第二講導數(shù)及應用

第二講：導數(shù)及應用

單元一：定義求導

1.設/(0)=1,尸(0)=-2,求：射"x)cosx—1[=[/(X)COSX],|A=0=-2]

[lim/(x)(cosx-l)+/(x)-/(0)=lx0+/.(0)=_2]

XTOX

2設〃x)可導，〃O)=l"'(O)wO,求:既雋"

[lim/(sinxW(O)x—x-0義的=i]

…sinx-0ln/(x)-ln/(O)x

c、幾「-「sin/(x)-sin/?

3.設——二AA,求：lim——----.

Xiax-aXfax-a

[.sin/(%)-sinZ?f(x)-b.

[hm—------x——=Acos/?7]

%—f(x)-bx-a

4.設/(%+l)=叭%),尸(O)=bQbwO),求:尸(1).

[八1)=lim…-⑴=5皿BO=疝]

%—°X%—°X

5.設/(1+1)一3/(1-%)=8%(1+同口乂)，并且/(%)可導,求/(1).

f(l+x)-3f(l-x)8x(1+Isinx|)

[/(I)=0,尸⑴+3/⑴=lim〃一一2=lim^J—=8,r(1)=2]

%一°Xx-?0x

6.y=y(x)滿足:Ay=ln[tan(x+Ax)]Ax+o(Ax),求:y；y".

[y1=lim—=ln(tan%),y"=---------]

—°Axsinxcosx

7.若丁=/(X)在x=x()處有：Q=(1+[X)2-l+(..x)2,則在X=Xo處有:力=?

_y11

[y1=lim--二一，dy=—dx]

22

8.求/'(〃)淇中分別為:

(x-a)(p(x)

⑴/(%)=(%-々)0(%),0連續(xù);[lim-----L——二(p(a)]

%—x-a

rl.\x-a\(p(x)

⑵/(x)=|x-a|(p(x),(p連續(xù),(p(d)=0；[limj----!----=0]

%—x-a

(3)/(x)=(x-?)29(x),0有界.[lim宜包運=0]

%—x-a

9./(X)=2M,求：/,(?).[f(a)=-In2,f(a)=In2,1色)不存在]

io./a),g(x)在(-w,4w)上滿足:⑴/(x+y)=/(x)g(y)+g(x)/(y)

⑵〃0)=0,g(0)=i,1(0)=i,g<0)=0,證明：f\x)=g(x).

"3=螞位「=f(x)g'(O)+g(x)f'(O)=g(x)]

11.問在x=0處是否連續(xù)?可導?

⑴/Xx)=1+/[f(0)="(0)=0]

0,%=0

1-cosx_

⑵/(x)=J4x，其中g(x)有界[f(0)=￡(0)=/(0)=0]

x2g(x),x<0

i

2丁t

⑶y(x)=<2'，xw°

[尸(0)=lim——二lim—=0]

X—>0XZ—>002，

0x=0

,、1

g(x)cos一

￡(x)cos—,九wO

⑷"X)='X，且g(O)=g'(O)=O.[/'(0)=lim--------^=0]

Xf0%

0x=0

(x+sinx)/(x)

12.奇函數(shù)/(x)在x=0處可導，問:F(x)=x*在x=0處是否連續(xù)？

01=0

(Y+SinY)/(X)

可導？[/(0)=0,F'(0)=lim'；=If"(0)]

x-0廠

21

COS_X

13.設9(x)=F且/'(x)在尤=0處可導，令/(%)=/1夕(創(chuàng),求尸(0)

0x=0

[9(0)=06(0)=0尸(0)=尸S(0)。'(0)=/'(0)-0=0]

14.設函數(shù)0(x)在(-oo,+oo)上連續(xù)，又/(x)=coso(x),/'(X)=sin9(x),證明：對滿

足的一切x,(p\x)=-1.

COS0CX+LX)—COS0(X)./、7

[/(x)=lim--------------------=-sin0(x)?(p(x)v]l

?3m

xarctan7^70

15.考察函數(shù)/(%)=|%|在％=0處的連續(xù)性用導性,以及/(九)的連續(xù)性.

