人教版高中數(shù)學必修四教案全集

（2）設不超戔，點P在0、A、B所在的平面內(nèi)，且求證：A、

B、P三點共線

例5已知a=2e-3a,ZF2a+3@,其中&,8不共線，向量城臺-%，問是

否存在這樣的〃，使d=4a+曲及C

四、課堂練a

1.設8、8是同T面內(nèi)的兩個向量，貝惰（）

A.8、8一定平彳丁

Re、&陶目等

C.同TW內(nèi)的任一向量a者隋a=幾e+〃￡R）

D.若a、&不^域，則同T2面內(nèi)的任一向量a都有a=Xe+ua（幾、代

R）

2.已知a=8-2&,6=2e+8,其中&、e>^^,貝!J/6及c=68—28

的關M

A.歲啜△堤|C.mD.無法^定

3.已知向量&、a不提戔，實數(shù)x、y滿足（3x4協(xié)e+（2尸3協(xié)改=6G+38,則

小y的值等于（）

A.3R-3C.01）,2

4.已知a、b不去嚶,且c-4濟兒亦（兒，4￡R）,若。及6型貝I4尸.

5.已知兒>0,幾2>0,6、員是一組基底，且&=兒6+兒8,則a及6,

a及a（堤域或不爆.

五、〃嶂(略

第5課時

§2.3.2-§2.3.3

群目的：

(1)理解平面向量的坐標的概念；

(2)掌握平面向量的坐標期；

(3)會不臃坐標，判斷向爵甜m

教學重點：平面向量的坐標硝

勃學準點：向量標表示的理解及運算的準確?生

授果輜

教具：多媒體、實物投影儀

一、引入

1.平面向量基本定理：如果［,砥是同一平面內(nèi)的兩個不蟋向量，那么

對于這-中面內(nèi)的任一向量方，有且只有一對入1,入2使M=入￡+入21

⑴我ff肥不麒向量162叫故表示這一平面內(nèi)所有向量的一組M底；

⑵基底不H關鍵是科噬

⑶由定理可將任一向量a在給出基底“e2的條件下進行分解；

⑷基超合定時，分解形式X貓，入2是被第［,［唯一確定的數(shù)量

二、ww?

1.

如圖，在直角坐標系內(nèi)，我彳I'吩另瞰及X軸、)，軸方向相同的兩個單位向

量/?、J作為基底任作一個向量”，由平面向量基本定理知，有且只有一對

期一，使得

點Aim置由a唯一確定

設方=xi+”，則向量3的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐

標(x,y)也就是向量蘇的坐標因此在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向

量都是可以用一對溺唯一

2.

(1)若a=(xl,yi),b=(x2,y2),貝!ja+h=(內(nèi)+々，%+為)，

a-b=&-%2,y,-y2)

兩個向量和及差的坐標分另愕于這兩個向量相應坐標的和及差

設、j，則a+b=(xti+yj)+(x2i+y2j)=(再+x2)i+(%+y2)j

即。+/?=(匹+x2,yt+%)，同理可得。一。=3-％2，%-%)

(2)若A(X|,y),B(x2,y2),則一司,內(nèi)一必)

一個向量的坐商量示lEL向鼬有向線段白於，黑曲詞法始點的坐標

AB=OB04=(x2,y2)(XI,yi)=(&Xi,y2y)

(3)若a=(x,y)和^^4,則々/=(Ax,Ay).

娛吸向量的積的坐標等于用這個蟠乘原來向量的相應坐標

設基底為i、j,則九r=4(xi+歷)=Axi+Ayj,即

Aa=(Ax,Ay)

三、獺箱例：

例1已知A(x”yi),B(X2,丫2),求AB的坐標

例2已知a=(2,1),/?=(-3,4),求a+/?,af,3a+4〃

的坐標

例3已知平面上三點［觸標分別為A(2,1),B(1,3),C(3,4),

求點D的坐標使這四點構成平行四配四個頂點

解：當平行四邊形為ABCD時，由通=比得*⑵2)

當平行四邊形為ACDB口寸，得匕(4,6),當平行四邊形為DACB時，得

DF(6,0)

例4已知三個力耳(3,4),耳(2,5),豆(x,y)的合力1+豆+元=6,

求元的坐標

解：由題設M+E+瓦=6得(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)

即“3+2+x=0...尸=-5...瓦(5,1)

4-5+y=0[y=l

四、課1練a

1.若M(3,-2)N(-5,-1)且而」而，求P點的坐標

2

2.若A(0,1),B(l,2),C(3,4),則而2於二.

