1.3.2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)第1章數(shù)列湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系;2.理解等比數(shù)列的單調(diào)性,并能夠用來解決有關(guān)問題;3.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系標(biāo)為正整數(shù)n的孤立點(diǎn)(n,an)組成等比數(shù)列的圖象.當(dāng)q=1時(shí),等比數(shù)列的各項(xiàng)都為常數(shù)a1;當(dāng)q<0時(shí),等比數(shù)列不能通過指數(shù)函數(shù)來研究.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=kqn,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(

)(2)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則數(shù)列的通項(xiàng)公式一定可以寫成an=kqn的形式.(

)2.若等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為一個(gè)非零常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積,則公比q應(yīng)滿足什么條件?××提示q>0,且q≠1.知識點(diǎn)2等比數(shù)列的單調(diào)性首項(xiàng)a1公比qq>10<q<1q=1q<0a1>0

數(shù)列

數(shù)列

常數(shù)列擺動數(shù)列a1<0遞減數(shù)列遞增數(shù)列名師點(diǎn)睛等比數(shù)列的單調(diào)性與等差數(shù)列的單調(diào)性是有很大差別的,因?yàn)榈炔顢?shù)列的單調(diào)性只有遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列(公差d=0)三種情況,但是等比數(shù)列還存在擺動數(shù)列的情況.遞增

遞減過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若{an}為等比數(shù)列,公比為q,則當(dāng)q>1時(shí),{an}為遞增數(shù)列.(

)(2)若等比數(shù)列是擺動數(shù)列,則公比q<0.(

)2.若一個(gè)等比數(shù)列的圖象是一系列從左至右呈水平狀的孤立點(diǎn),則該等比數(shù)列有什么特征?×√提示該等比數(shù)列是公比為q=1的常數(shù)列.3.判斷等差數(shù)列的遞增或遞減時(shí),只需要研究一個(gè)量(即公差d)的符號即可.若是研究等比數(shù)列的遞增或遞減時(shí),只判斷公比的符號可以嗎?提示不可以,研究等比數(shù)列的遞增或遞減時(shí)要研究首項(xiàng)與公比的符號.知識點(diǎn)3等比數(shù)列的性質(zhì)1.若數(shù)列{an},{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,則{anbn}也是等比數(shù)列.特別地,若{an}是等比數(shù)列,c是非零常數(shù),則{can}也是等比數(shù)列.2.在等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則aman=apaq.3.數(shù)列{an}是有窮數(shù)列,則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等,且等于首末兩項(xiàng)的積.4.在等比數(shù)列{an}中,每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)按原來的順序排列,所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列,公比為qk+1.5.當(dāng)m,n,p(m,n,p∈N+)成等差數(shù)列時(shí),am,an,ap成等比數(shù)列.名師點(diǎn)睛性質(zhì)2中,若m+n=2k(m,n,k∈N+),則aman=.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1){an}是等比數(shù)列,若m+n=p,則aman=ap.(

)(2)兩個(gè)等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列仍然是等比數(shù)列.(

)2.若{an}為等比數(shù)列,則“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“aman=apaq”的充要條件嗎?假如不是,是什么條件?××提示不是,在等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則一定有aman=apaq,反之則不一定,如{an}是常數(shù)列,則不一定成立.故m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)是aman=apaq的充分而不必要條件.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一等比數(shù)列的單調(diào)性【例1】

在等比數(shù)列{an}中,a1<0,則“a2<a3”是“a5<a6”的(

)A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分又不必要條件C解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a2<a3,∴a1q<a1q2.又a1<0,∴q2-q<0,∴0<q<1.∵a5<a6,∴a1q4<a1q5,又a1<0,∴q4(q-1)<0,∴0<q<1或q<0.∵{q|0<q<1}?{q|0<q<1或q<0},∴“a2<a3”是“a5<a6”的充分而不必要條件.故選C.規(guī)律方法

等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法(1)研究等比數(shù)列的單調(diào)性問題,既要考慮首項(xiàng)的符號,也要考慮公比的取值范圍,要兩方面結(jié)合在一起綜合考慮.(2)涉及與等比數(shù)列單調(diào)性有關(guān)的充要條件問題,既要考慮條件能否推出結(jié)論,也要從結(jié)論入手,判斷能否推出條件.變式訓(xùn)練1設(shè){an}是等比數(shù)列,則“a1<a2<a4”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件B解析

若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則a1<a2<a4,因此必要性成立.a1<a2<a4,即a1<a1q<a1q3,若a1<0,則有q3<q<1,解得q<-1或0<q<1.當(dāng)公比為負(fù)數(shù)時(shí),數(shù)列{an}是擺動數(shù)列,因此充分性不成立.故選B.探究點(diǎn)二等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例2】

(1)在等比數(shù)列{an}中,若a3=,a9=3,則a15=

.