0%=0

[f'(0)=limarctanp=/'(%)=arctan}-—^L(x^0),lim/'(x)=g=尸(0)]

，JVNX\_LiX乙

1fx

16.若/'(x)有連續(xù)的導數(shù)，且/(0)=0,設尸(x)=必J。八，確定常數(shù)c,使

cx=0

F(x)連續(xù)，并問此時F'(x)是否連續(xù)？

r(0)^VW-2f/(0)

[limF(0)=0=c,F,(0)=,F'(無)=------------------,limF\x)=J

.o3x%-。3

單元二：公式與法則

設y=/(主工)，且f\x)=arctan/,求:^^.,3x-212

1.(金]

，3x+2dxA=o3x+2(3X+2)24

2.7(x)在x=l處具有連續(xù)導數(shù)，M/'(l)=2,求lima/(cos五).

-o+dx

[limf*(cosA/X)(-siny[x)—^==-1]

%—。+2y1x

f(x)

3.f可導"(0)=/⑴=-2,/(0)=/⑴=-1,F(x)=ef(ln%)求dF(x)\x=1

[dF=e，"，(/f(%)/(lnx)+于0n"司日=e~2dx]

x

xe

ex,1e2x+l

4.求y':(1)y=In.[y—IH------石-----------

7x+x+1x2(x2+x+l)

1—X.,l-x.lIe

(2)y=x-——sinex[y=x./----sinexr[—I----1cotex

yl+xVl+Xxx2-l2

[y，=%ei)g2)[(2x—3)inx+(l)(x2)]]

(3)y=￡八)

[y=Jxjx+cos；+jinx]]

(4)y=#Wx+cosx

2x4(%+cos%)

xyJx2-a2-x2-a22

,12x-】

5.求y,:⑴y=r

2，y=—[

x+V%-aaa

(2)y=[be(x+y)2dy

Jaa+x

---,x<0

(3)y=ln(l+N)]

y'="

---,x>0

、尤+1

(4)y=/(x+(p(x+/)),求v[y=/(%+°(x+/))口+(1+2x)9'(x+x2)]]

ln(x+e)x>0,人一一

6./?=優(yōu)求。.使八。)存在.

[/(0+)=/(0-)=l,/(O)=-，Z(O)=ln?,a=@]

e

7.選定參數(shù)AC,使立方拋物線:y=A(x-a)(x-b)(x—C),(a<xK與與曲線

k.(x-a)x<a,、A_匕+左2c_k、b+ka

,光滑連接起來.292

〔(a-b)kx+k2〕

k2(%-b)x>b

[￡⑷=匕，⑷=A(a-b\a-C\f,_S)=A(b-a)(b-C)J^b)=k2]

1)_i_ax+b

8.小)=吧e〃-+l，問0力為何值時，/(X)可導，并求r(x)

ax+bx<l

2x<l

"(x)=<—(1+a+b),x=l,a=2,6=—1,/'(%)=<2x'x>J

x2x>1

2828X10!

9.(1)y=x2sin?%,求y0°)|------x-10+),嚴(0)==-45x28]

x=0,8!2x8!

r3

"(x)=+x5+，/5)(0)=5!=120]

sinx

xw0」

291

⑶y(x)=<X求心X+,770)=--]

1

ex-l

1—伙。)="

⑷f(x)=<x求：/伙0)."(x)=…+

5+1)!

1x=0

]6ncos(6x+—)

10.(l)y=COS23X,求[y=5(1+cos6%),儼)=--------———

(2)/(%)=(17)(1—犬2)(1—九3),求尸,,(刈1

"=(1—九)3(1+犬)(1+%+%2)J”,=—6(1+%)(1+=+%2)+.,/”(1)=-36]

r5

（3）小）F，求：/⑸（江

"d+E+x+Un/⑸⑴.滔

11.設/'(x)=arctanx,證明：/(,!+1)(x)(l+x2)+2nxfM(x)+n(n-1)()=0(n>1).