3.已知：四點A(5,1),B(3,4),C(L3),D(5,-3),求證:

四邊形ABCD是梯

五、d弊(略)

第6課時

§2.3.4

目的：

(1)理解平面向量的坐標的概念；

(2)裳屋平面向量的坐標運算；

(3)會根據(jù)向量的坐標，判斷向量睇原

瓣重點：平面向量的坐前第

向鼬坐木^^的的蹦性

授舞鯉

教具多媒體、實物投影儀

一、復習引入

1.

分另瞰及x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、/作為基底任作一個

向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、門外

使得a=xi+yj-------/

把(x,y)叫做向量。的(直角)坐標，記作a=(x,y)——

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，檄?她i=(1,0),

j=(0,1),0=(0,0).

2.

若a=(x”y),b=(x2,y2),

則a+8=(X|+%2，y+/2)，。一8=(的一彳2，丹一為)，Aa=(Ax,Ay).

M

若A(X]，),B(x2,y2),則48=(%2-X],%-凹)

二、

a//b(B6)的充^條(牛是Xiy2-X2yi=O

設值二(xi,yj,B=(X2,yj其中Ba.

由五二入坂得(xi,y,)=X(X2,yj消去入，Xiy2-x2yi=0

〔M=儀

探究：⑴消去人時不能兩式相除，??％,y2有可能為0,,：b6.\x2,

y2中至少有一個不為0

(2)充要條件不能寫成&=區(qū)Vx.,次有可能為0

x}x2

⑶從而向量共線的充要條件有兩種形式：五〃B

(b6)。］疝

玉%-々y=0

三、喉腳

例1已知5=(4,2),B=(6,y),^a//b,求y.

例2已知A(T,-1),B(b3),C⑵5),試判斷A,B,C三點之間的

例3設點P是線段PH上的一點，B、P2的坐標分別是(X”y),但，yj.

(1)當點P是線段PE的中點時，求點P的坐標；

(2)當點P是線段PH的一個三等分點時，求點P的坐標

例4若向量,=(T,x)及B=(-x,2)招蛆方向相同，求x

解：,.,五二(-1,x)及B=(~x,2):?(T)X2-犬(-㈤=0

.,.X=±V2及B方向相同/.X=V2

例5已知A(-1,-1),B(l,3),C(l,5),D(2,7),向量麗及麗平

行嗎？直線AB及平行于直線CD嗎？

解：???麗=(1—(―1),3—(—1))X2,4),而二(2—1,7—5)=(1,2)

又V2X2-4X1=O：.AB//CD

又???元=(1一(一1),5-(-1))=(2,6),AB=(2,4),2X4-2X60

二.就及而不平行

:.A,B,C和嚶」.AB及CD不重合.?.AB〃CD

1.若無⑵3),ZF(4,-l+y),且H〃8,則產(chǎn)()

A.6笈5C.7D.8

2.若/(x,-1),B(l,3),。(2,5)三點爆，則x的值為()

A.-3B.-\C.1D.3

3.若而=i+2j,~DC=(3-另i+(4-y)j(其中i、j的方向分另吸x、y軸正方

向相同且為朝立向量).髓及皮沸，則x、y的直可能分別為()

A.1,262,2C.3,2D.2,4

4.已知京(4,2),ZF(6,y),豆allb,貝!)產(chǎn)______.

5.已知a=(l,2),ZF(X,1),若濟26及2n6平行，貝壯的值^9.

6.已知口加6四個頂點的坐標為4(5,7),8(3,x),02,3),以4,劭，

則產(chǎn).

五、〃弗(略)

§2.4平面礴鐲朝

第7課時

_、背＞2^含義

目的：

1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；

2.掌握平面向的孽［40^算律；

3.了解用平面向量白徽量積可以姐i有矯度、角度和垂直的問題;

4.掌握向量垂直的彼

教學重點：向鼬義

教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應

用

新觸

教具：實物股影儀

內(nèi)容分析：

本節(jié)學習的卻是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義

之后便可引導學生推導數(shù)量積的軟律然后通過概念辨析題加深學生對

于平面向量數(shù)量積的認識主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意

義平面向量數(shù)I積的5個重要T蝴；平面向量數(shù)量積的運算律

過程：

一、復習引入：

1.向向量B及蟀向量，麒的愧：有且只有一個

非^^（入，使k入五.

2.平面向量基本定理：如果［是同一平面內(nèi)的兩個不麒向量，那么

對于這一平面內(nèi)的任一向量M，有且只有一對入1,入2使。=入g+入21

3.平面向量的坐標表示

分另瞰及X軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、J作為基底任作一個向

量”，由平面向量基本定理知，有且只有一對鰥h、y,使得a=xi+切

把(x,y)叫做向量”的(直角)坐標，記作a=(x,y)

4.平面向量^^標i磅

若a=(再,y)，b=(x2,y2),貝以+。=(百+x2,y}+%)，a-b=(xt-x2,yi-y2),

Aa=(Ax,Ay).

