y=—x+〃

用函數(shù)5刻畫；進入第5周后，由于外地蔬菜的上市，該蔬菜每周的平均銷售價格y（元/kg）從第5

xx

周的6元/依下降至第6周的5.6元/必;V與周次M5KxW7）的關系可近似用函數(shù)‘一lQ刻

畫.

⑴求。涉的值.

）y（元兀/kg）

6.0-------------------1

------「.-y「I

5.6----------LF.

?I1

4.4-■1T??

O156x

圖I

但）若前五周該蔬菜的銷售量優(yōu)（儂）與每周的平均銷售價格）（元/炊）之間的關系可近似地用如圖2所示的

函數(shù)圖象刻畫，第6周的銷售量與第5周相同：

①求〃z與V的函數(shù)表達式；

②在前六周中，哪一周的銷售額卬（元）最大?最大銷售額是多少？

【答案】（1）1°；（2）①.=-257+250,②笫2周或笫3周銷售額最大，最大銷售額是624元

2

y=—x+a4.4=-+。

【解析】解：（1）把點（1,4.4）代入5得5解得4=4,

17

6.0=一一x52+5b+5b=—

把點(5,6.0)代入10得10；

a=4,b=—

10

(2)①設前五周加與y的函數(shù)表達式為〃

140=4.4〃+鄉(xiāng)

*

根據(jù)圖象得把(4.4,140)(6,100)代入得U°°=6p+。

〃=一25

V

解得1*7=250

.??陽與丁的函數(shù)表達式為帆=-253+250；

②當1WxW4時，

2

?/m--25y+250,y=—x+4

/./72=-10X+150

w=(-10x+150)■|犬+4)=-4丁+20x+600=-4(x一g)+625

,?F是正整數(shù),

???當x=2或3時，卬有最大值624；

「7…

y=-----xHx+5=6

當％=5時，1010

m=-25y+250=100

1,7

m=100,y=-----x2+—x+5

當5K%<6時,1010

(17、(7Y1245

w=100-----x2H—x+5=—10x~+70x+500=—10x—+------

I1010)I2)2

.??”是正整數(shù),5<x<6

.?.當x=5時，w有最大值600。

綜上所得：第2周或第3周銷售額最大，最大銷售額是624兀.

3.（2020?四川省成都市七中育才學校初三二模）“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，

因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行，某自行車店在銷售某型號自行車時，標價1500元.已知按標價九

折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同.

（1）求該型號自行車的進價是多少元？

（2）若該型號自行車的進價不變，按標價出售，該店平均每月可售出60輛：若每輛自行車每降價50元,

每月可多售出10輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？

【答案】（1）1000元；（2）降價100元時每月利潤最大，最大為32000元

【解析】解：（1）設進價為8元

則（1500x0.9-x）x8=（1500-100-x）x7

解得：x=l（）OO

二改型號自行車進價1000元

（2）設自行車降價工元，獲利為丁元

y=（1500-1000-x）-f60+—xlO

則：I50J

（\\.

=（500-x）-x+60=—（x-500）（x+300）

I〉75

a=—<0

，對稱軸：x=l（X）,5

..當x=100時，

=-|x（100-500）（100+300）_

答：降價100元時每月利潤最大,最大為32000元.

4.（2020?湖北省中考真題）一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

該商品每周的銷售量y（件）與售價x（元件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關系，下表記錄的是某三周

的有關數(shù)據(jù)：

X（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y與x的函數(shù)關系式（不求自變量的取值范圍）；

（2）在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件.若某一周該商品的銷售量不少于6000

件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價分別為多少元？

（3）抗疫期間，該商場這種商品售價不大于15元/件時，每銷售一件商品便向某慈善機構(gòu)捐贈m元

（1〈加〈6）,捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大.請直接寫出m的取

值范圍.

【答案】（1）y=-500X+12000；這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價為

12元；（3）3<m<6.

【解析】解：（1）設y與x的函數(shù)關系式為y=kx+b,

10000=4%+/?

<

代入（4,10000）.（5,9500）可得：［9500=5%+“，

7:=-500

解得："2000

即y與x的函數(shù)關系式為V=-500x+12000；

（2）設這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w,

根據(jù)題意可得：1500X+1200026000,

解得：3<X<12,

w=y（x-3）

=（-500x+12000）（x-3）

（27Y

=-500x——+55125

I2J

-*?3<x<12，

，當x=12時，w有最大值,w=54000,

答：這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價為12元.

（3）設這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w,

當每銷售一件商品便向某慈善機構(gòu)捐贈m元時，

w=y^x-m-3）

=（-500x+12000）（x-3）

=-500x2+500（/〃+27）x—500x24（加一3）

由題意，當爛15時，利潤仍隨售價的增大而增大，

500（/n+27）>i5

可得：2x（-500）,解得：m>3,

?/1<m<6

3</n<6

故m的取值范圍為：3<m<6.

5.（2020?無錫市天一實驗學校初三三模）我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售.當?shù)?/p>

P=--—（X-60）2+41

政府對該特產(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤100（萬元）.當?shù)卣?/p>

擬在“十三?五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬

元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修

成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售.在外地

99~294

0=--（100-%）2+--（100-%）+160

銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤1005（萬元）.

（1）若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？

（2）若按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根據(jù)（1）、（2）該方案是否具有實施價值？

【答案】（1）205萬元；（2）3175萬元；（3）有

【解析】解：（1）當x=60時，P的最大值為41萬元，

，5年所獲利潤的最大值是：41x5=205（萬元）；

（2）前兩年：0WXW50,此時因為P隨x的增大而增大，

2x--—（50-60）2+41=80

，x=50時，P最大為：L10°」（萬元），

后三年：設每年獲利y,設當?shù)赝顿Y額為a,則外地投資額為100-a,

99r-r2294r-r

2=---[100-(100-a)]+^-[100-(100-a)]+160

—9小空a+16。

1005

l,/QQ294\

：.y=P+Q=----（。-60）-+41+a+160

-100V7I1005