[(l+x2)f\x)=1,[(1+■?)-⑺—=0]

單元三：特殊求導法

1.e‘+「￡一力-x-l=0確定y=y(x),證明：y(x)單調，并求y'(0)

J0

[v'=->o,y/；X=0,y=0,y'(0)=

ey+ey2

2.設丁=%5+2%+1,求其反函數(shù)x二°(y)的導數(shù)也

dy月

[y=1,x=0,—=—=——=-]

dy日匕=。5/+24。2

,11

3.y=y(x)由方程_/+3y=x確定，求y'(x).

[J=7=37TJ]

4.(cosOY=(sinG)",求:[IncosOd(p-(ptanOdO=\nsin(pd0+0co\.(pd(p]

d(pd6

[X=U=2==2(1+ln2)]

5.V+y%=3,求：y'(l).^-?inX-_

6.y=y（x）由方程e孫一%+y3=o確定，求dy\x=Q

2

[-1,*(9+的-辦+39=0,批

yf()+xf(y)=2,/：可導，求半dy^2x-f{y}-yf\x)

7.XX

axdxf(x)+xf\y)

22

8.已知y=r￡+x,而t是由方程y+r-x=l所確定的九,y的函數(shù)，求：蟲.

dx

dy=(l+t)etdt+dxdyZ+(1+t)xe

ydy=+tdt=xdxdx才+(1+Dy/

9.F(x)可導單調,F\x)豐0,尸(0)=0,由F(xy)=F(x)+b(y)ny=v(x)，求—

dxx=0

[x=0,j=0!F'(xy)(ydx+xdy)=F'(x)dx+F\y)dy,dx+dy=0,—--1]

dxx=o

10.設函數(shù)y=y(x)由等式y(tǒng)=tan(x+y)所確定，求：—o

dx

[y'=-csc2(x+y),y"=-2esc2(%+y)cot3(x+y)]

d2y

11.由y—%/=1確定的隱函數(shù)為y=y(x),求：—

dxdx2

[x=0,y=l,y'=ey+xeyy\y'(0)=e;y"(0)=2eyy'+x(eyy')'=2e2]

1

12./(x)單調可導，其反函數(shù)為g(x),且已知/(I)=2"。)=，/'(1)=1,求g"(2)

[y=g(x),f(y)=x,x=2,y=l,y'=—^—nr(y)y'

/(y)

13.x=J；2cos(”s)2ds,求電

y=xsiny-\-e2tdx仁。

fx=0dy

[1,%'=2cos19=2,y'=x'siny+xcosy?y'+2e=2sinl+2,——=1+sin1]

=1

\ydxt=G

,d2yfx=lncosrdyd2y/、

14.求號：⑴^；[———tcost,———(cott—t)cost]

dx[y=sin%Tcos?dxdx2

x=ln(l+Z2)+l

⑵424r+"卓一咤

y=2arctant-(t+1)dxdx2t

15.設丁=y(x)由:x=2f+W，y=5/+4f，|確定，考察y=y(x)在相應于f=0處的可微性

單元四：斜率與切線

1.求對數(shù)螺線：廠=/在點(/,￡)處的切線方程.

\x=eecos0小￡dysin0+cos07C

He.X0,e2),—=--~~—--1,x+y=e2]

y=esm0axcos，一sm，71

L2

2.求y=爐與y=爐+bx(Jb>a>0)的公切線方程.

y=kx+c2(〃—左)2+4c=0a+b(a-b)2

[nx+(a—左)x-c=0,<------,c=------------]

y=x+ax(b-k)2+4c=0'216

3.問：曲線％=sin%與曲線％=tan冗在哪些點相切，哪些點直交.