若A(X］，M),B(x2,y2),則AB=(%2-西，力一州)

5.a//b(b6)的充要條件是Xiy2-X2yi=0

6.線段的定比分點及人

Pl,P2是直線/上的兩點，P是/上不同于P”，存在鰥設,

使肝二人短，人叫做點P分質(zhì)所成的比，有三種情況：

-pjp,p??-P*~

入>0(內(nèi)分)(夕h9-)A<0(X<-1)(夕入<0(_1<X<0)

7.定比分點坐標公式：

若點H(x”yi),尸2(x2,yj,幾為鰥且肝=4短，則點〃的

坐標為(士畢，出學),我何爾4為點〃分而所成的比

1+21+2

8.點產(chǎn)的位置及4的范圍的關系：

①當》>0時，呼及短同向堤這時稱點〃為根的內(nèi)分點.

②當幾<0(丸。一1)時，耳?及短反向^這0慚點戶為根的夕吩點

9.線段定比分點坐標公式的向量形式：

在平面內(nèi)任取一點0,設麗=a，西

=b,

可得而二a+勸a+-^b.

1+21+21+2

10.力做的功：W=㈤|s|cos,是尸及s的夾角.

二、^講解新課:

1.兩個三號向量夾角的概念

已知三凄向量a及8,作況=a,OB—b,則(0W

JW")叫a及8的夾角.

說明:(1)當。=0時,a及6同向;

(2)當。="時，a及8反向；

(3)當。=工時，a及6垂直，記a_L8；

2

(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0W

W180

2.平面向量數(shù)S積(內(nèi)積)的定義：已知兩個向量a及6,它們的夾

角是優(yōu)則數(shù)量|a|61cos叫a及6的數(shù)量積，記作ab,即有ab二

㈤161cos,

(0W咤").翔定。及任(可向量懶氫聯(lián)JQ

探究：兩個向量的數(shù)量積及向量同娜積有很大區(qū)^

(1)兩個向量的數(shù)量積是一個舞L不是向量，符號由cos的符號所決

定

⑵兩個向量的數(shù)量樹爾為內(nèi)積，寫成a氏今后要學到胸個向量的外積

aXS,而a6是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分符號“?”在

向量運算中不是乘號既^能省略，也不育卵“X”代替.

(3)在詡中，若a0,且aZFO,貝！J/FO；但是在數(shù)量積中，若a0,

且aLFO,不能推出ZF〃因為其中COS有可能為0.

(4)已知b、c(b0),貝a=c.{ab-

ba-c

如右圖：ab=\a\|Z?|cos=|Z?||0A|,bc=

\b\|c|cos=|Z?||0A|

ab-b(?{Hac

(5)在鰥好也有(aB)c=a(bc),但是(a6)ca(bc)

顯然，這是因為左端是及c磨戔的向量，而右端是及&案戔的向量，而

-毅a及c袂戔

3.“投影”的概念：作圖

定義：|Z?|cosnL］做向量6在a方向上的微幺

投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時

投影為負值;當為直角時投影為0;當=0時投影為國；當=180

時投影為\b\.

4.向量的穌積的幾何意義:

數(shù)量Rab等于a的長度及b在a方向上投影14cos的乘積

5.兩個向量雌蜀喇顫：

設a、8為兩個非零向量，e是及b同向的單位向量

1ea-ae=|a|cos

2abab=Q

3當a及6同向時，a6=⑷18；當口及6反向時，ab=\a\\b\.

特別的aa=Ia「或a|='?

5\ab|W|a||b|

三、講解范例：

例1已知|a|=5,|Z?|=4,a及6的夾角。=120°,求

例2已知|a|=6,|Z?|=4,a及6的夾角為60"求(a+2b)?(a-3b).

例3已知|a|=3,|引=4,且a及b不掄k為何值時，向量a+kb及a-kb

互相垂直

例4判斷正誤，并簡要說明理由.

①a*0=0；(2X)?a=0；(3)0—AB=BA?\a?b\=\a\\

bI；⑤aWO,貝時任一三曜8有a?b豐0；⑥a?b—0,則a及

8中至少有一個為0；⑦對任意向量a,b,c都有(a?8)c=aQb?c)；

⑧a及8是兩個單位向量，則a2=81

解：上述8個命題中只有③@正確；

對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個鰥應有0?a=0；對于②：應

有0?a=0；

對于④：由數(shù)量淀義有Ia?b\=\aI?IbI,Icos。IWI

a\\b\,這里。是a及8的夾角，只有。=0或。=加時，才有|

a*b\=\a\*\b\\

對于⑤若三凄向量a、6垂直，有a?8=0；

對于⑥由a?b=0可知aJ_8可以都非零；

對于⑦：若a及c報t記a=4c.