分析根據(jù)題目的特征,選擇利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.18(2)已知公比為q的等比數(shù)列{an},a5+a9=q,則a6(a2+2a6+a10)的值為

.

(3)在等比數(shù)列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,則

等于

.

變式訓(xùn)練2(1)在等比數(shù)列{an}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的兩個(gè)根,則a50的值為(

)A.10 B.16C.±4 D.4C解析

依題意,得a1a99=16,而a1a99=,所以a50=±4.(2)在等比數(shù)列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,則a3a4=(

)A解析

在等比數(shù)列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,所以a1a2a5a6=9.又a3a4=a1a6=a2a5,所以(a3a4)2=9.又a3a4與a1a2的符號相同,故a3a4=3.探究點(diǎn)三等比數(shù)列的設(shè)項(xiàng)技巧【例3】

有四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,且它們的乘積為216,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,且它們之和為12,求這四個(gè)數(shù).分析由于前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,因此可以根據(jù)等比數(shù)列的特征,設(shè)出前三個(gè)數(shù)后,建立方程求解.變式探究

解

設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,aq,aq2,aq3(其中aq≠0),則這四個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列的公比為q,規(guī)律方法

幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法

aq≠0.(3)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,不能確定它們的符號是否相同時(shí),數(shù)可設(shè)為:a,aq,aq2,aq3,其中aq≠0.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系;(2)等比數(shù)列的單調(diào)性;(3)等比數(shù)列的性質(zhì);(4)等比數(shù)列的項(xiàng)的設(shè)法.2.方法歸納:推理論證法研究等比數(shù)列的單調(diào)性,性質(zhì)轉(zhuǎn)化法求解等比數(shù)列的基本量,對稱法設(shè)等比數(shù)列的項(xiàng).3.注意事項(xiàng):等比數(shù)列的公比與指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的區(qū)別,偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)數(shù)的設(shè)法要注意數(shù)的符號.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891011121314151.已知等比數(shù)列{an},a2a9=8,a5=2,則公比q為(

)B解析

因?yàn)閍2a9=8,所以a5a6=a2a9=8.又因?yàn)閍5=2,所以a6=4,所以公比q=2,故選B.1234567891011121314152.在等比數(shù)列{an}中,a4=24,a6=6,則a5=(

)A.12 B.-12 C.±12 D.15C解析

根據(jù)題意,可知

=a4a6=24×6=144,解得a5=±12,故選C.1234567891011121314153.在等比數(shù)列{an}中,若a2a4a6a8=16,則a5=(

)A.-2 B.3

C.-2或2 D.4C解析

由等比數(shù)列的性質(zhì),知a2a4a6a8==16,可得a5=±2.1234567891011121314154.對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(

)A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列D解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,滿足(a1q5)2=a1q2·a1q8,即(a6)2=a3a9.故D正確.1234567891011121314155.(多選題)已知在等比數(shù)列{an}中,a1=1,q=2,則(

)A.數(shù)列{a2n}是等比數(shù)列B.數(shù)列{}是遞增數(shù)列C.數(shù)列{log2an}是等差數(shù)列D.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列ACD解析

在等比數(shù)列{an}中,a1=1,q=2,所以an=2n-1.a2n=22n-1,數(shù)列{a2n}依舊是等比數(shù)列,選項(xiàng)A正確;log2an=log22n-1=n-1,顯然數(shù)列{log2an}是等差數(shù)列,選項(xiàng)C正確;由于a1>0,q>1,因此選項(xiàng)D正確.1234567891011121314156.已知{an}是等比數(shù)列,a1=,a2=4,則a3=

,a1a2a3a4a5a6=

.

32239123456789101112131415B級關(guān)鍵能力提升練7.設(shè)無窮等比數(shù)列{an},則“0<a2<a1”是“{an}為遞減數(shù)列”的(

)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件A1234567891011121314158.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,若a3a7a8=8,a2+a10=5,則公比q=(

)D1234567891011121314159.兩個(gè)公比均不為1的等比數(shù)列{an},{bn},其前n項(xiàng)的乘積分別為An,Bn.若

A.512 B.32

C.8

D.2A12345678910111213141510.(多選題)設(shè){an}是公比為2的等比數(shù)列,則下列四個(gè)選項(xiàng)正確的有(

)B.{a2n}是公比為4的等比數(shù)列C.{2an}是公比為4的等比數(shù)列D.{anan+1}是公比為2的等比數(shù)列AB123456789101112131415解析

由于數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,則對任意的n∈N+,an≠0,且公比12345678910111213141511.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足a1<0,Sn=λan-1,若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(

)A.(1,+∞) B.(-∞,0)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)B解析

由Sn=λan-1,及Sn-1=λan-1-1(n≥2),作差可得an=λan-λan-1(n≥2),即(λ-1)an=λan-1(n≥2).12345678910111213141512.已知在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,則滿足anan+1an+2>的最大正整數(shù)n的值為

.

412345678910111213141513.[