,,sinx=tanxsinx=tanx

[相切：<2=1=2府;直交:=>%=(2〃+1)?]

cosx=secxcosxsec2x=-l

4./(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=0的某個鄰域內滿足:

/(1+sinx)-3/(1-sinx)=Sx+o(x)

其中。(九)是當xf0時比%高階的無窮小量，且/(%)在x=l處可導，求曲線y=/(x)

m

在點(6,7(6))處的切線方程.[lim"l+sx)-"(I-sinx)=4r⑴=8,

3sinx

/(6)=/(1)=0;,/'(6)=/'(1)=2；2尤7=12]

單元五：單調性與極值

1.設f(x)=0,x=0試考察:⑴定義域內連續(xù)性;⑵單調性;(3)/⑴

-1X=1

1_丫1n丫]

[(1)/(0+)=0,lim/(%)=-1,連續(xù);⑵f\x)=三~—W0!遞減;⑶/⑴=-小

Xfi(1-x)2

S

2.設/(x)為已知的連續(xù)函數(shù)，令/=/?1/(㈤必:淇中/>0,s>0,則/的值：[A]

J0

A:依賴于s，不依賴于t；B:依賴于s和x;

C:依賴于看和x,不依賴于s;。:依賴于/和s.

ln(l+x)_i<<0

3.函數(shù)，(x)=一%一'—<x<U的單調減少區(qū)間為？

1-xx>0

x-(l+x)ln(l+x)

[%=0連續(xù)!，/(X)=%2(l+x)，/(x)<0!(—1,+8)遞減]

—1x>0

4.y=/(x)由:3x?+y5-4x+y=0所確定，求y=/(x)的單調區(qū)間.

l+3y33

5./U):[a,b]上二階可導，且/'"(%)>0,證明F(x)=/(x)—：(。)在色防)內遞增.

x-a

(X-?)/(%)-[/(%)-/(?)]

[￡(X)=-----------------------=------------>0]

(x-a)x-a

f

6.設/(x)在(―8,+8)內連續(xù),且/。)>0,求證：9(x)=&----當x>0時單調增加.

3dt

J￡U于

/(x)J；

"(x)=—~7^----------->0]

(r/CM(J。/⑺力了

910IO10ll10r10x9(10-x)io10

7.三數(shù)：中哪個最大?

eeeX

8.設0〈X<丁<工，判斷：咽上與上的大小.

2tanxx

門tan%x-sinxcosx-小?、tanyy

[F=——,F'=->0(XG(0,-),-上]

xxcosx2tanxx

9.設可導函數(shù)/(%),g(x)大于零,a<x<b,且尸(%)g(%)—/(%)g'(%)<0,則：[A]

A：f@)g(b)>f(b)g(x)；B-/(x)g(a)>/(a)g(x)

C：f(x)g(x)>f(b)g(b)-D：/(x)g(x)>/(a)g(a)

10.考察y=(優(yōu)+武-的單調性.

Z7h

itzrln——+^ln——

[y'=(ax+bxyx——。'+?：*"+”<0,

x~(a+b)

11.討論函數(shù)/(x)=x+2cosx在區(qū)間(0,不)內的單調性與極值.

[/W=l-2sinx,(0,—))*,(丁，])：

oooo

盤*(今=*+?九久科二3-a

oooo

12.設三次函數(shù)y=a%3+"2+c%+有兩個極值點及其對應的兩個極值均為相反數(shù)，則函

數(shù)圖形關于什么對稱？

122b

[y=3ax+2Zzx+c=0,xx+x2=-----=Q,b=0;丁(西)+，(9)=2d=0奇函數(shù)]

3a

13.7(x)滿足：/(x)+4/(--)=-,求/'(x)的極值

XX

「，/、1/4I、―/、1—4%2//1、4/1\4

[/(^)=-—(4x+—),f(%)=2，/max(77)二-77，九!1(一力二771

15x15%215215

b

14.求丁=以92+一(〃,。>0)的極值，

x

,2tzx3-b八[b~“/、c2b八，、332ab之

[y=-5—=°，％=(b，y(x0)=2?+—>0,^(%0)=---]

xV2axQ2

15./(x)在(-8,+8)上連續(xù)，/(x)=-X+1)2(：+2)3(XH1)，求駐點和極值點.