則a?b=(入c)?b=A(c?Z?)=4(b,c),

(a?Z>)?c—A(Z>?c)c—(/)?(?)Ac—(/)?(?)a

若a及c移啜，則(a?8)cW(8?c)a.

評述：這一頻題，要求學生確實小襟1積的定義、性質(zhì)、運算

律

例6已知|a|=3,||=6,當①a〃b,②a_L6,③a及8的

夾角是60°時，分另悚a?b.

解：①當a〃8時，若a及8同向，則它們的夾角。=0°,

/.a?b—\a\?|b\cos0°=3X6X1=18；

若a及8反向，則它們的夾角。=180。，

a?b=\a\\b\cos180°=3X6X(-1)=—18；

②當aJ_6時，它們的夾角。=90°,

a,8=0；

③當a及方的夾^是60°時，有

a?b=\a\\b\cos60°=3X6x1=9

2

評述：兩個向量的數(shù)量積及它們的夾角有關，其范圍是[0°,180°],

因此，當a〃訓寸，有0°或180°兩種可能

四、課堂練習：

1.已知|a|=l,|〃=痣，且（才6）及a垂直，則a及6的夾角是（）

A.60°R30°C.135°D.45°

2.已知|4|=2,出|=1,a及8之間的夾角為?，那么向量而用4b的模為（）

A.2B.26C.61）.12

3.已知a、6是三曙向量，則|a|=仿|是但百及36）垂直的（）

A.充分但不必要條件R必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知向量a、6的夾角為與，|a|=2,|力|=1,則|附?匠4=.

5.已知外ZF27-8J,a-b=-8i+16j,其中i、J是直角坐標系中x軸、p軸正

方向上的單位向量，那么a?ZF.

6.已知a_LAc及a、6的夾角均為60°,且|a|=l,|8=2,|c|=3,則（卅2Zrc）

2—

7.已知㈤=1,|6|二血，⑴若a〃，求a?氏⑵若a、6的夾角為60°,

求/6|；⑶若夕8及a垂直，求a及6的夾角.

8.設勿、n是兩個單位向量，其夾角為60°,求向量聲2研〃及tr2n~3m

的夾角，

9.對于兩個三摩向量a、b,求使:界洞最小時的t值，并求此時b及拉tb

的夾角.

五、力紹（略）

第8課時

二、平面向律

目的:

i.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；

2.能^用數(shù)1積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)幽缺有關問題；

3.掌握兩個向量裁、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能

解決一些簡單問題

教學重點：平面向規(guī)律

教教俶點：平面向?的質(zhì)

授果鯉

教具：本、實物投影儀

內(nèi)析：

啟發(fā)學生在理轆國只的運算特點的基礎±,逐步拇載置積的運算

律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關問題的特點，以熟練顧用數(shù)量積的

性質(zhì).

過程：

一、復習引入:

1「兩向量夾角的概念

已知m曜向量a及8,作蘇=a,OB—b,則N/。/=。（0W

30n）叫a及6的夾角.

2.平面向殿濯積（內(nèi)積）的定義：已知兩個三臂向量a及8,它們的夾

角是仇則數(shù)量Ia||61cos叫a及8的婁圜只，記作ab,即有ab二

Ia\IZ?|cos,

（owew8）.并規(guī)定。及任何向量的數(shù)量積為。

3.“搦T的概念：作圖

定義：㈤cosnL］做向量6在a方向上的微幺

投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時

投影為負值;當為直角時投影為0;當=0時投影為國；當=180

時投影為\b\.

4.向量的穌積的幾何意義:

數(shù)量Rab等于a的長度及b在a方向上投影14cos的乘積

5.兩個向量雌蜀喇顫：

設a、8為兩個非零向量，e是及b同向的單位向量

1ea-ae=|a|cos；2abab-0

3當a及6同向時，a6=㈤|6|；當a及6反向時，ab=\a\\b\.

特別的aa,-|.a『或?a|=7aa

4cos；5|a6|W|a||6|

|aIS|

二、新課：

平面向量數(shù)量積的運算律

1.聿：ab=ba

證：設a,6夾角為，則ab-|a||61cos,ba-\b\\a\cos

'.ab-ba

2.吉合律：(入a)b=X(a6)=a(入方

證：若九>0,(>46二九|a||61cos,入(aIJ)-k\a\|Z?|cos,a(幾近

二九Ia|Ib|cos,

若入〈0,(九a)b二|九a|[61cos()=X|a||Z?|(cos)

=A,\a\|Z?|cos,A.(aA=X\a\|Z?|cos,

a(入方=\a\|XZ?|cos()=X|,a|[Z?|(cos)

=A,\a\|Z?|cos

3.分配律：(a+0c-ac+bc

在平面內(nèi)取一點〃作蘇二a,~AB-b,OC-c,,:a+b（即廂）

在c方向上的投影等于a、6在c方向上的投黔口，即|a+b|cos=\a\

cosi+|b|cos2

/.|c|\a+b\cos=|c\\a\cosi+|<?|)b\cos2,Ac(a+

ID)-ca+cb即：(&+〃c-ac+bc

說明：(1)也，(a?b)c豐a(b?c)

(2)a?c=b?c,a=b

(3)有如下常用性質(zhì)：a2=?&12,

(a+6)(c+d)=a?c+a?d+b?<?+

b?d

(a+8)2=a2+2a?8+62

三、講角錮列:

例1已知a、6都是三凄向量，且a+3b及7a56垂直，a4b及7a

2b垂直，求a及8的夾角.

解：由(a+36)(7a50=07a+16ab156=0①

(a4A(7a26)=07a30a8+84=0②

兩掰膩：2ab-ID

RMMgW：J=6

設a、6的夾角為，則cos.?.二60

例2求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.

解：如I圖：平行四邊形ABCD中，AB=DC,而=反，AC=AB+AD

..\AC\=\AB+AD\2=AB+AD+2ABAD2___

而______________

mBD^AB-AD,'/

AB

..BD|=|AB-AD]1=AB+AD-2ABAD

?.|AC|+BD|=2AB'+2AD'^\AB\2+\BC{1+\DC\2+\AD^

例3四邊形ABCD中，~AB=a,~BC=b,CD—c,DA—d,且"b

—b?c—c?d—d?a,試問四邊形4如是什么圖形？

分析：四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算

該四邊形的邊角量

解：四邊形的跳形，這是因為：

一■方面：a+8+c+d=0,a+8=—(c+d),.，.(a+8)

2=(6+3)2

即IaI2+2&,6+|6|2=?c^+2c.d+\d\^

由于a?b=c?d,|a|?+|b\2=\cI2+|d|?①

同理有|a|2+||2二||2+|812②

由①?可得lal=ll,且Ul=ldl即四邊形的兩組對

別相等

四邊形板9是平行四邊形

另一方面，由a-b=b?c,有8(a—<?)=0,而由平行四邊

形^7?可得a=—c,fVvhs'C得6?(2a)=0,即a?b=0,'.a

_L8也即能L/

四邂的

評述：⑴在四邊形中，而，麗，麗，麗劇I頁次首尾相^向量，則

其和向量是零向量，即a+8+c+d=0,應注意這一隱含條件應用；

⑵由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的卷是構造數(shù)I積，因檄1積的定義式

中含有邊、角陶鐵系

四、課堂練習：

1.下列樹不正確的是()

A.向量緘量稠前足殛律B.向量懶量積滿足分配律

C向D.a?b—個四

2.已知|a|=6,㈤=4,a及Z?的夾角為60°,貝ij(附26)?(a-36)等于()

A.725-72C.36D.-36

3.|a|=3,|6|=4,向量/36及卅36的位置關系為()

44

A.平行員垂直C.夾角為工D.不平行也不垂直

3

4.已知|a|=3,|〃=4,且a及Z?的夾角為150°,貝!!(9/?)?=.

5.已知|a|二2,|6|=5,a,ZF-3,貝1J|卅〃=,\a-b\-.

6.設|a|二3,|6|=5,且/幾6及a—垂直，貝.

五、〃彝（略）

第9課時

三、玉麗11數(shù)翻雌屐展模蝴

目的：

（1度求學生翼g平面向量數(shù)量積的坐標表示

⑵掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點間的距離公式

⑶育卵所學知識解決俞粽合問題

教學重點：平面向?W只的坐木;iW

修點：平面向量數(shù)量積的坐標表示蹣合運用

授麋鋰：

教具：多媒體、實物投影儀

過程：

一、復習引入：

1.兩個三臂向量夾角的概念

已知三凄向量a及8,作E=a,OB—b,則N/。衣=夕（0W

JW"）叫a及6的夾角.

2.平面向野量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個三臂向量a及8,它們的夾

角是優(yōu)則數(shù)量Iall61cos叫a及6的數(shù)圜只，記作ab,即有ab二

Ia|161cos,

（0WJW%）.。及用可向量

3.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)期只ab等于a的長度及b在a方向上投影14cos的乘積

4.兩個向量雌蜀喇顫：

設a、8為兩個非零向量，e是及b同向的單位向量

1ea-ae=|a|cos；2abab-Q

3當a及6同向時,a6二|a||6|；當a及6反向時,ab=\a\\b\.