(1)3

[駐點:x=0,-1,-2;極小值點:x=0；極大值點:x=-2,1]

16.7'(%)在兄=。處連續(xù)，lim/(九)=-1,問:x=〃是什么點？

%—x-a

[尸(a)=0,(%-a)-(%)<0,x=a:極大值點]

17.已知/(x)在點x=0的某鄰域內連續(xù)，且limj?—=2,則％=0處〃x)必：[D]

°1-cosX

A:不可導；B:可導，但/(0)。0；C:取到極小值；。:取到極大值

丫4〃卜

18.求，使f(x)=-+-X3+-X2+2X僅有兩個相異負值駐點，且有唯一極值點％=—2

[f*(x)=%3+ax1+Z?x+2=(x+2)(%+1)2,a=4,b=5]

]口IY|%w0__1

19.求/(%)=(?I,的極值點.[極小值點％=士6萬；極大值點x=0]

0x=0

i

n

[f*(%)=x(l+21n|x|)=0^x=x=o,/(x)=3+21n|x|]

單元六：單調性應用

1.設/(x)=?x(l-x)",(〃為自然數(shù)),(1)求max/(x);(2)證明：max/(%)<-.

X6[o,i]xe[o,i]e

]Z7〃1

l(V)f'=n(l-xyil[l-(n+l)x]=0n&(--)=(--)";(2)(--)"'=>^<-]

n+1n+1n+1e

22

2./(%)在上正值連續(xù)，求方(%)=rx[[—+lnx-(—+ln。]/⑺力(％之1)的最小值.

Ji%t

jr_2(*X

[尸=力，最小值:工1m(2)]

3.求/(%)=一1+―p~^a〉。)的最大值.

l+|x|l+|x-6/|

(1-x)2+(l+a-x)2x<0

[f'(%)=\-----——----r,

(l+tz-x)2(1+x)2

____1__________1

[(1+4—(l+x-a)2

a”八、、2+a2+Q]

X=~,f(0)=f(a)=---->c'Jf

21+a2+Qmax1+a

4.設/(x)連續(xù)，J!L/(%)>0,/(-%)=f{x),F(x)=j|x-?|f(t)dt(-a<x<a),

⑴證明:尸(x)遞增;⑵求尸(x)的最小值;⑶若尸(x)的最小值為:/⑷-/-1,求

[⑴尸=2J；1'=2/〉0;(2)治°(0)=2rtf⑦dt;

f.、2i」f'(x)=2x(1+/(%))

(3)2jotf(t)dt=f{x}-x-Inj打o)—i，f(x)=2e-1]

、J、J

2

5.設尸(x)=x"++a2x+alx+a0,又設x=不是它的最大實根，則P'(x())滿足：⑷]

A:>0；B:<0；C:<0；D:>0

6.x>0,nEN+,設/(%)=j(t-t2)sin2ntdt,證明：/(%)V-------------

J。(2〃+2)(2〃+3)

[尸=Ml—X)sin2nX,Xnax⑴=J；?—/)sin?”力<^(t-t2)t2ndt]

7.(1)證明方程lnx=2-fJl-cos2xdx在(0,+8)內有且僅有兩個不同實根.

e%

[f=\nx--+2y/2,f'=^—^-=0^x=e,f(e4)<Q,/(e)=272,/(e4)<0]

ex

(2)考察忖5+|x|4-cos%=0在(-00,+8)內根的個數(shù).

[/=|x?+|xp—cosx偶，[0,3]單調異號，(m，+°°)：/〉0：二根]

⑶考察方程：2%5—10%+12=0根的個數(shù).

[/=2/—10x+12,/，=10/_10=0,x=±1,/(—1)=20,/⑴=4(一個根)]

(4)考察方程—+—L—+=0根的個數(shù).

x—1x—2x—3

"=」7+人+—，/<0：二根]

x-1x-2x-5

(5)證明：/+"'+2cosx=5恰有兩個根.

[f=ex+e~x+2cosx-5,f'=ex-2sinx,fv=ex+e~x-2cosx>0

x=0為唯一駐點，/(0)=-l,/(±^)>0]

jrTT

(6)對C的不同取值，確定方程x-—sinx=C在(0,—)內根的個數(shù)，并加以證明

22

rn-f2N兀?—4?