特的3.a.—|a『或a|=Ja?a

4cos=a"；5|a6|W|a||8|yt普d

14ISI/

8(不以

5.平面向量數(shù)量把唯J運算律

為雉：ab=ba

多乘吉合律：aa)b=X(,a垃二a

己律：（a+Ac-ac+bc

L平面兩向量數(shù)量積的坐標表示

已知兩個向量a=(x”M)，匕=(%2，%)，試用。和b的坐標表示a.b.

設i是X軸上的單位向量，/是y軸上的單位向量，那么。=卬+刈，

b=x2i+y2j

22

所以a?>=(%"+yj)(x2i+y2j)=xix2i+xty2i-j+x2yti-j+yiy2j

又=j?j=1,i-j=j-i=0,所以。/=匹％2+必必

這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.即

a-b=+y1y2

2.平面內(nèi)兩點間的距離公式

一、設a=(x,y),則|a『=骨+y?或a|=6+,2.

(2)如果表示向量。的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x”y)、

(乙,%)，那么Ia|=八內(nèi)一%)2+3-%產(chǎn)(平面內(nèi)兩點間的距離公式)

二、向量垂直的判定

設。=(用,以)，b=(x2,y2),則

ox/2+%%=°

三、兩向量夾角的余弦(0<”乃)

COS=aM

|a|-|Z>l4x；+y；&2+%2

四、講用錨例：

五、設a=(5,7),6=(6,4),求a?b及a、6間的夾角。(精

確到1°)

例2已知1(1,2),M2,3),(X2,5),?鼎U斷△板的形狀，并給出

證明.

例3已知a=(3,1),6=(1,2),求茜足xa=9及xb=4

的向量x

解:設矛=(6解

3t—s=9t=2

由=><二(2,3)

x-b=-4/+2s=-4s=-3

例4已知,3=(1,73),b=(73+1,V3—1),貝!ja及6的夾角是多

分析：為求a及6夾角，需先求a?8及IaI?\b\,再結(jié)合夾角。的范

圍確定其值.

解：由a=(1,V3),b—(V3+1,V3—1)

有a?b=8+l+G(g—1)=4,|a|—2,|6|=2&.

記a及6的夾角為仇則c。s仁二也

~T

丈：0&9&JI,：.

4

評述：已矢后角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定.

例5如圖，以原點和/(5,2)為頂點作等腰直角△延使8=90，求

點8和向量通的坐標

解：設8點坐標(x,y),則無=(x,切，而=(x5,y2)

'.'OBAB*.x{x5)+y(y2)=0即：x+y5x2y=0

又;|而I=IABI：.x+y=(x5)2+(y2>即：lOx+4y=29

3

7-

X2-

x,=一2

廠+y~-5x—2y=0

由v?3或7

-

y=

1Ox+4y-2922

%二一2

.?.夕點坐標g）或（勺；

例6在△位'中，通=⑵3),AC=(1,拉,且AW的一個內(nèi)角為直角,

求4值.

解：當力=90時，ABAC=0,.?.2X1+3XA=O：.k

2

當6=90時，~ABBC=0,BC=AC(12,43)=(1,

k3)

.\2X(1)+3X(43)=0：.k

3

當。=90時，ACBC=0,1+k{k3)=0：.k=2i2^

2

六、課堂練習：

1.若于(一4,3),ZF⑸6),貝!131al2-4a?6=()

A.23R57C.63D.83

2.已知4(1,2),M2,3),。(-2,5),則A4況為()

A.直角三角形〃銳角三角形C.鈍角三角形I).不等邊三角形

3.已知聲(4,3),向量直a的單位向量，則6等于()

令或?qū)?I)人(|令或(-|,告

。(|,-$或(-2|)口(|,-$或(4$

4.才(2,3),ZF(-2,4),則(界〃,(3~垃=.

5.已知/(3,2),以-1,-1),若點〃為二)在線段金的中垂線上,則朽.

2

6.已知力(1,0),8(3,1),。(2,0),且手前，LFCA,則a及6的夾角

為.

七、小結(jié)（略）

第12課時

復習課

一、教學目標

1.理解向量零向量向量的模單位向量.平行向量.反向量相等向量

兩向量的夾角等概念。

2.了解平面向量基本

3.向量慟函的平行四邊形法（共起點）和三角形法則（首尾相^）。

4.了解向瓢桐各粹等式：||ZHMC±XZ|+|B|（試

問：取等號的條件是什么?）和向量形式的平行四邊形定理：

2（|a12+12|2）=|a—b|2+1a|2.