[/(x)=x--smx,7M=arccos----------,f=0

2mn2m3X

(DC<Znin,CNO：無根；(2)C=/min：一根；⑶糯<C<。：二根]

8.(1)直線y=ox+)經(jīng)過(2,1)，且使/=1^ax+bfdx的值最小，求a,6之值.

[2a+b=l,I=-a2+2(l-2a)2,r=0=>a=—,b=—(r'>0)]

(2)在-1和2之間求值c,使得y=-X,y=2尤,y=1+ex所圍的面積最小.

(3)過點P(4,9)引直線，若它在兩個坐標軸上截矩為正，求使截矩之和最小的直線.

Yv49Q/7

[設:—I—=ln—I—=L/=a+b=a-\-----,jf，=0,a=10,b=15]

ababa-4

9.(1)。(8一)是孫=1上定點，Q(x,y)是該曲線另一分支上的動點，求線段尸Q長度最短

8

的點。的坐標.[/=(x—8)2+(工—1)2(X<0),/，=onX=—L，Q(—工,—2)]

x822

(2)設曲線y=4—必與直線y=2x+l相交于兩點，又C為曲線弧A3上任一點，

求AABC面積的最大值.

+2x—34

[A(l,3),B(-3,-5),|AB|=4區(qū)h=一君」(-3<x<1),k-1)=方,SA=8]

(3)求點(0,a)到曲線=4y上的最近距離.

[f^x2+(y-a)~=4y+(y—a/(y>0)

尸=o=>y=〃—2:⑴〃>2,411n=2j〃T；(2)a<2,d^n=\a\]

10.證明不等式:

1.1、1

(1)-----<ln(l+—)<-;[ln(l+-)-lnl=-^—x-,(0<^<-)]

〃+lnnn1+gnn

i

ii~

n+111、

(2)e及-e<-^-,(n>l);<自.<一1)]

nn

(3)xlnx>x-l,(x>0).[f=xinx-x+1,/1=Inx=0,x=1,/">0,/>/(I)=0]

(4)(-+()ln(l+x)>1,(x>0)

x2

2xx2

[f=ln(l+x)—>0,/>/(0)=0]

2+x-(l+x)(2+x)

(5)sinx+tan%>2%,(0<%<1)

[f-sinx+tanx-2x,f'=cosx+sec2x-2>0!,/>/(0)=0]

(6)l+x2<2x,(0<x<l).

"=2-J—"13—2<0J(0)=/⑴=0n/(x)>0]

11.證明：當xe(0,l)時，

(l)(l+%)ln2(l+x)<x2.[F(x)=-r^-ln(l+x),F'(x)=-^i^iL>0]

Jl+x2(l+x)Jl+x

1,111「11?(l+x)ln2(l+x)-x2八

In2ln(l+x)x2ln(l+x)xx2(l+x)ln2(l+x)

12./(x)在[0,+。上可導，且/(0)=0"(x)N/(x),證明:f(x)<Q.

[(e-xf(x)y=e\f\x)-/(%))<0=>e-xf(x)<巧(0)=0]

13.設/在［0,1］上連續(xù)，(0,1)內可導，/(0)=0,0</'(%)<!,證明:

(￡/(X)t&)2>￡/3(4%)JX

[/>0,F=(J；/⑺山)2-J；r⑺濫F'=2/(x)J；/⑺力-/3(x)>0!,F(l)>F(0)]

14.確定函數(shù)/(%)=九七一”(0<%<+8)的單調區(qū)間,并證明：\/1￡(0,+00),有九七一”41.

[/=-x),/(x)〈九n(e)=1]

15./(x)可導，恒正，0<a<x〈b,且/(x)<#'(x),貝！J:[B]

A:bf{a}>af(b);B:af68gusam<#(%);C:abf(x)>x2f(b);D:abf(x)<x2f(a)

16.設b>a>0,證明：

]nb-]na2ainb-Ina112a

lo-aa1+b2b-a&ba2+b2

2(。一。)[b1

(2)—-----<ln-<-；=

a+bay/ab