5.了解詡及向量的乘去（即數(shù)乘的意義）：

6.向量的坐標概念和坐標表示法

7.向量的坐標運算（加減鰥嫻向量去.數(shù)翻D

8.數(shù)量積（點內(nèi)積）的概念，a?Z=1WI11|cos6=X|X?+丫］丫2注意

區(qū)別“娛吸向量的乘法；向量及向量的乘法”

二、

向量知識，向量觀點在數(shù)學.物理等翔的很多分支有著廣泛的應用，

而它具有曦形式和幾何形式的“雙重身份”能艘購T本，能及中學

數(shù)譯學內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知誠匯點所以高考中應引起

足夠的重視數(shù)量積的主要應用：CM模長；（W夾角；爵曜直

三、典型例題

例1.對于任意m回向量"及求證：IIZ1-I/IW：土BIWI

aI+IAI

證明：⑴兩個三臂向量3及1快戔時，Z+B的方向及入右的方向者B

不同，并且13I-1/<1々±51<|3I+IBI

⑶兩個三臂向量Z及B案戔時，&及3同向，則々+b的方向及].b相

同且IW+BI=IZI+IgI.②，及B異向時，則"+B的方向及期大的

向量方向相同，^\a\>\b\,則|KB|=|ZHV.同理可證另一種情況也

啦。

例2已知。為△ABC內(nèi)部一點,NA0B=150°,NB0C=90°,設5X=Z,而與，

OC=c,

且|Z|N|%|=1,Ic|=3,用)及%表充ij

解:如圖建立平面直角坐標系xoy,其中;，j是單位正交基底向量則BS,

1),C(-3,0),設A(x,y),則和豚口x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°

_90°),即A(1,-出),—43j,b-j,c=~3i所以

-3a=373&+cI即c-3a—373b

例3.下面5個命題：①|(zhì)Z-ft|=|?|?歷|②G?1)2=”.>③■_]_(1

―c),則a*c=b,c④a,b=0,則|a+g|=|a—b|(§)a?fe=0,則a=6

或g=6,其中真命題是()

A(D?5)B(3X4)CCD?

三、鞏固訓練

1.下面5個命題中正確的<()

A..(D?5)B.(D@5)C.(2X3?D.(D?

2.下列命題中，正確命題的個數(shù)為(A)

例Z及3是非零向量，且Z及?感戔時，貝腦及3如反a或刃中之一方向相

同；例展為朝的量，且々〃測入③>?々?々=|小M及

B域，［及匕爆，則1及2峻；⑤^平面內(nèi)四點A.B.C.D,必有

AC+BD=BC+AD

A1B2C3D4

3.下列5個命題中正確的是

CM于蟠(P,q和向量Z,若pZ=q"則回四對于向量々及Z,若|Z|3=|g|1

則)=h③對于兩個單位向量Z及5，若|3+?|=2則Z=h◎寸于兩個單位向量

a及1,若k"與，則Z=b

4.已知四邊形ABCD的頂點分別為A(2,1),B⑸4),C(2,7),D(T,4),求證:

四邊形ABCD為正方形。

三角恒鋤^

一、晰要求

本章學習的主要內(nèi)容是兩角和及差的正弦、余弦、和正切公式，以及

運用這些煙進行簡單的恒

三角恒于三角函數(shù)及數(shù)學期他吉合點上通過本章學習，要

使學生在學習三角恒級換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展艇!能力和

運算能力，使學生體會三角恒的工具性作用，學會它6」在數(shù)學中的

~，些應用.

1.了解用向量的數(shù)量樹t導出兩角差的余弦公式的過程，蛇步體會向

量方如勺作用;

2.理解以兩角差的余弦公式導出兩角和及差的正弦、余弦、正切公式，

二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

3.運用上述公式進行簡單的恒翎^以引導學轆導半角公式，積化

和差、和差化積公式（不要求記憶）作轆本訓練，使學生『步提高運

用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會r圾物的思想,換元的思想,

方程的思想輟學思想在三角恒^^中的應用.

二、編寫意甑特色

i.本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和及差的正弦、余弦和正切公式”，“簡單

的三角恒例^”，在學習本章之前我們學習了向量的相關知識，因此作者

的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎，運用向量的知識來予以證明，

降低了難度，使學生容易凝

2.本章是以兩角差的余弦公式作轆礎5雕導其它的公式；

3.本章在內(nèi)容的待讓有明暗兩級，明線包立公式，學會變兔暗線

是發(fā)展廨和運算的能力，因此在本章全部內(nèi)容的安排上，糊勝意附

恰點糠出問題，引導學生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析、姻綱題,

強化運用數(shù)學思想方法指導設計蝴思潞的意識；

4.本章在內(nèi)容的舜F上貫徹“刪峭負的計算、人雌巧化的難野蹴分

強調(diào)細枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴格控制了三角恒其應用的繁、

難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作的依

據(jù)，而只把夔蚣處攤導作會^的基榴習.

三內(nèi)容及課時幫健議

本章教學時間約8課時，具體分配如下：

3.1兩角和及差的正弦、余弦、和正切公式約3課時

3.2簡單的恒聚嫩約3課時

復習約2課時

§3.1兩角和及差的詠融眥切公式

一、晰要求

本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關的十一個公式，通過探索證明和初步應用,

體會和認識公式槌征及作用.

二、編寫意甑特fe

本節(jié)內(nèi)容可分為四個部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明

及初步應用，和差公式的探索、證明和初步應用，倍角公式的探索、證明

及初步應用

三、教學

1.重點引導學生通過獨立探索和討論交流，導出兩角和差的三角函數(shù)的

一個公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運用這些公式進行簡單的恒藜

換打好基礎；

2.難點：兩角差的余弦公式的糅及證明.

3.1.1兩角差的余弦公式

一、教學目標

掌握用向量方崩立兩角差的余弦公式通過簡單運用，使學生初步理

解公喇鈉及其功能，為建立其它和（差）公式打好基砒

二、教學重、難點

1.教學重點：通過探索得至1倆角差的余弦公式；

2.教學難點：探索過程的組繃殖當引導這里不僅有學習積極性的問

題，確探索過程必用的基礎知識是否坐具備的問題，運用已學知識和

方淵能力問題，等等

三、學法及教學用具

1.學法：啟發(fā)式教學

2.教學用具：多媒體

四、陲：

（一）導入：我們在初中時布口道cos45=也，cos30=無，由此我們

22

能否得至（Jcos15=cos（45-30）=?可以猜想，是不于cos45-cos30

呢？

根據(jù)我H應第一章所學的知識瞅娥們蹣想是錯廓勺！TWM僦

一酶討兩角差的余弦公式cos伍-力）=?

（二）蝌懈：

在第一章三角函數(shù)的學習當中我fl'御道,在設角a的終邊及單位圓的交

點為％cosa等于角a及單位圓交點的橫坐標，也可以用角a的余弓越來

表示，大家思考：怎樣構造角￡和角a-力？（注意：要及它們的搬、

余族聯(lián)M起來)

展示多媒體動畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關系探索

cos(?-/?)及cssa、cosp、sintz、sin/7之間的關系，由此得到

cos(a-0)=cosacos尸+sinasin(3,認識兩角差余弦公式的結(jié)構.

思考：我們在第二章學習用向量的知識解決相關的幾何問題，兩角差余弦

公雌們能否用向量的知識來證明？

提示：1、結(jié)合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？

2、廚羊利用向量磁遑積的險斷十算公式霜膝索結(jié)果？

展示體課件

比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用及

便禾吃處

思考：cos(?+/?)=?->cos(?+/7)=cos[a-(-/?)],再利用兩角差的余弦公式

得出

㈢例醐解

例1、利用和、差角余弦公式求cos75>COS15的值.

解：分析：把75、15構造成兩個翩確的和、差

點評：把一個具體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，

例如：cos15=cos(60-45),要學會靈活運用.

例2、已知sine=g,a€仁,乃卜05￡=-',小是第三象限角,求cos(a-⑶

的^1.

解：因為aefy，sina=一由止t^cosa=-V1--

又因為cos/?=-A^是第三象限角，所以

sin（3=--Jl-cos2/3=12

B

1233

所以cos（a一尸）=cosacos夕+sinasin0=

65

點評：注意角a、0的象限，也就是符號問題

（四）d冷：本節(jié)我們學習了兩角差的余弦公式，首先要認識公式結(jié)構的

特征，了解公式怫導過程，熟知由此衍^的兩角和的余弦公式在解m

程中注意角a、P的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.

㈤作業(yè)；之）.「（

§3.1.2兩角和及差的豉1、余弦、正切公式

一、教學目標

理解以兩角差的余弦公式為基礎，推導兩角和、差正弦和正切公式的

方法，體會三角恒點的過程，頻隹導過程，期其應用

二、教學重、難點

i.教學重點：兩角和、差正弦和正切公式的推導過程及運用；

2.教學難點兩角和及差正弦、余弦和正切公式的靈活運用

三、學法及瓣用具

學法：研討式教學

四、罐：

（一）復習式導入：大家首先回顧一下兩角和及差的余弦公式：

這是兩角和及差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和及差的正弦公

式是怎樣的呢？

提示：在第一章我們用誘導公式五（或六）可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化，

運峨們解決今天的問題有幫助嗎？

讓學生動手完成兩角和及差正弦和正切公式

sin（a-尸）=sin[a+（一4）]=sin